\chapter{Cinematica del punto materiale}\label{cap:03}

\citazioneinizio{Ignorare il moto è ignorare la natura.}{Aristotele, Fisica}

\section*{Introduzione}\label{sec:03-01-introduzione}

Nei capitoli precedenti abbiamo costruito gli strumenti — misure, vettori — di cui ora possiamo servirci per affrontare il primo grande tema della fisica: il \emph{movimento}. Una palla che rotola, un'auto che frena, la Luna che orbita: cosa hanno in comune? Tutti questi fenomeni si possono descrivere indicando come variano nel tempo la posizione, la velocità e l'accelerazione di un corpo.

La parte della meccanica che si occupa di \emph{descrivere} il moto si chiama \textbf{cinematica}, dal greco \emph{kínēma}, movimento. La cinematica risponde a domande del tipo: \emph{dove si trovava il corpo a un certo istante? Quanto velocemente si muoveva? Si stava accelerando o decelerando?} Non si occupa invece di \emph{perché} il moto avvenga in un certo modo: questa domanda — cosa causa il moto, come le forze lo modificano — è il dominio della \emph{dinamica}, che affronteremo nel capitolo~\ref{cap:06}.

Studieremo qui il moto di un solo corpo, idealizzato come un punto, lungo una linea retta o secondo leggi semplici. Vedremo i due moti più importanti — il moto rettilineo uniforme e quello uniformemente accelerato — e li applicheremo alla caduta dei gravi e al piano inclinato, due situazioni paradigmatiche con cui Galileo aprì la fisica moderna. In coda, un'anticipazione del moto armonico, che ritroveremo nel capitolo~\ref{cap:11}.

\section{Modello del punto materiale e sistema di riferimento}\label{sec:03-modello}

\subsection{Idealizzazione di un corpo come punto materiale}\label{sub:03-punto-materiale}

Una palla da calcio, un'auto, un pianeta sono corpi estesi: hanno una forma, ruotano su sé stessi, si possono deformare. Studiare contemporaneamente il moto traslatorio, la rotazione e le deformazioni è un problema complesso. La fisica procede allora per \emph{semplificazioni successive}: prima si studiano le situazioni in cui un solo aspetto è dominante; poi, capito quello, si aggiunge un livello di complessità.

\begin{definizione}[Punto materiale]
Un \textbf{punto materiale} è un corpo idealizzato, dotato di massa ma privo di estensione spaziale. Il modello è applicabile ogni volta che le dimensioni del corpo sono \emph{trascurabili} rispetto agli spazi entro cui si muove, oppure quando il moto interno (rotazione, deformazione) non è rilevante per il problema in esame.
\end{definizione}

Un'auto che percorre $\SI{100}{\kilo\meter}$ può essere trattata come punto materiale: la sua lunghezza di pochi metri è irrilevante. Lo stesso vale per la Terra che orbita attorno al Sole: il diametro terrestre, $\SI{12700}{\kilo\meter}$, è trascurabile rispetto al raggio dell'orbita, $\SI{1.5e8}{\kilo\meter}$. Non vale invece per un sasso che ruota su sé stesso, o per la stessa auto in un parcheggio, dove la sua geometria è essenziale.

\subsection{Sistema di riferimento e scelta dell'origine}\label{sub:03-riferimento}

\textbf{Il moto è una nozione relativa.} Se sono seduto in un treno che viaggia a $\SI{100}{\kilo\meter\per\hour}$ e lascio cadere una penna, vedo la penna scendere verticalmente; chi mi osserva da terra la vede invece tracciare una parabola in avanti. Chi ha ragione? Entrambi: stiamo descrivendo lo stesso moto in due \emph{sistemi di riferimento} diversi.

\begin{definizione}[Sistema di riferimento]
Un \textbf{sistema di riferimento} è l'insieme costituito da:
\begin{itemize}
\item un \emph{punto $O$} scelto come origine;
\item una \emph{terna di assi cartesiani} $Oxyz$ orientati nello spazio;
\item un \emph{cronometro} che misura il tempo a partire da un istante iniziale $t = 0$.
\end{itemize}
\end{definizione}

La scelta del sistema di riferimento è libera, ma alcune scelte sono più convenienti di altre. Per il moto di un'auto su una strada rettilinea conviene un asse $x$ lungo la strada; per un proiettile, un riferimento con $x$ orizzontale e $y$ verticale; per un pianeta, un riferimento con il Sole all'origine.

\begin{nota}
Approfondiremo l'aspetto della relatività del moto nel capitolo~\ref{cap:07}, dedicato alla relatività galileiana, e nel capitolo~\ref{cap:19} per la relatività ristretta. Per ora ci limiteremo a fissare un sistema di riferimento e a lavorare in esso.
\end{nota}

