% ============================================================
%  capitoli/000-matematica-per-la-fisica.tex
%  Dispensa 00 — Matematica per la fisica (prerequisiti)
%  Incluso da libro_fisica.tex con \setcounter{chapter}{-1}
% ============================================================
\chapter{Matematica per la fisica}
\label{cap:00}
\hubcap{000}

\citazioneinizio{%
  Il libro della natura è scritto in lingua matematica, e i caratteri
  son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche.%
}{Galileo Galilei, \emph{Il Saggiatore} (1623)}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:00-introduzione}
% ============================================================

La fisica è una scienza quantitativa: le sue leggi si esprimono in formule, le
sue misure in numeri spesso enormi o piccolissimi, le sue relazioni in grafici.
Per affrontare con serenità i capitoli che seguono — dalla cinematica
all'elettromagnetismo — servono pochi strumenti matematici di base, che
in questa prima dispensa raccogliamo insieme.

Non si tratta di una rassegna teorica completa: per quella esiste un'intera
raccolta di dispense di matematica. Qui ci limitiamo agli strumenti
operativi che useremo quotidianamente: la \emph{notazione scientifica} per
gestire ordini di grandezza, le \emph{equivalenze} per cambiare unità, le
\emph{proporzioni} e le \emph{percentuali}, le \emph{formule inverse} per
isolare l'incognita, i \emph{grafici cartesiani} per leggere i fenomeni e
la \emph{calcolatrice scientifica} per non perdere tempo.

\begin{attenzione}[Come usare questo capitolo]
Se questi argomenti ti sono già familiari, leggilo come un \emph{check-list}:
riconosci i pattern, verifica con un esempio, vai oltre. Se invece sono
nuovi o arrugginiti, fermati a svolgere gli esercizi proposti prima di
passare al capitolo successivo: senza queste basi, anche i problemi più
semplici di fisica diventano ostacoli inutili.
\end{attenzione}

% ============================================================
\section{Notazione scientifica e potenze di 10}\label{sec:00-notazione}
% ============================================================

In fisica si incontrano numeri di scale molto diverse: la massa di un
elettrone è $\SI{9.11e-31}{\kilogram}$, la massa del Sole è
$\SI{1.99e30}{\kilogram}$. Scrivere questi numeri in forma decimale ordinaria
sarebbe scomodo e fonte di errori. La \emph{notazione scientifica} risolve
il problema esprimendo ogni numero come prodotto di una \emph{mantissa}
compresa tra $1$ e $10$ (escluso) e una potenza di $10$.

\begin{definizione}[Notazione scientifica]
Un numero $x$ è in notazione scientifica se è scritto nella forma
\[
  x = a \cdot 10^{n},
  \qquad 1 \le \modulo{a} < 10, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
Il numero $a$ si chiama \emph{mantissa}, $n$ si chiama \emph{esponente}
o \emph{ordine di grandezza}.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Conversioni in notazione scientifica]
\begin{itemize}
  \item $\num{0.00042} = \SI{4.2e-4}{}$
  \item $\num{356000} = \SI{3.56e5}{}$
  \item $\num{0.000000000511} = \SI{5.11e-10}{}$
\end{itemize}
La virgola si sposta finché resta una sola cifra non nulla a sinistra di essa;
il numero di posizioni di cui si è spostata diventa l'esponente
(positivo se si è spostata verso sinistra, negativo se verso destra).
\end{esempio}

\begin{attenzione}[Cifre significative]
In notazione scientifica le cifre significative sono tutte e sole quelle
della mantissa. Scrivere $\SI{4.20e3}{}$ comunica tre cifre significative,
$\SI{4.2e3}{}$ solo due, anche se entrambi valgono $4200$.
\end{attenzione}

% ============================================================
\section{Calcoli con le potenze di 10}\label{sec:00-potenze-dieci}
% ============================================================

Le potenze di $10$ obbediscono alle regole generali delle potenze: ricordarle
permette di fare a mente moltiplicazioni e divisioni di numeri grandissimi
o piccolissimi.

