\chapter{Vettori e operazioni vettoriali}\label{cap:02}

\citazioneinizio{La matematica è il linguaggio con cui Dio ha scritto l'universo.}{Galileo Galilei}

\section*{Introduzione}\label{sec:02-01-introduzione}

Nel capitolo precedente abbiamo imparato a misurare grandezze come la lunghezza, la massa e il tempo: per descriverle basta un numero accompagnato da un'unità di misura. Diciamo che è sufficiente $\SI{2.5}{\meter}$ per indicare la lunghezza di un tavolo, oppure $\SI{72}{\kilo\gram}$ per la massa di una persona.

Ma proviamo ora a rispondere a una domanda apparentemente innocua: \emph{di quanto si è spostato un'automobile che ha percorso $\SI{30}{\kilo\meter}$?} La risposta dipende dalla \emph{direzione} in cui ha viaggiato. Se è partita da Torino e si è spostata di $\SI{30}{\kilo\meter}$ verso est arriva a Chivasso; se invece si è spostata verso sud arriva nei pressi di Carmagnola. Stessa distanza percorsa, posizioni finali diverse.

Esistono dunque grandezze fisiche per le quali un solo numero non basta: serve specificare anche \emph{dove sono dirette}. Sono le grandezze vettoriali, e in questo capitolo impareremo a maneggiarle con destrezza. Vedremo che non si tratta di un puro formalismo matematico: i vettori sono lo strumento che permette di descrivere in modo conciso ed efficace una larga parte dei fenomeni fisici, dalla caduta di una mela al moto dei pianeti, dalle correnti elettriche alle onde luminose.

\section{Grandezze scalari e grandezze vettoriali}\label{sec:02-scalari-vettoriali}

\subsection{Distinzione tra grandezze scalari e vettoriali}\label{sub:02-distinzione}

Osservando attentamente le grandezze fisiche che incontriamo nel mondo, ci accorgiamo che si dividono in due grandi famiglie.

\begin{definizione}[Grandezza scalare]
Una \textbf{grandezza scalare} è una grandezza fisica completamente determinata da un numero reale (con segno) accompagnato dall'unità di misura.
\end{definizione}

Sono scalari, ad esempio, la massa, il tempo, la temperatura, l'energia, la densità, il volume, la carica elettrica. Per dire che la temperatura di un'aula è $\SI{20}{\celsius}$ non occorre nient'altro: il numero $20$ con la sua unità esprime tutto.

\begin{definizione}[Grandezza vettoriale]
Una \textbf{grandezza vettoriale} è una grandezza fisica per descrivere completamente la quale occorre specificare:
\begin{itemize}
\item un \emph{modulo} (un numero non negativo con la sua unità di misura);
\item una \emph{direzione} (la retta lungo cui agisce);
\item un \emph{verso} (uno dei due possibili lungo quella direzione).
\end{itemize}
\end{definizione}

Sono vettoriali, fra le altre, lo spostamento, la velocità, l'accelerazione, la forza, la quantità di moto, il campo elettrico. Tutte queste grandezze hanno in comune il fatto che cambiare la direzione cambia il fenomeno descritto.

\begin{nota}
Per indicare che una grandezza è vettoriale, in questo testo useremo il simbolo $\vett{v}$ con la freccia sopra. In molti libri si trova anche la notazione in grassetto $\mathbf{v}$, equivalente. Il \emph{modulo} del vettore si indica con $\modulo{\vett{v}}$ oppure semplicemente con la lettera senza freccia, $v$.
\end{nota}

\subsection{Rappresentazione grafica di un vettore}\label{sub:02-rappresentazione}

Graficamente un vettore si rappresenta con una \textbf{freccia orientata}: la lunghezza della freccia (in una scala scelta) rappresenta il modulo, la retta su cui giace la freccia ne indica la direzione, la punta ne indica il verso.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth]
% Asse di riferimento orizzontale (tratteggiato)
\draw[dashed, GRIGIO] (-0.5,0) -- (5.5,0);
% Vettore principale
\draw[->, very thick, BLU] (0,0) -- (4,2) node[midway, above left] {$\vett{v}$};
% Punto di applicazione
\filldraw[BLU] (0,0) circle (2pt) node[below left] {\small $P$};
% Indicazione del modulo
\draw[<->, ROSSO, thin] (0,-0.6) -- (4,1.4);
\node[ROSSO] at (2.5,0.0) {\small $\modulo{\vett{v}}$};
% Indicazione dell'angolo (direzione)
\draw[VERDE, thick] (1.2,0) arc (0:26.57:1.2);
\node[VERDE] at (1.6,0.25) {\small $\theta$};
% Etichette
\node at (4.2,2.1) {\small punta (verso)};
\end{tikzpicture}
\caption{Rappresentazione grafica di un vettore $\vett{v}$. Il punto $P$ è il punto di applicazione, la lunghezza della freccia rappresenta il modulo $\modulo{\vett{v}}$, l'angolo $\theta$ ne individua la direzione rispetto a una retta di riferimento, la punta ne specifica il verso.}
\label{fig:02-vettore}
\end{figure}

