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# I VETTORI E L’EQUILIBRIO DEI CORPI Video introduttivo: https://giovanninicco.com/Vettori_ed_Equilibrio.mp4 Audio introduttivo: https://giovanninicco.com/podcast_vettori_equilibrio.m4a Domande su tutto il capitolo: https://giovanninicco.com/domande_risposte_vettori_equilibrio.html ## 1. I vettori in sintesi ### Proprietà delle grandezze vettoriali - Hanno una **direzione**, un **verso** e un **modulo** (maggiore o uguale a zero) espresso con un'unità di misura. - Sono rappresentate da **segmenti orientati** di lunghezza proporzionale al loro modulo. --- ### Somma di vettori con il metodo punta-coda 1. Disegniamo il vettore $\vec{b}$ applicato alla punta di $\vec{a}$. 2. Il vettore somma è quello che va dalla coda di $\vec{a}$ alla punta di $\vec{b}$. --- ### Somma di vettori con il metodo del parallelogramma 1. Disegniamo $\vec{a}$ e $\vec{b}$ con la coda nello stesso punto. 2. Costruiamo il parallelogramma che ha i due vettori come lati. 3. Il vettore somma è la **diagonale** che congiunge la coda di $\vec{a}$ e $\vec{b}$ al vertice opposto del parallelogramma. --- ### Prodotto di un vettore per uno scalare Sia $\vec{c}=k\vec{a}$, con $k\in\mathbb{R}$. Il vettore $\vec{c}$ ha: - la stessa direzione di $\vec{a}$ - lo stesso verso di $\vec{a}$ se $k>0$, verso opposto se $k<0$ - modulo $|\vec{c}|=|k||\vec{a}|$ --- ### Differenza tra due vettori La differenza $\vec{a}-\vec{b}$ è definita come la somma: $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$ dove $-\vec{b}=(-1)\vec{b}$ è detto *l’opposto del vettore* $\vec{b}$. ### Le componenti di un vettore Scomposizione di vettori: (Video di Andrea De Capoa): https://www.youtube.com/watch?v=h6y578lNuqs Disegniamo un vettore $\vec{a}$ nel piano con la coda nell'origine $O$ di un sistema di assi cartesiani $x$ e $y$. Alla punta del vettore corrispondono due coordinate $(a_x,a_y)$, ciascuna delle quali può essere positiva, negativa o nulla. Le coordinate $a_x$ e $a_y$, che individuano la punta di un vettore $\vec{a}$ quando la sua coda è nell'origine degli assi cartesiani, sono dette **componenti cartesiane** di $\vec{a}$. Per specificare $\vec{a}$ tramite le sue componenti cartesiane usiamo la notazione: $\vec{a}=(a_x,a_y)$. Dal teorema di Pitagora si deduce che il modulo di $\vec{a}$ ha la seguente espressione: $$|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$$ --- ### Operazioni con i vettori in componenti La rappresentazione cartesiana facilita le operazioni. Siano: $\vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath}$ $\vec{b}=b_x\hat{\imath}+b_y\hat{\jmath}$ Allora: - **Addizione**: $$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x)\hat{\imath}+(a_y+b_y)\hat{\jmath}$$ - **Sottrazione**: $$\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x)\hat{\imath}+(a_y-b_y)\hat{\jmath}$$ - **Moltiplicazione per uno scalare $k$**: $$\vec{p}=k\vec{a}=(ka_x)\hat{\imath}+(ka_y)\hat{\jmath}$$ --- ### Componenti cartesiane in funzione dell’angolo Il vettore $\vec{a}$ forma un angolo $\alpha$ con il semiasse positivo delle $x$. Per definizione: $$\cos\alpha=\frac{a_x}{|\vec{a}|}, \qquad \sin\alpha=\frac{a_y}{|\vec{a}|}$$ Da cui: $$a_x=|\vec{a}|\cos\alpha, \qquad