% ============================================================
%  capitoli/001-grandezze-fisiche-misure.tex
%  Dispensa 01 — Grandezze fisiche e misure
%  Struttura a 5 paragrafi canonici (001_001..001_005)
% ============================================================
\chapter{Grandezze fisiche e misure}\label{cap:01}
\hubcap{001}

\citazioneinizio{%
  Misurare ciò che è misurabile e rendere misurabile ciò che non lo è ancora.%
}{Galileo Galilei (attr.)}

% ==================================================================
\section*{Introduzione}
% ==================================================================

Immagina di dover comunicare a qualcuno che si trova dall'altra parte del mondo la lunghezza di un oggetto. Potresti dire ``è lungo quanto il mio braccio'', ma il tuo braccio non è uguale al suo. Oppure potresti dire ``è lungo \SI{42}{\centi\meter}'': in questo caso la comunicazione è \emph{inequivocabile}, perché il centimetro ha lo stesso significato in tutto il mondo.

Questo esempio banale racchiude il nucleo della \textbf{fisica come scienza quantitativa}: la descrizione della natura richiede \emph{grandezze} misurabili e \emph{unità} condivise. Senza misura non c'è confronto, senza confronto non c'è legge fisica. In questo capitolo costruiamo gli strumenti concettuali e operativi che renderanno possibile, dal capitolo successivo in poi, parlare di vettori, moto, forze, energia.

\begin{attenzione}[Perché studiare le misure?]
Ogni formula della fisica, da $F = ma$ alla relatività di Einstein, è scritta in termini di grandezze fisiche misurabili. Capire \emph{cosa si misura} e \emph{come si misura} è il primo passo per capire la fisica.
\end{attenzione}

% ==================================================================
\section{Il metodo sperimentale}\label{sec:01-01-metodo-sperimentale}
% ==================================================================

\subsection{Osservazione, modello, esperimento}

Per quasi due millenni, da Aristotele al Rinascimento, lo studio della natura procedeva per \emph{autorità}: si discutevano le opere degli antichi e si argomentava \emph{a priori} sulla base di principi filosofici (i ``luoghi naturali'' dei corpi, l'idea che il moto richieda continuamente una causa). La svolta decisiva si compie tra fine Cinquecento e metà Seicento con Galileo Galilei (1564--1642), che mette al centro della scienza tre azioni operative: \emph{osservare}, \emph{modellare}, \emph{esperimentare}.

\begin{definizione}[Metodo sperimentale]
Il \textbf{metodo sperimentale} (o metodo scientifico) è il procedimento ciclico per cui una conoscenza della natura si costruisce attraverso:
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Osservazione} di un fenomeno e identificazione delle grandezze rilevanti.
  \item Formulazione di una \textbf{ipotesi} o \textbf{modello} matematico che descriva il fenomeno.
  \item \textbf{Predizione} quantitativa di un risultato in condizioni controllate.
  \item \textbf{Esperimento} riproducibile per confrontare predizione e misura.
  \item \textbf{Revisione} del modello in base ai risultati, ricominciando dal punto 1.
\end{enumerate}
\end{definizione}

Tre caratteristiche distinguono questo metodo da quello pre-galileiano:
\begin{itemize}
  \item \emph{Quantitativo}: ogni grandezza è espressa con un numero e un'unità, mai con aggettivi qualitativi (``veloce'', ``pesante'').
  \item \emph{Riproducibile}: l'esperimento deve poter essere ripetuto da altri sperimentatori, in altri laboratori, ottenendo lo stesso risultato entro le incertezze.
  \item \emph{Falsificabile}: il modello deve fare predizioni che possono in linea di principio essere smentite dall'esperimento (criterio di Karl Popper, 1934). Una teoria che si adatta a qualsiasi risultato non è fisica.
\end{itemize}

\begin{nota}[Esempio storico — la caduta dei gravi]
Aristotele sosteneva che corpi più pesanti cadano proporzionalmente più rapidamente. Galileo, nei \emph{Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze} (1638), formula il modello opposto: in assenza di resistenza dell'aria \emph{tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione}. Per verificarlo costruisce piani inclinati con scanalature levigate, fa rotolare sfere e misura tempi con un orologio ad acqua (clessidra). Dalle proporzioni $s \propto t^2$ ricava la legge del moto uniformemente accelerato — un modello quantitativo nato dall'esperimento.
\end{nota}

\subsection{Definizione operativa di grandezza fisica}

\begin{definizione}[Grandezza fisica]
Una \textbf{grandezza fisica} è qualsiasi proprietà di un fenomeno, di un corpo o di una sostanza che può essere \emph{misurata} e \emph{espressa con un numero seguito da un'unità di misura}.
\end{definizione}

Sono grandezze fisiche: lunghezza ($\SI{3.5}{\meter}$), massa ($\SI{75}{\kilo\gram}$), temperatura ($\SI{37}{\celsius}$), velocità ($\SI{130}{\kilo\meter\per\hour}$). \emph{Non} lo sono, in senso stretto: il colore di un oggetto (categoria, non numero), la bellezza, la simpatia (soggettive).

Il fisico statunitense Percy Bridgman, in \emph{The Logic of Modern Physics} (1927), formalizza un concetto centrale: una grandezza fisica è definita \emph{operativamente}, cioè attraverso la procedura concreta con cui la si misura.

\begin{definizione}[Definizione operativa]
La \textbf{definizione operativa} di una grandezza fisica è la descrizione precisa della procedura sperimentale che permette di assegnarle un valore numerico.
\end{definizione}

Esempio: la temperatura di un corpo è ``ciò che si legge su un termometro'' (definizione operativa di base), poi raffinata attraverso la termodinamica (\ref{cap:12}) come grandezza legata all'energia cinetica media molecolare. Senza definizione operativa una grandezza è solo un nome: la definizione fissa l'unità, l'incertezza minima, le condizioni di validità.