\subsection{Modulo, direzione, verso, punto di applicazione}\label{sub:02-elementi}

Riassumiamo i quattro elementi che caratterizzano un vettore.

\begin{definizione}[Elementi di un vettore]
Dato un vettore $\vett{v}$:
\begin{itemize}
\item il \textbf{modulo} $\modulo{\vett{v}}$ è la sua intensità, un numero reale non negativo con un'unità di misura;
\item la \textbf{direzione} è la retta lungo cui giace la freccia rappresentativa;
\item il \textbf{verso} è uno dei due orientamenti possibili lungo la direzione;
\item il \textbf{punto di applicazione} è il punto in cui si colloca l'origine della freccia.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{attenzione}
\textbf{Direzione $\neq$ verso.} Nel linguaggio comune si dice spesso ``in direzione nord'', confondendo i due concetti. In fisica la \emph{direzione} è la retta (per esempio nord-sud), mentre il \emph{verso} specifica il quale dei due capi (verso nord oppure verso sud). Due vettori con uguale modulo e uguale direzione ma versi opposti sono distinti.
\end{attenzione}

\begin{nota}
Per molti scopi (e per tutto questo capitolo) i vettori si considerano \emph{liberi}: possono essere traslati nel piano o nello spazio senza che cambino. Il punto di applicazione diventa rilevante solo in alcuni contesti, ad esempio per i momenti di una forza (cap.~9) o per i corpi estesi.
\end{nota}

\section{Componenti cartesiane}\label{sec:02-componenti}

\subsection{Scomposizione di un vettore lungo gli assi}\label{sub:02-scomposizione}

Lavorare con frecce e righelli è efficace per la comprensione, ma diventa impraticabile per i calcoli. Introduciamo allora un metodo algebrico, basato sulla \emph{scomposizione} di un vettore lungo gli assi di un sistema di riferimento cartesiano.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Assi
\draw[->] (-0.5,0) -- (5.5,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,4) node[above] {$y$};
% Vettore
\draw[->, very thick, BLU] (0,0) -- (4,3) node[midway, above left] {$\vett{v}$};
% Componenti
\draw[->, thick, ROSSO] (0,0) -- (4,0) node[midway, below] {$v_x$};
\draw[->, thick, VERDE] (0,0) -- (0,3) node[midway, left] {$v_y$};
% Linee di costruzione
\draw[dashed, GRIGIO] (4,0) -- (4,3);
\draw[dashed, GRIGIO] (0,3) -- (4,3);

% Angolo
\draw[VIOLA, thick] (1,0) arc (0:36.87:1);
\node[VIOLA] at (1.3,0.25) {\small $\theta$};
% Modulo
\node[BLU] at (1.6,1.8) {\small $\modulo{\vett{v}}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Scomposizione del vettore $\vett{v}$ lungo gli assi cartesiani.
Le componenti $v_x$ e $v_y$ sono le proiezioni ortogonali sugli assi.}
\label{fig:02-scomposizione}
\end{figure}

Dato un vettore $\vett{v}$ nel piano e un sistema di assi cartesiani
$Oxy$, le \textbf{componenti cartesiane} di $\vett{v}$ sono i due numeri
$v_x$ e $v_y$ che si ottengono proiettando ortogonalmente la freccia
sugli assi. Detto $\theta$ l'angolo che $\vett{v}$ forma con il semiasse
positivo delle $x$, valgono le relazioni

\begin{formulabox}
\[
  \begin{aligned}
    v_x &= \modulo{\vett{v}}\cos\theta, \\
    v_y &= \modulo{\vett{v}}\sin\theta.
  \end{aligned}
\]
\end{formulabox}

Le componenti hanno segno: sono positive se la proiezione è concorde
con il verso positivo dell'asse, negative se è discorde.