a_y=|\vec{a}|\sin\alpha$$ ### TRACCIARE I VETTORI: programma per imparare a tracciare i vettori sia in coordinate polari che in coordinate cartesiane: https://giovanninicco.com/disegna_vettori_cartesiani_e_polari2.html ### ESERCIZI SUI VETTORI RANDOMIZZATI: https://giovanninicco.com/forze_e_vettori.html es. pag. 23 n. 38 https://mathnotepad.com/#contents=N4IgzgLghhCmIC5RlgG1gYwgSwPYDtFRt8ATWAD0QCYAGAGnGgCcJEAWAZkdjI84C%2BjMBma5UqACq4ADogCMADiEhKM5rDBg8%2BMIgDaoAG5RUAV3gIQAMXkBeAGwA6TtQAEAOQDcb0zIAWUPZKTuxu5ADmXiCMALaw0EQCQsamFog21HbsTvLu3r6oAVBZ8rQ58uGwUTEg8YlIyfSp5pY2nHYAnE7U%2BT5%2BgR3UitRODlU1cQlQSSkgJq0ZthR2tgBUGLhgABQDQQCUtfUzjXML6VbW1CtXG1u7RYHUh1MNwE0tF%2B03nHc7e5wXnVprNmvM0m1bABPVbyNbafAPYryIHHUGfSHUGG3BFIp6okGnMHnSGcbG%2FXEAglvD7gxaXG7yCgAaiuLOsnCorxO7zOEKW2PkUNZWNZZKOhN5xP5lzs%2BmsFHo1ihAF0JTS%2BfSQABiNzWNyACCI3ABJABqbgAjmYoKRmFB8HA3Nt8AQqkZcG5mNgILgMBgoBo3KgAOT2iLiD3kCSh5ibaD4CK8ODqnm0klLLLWAD08g8bl1PtQ4aDsDcZnw3oAB%2BFsG5YtgwGY7YU3EYEj7A%2BpS%2BpcAAjdD1mt1mD%2BF1wGQ2lPoulfWK4UjWOxgC2sba3K77fOeXDQBDWNb6ux6igH9lQg9QtxTokYjIBbB2XbxtdQrMKzdrNyVO2kTckCZbh4ADykgAIIIL48aepoOAQGYDYYKWYbiLW%2F4%2Ftg9o4Fe3LTumVjXlKt5WLqABKxoAMoAKoADJgZIxoEWmMo2IxmpfPoc4LvQ95qjhN4zm0urkUBwEmnmoEAMISUBJEACJAW40l5sabhkVRtGgfRbiyQAotRbjUcaABCJFAaxKqMG2zDaAQiDcCAZgyKQMCwKQGR0NQACsAC0tCdN5nC0JIvQILQnAIF5TgAOwjAAWiAAhAA%3D%3D --- ### Versori e scomposizione di un vettore Introduciamo i versori: - $\hat{i}$ oppure $\hat{x}$ : orientato come l’asse $x$, - $\hat{j}$ oppure $\hat{y}$ : orientato come l’asse $y$, - $\hat{k}$ oppure $\hat{x}$ : orientato come l’asse $z$, - tutti di modulo $1$. ( I VERSORI per DEFINIZIONE hanno modulo 1) Allora: $$\vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath} \tag{4}$$ Nello spazio si aggiunge il versore $\hat{k}$, ottenendo: $$\vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath}+a_z\hat{k}, \qquad |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$ --- ### Operazioni sui vettori in componenti | Operazione | Risultato | |------------|-----------| | Addizione $\;\;\;\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ | $c_x=a_x+b_x,\;\; c_y=a_y+b_y,\;\; c_z=a_z+b_z$ | | Sottrazione $\;\;\;\vec{d}=\vec{a}-\vec{b}$ | $d_x=a_x-b_x,\;\; d_y=a_y-b_y,\;\; d_z=a_z-b_z$ | | Moltiplicazione per $k$ $\;\;\;\vec{p}=k\vec{a}$ | $p_x=ka_x,\;\; p_y=ka_y,\;\; p_z=ka_z$ | #### Attività interattiva su vettori e versori da Physic is Beautiful: https://physicsisbeautiful.com/curriculum/modules/hKj2bCW4wbGvZqDFwUaVzL --- ### Componenti in funzione dell’angolo Se $\vec{a}$ forma un angolo orientato $\alpha$ con l’asse $x$ positivo: ``` ∧ → / a / / /_)α_ _ _ _ _ ``` $$a_x=|\vec{a}|\cos\alpha, \qquad a_y=|\vec{a}|\sin\alpha$$ Il rapporto tra le componenti è: $$\tan\alpha=\frac{a_y}{a_x}$$ L’angolo $\alpha$ si considera **positivo** se descritto in senso antiorario dalla rotazione che porta l’asse $x$ positivo su $\vec{a}$, **negativo** se in senso orario. Le funzioni inverse permettono di calcolare l’angolo note le componenti: - $\alpha=\arccos\!\left(\tfrac{a_x}{|\vec{a}|}\right)$ - $\alpha=\arcsin\!\left(\tfrac{a_y}{|\vec{a}|}\right)$ - $\alpha=\arctan\!