\subsection{Posizione traiettoria spostamento}\label{sub:03-posizione}

Fissato un sistema di riferimento, la \textbf{posizione} di un punto materiale al tempo $t$ è individuata dal vettore $\pos(t)$ che congiunge l'origine $O$ al punto. In componenti, $\pos(t) = (x(t), y(t), z(t))$. Quando il punto si muove, le coordinate $x(t), y(t), z(t)$ sono funzioni del tempo, dette \textbf{leggi orarie}.

\begin{definizione}[Traiettoria]
Si chiama \textbf{traiettoria} l'insieme di tutte le posizioni occupate dal punto materiale durante il suo moto. Geometricamente, è la curva tracciata dal punto nello spazio.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Spostamento]
Lo \textbf{spostamento} fra due istanti $t_1$ e $t_2$ è il vettore
\begin{equation}\label{eq:03-spostamento}
\spos = \pos(t_2) - \pos(t_1).
\end{equation}
\end{definizione}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth]
% Assi
\draw[->] (0,0) -- (5.5,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$y$};
\filldraw[black] (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$O$};
% Traiettoria
\draw[VERDE, thick, dashed] (0.7,0.6) .. controls (1.5,2.2) and (3,2.6) .. (4.6,1.1);
% Vettori posizione
\draw[->, thick, BLU] (0,0) -- (0.7,0.6) node[midway, above left, BLU] {\small $\pos_1$};
\draw[->, thick, ROSSO] (0,0) -- (4.6,1.1) node[midway, below right, ROSSO] {\small $\pos_2$};
% Punti
\filldraw[BLU] (0.7,0.6) circle (2pt) node[above right, BLU] {\small $P_1$};
\filldraw[ROSSO] (4.6,1.1) circle (2pt) node[above right, ROSSO] {\small $P_2$};
% Spostamento
\draw[->, very thick, VIOLA] (0.7,0.6) -- (4.6,1.1) node[midway, above, VIOLA] {\small $\spos$};
% Etichetta traiettoria
\node[VERDE] at (2.7,2.6) {\small traiettoria};
\end{tikzpicture}
\caption{Vettore posizione, traiettoria e spostamento. Il punto materiale si muove dalla posizione $P_1$ alla posizione $P_2$ lungo la curva verde tratteggiata. Lo spostamento $\spos = \pos_2 - \pos_1$ \emph{non} dipende dal cammino percorso, solo dagli estremi.}
\label{fig:03-posizione}
\end{figure}

\begin{attenzione}
\textbf{Spostamento} e \textbf{spazio percorso} sono concetti distinti. Un'auto che fa il giro completo di una pista chiusa di lunghezza $\SI{2}{\kilo\meter}$ ha percorso uno spazio di $\SI{2}{\kilo\meter}$, ma il suo spostamento è il vettore nullo (è tornata alla stessa posizione). Lo spostamento dipende solo dai punti iniziale e finale; lo spazio percorso dipende dall'intera traiettoria.
\end{attenzione}

\section{Velocità e accelerazione}\label{sec:03-velocita}

\subsection{Velocità media e velocità istantanea}\label{sub:03-vel-media-istantanea}

Quanto si muove rapidamente un corpo? La risposta più immediata è la \emph{velocità media}: lo spostamento diviso il tempo impiegato.

\begin{definizione}[Velocità media]
Detti $\spos$ lo spostamento del punto materiale nell'intervallo $\Dlt t = t_2 - t_1$, la \textbf{velocità media} è il vettore
\begin{equation}\label{eq:03-vel-media}
\vel_{\text{m}} = \frac{\spos}{\Dlt t}.
\end{equation}
\end{definizione}

Nel moto rettilineo, in cui ci si muove lungo un solo asse, la velocità media si scrive come quantità scalare con segno:
\[
\vmedia = \frac{\Dlt x}{\Dlt t} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}.
\]
La velocità media è positiva se il punto si è spostato nel verso positivo dell'asse, negativa altrimenti. La sua unità di misura nel SI è $\si{\meter\per\second}$.

La velocità media, però, non dice nulla su \emph{come} il moto si svolge istante per istante. Un'auto che percorre $\SI{60}{\kilo\meter}$ in un'ora ha velocità media $\SI{60}{\kilo\meter\per\hour}$, ma può aver viaggiato a velocità costanti, oppure averne attraversate di tutti i tipi: code, sorpassi, frenate, accelerazioni. Per cogliere il dettaglio occorre la \emph{velocità istantanea}.

\begin{definizione}[Velocità istantanea]
La \textbf{velocità istantanea} all'istante $t$ è il vettore $\vel(t)$ a cui tende la velocità media calcolata su un intervallo $\Dlt t$ centrato in $t$, quando $\Dlt t$ diventa molto piccolo:
\begin{equation}\label{eq:03-vel-istantanea}
\vel(t) = \lim_{\Dlt t \to 0}\,\frac{\spos}{\Dlt t}.
\end{equation}
\end{definizione}

\begin{nota}
Il passaggio al limite è il punto di partenza del calcolo differenziale, che lo studente affronterà al quinto anno. Per ora ne usiamo l'idea intuitiva: la velocità istantanea è il valore a cui si stabilizza la velocità media quando l'intervallo di tempo è abbastanza breve da poter considerare il moto, in quel piccolo lasso, sostanzialmente uniforme.
\end{nota}

Geometricamente, sul grafico spazio-tempo $x(t)$, la velocità media corrisponde alla pendenza della retta secante che congiunge due punti, mentre la velocità istantanea corrisponde alla pendenza della retta tangente al grafico nel punto considerato.