\subsection{Composizione di vettori a partire dalle componenti}
\label{sub:02-composizione}

Conoscere le componenti di un vettore equivale a conoscere il vettore
stesso: dalle componenti si ricostruiscono modulo e direzione. Per il
teorema di Pitagora applicato al rettangolo di
figura~\ref{fig:02-scomposizione}:

\begin{formulabox}
\[
  \modulo{\vett{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
\]
\end{formulabox}

e l'angolo $\theta$ con l'asse delle $x$ si ricava da
\begin{equation}
\tan\theta = \frac{v_y}{v_x}.
\end{equation}

\begin{attenzione}
Quando si calcola $\theta$ con la funzione $\arctan$ bisogna prestare attenzione al \emph{quadrante} in cui giace il vettore. La calcolatrice restituisce sempre un angolo compreso fra $-\SI{90}{\degree}$ e $+\SI{90}{\degree}$, ma se $v_x < 0$ occorre aggiungere $\SI{180}{\degree}$ al risultato. Conviene sempre disegnare un piccolo schema per controllare.
\end{attenzione}

\subsection{Versori i j k}\label{sub:02-versori}

Per scrivere un vettore in modo compatto a partire dalle componenti si usano i \textbf{versori}.

\begin{definizione}[Versore]
Un \textbf{versore} è un vettore di modulo unitario. I versori associati agli assi cartesiani $x$, $y$, $z$ si indicano rispettivamente con $\ii$, $\jj$, $\kk$ e hanno modulo $\modulo{\ii} = \modulo{\jj} = \modulo{\kk} = 1$, direzione e verso quelli dei rispettivi semiassi positivi.
\end{definizione}

Un vettore qualsiasi nel piano si scrive allora come somma dei suoi due ``pezzi'' lungo gli assi:
\begin{formulabox}
\begin{equation}
\vett{v} = v_x \, \ii + v_y \, \jj
\end{equation}
\end{formulabox}
e nello spazio
\begin{equation}
\vett{v} = v_x \, \ii + v_y \, \jj + v_z \, \kk.
\end{equation}

In alternativa si usa la notazione per coordinate: $\vett{v} = (v_x, v_y)$ oppure $\vett{v} = (v_x, v_y, v_z)$.

\begin{esempio}[Componenti di uno spostamento]
Un escursionista si sposta di $\SI{5.0}{\kilo\meter}$ in direzione nord-est, formando un angolo di $\SI{30}{\degree}$ con la direzione est. Determinare le componenti dello spostamento rispetto a un sistema di riferimento con l'asse $x$ verso est e l'asse $y$ verso nord.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Detto $\vett{s}$ lo spostamento, $\modulo{\vett{s}} = \SI{5.0}{\kilo\meter}$ e $\theta = \SI{30}{\degree}$. Algebricamente:
\begin{align}
s_x &= \modulo{\vett{s}}\cos\theta, \\
s_y &= \modulo{\vett{s}}\sin\theta.
\end{align}
Sostituendo i valori:
\begin{align}
s_x &= \SI{5.0}{\kilo\meter} \cdot \cos\SI{30}{\degree} = \SI{5.0}{\kilo\meter} \cdot 0.866 \approx \SI{4.3}{\kilo\meter}, \\
s_y &= \SI{5.0}{\kilo\meter} \cdot \sin\SI{30}{\degree} = \SI{5.0}{\kilo\meter} \cdot 0.500 = \SI{2.5}{\kilo\meter}.
\end{align}
Lo spostamento si scrive dunque $\vett{s} = (4.3 \, \ii + 2.5 \, \jj)\,\si{\kilo\meter}$.

Verifica dimensionale: entrambe le componenti hanno le dimensioni di una lunghezza, come deve essere. Verifica di plausibilità: $\sqrt{4.3^2 + 2.5^2} \approx 5.0$, coerente con il modulo dato.
\end{soluzione}

\section{Operazioni con i vettori}\label{sec:02-operazioni}

\subsection{Somma e differenza con il metodo grafico}\label{sub:02-somma-grafica}

La somma di due vettori non si calcola sommando i moduli: due forze di $\SI{3}{\newton}$ ciascuna applicate nello stesso punto possono dare luogo a una risultante di $\SI{6}{\newton}$ (se concordi), di $\SI{0}{\newton}$ (se opposte) o di un valore intermedio (in tutti gli altri casi).