\left(\tfrac{a_y}{a_x}\right)$ --- La matematica per la fisica ## Il seno, il coseno e la tangente in un triangolo rettangolo Triangolo rettangolo (angolo retto in A, angolo acuto in C): ``` B /| / | c / | a ← cateto opposto a C / | /_)γ_| C b A ↑ cateto adiacente a C ``` Rapporti trigonometria: - $\sin(γ) = \tfrac{a}{c}$ - $\cos(γ) = \tfrac{b}{c}$ - $\tan(γ) = \tfrac{a}{b}$ Inoltre: $$\tan\widehat{γ}=\frac{\sin\widehat{γ}}{\cos\widehat{γ}}$$ --- ## Tabella dei valori notevoli --- |Angolo|$\sin\alpha$|$\cos\alpha$|$\tan\alpha$| |---|---|---|---| |$0^\circ$|$0$|$1$|$0$| |$30^\circ$|$\tfrac{1}{2}$|$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$| |$45^\circ$|$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$1$| |$60^\circ$|$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$\tfrac{1}{2}$|$\sqrt{3}$| |$90^\circ$|$1$|$0$|—| |$120^\circ$|$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$-\tfrac{1}{2}$|$-\sqrt{3}$| |$135^\circ$|$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$-1$| |$150^\circ$|$\tfrac{1}{2}$|$-\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$-\tfrac{1}{\sqrt{3}}$| |$180^\circ$|$0$|$-1$|$0$| |$210^\circ$|$-\tfrac{1}{2}$|$-\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$\tfrac{1}{\sqrt{3}}$| |$225^\circ$|$-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$1$| |$240^\circ$|$-\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$-\tfrac{1}{2}$|$\sqrt{3}$| |$270^\circ$|$-1$|$0$|—| |$300^\circ$|$-\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$\tfrac{1}{2}$|$-\sqrt{3}$| |$315^\circ$|$-\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$|$-1$| |$330^\circ$|$-\tfrac{1}{2}$|$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$|$-\tfrac{1}{\sqrt{3}}$| |$360^\circ$|$0$|$1$|$0$| per memorizzarli: $\frac{√0}{2}$,$\frac{√1}{2}$,$\frac{√2}{2}$,$\frac{√3}{2}$,$\frac{√4}{2}$ cioè $0$,$\frac{1}{2}$,$\frac{√2}{2}$,$\frac{√3}{2}$,$1$ cioè 0, P,M,G,1 ![[Screenshot 2025-09-17 alle 23.05.55.png]] | Angolo | $\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | | ----------- | ------------ | ------------ | | $0^\circ$ | $0$ | $1$ | | $30^\circ$ | $P$ | $G$ | | $45^\circ$ | $M$ | $M$ | | $60^\circ$ | $G$ | $P$ | | $90^\circ$ | $1$ | $0$ | | $120^\circ$ | $G$ | $-P$ | | $135^\circ$ | $M$ | $-M$ | | $150^\circ$ | $P$ | $-G$ | | $180^\circ$ | $0$ | $-1$ | | $210^\circ$ | $-P$ | $-G$ | | $225^\circ$ | $-M$ | $-M$ | | $240^\circ$ | $-G$ | $-P$ | | $270^\circ$ | $-1$ | $0$ | | $300^\circ$ | $-G$ | $P$ | | $315^\circ$ | $-M$ | $M$ | | $330^\circ$ | $-P$ | $G$ | --- ## Relazioni inverse - a= Cateto opposto $= \text{ipotenusa}\cdot\sin(\text{angolo})$ = c sin(γ) - b=Cateto adiacente $= \text{ipotenusa}\cdot\cos(\text{angolo})$ = c cos(γ) - a= Cateto opposto $= \text{cateto adiacente}\cdot\tan(\text{angolo})$ = b tan(γ) = (∆y=m∆x ) Triangolo rettangolo (angolo retto in A, angolo acuto in C): ``` B /| / | c / | a ← cateto opposto a C (∆y) / | /_)γ_| C b A ∆x cateto adiacente a C ``` Rapporti trigonometria: - $\sin(γ) = \tfrac{a}{c}$ - $\cos(γ) = \tfrac{b}{c}$ - $\tan(γ) = \tfrac{a}{b}$ --- # **Risultante di più vettori** ## **1. Caso generale: vettori dati in coordinate polari** Un vettore in coordinate polari è definito da: - **modulo** $r$ - **angolo (fase)** $\theta$ Per poterli sommare, conviene **trasformarli in coordinate cartesiane**: $$x = r \cdot \cos\theta \qquad y = r \cdot \sin\theta$$ Per più vettori $v_1, v_2, \dots, v_n$ si procede così: 1. Calcolare le componenti $x_i, y_i$ di ciascun vettore $v_i$. 