\subsection{Dalle misure ai concetti fisici}

Le grandezze misurate sono i mattoni da cui si costruiscono i \emph{concetti fisici}, attraverso due movimenti opposti e complementari:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Induzione}: dai dati alla legge. Si osservano molte cadute di gravi, si misura $s$ e $t$, e si \emph{induce} la legge $s = \tfrac{1}{2} g t^2$.
  \item \textbf{Deduzione}: dalla legge alle predizioni. Conoscendo la legge, si \emph{deduce} che in $\SI{2}{\second}$ un corpo lasciato cadere percorre $\SI{19.6}{\meter}$. Si verifica con l'esperimento.
\end{itemize}

Il fisico Eugene Wigner, in \emph{The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences} (1960), osserva che la matematica si rivela ``irragionevolmente efficace'' nel descrivere la natura: leggi semplici, scoperte in un contesto, predicono fenomeni in contesti del tutto diversi. Newton scopre la gravitazione dalle orbite planetarie e la stessa legge spiega la caduta di una mela; Maxwell formula le equazioni dell'elettromagnetismo e ne deriva la velocità della luce. La fisica è il linguaggio in cui questa efficacia diventa esplicita.

% ==================================================================
\section{Il Sistema Internazionale di unità}\label{sec:01-02-sistema-internazionale}
% ==================================================================

\subsection{Grandezze fondamentali e grandezze derivate}

Il \textbf{Sistema Internazionale di unità} (SI), adottato nel 1960 dalla Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure (CGPM) e periodicamente aggiornato (ultima revisione: 2019), definisce sette grandezze fondamentali e le rispettive unità. Tutte le altre grandezze fisiche sono \emph{derivate}: ottenute moltiplicando e dividendo le fondamentali.

\begin{definizione}[Grandezze fondamentali e derivate]
Le \textbf{grandezze fondamentali} sono le grandezze \emph{primitive}, scelte per convenzione internazionale, dalle quali si derivano tutte le altre. Le \textbf{grandezze derivate} si ottengono combinando algebricamente le fondamentali. Esempio: $\text{velocità} = \text{lunghezza}/\text{tempo}$.
\end{definizione}

\begin{table}[H]
  \centering
  \caption{Le sette grandezze fondamentali del Sistema Internazionale.}
  \label{tab:si-fondamentali}
  \begin{tabular}{llll}
    \toprule
    \textbf{Grandezza}        & \textbf{Simbolo} & \textbf{Unità SI}  & \textbf{Simb.} \\
    \midrule
    Lunghezza                 & $\ell$           & metro              & \si{\meter}    \\
    Massa                     & $m$              & chilogrammo        & \si{\kilo\gram}\\
    Tempo                     & $t$              & secondo            & \si{\second}   \\
    Corrente elettrica        & $I$              & ampere             & \si{\ampere}   \\
    Temperatura termodinamica & $T$              & kelvin             & \si{\kelvin}   \\
    Quantità di sostanza      & $n$              & mole               & \si{\mol}      \\
    Intensità luminosa        & $I_v$            & candela            & \si{\candela}  \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

Dalla revisione 2019, le sette unità non sono più definite tramite campioni materiali (come il vecchio prototipo del chilogrammo conservato a Sèvres) ma fissando i valori di sette costanti fondamentali della natura: la velocità della luce $c$, la costante di Planck $h$, la carica elementare $e$, la costante di Boltzmann $k_B$, il numero di Avogadro $N_A$, la frequenza di transizione del cesio $\Delta\nu_\text{Cs}$, l'efficacia luminosa $K_\text{cd}$.

\subsection{Multipli, sottomultipli e prefissi}

Per maneggiare valori molto grandi o molto piccoli senza scrivere lunghe sequenze di zeri si usano i \emph{prefissi SI}, ciascuno equivalente a una potenza di $10$.

\begin{figure}[H]
\centering
% ---------------------------------------------------------------
% FIGURA: Scala logaritmica dei prefissi SI
% Ogni nodo rappresenta un prefisso; la posizione è ordinale,
% non lineare nell'esponente.
% ---------------------------------------------------------------
\begin{tikzpicture}[
  tick/.style   = {line width=1pt, color=BLU},
  plabel/.style = {font=\small\bfseries, color=BLU, above=4pt},
  elabel/.style = {font=\footnotesize, color=gray!70!black, below=4pt}
]
  \draw[-{Stealth[scale=1.2]}, line width=1.5pt, color=BLU]
    (-0.5, 0) -- (11.5, 0)
    node[right, font=\small\bfseries, color=BLU] {ordine di grandezza};

  \foreach \xpos/\nome/\simb/\esp in {
    0/pico/p/{-12},
    1/nano/n/{-9},
    2/micro/$\mu$/{-6},
    3/milli/m/{-3},
    5/base/--/{0},
    7/kilo/k/{+3},
    8/mega/M/{+6},
    9/giga/G/{+9}
  }{
    \draw[tick] (\xpos, -0.25) -- (\xpos, 0.25);
    \node[plabel] at (\xpos, 0.25) {\nome\ (\simb)};
    \node[elabel] at (\xpos, -0.25) {$10^{\esp}$};
  }

  \node[font=\scriptsize, color=VERDE, above=22pt] at (9,0)
    {$\longrightarrow$ più grande};
  \node[font=\scriptsize, color=ROSSO, above=22pt] at (0,0)
    {più piccolo $\longleftarrow$};
\end{tikzpicture}
\caption{Scala dei prefissi SI principali (passo $\times 10^3$, non in scala lineare).}
\label{fig:01-prefissi}
\end{figure}

\begin{nota}[Regola pratica per i prefissi]
Per convertire da un'unità con prefisso all'unità base, \emph{moltiplica} per il fattore corrispondente:
\[
  \SI{3.5}{\kilo\meter} = 3.5 \times 10^{3}\,\si{\meter} = \SI{3500}{\meter}.
\]
Per la tabella completa (yotta, zetta, exa, peta, tera, $\ldots$, atto, zepto, yocto) vedi l'appendice~\ref{app:simboli}.
\end{nota}