Esistono due metodi grafici equivalenti per costruire la somma $\vett{w} = \vett{u} + \vett{v}$.

\begin{procedura}[Metodo punta-coda]
Per sommare $\vett{u}$ e $\vett{v}$:
\begin{enumerate}
\item Si disegna il vettore $\vett{u}$.
\item Si trasla $\vett{v}$ in modo che la sua coda coincida con la punta di $\vett{u}$.
\item Il vettore somma $\vett{w}$ è la freccia che parte dalla coda di $\vett{u}$ e arriva alla punta di $\vett{v}$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{procedura}[Metodo del parallelogramma]
Per sommare $\vett{u}$ e $\vett{v}$:
\begin{enumerate}
\item Si disegnano $\vett{u}$ e $\vett{v}$ con la stessa coda.
\item Si costruisce il parallelogramma che ha $\vett{u}$ e $\vett{v}$ come lati.
\item Il vettore somma $\vett{w}$ è la diagonale del parallelogramma uscente dalla coda comune.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=0.9]
% Metodo punta-coda
\begin{scope}
\draw[->, thick, BLU] (0,0) -- (3,1) node[midway, below right] {$\vett{u}$};
\draw[->, thick, VERDE] (3,1) -- (4,3) node[midway, right] {$\vett{v}$};
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (4,3) node[midway, above left] {$\vett{w}$};
\node at (2,-0.8) {\small Metodo punta-coda};
\end{scope}
% Metodo del parallelogramma
\begin{scope}[xshift=7cm]
\draw[->, thick, BLU] (0,0) -- (3,1) node[midway, below right] {$\vett{u}$};
\draw[->, thick, VERDE] (0,0) -- (1,2) node[midway, above left] {$\vett{v}$};
\draw[dashed, GRIGIO] (3,1) -- (4,3);
\draw[dashed, GRIGIO] (1,2) -- (4,3);
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (4,3) node[midway, above left] {$\vett{w}$};
\node at (2,-0.8) {\small Metodo del parallelogramma};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{I due metodi grafici per costruire la somma $\vett{w} = \vett{u} + \vett{v}$. I metodi sono equivalenti e producono lo stesso risultato.}
\label{fig:02-somma}
\end{figure}

La \textbf{differenza} $\vett{u} - \vett{v}$ si costruisce sommando a $\vett{u}$ il vettore opposto $-\vett{v}$ (stesso modulo, stessa direzione, verso opposto):
\begin{equation}
\vett{u} - \vett{v} = \vett{u} + (-\vett{v}).
\end{equation}

\subsection{Somma e differenza per componenti}\label{sub:02-somma-componenti}

Il metodo grafico è intuitivo ma poco preciso. Per i calcoli si lavora per componenti.

\begin{legge}[Somma di vettori per componenti]
Dati $\vett{u} = (u_x, u_y)$ e $\vett{v} = (v_x, v_y)$, la loro somma e differenza hanno per componenti:
\begin{formulabox}
\begin{align}
\vett{u} + \vett{v} &= (u_x + v_x, \; u_y + v_y), \\
\vett{u} - \vett{v} &= (u_x - v_x, \; u_y - v_y).
\end{align}
\end{formulabox}
Si sommano (o sottraggono) componente per componente.
\end{legge}

\subsection{Prodotto di un vettore per uno scalare}\label{sub:02-scalare}

Dato un vettore $\vett{v}$ e un numero reale $k$, il prodotto $k\vett{v}$ è un vettore che ha:
\begin{itemize}
\item modulo $\modulo{k\vett{v}} = \modulo{k}\modulo{\vett{v}}$;
\item direzione uguale a quella di $\vett{v}$;
\item verso concorde a $\vett{v}$ se $k > 0$, opposto se $k < 0$.
\end{itemize}

In componenti, $k\vett{v} = (k v_x, \, k v_y)$. Se $k = 0$ si ottiene il \textbf{vettore nullo} $\vett{0}$, di modulo zero e direzione e verso indeterminati.