2. Sommare tutte le componenti: $$R_x = \sum_{i=1}^n x_i \qquad R_y = \sum_{i=1}^n y_i$$ 3. La risultante $R$ ha: - **modulo** $|\vec{R}| = \sqrt{X^2 + Y^2}$ - **angolo** $\varphi = \arctan\!\left(\tfrac{Y}{X}\right)$ .... DOPO AVER DISEGNATO IL VETTORE RISULTANTE !!!!! ⚠️ **Attenzione**: l’$\arctan$ da solo non basta per decidere l’angolo corretto, perché distingue solo due quadranti. ➡️ Per questo bisogna **disegnare il vettore risultante** sul piano cartesiano e controllare in quale quadrante si trova, così da aggiustare l’angolo. In pratica: - Se $X>0, Y>0$: $\varphi$ è già corretto (I quadrante). - Se $X<0$: aggiungere $180^\circ$ (II o III quadrante). - Se $X>0, Y<0$: aggiungere $360^\circ$ se serve (IV quadrante). --- ## **2. Caso semplificato: vettori già dati in coordinate cartesiane** Se i vettori sono forniti direttamente come $(x,y)$, il procedimento è più rapido: 1. Sommare le componenti $x$ e $y$ come sopra. 2. Calcolare il modulo e l’angolo con le stesse formule. 3. Disegnare la risultante per **verificare l’angolo corretto**. --- ## **3. Idea chiave** - **In polari** → trasformazione necessaria. - **In cartesiane** → basta la somma diretta. - **In entrambi i casi**: non fidarsi ciecamente dell’$\arctan$, ma **disegnare sempre la risultante** per capire il verso giusto. --- # **Esempio numerico** ### **Dati i vettori in coordinate polari:** - $v_1$: $r_1 = 5$, $\theta_1 = 150^\circ$ (r sta per raggio) - $v_2$: $r_2 = 3$, $\theta_2 = 120^\circ$ --- ## **1. Passaggio in coordinate cartesiane** Per ogni vettore: $$x = r \cdot \cos\theta \qquad y = r \cdot \sin\theta$$ - Per $v_1$: $$x_1 = 5 \cdot \cos 150^\circ = 5 \cdot (-\tfrac{\sqrt{3}}{2}) \approx -4.33$$ $$y_1 = 5 \cdot \sin 150^\circ = 5 \cdot \tfrac{1}{2} = 2.5$$ - Per $v_2$: $$x_2 = 3 \cdot \cos 120^\circ = 3 \cdot (-\tfrac{1}{2}) = -1.5$$ $$y_2 = 3 \cdot \sin 120^\circ = 3 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.60$$ --- ## **2. Somma delle componenti** $$X = x_1 + x_2 = -4.33 - 1.5 = -5.83$$ $$Y = y_1 + y_2 = 2.5 + 2.60 = 5.10$$ --- ## **3. Modulo della risultante** $$R = \sqrt{X^2 + Y^2} = \sqrt{(-5.83)^2 + (5.10)^2} \approx \sqrt{67.7} \approx 8.23$$ Dove $R:=|\vec{R}|$ (per definizione) --- ## **4. Angolo della risultante** Formula base: $$\varphi = \arctan\!\left(\tfrac{Y}{X}\right) = \arctan\!\left(\tfrac{5.10}{-5.83}\right) \approx \arctan(-0.875) \approx -41.6^\circ$$ ⚠️ Questo valore da solo non è corretto, perché si riferisce a un vettore nel **IV quadrante**. Ma noi abbiamo $X<0$ e $Y>0$, quindi siamo nel **II quadrante**. 👉 Quindi: $$\varphi = 180^\circ - 41.6^\circ = 138.4^\circ$$ --- ## **5. Risultato finale** La risultante è: $$R \approx 8.23 \quad\text{con angolo}\quad \varphi \approx 138.4^\circ$$ --- ## **✅ Conclusione** - Senza il disegno, l’$\arctan$ da solo avrebbe dato un angolo sbagliato. - Solo verificando il **segno delle componenti** (o meglio ancora **disegnando la risultante**) capiamo che deve essere nel **II quadrante**. --- # Infiniti altri esempi: https://giovanninicco.com/somma_3_vettori_per_componenti.html