\subsection{Conversioni tra unità di misura}

Quando un valore è espresso in un'unità non-SI (ad esempio $\si{\kilo\meter\per\hour}$, $\si{\litre}$, $\si{\degree}$ angolari) conviene convertirlo nell'unità SI prima di sostituirlo nelle formule. La tecnica più sicura è quella delle \emph{frazioni unitarie}: si moltiplica per frazioni equivalenti a $1$, costruite in modo da cancellare le unità indesiderate.

\begin{procedura}[Conversione con frazioni unitarie]
\begin{enumerate}
  \item Scrivi il valore da convertire con la sua unità.
  \item Moltiplica per frazioni equivalenti a $1$ (es.\ $\tfrac{\SI{1000}{\meter}}{\SI{1}{\kilo\meter}}$).
  \item Disponi numeratori e denominatori in modo che le unità indesiderate si cancellino.
  \item Esegui i conti numerici, lasciando le unità SI nel risultato.
\end{enumerate}
\end{procedura}

Esempio: $\SI{72}{\kilo\meter\per\hour}$ in $\si{\meter\per\second}$:
\[
  72\,\frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{h}}}
  \cdot \frac{1000\,\text{m}}{1\,\cancel{\text{km}}}
  \cdot \frac{1\,\cancel{\text{h}}}{3600\,\text{s}}
  = \frac{72\,000}{3600}\,\si{\meter\per\second}
  = \SI{20}{\meter\per\second}.
\]
Da ricordare: $\SI{3.6}{\kilo\meter\per\hour} = \SI{1}{\meter\per\second}$ esatti.

\subsection{Analisi dimensionale come strumento di controllo}

L'\textbf{analisi dimensionale} consiste nel verificare che, in una formula fisica, i due membri abbiano le stesse \emph{dimensioni} (cioè la stessa combinazione di lunghezze, masse, tempi, ecc.). Se le dimensioni non tornano, la formula è certamente sbagliata; se tornano, la formula può essere giusta (ma serve verifica numerica).

\begin{formulabox}
\[
  [F] = \si{\kilo\gram\meter\per\second\squared} = \si{\newton}
  \qquad
  [E] = \si{\kilo\gram\meter\squared\per\second\squared} = \si{\joule}
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Forza del metodo]
L'analisi dimensionale è il primo controllo da fare su qualunque formula scritta a memoria o ricavata in fretta. Se a destra c'è $\si{\meter\per\second}$ e a sinistra $\si{\meter\squared\per\second\squared}$, c'è un errore — non importa quanto sia ``elegante'' il calcolo che l'ha prodotto.
\end{nota}

% ==================================================================
\section{Notazione scientifica e ordini di grandezza}\label{sec:01-03-notazione-scientifica}
% ==================================================================

\subsection{Dalla notazione decimale alla notazione scientifica}

In fisica si incontrano routinariamente numeri come la massa del Sole ($\num{1.989e30}$ kg) o la massa dell'elettrone ($\num{9.109e-31}$ kg). Scriverli in notazione decimale completa, con tutti gli zeri, è impraticabile e fonte di errori. La \emph{notazione scientifica} risolve il problema esprimendo ogni numero come prodotto di una mantissa $a$ e di una potenza di $10$.

\begin{definizione}[Notazione scientifica]
Un numero $x$ è scritto in \textbf{notazione scientifica} se ha la forma
\[
  x = a \times 10^{n}, \qquad 1 \le |a| < 10, \quad n \in \mathbb{Z}.
\]
La mantissa $a$ ha una sola cifra non nulla prima del punto decimale; l'esponente $n$ può essere positivo (numeri grandi), negativo (numeri piccoli) o nullo.
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\[
  \num{6.022e23} \;\;\text{(numero di Avogadro)}
  \qquad
  \num{1.602e-19} \;\;\text{(carica elementare, C)}
\]
\end{formulabox}

\subsection{Operazioni in notazione scientifica}

Le regole sono quelle delle potenze: si separa mantissa ed esponente, e si trattano in modo indipendente.

\begin{procedura}[Operazioni con potenze di 10]
\begin{itemize}
  \item \emph{Moltiplicazione}: $(a \times 10^{n})(b \times 10^{m}) = (ab) \times 10^{n+m}$.
  \item \emph{Divisione}: $(a \times 10^{n})/(b \times 10^{m}) = (a/b) \times 10^{n-m}$.
  \item \emph{Addizione/sottrazione}: serve \textbf{lo stesso esponente}. Si riduce uno degli addendi allo stesso esponente dell'altro, poi si sommano le mantisse.
  \item \emph{Potenza/radice}: $(a \times 10^{n})^k = a^k \times 10^{nk}$ (vale anche per $k$ frazionario, attenzione al segno di $a$).
\end{itemize}
Al termine si riporta sempre il risultato in forma canonica $a \times 10^n$ con $1 \le |a| < 10$.
\end{procedura}

\textit{Esempio:} $(\num{3.0e8}) \cdot (\num{2.0e-6}) = \num{6.0e2}$; \ $(\num{4.5e7}) + (\num{2.0e6}) = \num{4.5e7} + \num{0.20e7} = \num{4.70e7}$.