\begin{esempio}[Vettore risultante]
Su un punto materiale agiscono due forze: $\vett{F}_1 = (\SI{3.0}{\newton}) \, \ii + (\SI{4.0}{\newton}) \, \jj$ e $\vett{F}_2 = (-\SI{1.0}{\newton}) \, \ii + (\SI{2.0}{\newton}) \, \jj$. Determinare la forza risultante $\vett{R}$, il suo modulo e l'angolo che forma con l'asse $x$.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente:
\begin{align}
\vett{R} &= \vett{F}_1 + \vett{F}_2, \\
R_x &= F_{1x} + F_{2x}, \\
R_y &= F_{1y} + F_{2y}, \\
\modulo{\vett{R}} &= \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \\
\tan\theta &= \frac{R_y}{R_x}.
\end{align}
Sostituendo i valori:
\begin{align}
R_x &= \SI{3.0}{\newton} + (-\SI{1.0}{\newton}) = \SI{2.0}{\newton}, \\
R_y &= \SI{4.0}{\newton} + \SI{2.0}{\newton} = \SI{6.0}{\newton}, \\
\modulo{\vett{R}} &= \sqrt{(\SI{2.0}{\newton})^2 + (\SI{6.0}{\newton})^2} = \sqrt{40}\,\si{\newton} \approx \SI{6.3}{\newton}, \\
\theta &= \arctan\frac{6.0}{2.0} = \arctan 3.0 \approx \SI{72}{\degree}.
\end{align}
La forza risultante è $\vett{R} = (\SI{2.0}{\newton}) \, \ii + (\SI{6.0}{\newton}) \, \jj$, ha modulo $\SI{6.3}{\newton}$ e forma un angolo di circa $\SI{72}{\degree}$ con l'asse $x$.
\end{soluzione}

\section{Prodotti tra vettori}\label{sec:02-prodotti}

Tra vettori esistono due tipi di prodotto, profondamente diversi: il \emph{prodotto scalare}, che dà come risultato uno scalare, e il \emph{prodotto vettoriale}, che dà come risultato un altro vettore. Entrambi hanno un significato geometrico preciso e compaiono in numerose leggi della fisica.

\subsection{Prodotto scalare e suo significato geometrico}\label{sub:02-scalare-prodotto}

\begin{definizione}[Prodotto scalare]
Il \textbf{prodotto scalare} fra due vettori $\vett{u}$ e $\vett{v}$, indicato con $\scalare{\vett{u}}{\vett{v}}$, è il numero
\begin{formulabox}
\begin{equation}
\scalare{\vett{u}}{\vett{v}} = \modulo{\vett{u}}\,\modulo{\vett{v}}\cos\alpha
\end{equation}
\end{formulabox}
dove $\alpha$ è l'angolo compreso fra i due vettori (quando hanno la coda in comune).
\end{definizione}

In componenti, nel piano, vale la formula compatta
\begin{formulabox}
\begin{equation}
\scalare{\vett{u}}{\vett{v}} = u_x v_x + u_y v_y
\end{equation}
\end{formulabox}
che si estende facilmente allo spazio aggiungendo il termine $u_z v_z$.

\begin{nota}[Significato geometrico]
Il prodotto scalare $\scalare{\vett{u}}{\vett{v}}$ rappresenta il prodotto del modulo di uno dei due vettori per la \emph{proiezione} dell'altro sulla direzione del primo. È quindi una misura di ``quanto i due vettori vanno nella stessa direzione''. In particolare:
\begin{itemize}
\item se $\vett{u}$ e $\vett{v}$ sono \emph{paralleli e concordi} ($\alpha = 0$), allora $\scalare{\vett{u}}{\vett{v}} = \modulo{\vett{u}}\modulo{\vett{v}}$ (massimo positivo);
\item se $\vett{u}$ e $\vett{v}$ sono \emph{paralleli e discordi} ($\alpha = \SI{180}{\degree}$), allora $\scalare{\vett{u}}{\vett{v}} = -\modulo{\vett{u}}\modulo{\vett{v}}$ (minimo);
\item se $\vett{u}$ e $\vett{v}$ sono \emph{perpendicolari} ($\alpha = \SI{90}{\degree}$), allora $\scalare{\vett{u}}{\vett{v}} = 0$.
\end{itemize}
\end{nota}

L'ultimo punto è particolarmente utile: il prodotto scalare è uno strumento per riconoscere algebricamente la perpendicolarità. Incontreremo il prodotto scalare nella definizione di lavoro di una forza (cap.~8): $L = \scalare{\vett{F}}{\vett{s}}$.