\begin{formulabox}
\[
  10^{m} \cdot 10^{n} = 10^{m+n},
  \qquad
  \frac{10^{m}}{10^{n}} = 10^{m-n},
  \qquad
  (10^{m})^{n} = 10^{m\,n},
  \qquad
  10^{-n} = \frac{1}{10^{n}}.
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Velocità della luce in un anno]
Quanti metri percorre la luce in un anno (la cosiddetta \emph{distanza-luce})?
La velocità della luce è $c = \SI{3.00e8}{\meter\per\second}$ e un anno dura circa
$t = \SI{3.15e7}{\second}$. Applicando $s = c\,t$:
\[
  s = (\num{3.00e8}\,\si{\meter\per\second}) \cdot (\num{3.15e7}\,\si{\second})
    = (3.00 \cdot 3.15) \cdot 10^{8+7}\,\si{\meter}
    = \SI{9.45e15}{\meter}.
\]
Si moltiplicano le mantisse, si sommano gli esponenti. Nessuna calcolatrice
necessaria per l'ordine di grandezza.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Divisione]
\[
  \frac{\num{6.00e23}}{\num{2.00e-3}}
  = \frac{6.00}{2.00} \cdot 10^{23-(-3)}
  = \SI{3.00e26}{}.
\]
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Equivalenze e prefissi}\label{sec:00-equivalenze}
% ============================================================

Cambiare unità di misura — passare da metri a chilometri, da grammi a chilogrammi,
da minuti a secondi — è una delle operazioni più frequenti in fisica. Per evitare
errori, si conviene di \emph{moltiplicare per il fattore di conversione} corretto.

\begin{procedura}[Conversione di unità]
\begin{enumerate}
  \item Scrivi la grandezza con la sua unità di partenza.
  \item Moltiplica per la frazione $\dfrac{\text{unità d'arrivo}}{\text{unità di partenza}}$,
        scritta in modo che le unità di partenza si semplifichino.
  \item Esegui il calcolo numerico.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Da km/h a m/s]
Una velocità di $\SI{72}{\kilo\meter\per\hour}$ vale:
\[
  v = 72\,\frac{\si{\kilo\meter}}{\si{\hour}}
    \cdot \frac{\SI{1000}{\meter}}{\SI{1}{\kilo\meter}}
    \cdot \frac{\SI{1}{\hour}}{\SI{3600}{\second}}
    = \frac{72\,000}{3600}\,\si{\meter\per\second}
    = \SI{20}{\meter\per\second}.
\]
\end{esempio}

\begin{attenzione}[Prefissi del SI]
I prefissi standard del Sistema Internazionale si usano spessissimo:
\begin{center}\small
\begin{tabular}{ccc | ccc}
\textbf{Prefisso} & \textbf{Simbolo} & \textbf{Fattore} & \textbf{Prefisso} & \textbf{Simbolo} & \textbf{Fattore} \\
\hline
nano & n & $10^{-9}$ & kilo & k & $10^{3}$ \\
micro & $\mu$ & $10^{-6}$ & mega & M & $10^{6}$ \\
milli & m & $10^{-3}$ & giga & G & $10^{9}$ \\
centi & c & $10^{-2}$ & tera & T & $10^{12}$ \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{attenzione}

% ============================================================
\section{Rapporti, proporzioni, percentuali}\label{sec:00-proporzioni}
% ============================================================

Un \emph{rapporto} è il quoziente di due grandezze omogenee, $a / b$. Una
\emph{proporzione} è un'uguaglianza tra due rapporti: $a : b = c : d$,
equivalente a $a\,d = b\,c$ (\emph{prodotto degli estremi uguale al prodotto dei medi}).
Una \emph{percentuale} è un rapporto con denominatore $100$:
\[
  p\% = \frac{p}{100}.
\]

\begin{esempio}[Percentuale di efficienza]
Un motore riceve $\SI{500}{\joule}$ di energia e ne restituisce
$\SI{180}{\joule}$ di lavoro utile. L'efficienza è
\[
  \eta = \frac{\SI{180}{\joule}}{\SI{500}{\joule}} = 0.36 = 36\%.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Proporzione]
Su una mappa $\SI{3}{\centi\meter}$ rappresentano $\SI{12}{\kilo\meter}$.
Quanti chilometri rappresentano $\SI{7}{\centi\meter}$?
\[
  3 : 12 = 7 : x \quad\Longrightarrow\quad
  x = \frac{12 \cdot 7}{3} = \SI{28}{\kilo\meter}.
\]
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Proporzionalità diretta, inversa, quadratica}\label{sec:00-proporzionalita}
% ============================================================

In fisica, quando una grandezza dipende da un'altra, riconoscere il
\emph{tipo di proporzionalità} permette di prevedere come varia il
risultato senza ricalcolare ogni volta.