\subsection{Cifre significative e arrotondamenti}

Una misura di lunghezza $\SI{1.20}{\meter}$ non è equivalente a $\SI{1.2}{\meter}$ né a $\SI{1.200}{\meter}$: il numero di cifre scritte comunica la \emph{precisione} con cui la misura è stata effettuata.

\begin{definizione}[Cifre significative]
Le \textbf{cifre significative} di un numero sono le cifre che portano informazione reale sulla misura, a partire dalla prima cifra non nulla.
\end{definizione}

\begin{procedura}[Regole di conteggio]
\begin{enumerate}
  \item Le cifre non nulle sono sempre significative ($3456 \to 4$ c.s.).
  \item Gli zeri \emph{tra} cifre non nulle sono significativi ($1007 \to 4$ c.s.).
  \item Gli zeri a \emph{sinistra} della prima cifra non nulla non sono significativi ($\num{0.0045} \to 2$ c.s.).
  \item Gli zeri a \emph{destra} del punto decimale sono significativi ($3.40 \to 3$ c.s.).
  \item Per numeri interi tipo $3700$ il conteggio è ambiguo: meglio scrivere $\num{3.7e3}$ ($2$ c.s.) o $\num{3.700e3}$ ($4$ c.s.) con la notazione scientifica.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{procedura}[Operazioni con cifre significative]
\begin{itemize}
  \item \emph{Moltiplicazione e divisione}: il risultato ha tante c.s.\ quante ne ha il fattore con \emph{meno} cifre significative.
  \item \emph{Addizione e sottrazione}: il risultato si arrotonda alla posizione decimale \emph{meno precisa} tra i termini.
  \item \emph{Arrotondamento}: se la cifra immediatamente dopo l'ultima da tenere è $0$--$4$ si arrotonda per difetto; $5$--$9$ per eccesso. (Per dataset estesi si usa la regola dell'arrotondamento al pari per minimizzare il bias.)
\end{itemize}
\end{procedura}

\subsection{Stima degli ordini di grandezza}

Spesso, prima di eseguire un calcolo preciso, conviene stimare \emph{quanto grande} sarà il risultato a meno di un fattore $10$. Questa è la \emph{stima dell'ordine di grandezza}, una pratica che Enrico Fermi (1901--1954) trasformò in arte (le ``domande di Fermi''). Le stime di Fermi servono per: validare grossolanamente un calcolo, decidere se un esperimento è fattibile, sviluppare l'intuito fisico.

\begin{procedura}[Stima alla Fermi]
\begin{enumerate}
  \item Decompose il problema in stime indipendenti più semplici.
  \item Per ciascun fattore, stima a meno di un ordine di grandezza ($10^n$).
  \item Moltiplica gli ordini di grandezza (somma gli esponenti).
  \item Confronta con valori di riferimento per giudicare la plausibilità.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{nota}[L'esempio classico — accordatori di piano a Chicago]
Fermi chiedeva ai suoi studenti: ``quanti accordatori di pianoforte ci sono a Chicago?''. Stima: popolazione $\sim 10^6$, famiglie $\sim 10^6/3 \approx \num{3e5}$, frazione con piano $\sim 10\% \to \num{3e4}$ piani. Ciascun piano viene accordato $\sim$ una volta all'anno. Un accordatore lavora $\sim 200$ giorni/anno $\times$ $4$ piani/giorno $\sim 800$ accordature/anno. Risultato: $\num{3e4}/800 \approx 40$ accordatori. Stima reale dell'epoca: $\sim 50$. Più che sufficiente per l'ordine di grandezza.
\end{nota}

% ==================================================================
\section{Misura e incertezza}\label{sec:01-04-misura-incertezza}
% ==================================================================

\subsection{Strumenti di misura: portata, sensibilità, precisione}

Ogni strumento di misura è caratterizzato da tre parametri che ne definiscono la zona di lavoro.

\begin{definizione}[Caratteristiche di uno strumento]
\begin{itemize}
  \item \textbf{Portata} (o fondo scala): il massimo valore che lo strumento può misurare. Oltre la portata lo strumento si danneggia o satura.
  \item \textbf{Sensibilità} (o risoluzione): la più piccola variazione della grandezza che lo strumento riesce a distinguere; coincide con il valore di una tacca (per strumenti analogici) o con la cifra meno significativa visualizzata (per strumenti digitali).
  \item \textbf{Precisione}: l'attitudine dello strumento a fornire valori vicini tra loro in misure ripetute della stessa grandezza, anche se non necessariamente vicini al valore vero.
\end{itemize}
\end{definizione}

Esempio: un righello da $\SI{30}{\centi\meter}$ con tacche al millimetro ha portata $\SI{30}{\centi\meter}$ e sensibilità $\SI{1}{\milli\meter}$. Un calibro a corsoio ventesimale ha sensibilità $\SI{0.05}{\milli\meter}$, un micrometro centesimale $\SI{0.01}{\milli\meter}$.

\textbf{Misura diretta e indiretta}. Una misura è \emph{diretta} se confronta direttamente la grandezza incognita con lo strumento di misura (es.\ lunghezza di un tavolo con un metro a nastro). È \emph{indiretta} se la grandezza si ricava dalla misura di altre grandezze tramite una formula (es.\ velocità media $\vmedia = \Delta s / \Delta t$ misurando separatamente $\Delta s$ e $\Delta t$).