\subsection{Prodotto vettoriale e regola della mano destra}\label{sub:02-vettoriale-prodotto}

\begin{definizione}[Prodotto vettoriale]
Il \textbf{prodotto vettoriale} fra due vettori $\vett{u}$ e $\vett{v}$, indicato con $\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}$, è un vettore $\vett{w}$ così definito:
\begin{itemize}
\item modulo: $\modulo{\vett{w}} = \modulo{\vett{u}}\modulo{\vett{v}}\sin\alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo compreso fra i due vettori;
\item direzione: perpendicolare al piano individuato da $\vett{u}$ e $\vett{v}$;
\item verso: dato dalla \emph{regola della mano destra}.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{procedura}[Regola della mano destra]
Per determinare il verso di $\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}$:
\begin{enumerate}
\item si dispone la mano destra in modo che le dita indichino il verso di $\vett{u}$;
\item si chiudono le dita ruotandole verso il verso di $\vett{v}$ (lungo l'angolo più piccolo);
\item il pollice indica il verso di $\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Piano (parallelogramma in prospettiva)
\fill[CELESTE!20] (0,0) -- (3,0.3) -- (4.5,1.8) -- (1.5,1.5) -- cycle;
\draw[GRIGIO] (0,0) -- (3,0.3) -- (4.5,1.8) -- (1.5,1.5) -- cycle;
% Vettore u
\draw[->, very thick, BLU] (0,0) -- (3,0.3) node[midway, below right] {$\vett{u}$};
% Vettore v
\draw[->, very thick, VERDE] (0,0) -- (1.5,1.5) node[midway, above left] {$\vett{v}$};
% Prodotto vettoriale (verticale, verso l'alto)
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}$};
% Origine
\filldraw[black] (0,0) circle (1.5pt);
% Angolo alfa
\draw[VIOLA, thick] (0.6,0.06) arc (5.7:45:0.6);
\node[VIOLA] at (0.95,0.4) {\small $\alpha$};
\end{tikzpicture}
\caption{Il prodotto vettoriale $\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}$ è un vettore perpendicolare al piano individuato da $\vett{u}$ e $\vett{v}$, di modulo pari all'area del parallelogramma colorato e verso dato dalla regola della mano destra.}
\label{fig:02-vettoriale}
\end{figure}

\begin{attenzione}
Il prodotto vettoriale \textbf{non è commutativo}: scambiando l'ordine dei fattori cambia il verso. Vale infatti
\begin{equation}
\vettoriale{\vett{v}}{\vett{u}} = -\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}.
\end{equation}
Bisogna prestare attenzione all'ordine quando si applica la regola della mano destra.
\end{attenzione}

\begin{nota}[Significato geometrico]
Il modulo $\modulo{\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}} = \modulo{\vett{u}}\modulo{\vett{v}}\sin\alpha$ è numericamente uguale all'\emph{area del parallelogramma} costruito su $\vett{u}$ e $\vett{v}$. In particolare $\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}} = \vett{0}$ se i due vettori sono paralleli (concordi o discordi), perché in tal caso $\sin\alpha = 0$ e il parallelogramma degenera in un segmento.
\end{nota}

Il prodotto vettoriale comparirà nella forza di Lorentz su una carica in moto in un campo magnetico (cap.~16), $\vett{F} = q\,\vettoriale{\vett{v}}{\vett{B}}$, e nella definizione di momento angolare e momento di una forza (cap.~9).

\section{Risoluzione di problemi con grandezze fisiche}\label{sec:02-problemi}

\subsection{Strategie di impostazione algebrica prima del calcolo}\label{sub:02-algebra}

Prima di buttarsi sui numeri conviene sempre impostare il problema in forma simbolica. Questo metodo, che useremo costantemente in tutto il corso, ha tre vantaggi: rende trasparente la struttura del ragionamento, consente di controllare la coerenza dimensionale, e facilita la verifica di casi limite.

\begin{procedura}[Strategia generale]
\begin{enumerate}
\item Disegnare uno schema della situazione, riportando i vettori in gioco e il sistema di riferimento scelto.
\item Identificare le grandezze note e quelle incognite, assegnando a ciascuna un simbolo.
\item Scrivere le relazioni fisiche fra le grandezze in forma algebrica generale.
\item Manipolare le equazioni fino a esprimere l'incognita in funzione dei dati.
\item Solo a questo punto sostituire i valori numerici e calcolare il risultato.
\item Verificare unità di misura, ordini di grandezza, plausibilità fisica.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\subsection{Scomposizione lungo direzioni privilegiate}\label{sub:02-direzioni}