\subsection{Accelerazione media e accelerazione istantanea}\label{sub:03-accelerazione}

Allo stesso modo in cui la velocità misura quanto rapidamente cambia la posizione, l'\textbf{accelerazione} misura quanto rapidamente cambia la velocità.

\begin{definizione}[Accelerazione media e istantanea]
L'\textbf{accelerazione media} su un intervallo $\Dlt t$ è il vettore
\[
\acc_{\text{m}} = \frac{\Dlt \vel}{\Dlt t} = \frac{\vel(t_2) - \vel(t_1)}{t_2 - t_1},
\]
mentre l'\textbf{accelerazione istantanea} è il valore a cui essa tende quando $\Dlt t \to 0$:
\begin{equation}\label{eq:03-acc-istantanea}
\acc(t) = \lim_{\Dlt t \to 0}\,\frac{\Dlt \vel}{\Dlt t}.
\end{equation}
\end{definizione}

L'unità di misura SI dell'accelerazione è $\si{\meter\per\second\squared}$, cioè metri al secondo \emph{ogni secondo}: il numero di m/s che la velocità acquista (o perde) ogni secondo che passa.

\subsection{Velocità e accelerazione come grandezze vettoriali}\label{sub:03-vel-acc-vettoriali}

Velocità e accelerazione sono \emph{vettori}. Ciò significa che non basta dire ``il modulo è cresciuto'' per dire che il corpo sta accelerando: anche un cambio di direzione è una variazione di velocità, e quindi richiede un'accelerazione.

\begin{attenzione}
Un'auto che percorre una curva a velocità di modulo costante \emph{sta accelerando}. La direzione del vettore velocità cambia istante per istante, e la variazione $\Dlt\vel$ è non nulla. Questa accelerazione, detta \emph{centripeta}, è ciò che ti spinge contro lo schienale o ti fa pendere lateralmente in curva. La studieremo in dettaglio nel capitolo~\ref{cap:06}.
\end{attenzione}

Nel resto di questo capitolo ci limitiamo al \emph{moto rettilineo}, in cui la traiettoria è una retta e velocità e accelerazione hanno una sola componente non nulla: possiamo trattarle come grandezze scalari con segno, riferite all'asse del moto.

\section{Moto rettilineo uniforme}\label{sec:03-mru}

\subsection{Legge oraria del moto uniforme}\label{sub:03-mru-leggi}

\begin{definizione}[Moto rettilineo uniforme]
Un punto materiale si muove di \textbf{moto rettilineo uniforme} (MRU) se la sua traiettoria è una retta e la sua velocità è costante (in modulo, direzione e verso) per tutta la durata del moto.
\end{definizione}

Scelto un asse $x$ lungo la traiettoria, sia $v$ il valore costante della velocità e $x_0$ la posizione all'istante iniziale $t = 0$. Poiché la velocità non cambia, la velocità media coincide con quella istantanea, e dalla definizione~\eqref{eq:03-vel-media} ricaviamo $\Dlt x = v\,\Dlt t$, ovvero $x - x_0 = v\,t$. Si ottiene la \textbf{legge oraria}:

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:03-mru}
x(t) = x_0 + v\,t
\end{equation}
\end{formulabox}

In tre dimensioni, la stessa legge si scrive vettorialmente come $\pos(t) = \pos_0 + \vel\,t$, con $\vel$ vettore costante.