\begin{definizione}[Tipi di proporzionalità]
\begin{itemize}
  \item $y$ è \textbf{direttamente proporzionale} a $x$ se $y = k\,x$
        ($k$ costante). Raddoppiando $x$, raddoppia $y$.
  \item $y$ è \textbf{inversamente proporzionale} a $x$ se $y = k/x$.
        Raddoppiando $x$, $y$ si dimezza.
  \item $y$ è \textbf{quadraticamente proporzionale} a $x$ se $y = k\,x^{2}$.
        Raddoppiando $x$, $y$ quadruplica.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{esempio}[Esempi fisici]
\begin{itemize}
  \item Spazio percorso a velocità costante: $s = v\,t$ ($s \propto t$, diretta).
  \item Pressione e volume di un gas a temperatura costante:
        $P\,V = \text{cost}$ ($P \propto 1/V$, inversa).
  \item Energia cinetica e velocità: $E = \tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}$
        ($E \propto v^{2}$, quadratica).
\end{itemize}
\end{esempio}

\noindent Il grafico cartesiano è il miglior strumento per riconoscere il tipo
di proporzionalità: la diretta è una \emph{retta passante per l'origine}, la
quadratica una \emph{parabola}, l'inversa un'\emph{iperbole equilatera}.

% ============================================================
\section{Formule inverse}\label{sec:00-formule-inverse}
% ============================================================

Una stessa formula fisica si può «girare» per isolare una qualsiasi delle
grandezze che vi compaiono. Si tratta di una semplice manipolazione algebrica,
ma è una delle abilità più richieste in tutto il percorso di fisica.

\begin{procedura}[Inversione di una formula]
\begin{enumerate}
  \item Identifica l'incognita (la grandezza da isolare).
  \item Applica a entrambi i membri le stesse operazioni — somma, sottrazione,
        moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice — finché
        l'incognita resta sola.
  \item Verifica la coerenza dimensionale (le unità del risultato devono essere
        quelle attese).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Densità]
Dalla definizione $\rho = m/V$:
\begin{itemize}
  \item per isolare $m$: $m = \rho\,V$ (moltiplico entrambi i membri per $V$);
  \item per isolare $V$: $V = m/\rho$ (divido entrambi i membri per $\rho$ e
        scambio i ruoli, oppure moltiplico per $V/\rho$).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caduta libera]
Da $h = \tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}$ si ricava
\[
  t^{2} = \frac{2\,h}{g} \quad\Longrightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2\,h}{g}}.
\]
Attenzione: nel passaggio dalla potenza alla radice si prende solo la
soluzione positiva, perché il tempo $t$ è una grandezza positiva.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Grafici cartesiani per la fisica}\label{sec:00-grafici}
% ============================================================

Un grafico cartesiano è un piano in cui ogni punto rappresenta una coppia
di valori $(x,\,y)$. In fisica si usa per visualizzare la dipendenza di una
grandezza dall'altra, e per riconoscere a colpo d'occhio leggi e regolarità.

\begin{procedura}[Costruzione di un grafico]
\begin{enumerate}
  \item Scegli gli assi: variabile \emph{indipendente} (di solito il tempo)
        sull'asse $x$, variabile \emph{dipendente} sull'asse $y$.
  \item Indica nome e unità di misura accanto a ciascun asse.
  \item Scegli scale opportune perché i punti riempiano il piano.
  \item Riporta i punti sperimentali con un marker; uniscili con una linea
        morbida solo se la legge fisica lo giustifica.
  \item Inserisci un titolo o didascalia che spieghi cosa rappresenta il grafico.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\noindent Tre forme di grafico ricorreranno in tutti i capitoli:
\begin{itemize}
  \item \textbf{retta} per $y = m\,x + q$: proporzionalità diretta (se $q=0$)
        o moto uniforme;
  \item \textbf{parabola} per $y = a\,x^{2} + b\,x + c$: caduta libera,
        moto uniformemente accelerato;
  \item \textbf{iperbole} per $y = k/x$: legge di Boyle, leggi di
        proporzionalità inversa.
\end{itemize}

% ============================================================
\section{Uso della calcolatrice scientifica}\label{sec:00-calcolatrice}
% ============================================================

La calcolatrice scientifica è uno strumento di lavoro: dedicarle qualche
minuto per impararla bene ti farà risparmiare ore di errori. Le funzioni
essenziali sono cinque.