La scelta del sistema di riferimento è libera, ma non tutte le scelte sono ugualmente comode. Una buona regola è orientare gli assi lungo le \emph{direzioni naturali} del problema: per il moto su un piano inclinato si scelgono assi paralleli e perpendicolari al piano; per un proiettile si scelgono orizzontale e verticale; per una corda tesa si sceglie la direzione della corda. La fatica matematica si riduce drasticamente.

\begin{esempio}[Forza su un piano inclinato]
Un blocco di peso $\vett{P}$ è appoggiato su un piano inclinato di un angolo $\alpha$ rispetto all'orizzontale. Determinare le componenti del peso parallela e perpendicolare al piano.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Scegliamo un sistema di riferimento con l'asse $x$ parallelo al piano (con verso positivo verso l'alto del piano) e l'asse $y$ perpendicolare al piano (verso uscente). Il vettore peso $\vett{P}$ è verticale e diretto verso il basso. Detta $P = \modulo{\vett{P}}$, dalla geometria della figura~\ref{fig:02-inclinato} si ricava:
\begin{align}
P_x &= -P\sin\alpha, \\
P_y &= -P\cos\alpha.
\end{align}
Il segno meno indica che entrambe le componenti puntano nei versi negativi degli assi scelti: $P_x$ trascina il blocco verso il basso del piano, $P_y$ lo schiaccia contro il piano stesso.

Verifica con un caso limite: per $\alpha = 0$ (piano orizzontale) otteniamo $P_x = 0$ e $P_y = -P$, come ci si aspetta (il peso è interamente perpendicolare al piano, non c'è componente che spinge il blocco lateralmente). Per $\alpha = \SI{90}{\degree}$ (piano verticale) si ha $P_x = -P$ e $P_y = 0$, anche questo corretto.
\end{soluzione}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Piano inclinato
\draw[thick] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick] (0,0) -- (4.33,2.5);
\draw[thick] (4.33,2.5) -- (5,0);
% Angolo alfa
\draw (1.5,0) arc (0:30:1.5);
\node at (1.9,0.3) {\small $\alpha$};
% Blocco
\filldraw[GRIGIO!50] (2.2,1.27) -- (2.85,1.65) -- (2.50,2.25) -- (1.85,1.87) -- cycle;
% Posizione del centro del blocco
\coordinate (C) at (2.35,1.76);
% Peso (verticale verso il basso)
\draw[->, very thick, BLU] (C) -- ++(0,-1.7) node[midway, right] {$\vett{P}$};
% Componenti (lungo il piano e perpendicolare)
\draw[->, thick, ROSSO] (C) -- ++({-0.85*cos(30)},{-0.85*sin(30)}) node[midway, above left=-2pt] {\small $P_x$};
\draw[->, thick, VERDE] (C) -- ++({-1.47*sin(30)},{1.47*cos(30)}) node[at end, above right=-2pt] {};
\node[VERDE] at (1.5,2.6) {\small $-P_y$};
% Linee tratteggiate di costruzione
\draw[dashed, GRIGIO] (C) ++(0,-1.7) -- ++({-0.85*cos(30)},{-0.85*sin(30)});
\end{tikzpicture}
\caption{Scomposizione del peso $\vett{P}$ lungo direzioni parallele e perpendicolari al piano inclinato. Le componenti $P_x$ e $P_y$ risultano entrambe negative nel sistema di riferimento scelto.}
\label{fig:02-inclinato}
\end{figure}

\subsection{Verifiche dimensionali e di plausibilità}\label{sub:02-verifiche}

Ogni risultato dev'essere sottoposto ad almeno tre controlli prima di essere accettato.

\begin{procedura}[Tre controlli sul risultato]
\begin{enumerate}
\item \textbf{Dimensionale.} Le unità di misura del risultato sono coerenti con il tipo di grandezza richiesta? Una velocità misurata in $\si{\kilo\gram}$ è certamente sbagliata.
\item \textbf{Ordine di grandezza.} Il risultato è ragionevole per il fenomeno descritto? Un'auto che percorre $\SI{30}{\kilo\meter}$ in $\SI{0.3}{\second}$ violerebbe la nostra esperienza quotidiana.
\item \textbf{Casi limite.} Se faccio tendere a zero o all'infinito uno dei dati, il risultato si comporta come dovrebbe? Per esempio, l'angolo del piano inclinato che tende a zero deve far sparire la componente parallela del peso.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{attenzione}
Una verifica numerica positiva non garantisce la correttezza del procedimento, ma una verifica negativa è prova certa di un errore. Se il risultato non torna ai controlli, occorre rivedere il ragionamento dall'inizio.
\end{attenzione}