\subsection{Errori sistematici ed errori casuali}

Nessuna misura è perfetta. Le cause di errore si dividono in due famiglie con effetti opposti sul comportamento delle misure ripetute.

\begin{definizione}[Errori sistematici e casuali]
\begin{itemize}
  \item Un \textbf{errore sistematico} sposta tutte le misure nella stessa direzione (per eccesso o per difetto). Cause tipiche: strumento scalibrato, metodo di lettura sbagliato, formula incompleta. \emph{Non si riduce} ripetendo la misura.
  \item Un \textbf{errore casuale} causa fluttuazioni in entrambi i versi attorno al valore vero. Cause tipiche: piccole vibrazioni, tempo di reazione dell'operatore, condizioni ambientali. \emph{Si riduce} eseguendo molte misure e calcolando la media.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{figure}[H]
\centering
% ---------------------------------------------------------------
% FIGURA: Quattro bersagli — combinazioni di accuratezza
% (vicinanza al centro/valore vero) e precisione (dispersione).
% ---------------------------------------------------------------
\newcommand{\bersaglioC}[3]{%
  \foreach \r in {1.8, 1.2, 0.6}{
    \draw[gray!50, line width=0.7pt] (#1,#2) circle (\r);
  }
  \fill[black] (#1,#2) circle (3pt);
  \node[above=1.9cm, font=\small\bfseries, align=center] at (#1,#2) {#3};
}
\begin{tikzpicture}
  \bersaglioC{0}{0}{Accurato\\e preciso}
  \foreach \px/\py in {0.15/0.1, -0.1/0.2, 0.05/-0.15, -0.05/0.05, 0.1/-0.05}{
    \fill[VERDE] (\px,\py) circle (3.5pt);
  }
  \bersaglioC{5}{0}{Preciso ma\\non accurato}
  \foreach \px/\py in {5.9/0.7, 5.75/0.85, 5.95/0.6, 5.8/0.75, 5.85/0.65}{
    \fill[ROSSO] (\px,\py) circle (3.5pt);
  }
  \bersaglioC{10}{0}{Accurato ma\\non preciso}
  \foreach \px/\py in {10.8/0.5, 9.4/-0.7, 10.2/1.1, 9.8/-0.4, 10.5/0.2}{
    \fill[ARANCIO] (\px,\py) circle (3.5pt);
  }
  \bersaglioC{15}{0}{Né accurato\\né preciso}
  \foreach \px/\py in {16.2/0.8, 14.3/-0.9, 15.8/1.3, 14.7/-0.3, 15.4/1.0}{
    \fill[gray] (\px,\py) circle (3.5pt);
  }
  \fill[black] (6,-2.8) circle (3pt);
  \node[right, font=\small] at (6.2,-2.8) {valore vero};
  \node[right, font=\small] at (6.2,-3.3) {(colpi = singole misure)};
\end{tikzpicture}
\caption{Accuratezza (vicinanza al valore vero, lotta agli errori sistematici) vs precisione (raggruppamento delle misure, lotta agli errori casuali).}
\label{fig:01-bersagli}
\end{figure}

\begin{definizione}[Accuratezza e precisione]
\begin{itemize}
  \item \textbf{Accuratezza}: vicinanza tra valore misurato e valore vero. È legata agli errori sistematici.
  \item \textbf{Precisione}: vicinanza tra misure ripetute della stessa grandezza. È legata agli errori casuali.
\end{itemize}
Una misura buona è insieme accurata \emph{e} precisa.
\end{definizione}

\subsection{Incertezza assoluta e incertezza relativa}

Il risultato di una misura non è mai un singolo numero, ma sempre un \emph{intervallo}: $x = x_0 \pm \Delta x$, dove $x_0$ è il valore migliore (es.\ media di più misure) e $\Delta x$ è l'\emph{incertezza assoluta}, che ha le stesse unità di $x$.

\begin{formulabox}
\[ x = \incert{x_0}{\Delta x}{[\text{unità}]} \]
\end{formulabox}

Per valori migliori e incertezze ottenuti da $N$ misure ripetute $x_1, \ldots, x_N$:
\[
  x_0 = \bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i,
  \qquad
  \Delta x = \frac{x_\text{max} - x_\text{min}}{2}
  \;\text{(semidispersione massima)}.
\]
Per analisi statistiche più raffinate si usa la deviazione standard, ma la semidispersione è già adeguata in laboratorio liceale.

\begin{definizione}[Incertezza relativa]
L'\textbf{incertezza relativa} è il rapporto adimensionale
\[
  \varepsilon_r = \frac{\Delta x}{|x_0|},
\]
spesso espresso in percentuale $(\varepsilon_r \times 100\%)$.
\end{definizione}

L'incertezza relativa permette di confrontare la qualità di misure di grandezze diverse: misurare una lunghezza di $\SI{1}{\meter}$ con $\Delta x = \SI{1}{\milli\meter}$ ($\varepsilon_r = \num{e-3}$) è più ``buono'' che misurare $\SI{1}{\centi\meter}$ con la stessa $\Delta x$ ($\varepsilon_r = \num{e-1}$).

\subsection{Propagazione dell'incertezza nelle operazioni}

Quando una grandezza si calcola a partire da altre grandezze misurate, l'incertezza si \emph{propaga} dalla formula al risultato. Le regole semplificate adottate in laboratorio liceale sono le seguenti.

\begin{formulabox}
\noindent
\textbf{Somma e differenza:} si sommano le incertezze \emph{assolute}.
\[
  z = x \pm y \implies \Delta z = \Delta x + \Delta y.
\]
\textbf{Prodotto e quoziente:} si sommano le incertezze \emph{relative}.
\[
  z = x \cdot y \;\text{oppure}\; z = x/y \implies \frac{\Delta z}{|z|} = \frac{\Delta x}{|x|} + \frac{\Delta y}{|y|}.
\]
\textbf{Potenza:} l'incertezza relativa si moltiplica per l'esponente.
\[
  z = x^n \implies \frac{\Delta z}{|z|} = |n|\,\frac{\Delta x}{|x|}.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Origine delle regole]
Le formule sopra sono \emph{stime per eccesso} basate sul caso peggiore: assumono che gli errori si sommino tutti nella stessa direzione. Una trattazione statistica più accurata (somma in quadratura) attende l'analisi delle variabili aleatorie: $\Delta z = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ per somme di errori indipendenti.
\end{nota}

% ==================================================================
\section{Grafici e rappresentazione dei dati}\label{sec:01-05-grafici-dati}
% ==================================================================