\subsection{Grafici spazio-tempo e velocità-tempo}\label{sub:03-mru-grafici}

I grafici sono il modo più efficace per leggere a colpo d'occhio le caratteristiche di un moto.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=0.95]
% Grafico x-t (sinistra)
\begin{scope}
\draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node[right] {$t$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above] {$x$};
\draw[BLU, very thick] (0,0.5) -- (4,2.7);
\filldraw[BLU] (0,0.5) circle (1.5pt);
\node[BLU] at (-0.4,0.5) {\small $x_0$};
\draw[dashed, GRIGIO] (3,0) -- (3,2.15);
\draw[dashed, GRIGIO] (0,2.15) -- (3,2.15);
\node at (3,-0.3) {\small $t_1$};
\node at (-0.4,2.15) {\small $x_1$};
\node[BLU] at (2.5,1) {\small pendenza $= v$};
\node at (2,-1) {\small grafico $x$-$t$};
\end{scope}
% Grafico v-t (destra)
\begin{scope}[xshift=7cm]
\draw[->] (0,0) -- (4.5,0) node[right] {$t$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3) node[above] {$v$};
\draw[VERDE, very thick] (0,1.8) -- (4,1.8);
\filldraw[VERDE] (0,1.8) circle (1.5pt);
\node[VERDE] at (-0.4,1.8) {\small $v$};
% Area
\fill[VERDE!15] (0,0) rectangle (3,1.8);
\draw[dashed, GRIGIO] (3,0) -- (3,1.8);
\node at (3,-0.3) {\small $t_1$};
\node[VERDE!50!black] at (1.5,0.9) {\small $\Dlt x = v\cdot t_1$};
\node at (2,-1) {\small grafico $v$-$t$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Moto rettilineo uniforme. Nel grafico $x$-$t$ la legge oraria è una retta di pendenza pari alla velocità $v$ e ordinata all'origine $x_0$. Nel grafico $v$-$t$ la velocità è una retta orizzontale e l'area sottesa fra $0$ e $t_1$ rappresenta lo spazio percorso $\Dlt x = v\cdot t_1$.}
\label{fig:03-mru-grafici}
\end{figure}

Due osservazioni importanti, valide per qualunque moto:
\begin{itemize}
\item nel grafico $x$-$t$, la \textbf{pendenza della tangente} a un punto è la velocità istantanea in quell'istante;
\item nel grafico $v$-$t$, l'\textbf{area sottesa} dal grafico fra due istanti è lo spostamento compiuto in quell'intervallo.
\end{itemize}

Ritroveremo questi due fatti nel moto uniformemente accelerato, dove la lettura grafica diventa ancora più suggestiva.

\subsection{Problemi di incontro e di inseguimento}\label{sub:03-mru-incontro}

Una classe particolare di problemi nel MRU riguarda due o più corpi che si muovono lungo la stessa retta. Sono i problemi di \emph{incontro} (i due corpi vanno l'uno verso l'altro) o di \emph{inseguimento} (vanno nella stessa direzione, uno più veloce dell'altro).

\begin{esempio}[Incontro fra due ciclisti]
Due ciclisti partono nello stesso istante da due paesi distanti $\SI{30}{\kilo\meter}$ e pedalano l'uno incontro all'altro lungo la stessa strada rettilinea. Il primo viaggia a $\SI{18}{\kilo\meter\per\hour}$, il secondo a $\SI{12}{\kilo\meter\per\hour}$. Dopo quanto tempo si incontrano e in che punto?
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Scegliamo un sistema di riferimento con l'asse $x$ orientato dal primo paese verso il secondo, origine nel primo paese e $t = 0$ all'istante della partenza. Detti $L$ la distanza fra i paesi, $v_1$ il modulo della velocità del primo ciclista (orientata nel verso positivo) e $v_2$ il modulo della velocità del secondo (orientata nel verso negativo), le leggi orarie sono:
\begin{align}
x_1(t) &= v_1\,t, \\
x_2(t) &= L - v_2\,t.
\end{align}
L'incontro si ha quando $x_1(t^*) = x_2(t^*)$:
\begin{align}
v_1\,t^* &= L - v_2\,t^*, \\
t^* &= \frac{L}{v_1 + v_2}.
\end{align}
La posizione di incontro è $x^* = v_1\,t^*$.

Sostituendo i valori, $L = \SI{30}{\kilo\meter}$, $v_1 = \SI{18}{\kilo\meter\per\hour}$, $v_2 = \SI{12}{\kilo\meter\per\hour}$:
\begin{align}
t^* &= \frac{\SI{30}{\kilo\meter}}{\SI{18}{\kilo\meter\per\hour} + \SI{12}{\kilo\meter\per\hour}} = \SI{1.0}{\hour}, \\
x^* &= \SI{18}{\kilo\meter\per\hour} \cdot \SI{1.0}{\hour} = \SI{18}{\kilo\meter}.
\end{align}
I ciclisti si incontrano dopo $\SI{1.0}{\hour}$, a $\SI{18}{\kilo\meter}$ dal primo paese.

Verifica di plausibilità: il primo è più veloce, quindi deve aver percorso più della metà della strada — e infatti $\SI{18}{\kilo\meter} > \SI{15}{\kilo\meter}$.
\end{soluzione}

\section{Moto rettilineo uniformemente accelerato}\label{sec:03-mrua}

\subsection{Legge della velocità e legge oraria}\label{sub:03-mrua-leggi}

\begin{definizione}[Moto rettilineo uniformemente accelerato]
Un punto materiale si muove di \textbf{moto rettilineo uniformemente accelerato} (MRUA) se la sua traiettoria è una retta e la sua accelerazione è costante (in modulo, direzione e verso).
\end{definizione}

Detto $a$ il valore costante (con segno) dell'accelerazione e $v_0$ la velocità all'istante $t = 0$, dalla definizione di accelerazione media — che nel moto uniformemente accelerato coincide con quella istantanea — si ricava $\Dlt v = a\,\Dlt t$, ovvero la \textbf{legge della velocità}:

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:03-mrua-vel}
v(t) = v_0 + a\,t
\end{equation}
\end{formulabox}

Per ottenere la legge oraria osserviamo che, fra $0$ e $t$, la velocità cresce linearmente da $v_0$ a $v_0 + a\,t$. La velocità media in tale intervallo è semplicemente la media aritmetica fra valore iniziale e finale:
\[
\vmedia = \frac{v_0 + v(t)}{2} = v_0 + \tfrac{1}{2}\,a\,t.
\]
Lo spostamento è $\Dlt x = \vmedia \cdot t$, da cui:

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:03-mrua-x}
x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2
\end{equation}
\end{formulabox}

Si noti che, posto $a = 0$, la~\eqref{eq:03-mrua-x} si riduce alla legge del MRU~\eqref{eq:03-mru}: il moto uniforme è il caso particolare di moto uniformemente accelerato con accelerazione nulla.

\subsection{Equazione senza il tempo}\label{sub:03-mrua-senza-tempo}

In molti problemi non interessa sapere a che istante avviene un evento, ma solo legare velocità e posizione. Eliminando $t$ dal sistema formato dalle equazioni~\eqref{eq:03-mrua-vel} e~\eqref{eq:03-mrua-x} si ottiene:

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:03-mrua-senza-t}
v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0)
\end{equation}
\end{formulabox}

\begin{nota}
La~\eqref{eq:03-mrua-senza-t} è particolarmente comoda quando si conosce la lunghezza di un tratto e si vuole calcolare la velocità finale (o viceversa). Anticipa il \emph{teorema dell'energia cinetica} che incontreremo nel capitolo~\ref{cap:08}: moltiplicando entrambi i membri per $\tfrac{1}{2}\,m$ ed elaborando, si ottiene il teorema delle forze vive.
\end{nota}

\subsection{Interpretazione delle aree nel grafico v-t}\label{sub:03-mrua-aree}

Nel grafico $v$-$t$ del MRUA la velocità è una retta inclinata di pendenza $a$. Lo spostamento fra $0$ e $t$, già calcolato algebricamente, deve coincidere con l'area del trapezio sotteso dalla retta.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth]
% Assi
\draw[->] (0,0) -- (5.5,0) node[right] {$t$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$v$};
% Retta v(t)
\draw[BLU, very thick] (0,0.7) -- (4.5,3) node[right, BLU] {$v(t) = v_0 + a\,t$};
% Punti notevoli
\filldraw[BLU] (0,0.7) circle (1.5pt);
\node[BLU] at (-0.4,0.7) {\small $v_0$};
\filldraw[BLU] (4,2.75) circle (1.5pt);
% Trapezio
\fill[CELESTE!30] (0,0) -- (4,0) -- (4,2.75) -- (0,0.7) -- cycle;
\draw[dashed, GRIGIO] (4,0) -- (4,2.75);
\draw[dashed, GRIGIO] (0,2.75) -- (4,2.75);
\node at (4,-0.3) {\small $t$};
\node at (-0.4,2.75) {\small $v(t)$};
% Etichette area
\node[BLU!60!black] at (2,1.3) {\small $\Dlt x = $ area trapezio};
\end{tikzpicture}
\caption{Moto uniformemente accelerato. La retta $v(t) = v_0 + a\,t$ ha pendenza pari all'accelerazione $a$ e ordinata all'origine $v_0$. L'area del trapezio compreso fra la retta e l'asse dei tempi rappresenta lo spostamento $\Dlt x$ compiuto fra $0$ e $t$, ed è pari a $\Dlt x = \tfrac{1}{2}(v_0 + v(t))\cdot t = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$.}
\label{fig:03-mrua-aree}
\end{figure}

L'area del trapezio è $\tfrac{1}{2}(\text{base}_1 + \text{base}_2)\cdot \text{altezza}$, dove le ``basi'' sono $v_0$ e $v(t) = v_0 + a\,t$ e l'``altezza'' è $t$. Si ottiene
\[
\Dlt x = \frac{v_0 + v_0 + a\,t}{2}\cdot t = v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2,
\]
in pieno accordo con la~\eqref{eq:03-mrua-x}. La regola \emph{``lo spostamento è l'area sottesa dal grafico $v$-$t$''} non vale solo per il MRUA: vale per qualunque moto rettilineo, e diventa nel quinto anno la base del concetto di \emph{integrale}.