https://giovanninicco.com/somma_3_vettori_per_moduli_e_angoli.html ## Prodotto scalare e prodotto vettoriale ### Prodotto scalare Video di Andrea De Capoa sul prodotto scalare: https://www.youtube.com/watch?v=h6y578lNuqs Dalla definizione segue che il **prodotto scalare** gode delle proprietà: - **Commutativa**: $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$ - **Distributiva**: $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$ --- ### Coordinate cartesiane nel piano Siano $\vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath}$ e $\vec{b}=b_x\hat{\imath}+b_y\hat{\jmath}$. Il loro prodotto scalare è: $$ \vec{a}\cdot\vec{b} = (a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath})\cdot(b_x\hat{\imath}+b_y\hat{\jmath}) = a_xb_x+a_yb_y $$ --- ### Coordinate cartesiane nello spazio Se $\vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath}+a_z\hat{k}$ e $\vec{b}=b_x\hat{\imath}+b_y\hat{\jmath}+b_z\hat{k}$, allora: $$ \vec{a}\cdot\vec{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \tag{6} $$ --- ### Somma vettoriale con i numeri : calcolo della risultante --- ### Prodotto vettoriale Video di Andrea De Capoa sul prodotto vettoriale: https://www.youtube.com/watch?v=npRqBe3MWzE Il **prodotto vettoriale** di due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è un vettore $\vec{a}\times\vec{b}$: - perpendicolare al piano che contiene $\vec{a}$ e $\vec{b}$ - con modulo: $$ |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\alpha \tag{7} $$ dove $\alpha$ è l’angolo compreso tra $\vec{a}$ e $\vec{b}$. --- ### Interpretazioni geometriche - $|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot b_\perp =|\vec{b}|\cdot a_\perp$ (cioè uno dei vettori moltiplicato per la componente dell’altro perpendicolare a esso). - Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’**area del parallelogramma** costruito su $\vec{a}$ e $\vec{b}$. --- ### Casi particolari - Se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono **paralleli** (concordi o discordi), allora $\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$ perché $\sin 0^\circ=\sin 180^\circ=0$. - Se $\vec{a}$ e $\vec{b}$ sono **perpendicolari**, allora $|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|$ (massimo valore, poiché $\sin 90^\circ=1$). --- ### Verso del prodotto vettoriale Il verso di $\vec{a}\times\vec{b}$ è fissato dalla **regola della mano destra**: - pollice orientato nel verso di $\vec{a}$, - dita orientate nel verso di $\vec{b}$, - il vettore $\vec{a}\times\vec{b}$ esce perpendicolare dal palmo. # Prodotto vettoriale: proprietà Applicando la definizione e la regola della mano destra al calcolo di $\vec{b}\times\vec{a}$, otteniamo un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso modulo di $\vec{a}\times\vec{b}$, ma verso opposto. Quindi per il prodotto vettoriale valgono: - **Anticommutatività**: $$\vec{a}\times\vec{b}=-(\vec{b}\times\vec{a})$$ - **Distributività**: $$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{d})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{d}$$ --- ## Prodotto vettoriale dei versori I versori $\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}$ soddisfano le relazioni: - $\hat{\imath}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}\times\hat{k}=\vec{0}$ - $\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}$ - $\hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath}$ - $\hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}$ e, per anticommutatività: - $\hat{\jmath}\times\hat{\imath}=-\hat{k}$ - $\hat{k}\times\hat{\jmath}=-\hat{\imath}$ - $\hat{\imath}\times\hat{k}=-\hat{\jmath}$ --- ## Formula generale Siano: $\vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath}+a_z\hat{k}$ $\vec{b}=b_x\hat{\imath}+b_y\hat{\jmath}+b_z\hat{k}$ Il prodotto vettoriale è: $$ \vec{a}\times\vec{b}= (a_yb_z-a_zb_y)\hat{\imath}+ (a_zb_x-a_xb_z)\hat{\jmath}+ (a_xb_y-a_yb_x)\hat{k} \tag{9} $$ --- # 4. Le forze in sintesi *(Esercizi a pag. 27)* ## La forza-peso $$\vec{F}_p=m\vec{g}, \qquad |\vec{F}_p|=mg$$ - Agisce lungo la verticale verso il basso su ogni corpo di massa $m$ vicino alla superficie terrestre. - L’accelerazione di gravità $g$ non dipende dalla massa del corpo, ma varia da luogo a luogo. - Unità di misura: $[\!g]=\text{m/s}^2$. Valori medi sulla Terra: - $g=9.80665\ \text{m/s}^2 \approx 9.8\ \text{m/s}^2$ - All’Equatore: $g=9.789\ \text{m/s}^2$ - Ai Poli: $g=9.823\ \text{m/s}^2$ **Esempio** Una palla di massa $m=0.30\ \text{kg}$ è soggetta a: $$F_p=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N}$$ --- ## La forza elastica Una molla deformata (allungata o compressa) esercita una forza elastica che si oppone alla deformazione: $$\vec{F}_e=-k\vec{s}, \qquad |\vec{F}_e|=k|\vec{s}|$$ dove: - $k$ è la **costante elastica** (N/m) - $\vec{s}$ è lo spostamento dall’equilibrio - la lunghezza non deformata si chiama **lunghezza a riposo** Il grafico $|\vec{F}_e|$ vs $|\vec{s}|$ è una retta passante per l’origine con coefficiente angolare $k$. **Esempio** Se allunghi di $s=1.9\ \text{cm}=0.019\ \text{m}$ una molla con $k=320\ \text{N/m}$, la forza elastica vale: $$F_e=ks=(320)(0.019)\approx 6.1\ \text{N}$$ # Forze di reazione vincolare e di attrito radente Il piano su cui è appoggiato un bicchiere o il filo che sostiene un quadro sono **vincoli**, cioè oggetti che limitano il movimento di altri corpi esercitando su di essi delle forze di **reazione vincolare**. --- ## Forza di reazione vincolare di una superficie **Proprietà** - È sempre **perpendicolare** alla superficie. - È rivolta **verso l’esterno** della superficie, così da respingere un oggetto appoggiato (es. un baule sul pavimento) o trattenere un oggetto appeso (es. una plafoniera al soffitto). --- ## Forza di reazione vincolare di un filo (tensione) **Proprietà** - È sempre **parallela al filo**. - È rivolta in modo da **tirare** l’oggetto appeso o, in generale, legato al filo. --- ## Forze di attrito radente Un corpo a contatto con una superficie è soggetto a forze di attrito radente: - **attrito statico** se il corpo è fermo rispetto alla superficie, - **attrito dinamico** se il corpo striscia sulla superficie. --- ### Forza di attrito statico **Proprietà** - È parallela alla superficie di contatto. - Ha verso tale da **opporsi al tentativo di strisciare** del corpo. - Può assumere qualsiasi modulo tra $0$ e un valore massimo $F_{s,\text{max}}$: $$F_s \leq F_{s,\text{max}}=\mu_s F_\perp$$ dove: - $\mu_s$ = coefficiente di