\begin{itemize}
  \item \textbf{Notazione scientifica.} Il tasto \texttt{EXP} (o \texttt{EE},
        $\times 10^{x}$) introduce la potenza di $10$: per inserire
        $\num{3.5e8}$ digita \texttt{3.5}, poi \texttt{EXP}, poi \texttt{8}.
        \emph{Non} digitare $3.5 \times 10\,\hat{}\,8$, perché è un'operazione
        diversa e in alcuni modelli dà risultati errati con segni o priorità.
  \item \textbf{Modalità angoli.} Per le funzioni goniometriche, controlla
        sempre se la calcolatrice è in \texttt{DEG} (gradi) o \texttt{RAD}
        (radianti). In fisica si usano i radianti tranne dove esplicitamente
        indicato in gradi.
  \item \textbf{Memorie.} I tasti \texttt{STO}, \texttt{RCL} (oppure
        \texttt{M+}, \texttt{MR}) servono per parcheggiare risultati
        intermedi senza riscriverli e propagare errori di arrotondamento.
  \item \textbf{Parentesi.} Usa le parentesi liberamente, soprattutto nei
        radicali e nei rapporti complessi: la calcolatrice rispetta la
        priorità delle operazioni, ma è facile sbagliare a interpretarla.
  \item \textbf{Cifre significative.} La calcolatrice mostra tutte le
        cifre del risultato; \emph{tu} devi decidere quante riportare,
        in base alla precisione dei dati di partenza (di solito $2$–$3$
        cifre significative bastano).
\end{itemize}

\begin{attenzione}[Ordini di grandezza prima del calcolo]
Prima di premere \texttt{=}, \emph{stima a mente} l'ordine di grandezza del
risultato usando le potenze di $10$. Se la calcolatrice mostra un valore
molto lontano dalla tua stima, c'è quasi certamente un errore di digitazione.
\end{attenzione}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:00-esercizi}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Scrivi in notazione scientifica:
        $\num{0.000045}$, $\num{2340000}$, $\num{0.00000000067}$,
        $\num{8200}$.
  \item Calcola senza calcolatrice:
        $(\num{3.0e4}) \cdot (\num{2.0e-7})$ e
        $(\num{6.0e8}) / (\num{2.0e-3})$.
  \item Converti: $\SI{45}{\kilo\meter\per\hour}$ in $\si{\meter\per\second}$;
        $\SI{2.5}{\hour}$ in $\si{\second}$;
        $\SI{750}{\milli\liter}$ in $\si{\meter\cubed}$.
  \item Una macchina costa $\num{18500}$~€ e viene venduta con uno
        sconto del $12\%$. Quanto si paga?
  \item Sapendo che $V = \pi\,r^{2}\,h$, isola $h$ e poi $r$.
  \item Una molla obbedisce alla legge $F = k\,x$ con $k = \SI{200}{\newton\per\meter}$.
        Disegna il grafico $F$ vs $x$ per $x$ tra $0$ e $\SI{0.1}{\meter}$ e
        riconosci il tipo di proporzionalità.
  \item L'area di un cerchio è $A = \pi\,r^{2}$. Se il raggio triplica, di
        quanto aumenta l'area? Riconosci il tipo di proporzionalità.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item La \textbf{notazione scientifica} $a \cdot 10^{n}$ rende leggibili
        i numeri molto grandi o molto piccoli; le cifre significative sono
        quelle della mantissa.
  \item Le \textbf{potenze di $10$} si moltiplicano sommando gli esponenti
        e si dividono sottraendoli.
  \item Le \textbf{equivalenze} si fanno moltiplicando per fattori di
        conversione costruiti per semplificare le unità.
  \item Le \textbf{proporzioni} ($a:b = c:d \Leftrightarrow a\,d = b\,c$)
        e le \textbf{percentuali} ($p\% = p/100$) sono operativi fondamentali.
  \item Le \textbf{proporzionalità} fondamentali sono diretta ($y \propto x$),
        inversa ($y \propto 1/x$) e quadratica ($y \propto x^{2}$).
  \item L'\textbf{inversione di una formula} consiste nell'applicare la
        stessa operazione a entrambi i membri finché l'incognita resta sola.
  \item Il \textbf{grafico cartesiano} è il modo più rapido per riconoscere
        il tipo di legge tra due grandezze.
  \item La \textbf{calcolatrice scientifica} si usa con attenzione: tasto
        \texttt{EXP}, modalità angoli, parentesi, cifre significative.
\end{itemize}
\end{riepilogo}