\section{Moti notevoli sotto gravità}\label{sec:03-gravita}

\subsection{Moto di caduta dei gravi}\label{sub:03-caduta}

Vicino alla superficie terrestre, e in assenza di attrito dell'aria, ogni corpo lasciato libero di muoversi cade con la stessa accelerazione costante diretta verso il basso, indipendente dalla massa e dalla forma del corpo. È la celebre scoperta di Galileo, che la dedusse studiando il moto sui piani inclinati e — secondo la tradizione — lasciando cadere oggetti dalla Torre di Pisa.

\begin{legge}[Accelerazione di gravità]
In prossimità della superficie terrestre, ogni corpo in caduta libera è soggetto all'accelerazione $\grav$ diretta verso il basso, con modulo
\[
\grav \approx \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}.
\]
Il valore esatto varia leggermente con la latitudine e l'altitudine, ma per i nostri scopi può essere considerato costante.
\end{legge}

Scelto un asse $y$ verticale orientato verso l'alto, l'accelerazione vale $-\grav$ (negativa perché diretta verso il basso). Un corpo lasciato cadere da fermo dalla quota $y_0$ ha:
\begin{align}
v(t) &= -\grav\,t, \\
y(t) &= y_0 - \tfrac{1}{2}\,\grav\,t^2.
\end{align}

\begin{esempio}[Caduta da una torre]
Un sasso viene lasciato cadere dalla cima di una torre alta $\SI{20}{\meter}$. Trascurando la resistenza dell'aria, calcolare il tempo di caduta e la velocità all'impatto.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Scegliamo l'asse $y$ verticale verso l'alto, con origine alla base della torre. La quota iniziale è $y_0 = h = \SI{20}{\meter}$, la velocità iniziale è $v_0 = 0$. Le leggi orarie sono $v(t) = -\grav\,t$ e $y(t) = h - \tfrac{1}{2}\,\grav\,t^2$.

Il tempo di caduta $t^*$ è quello per cui $y(t^*) = 0$:
\begin{align}
0 &= h - \tfrac{1}{2}\,\grav\,(t^*)^2, \\
t^* &= \sqrt{\frac{2\,h}{\grav}}.
\end{align}
La velocità all'impatto si ottiene da $v(t^*) = -\grav\,t^* = -\sqrt{2\,\grav\,h}$, oppure più rapidamente dalla~\eqref{eq:03-mrua-senza-t}: $v^2 = 2\,\grav\,h$.

Sostituendo i valori:
\begin{align}
t^* &= \sqrt{\frac{2\cdot \SI{20}{\meter}}{\SI{9.81}{\meter\per\second\squared}}} \approx \SI{2.0}{\second}, \\
\modulo{v} &= \sqrt{2\cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}\cdot \SI{20}{\meter}} \approx \SI{20}{\meter\per\second}.
\end{align}
Il sasso impiega circa $\SI{2.0}{\second}$ a cadere e impatta a circa $\SI{20}{\meter\per\second}$, ovvero $\approx \SI{72}{\kilo\meter\per\hour}$.

Verifica dimensionale: $\sqrt{\si{\meter}/(\si{\meter\per\second\squared})} = \sqrt{\si{\second\squared}} = \si{\second}$, e $\sqrt{\si{\meter\per\second\squared}\cdot\si{\meter}} = \si{\meter\per\second}$, entrambe corrette.
\end{soluzione}

\subsection{Moto lungo un piano inclinato liscio}\label{sub:03-inclinato}

L'esperimento storicamente più importante di Galileo è quello del piano inclinato: rallentando la caduta lungo un piano inclinato, riuscì a misurare con orologi ad acqua i tempi e a verificare che il moto è uniformemente accelerato. Anticipiamo qui il risultato cinematico, riservando la dimostrazione dinamica al capitolo~\ref{cap:06}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Piano inclinato
\draw[thick] (0,0) -- (5,0);
\draw[thick] (0,0) -- (4.33,2.5);
\draw[thick] (4.33,2.5) -- (5,0);
% Angolo
\draw (1.2,0) arc (0:30:1.2);
\node at (1.55,0.25) {\small $\theta$};
% Blocco
\filldraw[BLU!30] (3.0,1.73) -- (3.65,2.11) -- (3.30,2.71) -- (2.65,2.33) -- cycle;
\coordinate (C) at (3.15,2.22);
% Vettore accelerazione lungo il piano (verso il basso del piano)
\draw[->, very thick, ROSSO] (C) -- ++({-1.5*cos(30)},{-1.5*sin(30)}) node[midway, above left=-2pt, ROSSO] {\small $\acc$};
% Asse del piano
\draw[->, dashed, GRIGIO] (0.3,0.17) -- (4.7,2.71) node[right, GRIGIO] {\small $x$};
\end{tikzpicture}
\caption{Piano inclinato liscio di angolo $\theta$. Un blocco lasciato libero scivola lungo il piano con accelerazione costante di modulo $a = \grav\sin\theta$, diretta lungo il piano verso il basso.}
\label{fig:03-inclinato}
\end{figure}

\begin{legge}[Accelerazione su piano inclinato liscio]
Un punto materiale che scivola senza attrito lungo un piano inclinato di angolo $\theta$ rispetto all'orizzontale è soggetto a un'accelerazione costante diretta lungo il piano, di modulo
\begin{equation}\label{eq:03-inclinato}
a = \grav\sin\theta.
\end{equation}
\end{legge}

Si verificano i due casi limite: per $\theta = \SI{0}{\degree}$ (piano orizzontale) si ha $a = 0$ e il blocco resta fermo, come deve; per $\theta = \SI{90}{\degree}$ (piano verticale) si ha $a = \grav$ e il moto coincide con la caduta libera.