attrito statico (numero puro, dipende dai materiali a contatto), - $F_\perp$ = forza premente (perpendicolare alla superficie). **Nota:** $F_\perp$ ha lo stesso modulo della forza di reazione vincolare esercitata dalla superficie. --- ### Forza di attrito dinamico **Proprietà** - È parallela alla superficie di contatto. - Ha verso opposto al **moto relativo** del corpo rispetto alla superficie. - Ha modulo: $$F_d=\mu_d F_\perp$$ dove: - $\mu_d$ = coefficiente di attrito dinamico (numero puro, sempre minore di $\mu_s$), - $F_\perp$ = forza premente. # 5. L'equilibrio del punto materiale *(Esercizi a pag. 30)* [[esercio3Ds]] Ogni corpo sulla Terra è soggetto alla forza-peso. Se lasciato libero, cade. Per mantenerlo fermo è necessario equilibrare la forza-peso $\vec{F}_p$ con una forza di verso opposto. In generale, un corpo fermo resta fermo quando la **forza risultante** $\vec{F}_{\text{tot}}$, cioè la somma vettoriale delle $n$ forze $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$ che agiscono su di esso, è nulla: $$ \vec{F}_{\text{tot}}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\dots+\vec{F}_n=\vec{0} \tag{10} $$ Questa è la **condizione di equilibrio per un punto materiale**, ossia un corpo di cui non interessa la struttura interna, ma solo i moti di traslazione (trascurando rotazioni e deformazioni). --- ## Il diagramma delle forze Per analizzare l’equilibrio di un corpo vincolato (es. uno smartphone sul tavolo, un sacco da boxe appeso a una catena, una persona su un tappeto mobile inclinato), il primo passo è: 1. Schematizzare il corpo come **punto materiale**. 2. Individuare tutte le forze esterne che agiscono su di esso (incluse le forze vincolari). 3. Rappresentare le forze come **vettori** con la coda nel punto. Il disegno così ottenuto si chiama **diagramma delle forze** o **diagramma di corpo libero**. **Nota importante:** - Nel diagramma vanno inserite **solo le forze esterne** che agiscono sul corpo. - Non vanno inserite le forze che il corpo stesso esercita su altri oggetti. --- ## Esempio: persona su tappeto mobile inclinato La persona è soggetta a tre forze: - la **forza-peso** $\vec{F}_p$, verticale verso il basso; - la **forza di reazione vincolare** $\vec{R}$, perpendicolare alla superficie e diretta verso l’esterno; - la **forza di attrito statico** $\vec{F}_a$, parallela al piano e orientata verso l’alto (opposta allo scivolamento dovuto al peso). Il corpo può essere schematizzato come un punto materiale sul piano inclinato. Il diagramma delle forze avrà le tre forze applicate tutte nello stesso punto. --- ## Assi cartesiani nel piano inclinato Per studiare l’equilibrio conviene porre il punto materiale nell’origine di un sistema di assi cartesiani: - **asse $x$** parallelo al piano inclinato, - **asse $y$** perpendicolare al piano inclinato. In questo modo le proiezioni delle forze sugli assi semplificano il calcolo delle condizioni di equilibrio. #### Video di Eugene Khutoryansky (in inglese ma molto bello) sui vettori e le forze https://www.youtube.com/watch?v=Ff_suyHtEXk&list=PLkyBCj4JhHt9tK1m2DF-hDBybN9nkGv9W&index=3 idem sulle rotazioni : https://www.youtube.com/watch?v=leZX0GpV5W0 ---
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