\subsection{Costruzione e interpretazione dei grafici}

Un grafico cartesiano è il modo più sintetico per visualizzare la dipendenza tra due grandezze fisiche. Convenzioni di base:
\begin{itemize}
  \item \emph{Asse orizzontale} (ascisse): variabile \textbf{indipendente}, quella controllata dallo sperimentatore (es.\ il tempo $t$).
  \item \emph{Asse verticale} (ordinate): variabile \textbf{dipendente}, quella misurata (es.\ la posizione $s$).
  \item Le unità di misura vanno sempre indicate sugli assi, vicino al simbolo della grandezza.
  \item La scala deve essere scelta in modo che i dati riempiano almeno $2/3$ del grafico.
  \item Ogni punto sperimentale va accompagnato da \emph{barre di errore} (verticali per $\Delta y$, orizzontali per $\Delta x$).
  \item La curva tracciata deve essere ``il miglior compromesso'' che attraversa la maggior parte delle barre di errore, senza per forza passare per tutti i punti.
\end{itemize}

\subsection{Proporzionalità diretta, inversa, quadratica}

Tre tipi di dipendenza compaiono ovunque nella fisica liceale; riconoscerli a occhio dal grafico è un'abilità fondamentale.

\begin{formulabox}
\[
  y = k x \;\;(\text{diretta}),
  \qquad
  y = \frac{k}{x} \;\;(\text{inversa}),
  \qquad
  y = k x^2 \;\;(\text{quadratica}).
\]
\end{formulabox}

\begin{figure}[H]
\centering
% ---------------------------------------------------------------
% FIGURA: confronto fra retta (k=1), iperbole (k=2) e parabola
% (k=0.5) nel primo quadrante, x in [0.3, 4].
% ---------------------------------------------------------------
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
  \draw[->, line width=1pt] (-0.3, 0) -- (5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, line width=1pt] (0, -0.3) -- (0, 5) node[above] {$y$};
  \foreach \x in {1,2,3,4} \draw (\x, -0.1) -- (\x, 0.1) node[below=8pt, font=\scriptsize] {\x};
  \foreach \y in {1,2,3,4} \draw (-0.1, \y) -- (0.1, \y) node[left=8pt, font=\scriptsize] {\y};
  % Retta y = x
  \draw[VERDE, line width=1.2pt, domain=0:4.5, samples=2] plot (\x, {\x}) node[right, font=\small] {$y=x$};
  % Iperbole y = 2/x
  \draw[ROSSO, line width=1.2pt, domain=0.45:4.5, samples=80] plot (\x, {2/\x}) node[right, font=\small] {$y=2/x$};
  % Parabola y = x^2 / 2
  \draw[BLU, line width=1.2pt, domain=0:3, samples=60] plot (\x, {(\x)*(\x)/2}) node[above right, font=\small] {$y=x^2/2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Proporzionalità diretta (verde), inversa (rosso), quadratica (blu) nel primo quadrante.}
\label{fig:01-proporzionalita}
\end{figure}

Indicatori grafici qualitativi:
\begin{itemize}
  \item Diretta: retta passante per l'origine; raddoppiando $x$ raddoppia $y$.
  \item Inversa: iperbole equilatera; il prodotto $xy = k$ è costante.
  \item Quadratica: parabola passante per l'origine; raddoppiando $x$, $y$ quadruplica.
\end{itemize}

\subsection{Linearizzazione di leggi non lineari}

L'occhio umano riconosce con grande precisione le \emph{rette}, molto meno le curve. Per questa ragione, davanti a una legge non lineare conviene riscriverla come retta tramite un opportuno cambio di variabili: questa operazione si chiama \emph{linearizzazione}.

\begin{procedura}[Linearizzare per riconoscere la legge]
\begin{enumerate}
  \item Se sospetti $y = k x^n$ con $n$ noto, riporta $y$ in funzione di $x^n$: ottieni una retta di pendenza $k$.
  \item Se sospetti $y = k x^n$ con $n$ \emph{ignoto}, riporta $\log y$ in funzione di $\log x$: ottieni una retta di pendenza $n$ e intercetta $\log k$.
  \item Se sospetti una legge esponenziale $y = k\,a^x$, riporta $\log y$ in funzione di $x$: ottieni una retta di pendenza $\log a$ e intercetta $\log k$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\textit{Esempio.} Il periodo $T$ di un pendolo dipende dalla lunghezza $L$ secondo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Tracciare $T$ in funzione di $L$ dà una curva ramo di parabola. Tracciare invece $T^2$ in funzione di $L$ dà una retta di pendenza $4\pi^2/g$: misurando la pendenza si ricava $g$ direttamente.

% ==================================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:01-06-esempi-svolti}
% ==================================================================

\begin{esempio}[Conversione di unità di misura]
Converti $\SI{72}{\kilo\meter\per\hour}$ in $\si{\meter\per\second}$.

\begin{soluzione}
\[
  72\,\frac{\cancel{\text{km}}}{\cancel{\text{h}}}
  \cdot \frac{1000\,\text{m}}{1\,\cancel{\text{km}}}
  \cdot \frac{1\,\cancel{\text{h}}}{3600\,\text{s}}
  = \frac{72\,000}{3600}\,\si{\meter\per\second}
  = \SI{20}{\meter\per\second}.
\]
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Analisi dimensionale — pressione]
Verifica che l'unità della pressione $p = F/A$ sia il pascal (\si{\pascal}).

\begin{soluzione}
\[
  [F] = \si{\kilo\gram\meter\per\second\squared} = \si{\newton},
  \qquad
  [A] = \si{\meter\squared}.
\]
\[
  [p] = \frac{[F]}{[A]} = \frac{\si{\newton}}{\si{\meter\squared}} = \si{\pascal}.
\]
La formula è dimensionalmente coerente.
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Notazione scientifica e operazioni]
Calcola $\dfrac{(\num{6.0e8})(\num{4.0e-3})}{\num{2.0e2}}$ in notazione scientifica, con le c.s.\ corrette.