\subsection{Lancio verticale verso l'alto}\label{sub:03-lancio}

Un sasso lanciato verticalmente verso l'alto è ancora un moto uniformemente accelerato con $a = -\grav$, ma con velocità iniziale $v_0 > 0$. Le leggi orarie sono:
\begin{align}
v(t) &= v_0 - \grav\,t, \\
y(t) &= y_0 + v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,\grav\,t^2.
\end{align}

Il sasso sale, decelera, si ferma per un istante alla quota massima, poi ricade accelerando verso il basso. Il tempo di salita $t_{\text{s}}$ è quello in cui la velocità si annulla, $v(t_{\text{s}}) = 0$:
\[
t_{\text{s}} = \frac{v_0}{\grav}.
\]
La quota massima raggiunta, partendo da $y_0 = 0$, si ricava dalla~\eqref{eq:03-mrua-senza-t} ponendo $v = 0$:
\[
h_{\text{max}} = \frac{v_0^2}{2\,\grav}.
\]
Per simmetria, il tempo totale di volo (salita + discesa fino al punto di partenza) è $2\,t_{\text{s}}$, e all'impatto la velocità è $-v_0$ (stesso modulo, verso opposto a quello iniziale).

\begin{esempio}[Lancio verticale]
Una pallina viene lanciata verticalmente verso l'alto con velocità $\SI{15}{\meter\per\second}$. Determinare l'altezza massima raggiunta e dopo quanto tempo torna al punto di partenza.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, $h_{\text{max}} = v_0^2/(2\,\grav)$ e $t_{\text{tot}} = 2\,v_0/\grav$. Sostituendo:
\begin{align}
h_{\text{max}} &= \frac{(\SI{15}{\meter\per\second})^2}{2\cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}} \approx \SI{11}{\meter}, \\
t_{\text{tot}} &= \frac{2\cdot \SI{15}{\meter\per\second}}{\SI{9.81}{\meter\per\second\squared}} \approx \SI{3.1}{\second}.
\end{align}
La pallina raggiunge circa $\SI{11}{\meter}$ di altezza e torna a terra dopo circa $\SI{3.1}{\second}$.
\end{soluzione}

\section{Introduzione cinematica al moto armonico}\label{sec:03-armonico}

\subsection{Moto periodico e moto armonico}\label{sub:03-periodico}

Non tutti i moti sono rettilinei e con accelerazione costante. Una classe particolarmente importante è quella dei moti che si ripetono identicamente nel tempo.

\begin{definizione}[Moto periodico]
Un moto si dice \textbf{periodico} se esiste un intervallo di tempo $T$, detto \emph{periodo}, tale che la posizione, la velocità e l'accelerazione del punto materiale assumano gli stessi valori dopo ogni intervallo $T$:
\[
\pos(t + T) = \pos(t),\quad \vel(t + T) = \vel(t),\quad \acc(t + T) = \acc(t).
\]
\end{definizione}

Esempi di moti periodici sono il moto della Terra attorno al Sole, l'oscillazione di un pendolo o di una massa attaccata a una molla, le vibrazioni di una corda di chitarra. Il caso più semplice e fondamentale è il \textbf{moto armonico}.

\begin{definizione}[Moto armonico]
Un punto materiale si muove di \textbf{moto armonico} lungo un asse $x$ se la sua posizione varia nel tempo secondo la legge
\begin{equation}\label{eq:03-armonico}
x(t) = A\cos(\omega\,t + \varphi),
\end{equation}
con $A$, $\omega$, $\varphi$ costanti.
\end{definizione}

\subsection{Periodo, frequenza, ampiezza, fase iniziale}\label{sub:03-grandezze-armoniche}

Le quattro costanti che caratterizzano il moto armonico hanno un significato preciso.

\begin{itemize}
\item L'\textbf{ampiezza} $A > 0$ è il massimo allontanamento dal centro di oscillazione (la posizione $x = 0$). Il punto oscilla fra $-A$ e $+A$.
\item La \textbf{pulsazione} $\omega$ (in $\si{\radian\per\second}$) determina la rapidità dell'oscillazione.
\item La \textbf{fase iniziale} $\varphi$ (in $\si{\radian}$) fissa la posizione del punto all'istante $t = 0$, dato che $x(0) = A\cos\varphi$.
\item Il \textbf{periodo} $T$ e la \textbf{frequenza} $f$ sono legati a $\omega$ dalle relazioni
\end{itemize}

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:03-armonico-T}
T = \frac{2\pi}{\omega},\qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}.
\end{equation}
\end{formulabox}

La frequenza si misura in \emph{hertz} ($\si{\hertz} = \si{\per\second}$): un'oscillazione al secondo. Il periodo è il tempo impiegato per compiere un'oscillazione completa, la frequenza il numero di oscillazioni che il punto compie nell'unità di tempo. Studieremo a fondo il moto armonico, e il sistema massa-molla che ne è il prototipo, nel capitolo~\ref{cap:11}.