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
\item Le grandezze fisiche si dividono in \textbf{scalari} (un numero con unità) e \textbf{vettoriali} (modulo, direzione, verso).
\item Un vettore $\vett{v}$ si rappresenta graficamente con una freccia e algebricamente tramite le sue \textbf{componenti cartesiane} $(v_x, v_y)$, ottenute proiettandolo sugli assi.
\item Conoscendo le componenti si ricavano modulo $\modulo{\vett{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ e angolo $\tan\theta = v_y/v_x$, e viceversa $v_x = \modulo{\vett{v}}\cos\theta$, $v_y = \modulo{\vett{v}}\sin\theta$.
\item Tramite i \textbf{versori} $\ii, \jj, \kk$ ogni vettore si scrive nella forma $\vett{v} = v_x\,\ii + v_y\,\jj + v_z\,\kk$.
\item La \textbf{somma} di vettori si esegue con il metodo punta-coda o del parallelogramma; algebricamente, sommando componente per componente.
\item Il \textbf{prodotto scalare} $\scalare{\vett{u}}{\vett{v}} = \modulo{\vett{u}}\modulo{\vett{v}}\cos\alpha = u_x v_x + u_y v_y$ produce uno scalare; si annulla per vettori perpendicolari.
\item Il \textbf{prodotto vettoriale} $\vettoriale{\vett{u}}{\vett{v}}$ produce un vettore perpendicolare al piano dei due, di modulo $\modulo{\vett{u}}\modulo{\vett{v}}\sin\alpha$ e verso dato dalla regola della mano destra; non è commutativo.
\item Per risolvere problemi conviene impostare \textbf{algebricamente} le equazioni prima dei calcoli numerici, scegliere assi lungo direzioni privilegiate, e verificare sempre il risultato sul piano dimensionale e di plausibilità.
\end{itemize}
\end{riepilogo}

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
\item Un vettore $\vett{a}$ ha modulo $\SI{8.0}{\meter}$ e forma un angolo di $\SI{60}{\degree}$ con l'asse $x$. Determinarne le componenti cartesiane.

\item Calcolare modulo e angolo con l'asse $x$ del vettore $\vett{b} = -3\,\ii + 4\,\jj$ (componenti in metri).

\item Dati $\vett{u} = 2\,\ii - \jj$ e $\vett{v} = -\ii + 3\,\jj$ (in unità arbitrarie), calcolare $\vett{u} + \vett{v}$, $\vett{u} - \vett{v}$, $2\vett{u} - 3\vett{v}$.

\item Due forze di moduli $\SI{5.0}{\newton}$ e $\SI{12}{\newton}$ sono applicate nello stesso punto e formano fra loro un angolo di $\SI{90}{\degree}$. Determinare modulo e direzione della forza risultante.

\item Calcolare il prodotto scalare e il modulo del prodotto vettoriale di $\vett{u} = 3\,\ii + 4\,\jj$ e $\vett{v} = 4\,\ii - 3\,\jj$. Verificare che i due vettori sono perpendicolari.

\item Un blocco di peso $\SI{50}{\newton}$ è appoggiato su un piano inclinato di $\SI{20}{\degree}$. Determinare le componenti del peso parallela e perpendicolare al piano.

\item Un nuotatore attraversa un fiume largo $\SI{80}{\meter}$ nuotando perpendicolarmente alla corrente con velocità $\SI{1.2}{\meter\per\second}$ rispetto all'acqua. La corrente ha velocità $\SI{0.9}{\meter\per\second}$. Determinare la velocità rispetto alla riva (modulo e direzione) e quanto vale lo spostamento totale quando il nuotatore raggiunge l'altra sponda.

\item Dimostrare, usando il prodotto scalare, che se $\modulo{\vett{u} + \vett{v}} = \modulo{\vett{u} - \vett{v}}$ allora $\vett{u}$ e $\vett{v}$ sono perpendicolari.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}