\begin{soluzione}
Mantisse: $6.0 \cdot 4.0 / 2.0 = 12$. Esponenti: $8 + (-3) - 2 = 3$. Risultato grezzo: $12 \times 10^3 = \num{1.2e4}$. Le c.s.\ sono $2$ (vincolo del fattore con minor numero di c.s., qui tutti a $2$):
\[
  \boxed{\num{1.2e4}}.
\]
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Cifre significative nella moltiplicazione]
Esegui $3.24\,\si{\meter} \times 1.8\,\si{\meter}$ con il corretto numero di c.s.

\begin{soluzione}
$3.24\,\si{\meter}$ ha $3$ c.s., $1.8\,\si{\meter}$ ha $2$ c.s. Nella moltiplicazione si prende il minimo, dunque $2$ c.s.
\[
  3.24 \times 1.8 = 5.832\,\si{\meter\squared}
  \;\xrightarrow{\text{2 c.s.}}\;
  \boxed{\SI{5.8}{\meter\squared}}.
\]
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Stima alla Fermi — capelli sulla testa]
Quanti capelli ha in media una persona?

\begin{soluzione}
Superficie del cuoio capelluto $\sim \pi r^2$ con $r \sim \SI{10}{\centi\meter}$, dunque $A \sim \SI{300}{\centi\meter\squared}$. Densità di capelli $\sim 300$ capelli/$\si{\centi\meter\squared}$ (stima qualitativa). Numero totale $\sim 300 \times 300 = \num{9e4}$, dunque ordine di grandezza $\sim 10^5$. Il valore tipico in letteratura è $\sim \num{1e5}$: la stima è corretta a meno di un fattore $10$.
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Misura ripetuta con incertezza]
Cinque misure della lunghezza di una sbarra danno (in cm): $25.3 - 25.5 - 25.2 - 25.4 - 25.3$. Calcola valore medio e incertezza.

\begin{soluzione}
Valore medio:
\[
  \bar L = \frac{25.3+25.5+25.2+25.4+25.3}{5}
         = \frac{126.7}{5} = \SI{25.34}{\centi\meter}.
\]
Semidispersione massima:
\[
  \Delta L = \frac{L_\text{max} - L_\text{min}}{2}
           = \frac{25.5 - 25.2}{2}
           = \SI{0.15}{\centi\meter} \approx \SI{0.2}{\centi\meter}.
\]
Risultato:
\[
  \boxed{\incert{25.3}{0.2}{\centi\meter}}.
\]
(L'incertezza si arrotonda a una cifra; il valore medio si allinea alla stessa posizione decimale.)
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Propagazione: area di un rettangolo]
Si misurano i lati di un rettangolo: $a = \incert{12.0}{0.1}{\centi\meter}$, $b = \incert{8.0}{0.1}{\centi\meter}$. Calcola l'area con la sua incertezza.

\begin{soluzione}
Area: $A = a b = 12.0 \cdot 8.0 = \SI{96.0}{\centi\meter\squared}$. Per il prodotto si sommano le incertezze relative:
\[
  \frac{\Delta a}{a} = \frac{0.1}{12.0} \approx \num{8.3e-3},
  \qquad
  \frac{\Delta b}{b} = \frac{0.1}{8.0} = \num{1.25e-2}.
\]
\[
  \frac{\Delta A}{A} = \num{8.3e-3} + \num{1.25e-2} \approx \num{2.1e-2}.
\]
$\Delta A = 0.021 \cdot 96.0 \approx \SI{2}{\centi\meter\squared}$, quindi $A = \incert{96}{2}{\centi\meter\squared}$.
\end{soluzione}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Linearizzazione del pendolo]
In laboratorio si misura il periodo $T$ di un pendolo per cinque lunghezze $L$:
\[
  (L, T): \;(0.25, 1.00),\;(0.50, 1.42),\;(0.75, 1.74),\;(1.00, 2.01),\;(1.25, 2.24)\;\;[\si{\meter}, \si{\second}].
\]
Ricava una stima di $g$.

\begin{soluzione}
La legge è $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, dunque $T^2 = (4\pi^2/g)\,L$: tracciando $T^2$ in funzione di $L$ si ottiene una retta di pendenza $m = 4\pi^2/g$. Calcoliamo $T^2$:
\[
  (L, T^2): \;(0.25, 1.00),\;(0.50, 2.02),\;(0.75, 3.03),\;(1.00, 4.04),\;(1.25, 5.02)\;\;[\si{\meter}, \si{\second\squared}].
\]
La pendenza si stima dai due punti estremi: $m \approx (5.02 - 1.00)/(1.25 - 0.25) = \SI{4.02}{\second\squared\per\meter}$. Da $m = 4\pi^2/g$ segue $g = 4\pi^2/m \approx 39.48/4.02 \approx \SI{9.82}{\meter\per\second\squared}$, in ottimo accordo col valore vero $\SI{9.81}{\meter\per\second\squared}$.
\end{soluzione}
\end{esempio}