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
\item La \textbf{cinematica} descrive il moto senza occuparsi delle sue cause, che competono alla dinamica.
\item Un \textbf{punto materiale} è un corpo idealizzato senza estensione spaziale; il modello vale quando le dimensioni sono trascurabili rispetto agli spazi del moto.
\item La \textbf{posizione} $\pos(t)$, la \textbf{traiettoria} (curva descritta nel tempo) e lo \textbf{spostamento} $\spos = \pos_2 - \pos_1$ caratterizzano la geometria del moto.
\item La \textbf{velocità istantanea} è il limite della velocità media per intervalli di tempo che tendono a zero; analogamente per l'accelerazione.
\item Nel grafico $x$-$t$ la pendenza della tangente è $v$; nel grafico $v$-$t$ l'area sottesa è lo spostamento.
\item Nel \textbf{moto rettilineo uniforme} (MRU) la velocità è costante e $x(t) = x_0 + v\,t$.
\item Nel \textbf{moto rettilineo uniformemente accelerato} (MRUA) l'accelerazione è costante: $v(t) = v_0 + a\,t$, $x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}\,a\,t^2$, $v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0)$.
\item In prossimità della superficie terrestre, ogni corpo in caduta libera è soggetto a un'accelerazione costante $\grav \approx \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}$ diretta verso il basso, indipendente dalla massa.
\item Sul piano inclinato liscio di angolo $\theta$ l'accelerazione è $a = \grav\sin\theta$.
\item Il \textbf{moto armonico} $x(t) = A\cos(\omega\,t + \varphi)$ è il prototipo dei moti periodici, descritto da ampiezza $A$, pulsazione $\omega$, fase iniziale $\varphi$, periodo $T = 2\pi/\omega$ e frequenza $f = 1/T$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
\item Un'auto percorre un primo tratto di $\SI{30}{\kilo\meter}$ a $\SI{60}{\kilo\meter\per\hour}$ e un secondo tratto di $\SI{30}{\kilo\meter}$ a $\SI{120}{\kilo\meter\per\hour}$. Calcolare la velocità media sull'intero percorso. (Suggerimento: non è la media aritmetica delle due velocità.)

\item Un treno parte dalla stazione $A$ alle $\SI{8}{\hour}{:}\SI{00}{}$ con velocità costante $\SI{90}{\kilo\meter\per\hour}$ verso $B$. Un secondo treno parte da $B$ alle $\SI{8}{\hour}{:}\SI{30}{}$ con velocità costante $\SI{120}{\kilo\meter\per\hour}$ verso $A$. La distanza fra $A$ e $B$ è $\SI{300}{\kilo\meter}$. A che ora e a quale distanza da $A$ si incrociano?

\item Un'auto in MRU passa per $x_1 = \SI{20}{\meter}$ all'istante $t_1 = \SI{2.0}{\second}$ e per $x_2 = \SI{80}{\meter}$ all'istante $t_2 = \SI{6.0}{\second}$. Determinare velocità e legge oraria.

\item Un'auto accelera da ferma con $a = \SI{2.5}{\meter\per\second\squared}$ costante. Quanto spazio percorre nei primi $\SI{8.0}{\second}$? Quale velocità raggiunge?

\item Un'auto viaggia a $\SI{108}{\kilo\meter\per\hour}$ e frena con decelerazione costante $a = \SI{-6.0}{\meter\per\second\squared}$. Calcolare lo spazio di frenata e il tempo necessario a fermarsi.

\item Un sasso viene lasciato cadere in un pozzo. Si sente il rumore dell'impatto sul fondo dopo $\SI{2.5}{\second}$ dal lancio. Trascurando il tempo di propagazione del suono, determinare la profondità del pozzo.

\item Una pallina viene lanciata verticalmente verso l'alto da terra con velocità iniziale $v_0$. Sapendo che raggiunge un'altezza massima di $\SI{20}{\meter}$, calcolare $v_0$ e il tempo totale di volo.

\item Un blocco scivola lungo un piano inclinato liscio di lunghezza $\SI{2.0}{\meter}$ e angolo $\SI{30}{\degree}$. Partendo da fermo, con quale velocità arriva alla base?

\item Un punto materiale si muove di moto armonico con ampiezza $A = \SI{0.10}{\meter}$ e periodo $T = \SI{0.50}{\second}$. Determinare la pulsazione $\omega$, la frequenza $f$ e la posizione del punto agli istanti $t = 0$, $t = T/4$, $t = T/2$, supponendo $\varphi = 0$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}