% ==================================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:01-07-esercizi-proposti}
% ==================================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item \emph{Conversioni di lunghezza.} Converti: (a) $\SI{3.5}{\kilo\meter}$ in \si{\meter}; (b) $\SI{250}{\milli\meter}$ in \si{\centi\meter}; (c) $\SI{0.045}{\meter}$ in \si{\milli\meter}; (d) $\SI{8.2}{\micro\meter}$ in \si{\nano\meter}.
  \item \emph{Conversioni di velocità.} (a) $\SI{90}{\kilo\meter\per\hour}$ in \si{\meter\per\second}; (b) $\SI{15}{\meter\per\second}$ in \si{\kilo\meter\per\hour}; (c) $\SI{1080}{\kilo\meter\per\hour}$ in \si{\meter\per\second}.
  \item \emph{Notazione scientifica.} Riscrivi in notazione scientifica con $2$ c.s.: $0.000\,047$; $\,3\,800\,000$; $0.020$; $\,672$.
  \item \emph{Operazioni esponenziali.} Calcola $(\num{2.5e6})(\num{4.0e-2})/(\num{5.0e3})$ con le c.s.\ corrette.
  \item \emph{Cifre significative.} Quante c.s.\ hanno: $3700$, $\num{0.0082}$, $5.060$, $\num{1.00e5}$?
  \item \emph{Stima di Fermi.} Quanti battiti di cuore esegue un essere umano in tutta la sua vita?
  \item \emph{Stima di Fermi.} Quanto pesa l'aria nella tua aula scolastica? (Considera $\rho_\text{aria} \approx \SI{1.2}{\kilo\gram\per\meter\cubed}$.)
  \item \emph{Misura e incertezza.} Un cronometro ha sensibilità $\SI{0.01}{\second}$. Un atleta percorre $\SI{100}{\meter}$ in $t = \SI{10.52}{\second}$. Calcola la velocità media e indica quante c.s.\ ha il risultato.
  \item \emph{Sensibilità di strumenti.} Confronta sensibilità e portata di: righello da $\SI{30}{\centi\meter}$, calibro ventesimale ($\SI{0.05}{\milli\meter}$, portata $\SI{15}{\centi\meter}$), micrometro centesimale ($\SI{0.01}{\milli\meter}$, portata $\SI{25}{\milli\meter}$). Quale useresti per misurare lo spessore di un foglio di carta?
  \item \emph{Errore sistematico vs casuale.} Classifica come sistematico o casuale: (a) un termometro letto sempre a $\SI{2}{\celsius}$ in più del vero; (b) un cronometro azionato a mano con tempi di reazione variabili; (c) una bilancia non azzerata; (d) misure di velocità del vento al variare del vento.
  \item \emph{Incertezza relativa.} Si misura il diametro di un capello, $d = \incert{50}{2}{\micro\meter}$, e l'altezza di una persona, $h = \incert{1.75}{0.01}{\meter}$. Quale misura è di qualità migliore?
  \item \emph{Propagazione, somma.} Si misurano due tempi $t_1 = \incert{12.3}{0.1}{\second}$ e $t_2 = \incert{8.7}{0.2}{\second}$. Calcola $t_1 + t_2$ con l'incertezza.
  \item \emph{Propagazione, prodotto.} Misuri $r = \incert{5.0}{0.1}{\centi\meter}$ il raggio di un cerchio. Calcola area e circonferenza con le rispettive incertezze.
  \item \emph{Analisi dimensionale.} Verifica che $v^2 = v_0^2 + 2 a s$ sia dimensionalmente corretta.
  \item \emph{Linearizzazione.} Per una sostanza in caduta libera, le misure danno: $(t, s)$ in $(\si{\second}, \si{\meter})$: $(0.5, 1.2)$, $(1.0, 4.9)$, $(1.5, 11.0)$, $(2.0, 19.5)$, $(2.5, 30.6)$. Traccia $s$ in funzione di $t^2$ e ricava $g/2$ dalla pendenza.
  \item \emph{Sfida (stima di Fermi).} Quanti granelli di sabbia ci stanno in una spiaggia di $\SI{1}{\kilo\meter}$ di lunghezza, $\SI{30}{\meter}$ di larghezza, $\SI{2}{\meter}$ di profondità? Confronta con la stima storica di Archimede nell'\emph{Arenario}.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ==================================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:01-08-riepilogo-del-capitolo}
% ==================================================================

\begin{riepilogo}[Cap.~\ref{cap:01} — Grandezze fisiche e misure]
\begin{enumerate}
  \item Il \textbf{metodo sperimentale} (Galileo) procede per cicli osservazione $\to$ modello $\to$ predizione $\to$ esperimento $\to$ revisione. Le grandezze fisiche hanno sempre una \emph{definizione operativa}.
  \item Il \textbf{Sistema Internazionale} adotta sette grandezze fondamentali (metro, chilogrammo, secondo, ampere, kelvin, mole, candela). I prefissi (kilo, milli, mega, $\ldots$) sono potenze di $10$ che evitano lunghe sequenze di zeri.
  \item L'\textbf{analisi dimensionale} verifica la coerenza delle formule: se le dimensioni non tornano, la formula è certamente sbagliata.
  \item La \textbf{notazione scientifica} $a \times 10^n$ con $1 \le |a| < 10$ rende leggibili e operativi i numeri molto grandi o molto piccoli. Le \emph{cifre significative} comunicano la precisione; nelle operazioni si segue il termine con meno c.s.
  \item Le \textbf{stime alla Fermi} forniscono ordini di grandezza con minimo sforzo; sono uno strumento essenziale di intuito fisico.
  \item Ogni \textbf{misura} ha incertezza $x = x_0 \pm \Delta x$. Errori \emph{sistematici} e \emph{casuali} hanno comportamenti opposti; accuratezza e precisione sono concetti distinti.
  \item La \textbf{propagazione dell'incertezza}: somma/differenza $\to$ somma di $\Delta$ assolute; prodotto/quoziente $\to$ somma di $\Delta$ relative; potenza $\to$ relativa $\times$ esponente.
  \item I \textbf{grafici} ben costruiti rivelano la legge fisica: la proporzionalità diretta, inversa e quadratica si riconoscono a occhio. La \emph{linearizzazione} (es.\ $T^2$ vs $L$ per il pendolo) trasforma curve in rette e permette di leggere parametri come la pendenza.
  \item \emph{Prossimo capitolo}: dalla scalare alla vettoriale, con vettori, somma vettoriale, prodotto scalare/vettoriale (\ref{cap:02}).
\end{enumerate}
\end{riepilogo}