\chapter{Ottica geometrica}\label{cap:04}

\citazioneinizio{Il mio disegno in questo libro non è di spiegare le proprietà della luce con ipotesi, ma di proporle e dimostrarle con la ragione e gli esperimenti.}{Isaac Newton, Ottica}

\section*{Introduzione}\label{sec:04-01-introduzione}

I capitoli precedenti ci hanno insegnato a descrivere il moto dei corpi materiali: una palla che cade, un'auto che frena, un sasso lanciato verso l'alto. Ora cambiamo radicalmente protagonista. Non studieremo più il moto di un corpo, ma la propagazione della \emph{luce}: un fenomeno che non ha massa e che non possiamo osservare mentre viaggia. Di un raggio che attraversa la stanza non vediamo nulla, se non quando polvere o fumo ne diffondono una parte verso di noi: vediamo soltanto la luce che entra nel nostro occhio, ed è proprio quella che, arrivando dagli oggetti, ce li rende visibili. Eppure la luce si propaga, si riflette, si piega, e permette ai nostri occhi di leggere queste pagine.

L'\textbf{ottica geometrica} è la prima descrizione che la fisica dà della luce. Si chiama ``geometrica'' perché tratta i raggi luminosi alla stregua di rette ideali, ignorando la natura ondulatoria del fenomeno. È un'idealizzazione — come il punto materiale per la cinematica — che funziona benissimo finché si studiano fenomeni su scala molto maggiore della lunghezza d'onda della luce: specchi, lenti, prismi, occhiali. Per questa ragione l'ottica geometrica si è sviluppata con un grado di precisione notevole molto prima che si capisse \emph{cosa} sia la luce, e ha permesso a Galileo di puntare il primo telescopio verso Giove e di scoprire i suoi quattro satelliti maggiori.

Vedremo i tre principi che governano la propagazione: \emph{moto rettilineo} nei mezzi omogenei, \emph{riflessione} sulle superfici lucide, \emph{rifrazione} al passaggio fra mezzi diversi. Da questi tre fatti deriveremo il funzionamento di specchi, lenti e strumenti ottici, fino all'occhio umano. La domanda più profonda — \emph{che cos'è la luce?} — sarà ripresa nel capitolo~\ref{cap:18}, dedicato alle onde elettromagnetiche, e nel capitolo~\ref{cap:21}, dove vedremo che la luce è anche corpuscolare.

\section{Propagazione della luce}\label{sec:04-propagazione}

\subsection{Sorgenti luminose e raggi}\label{sub:04-sorgenti}

Distinguiamo anzitutto tra corpi che producono luce e corpi che la diffondono.

\begin{definizione}[Sorgenti luminose]
Una \textbf{sorgente luminosa primaria} è un corpo che emette luce propria (Sole, lampada, fiamma, LED). Una \textbf{sorgente secondaria} è un corpo che diffonde la luce ricevuta da una sorgente primaria (Luna, pareti, oggetti illuminati). I corpi che lasciano passare la luce si dicono \emph{trasparenti} (vetro, acqua), quelli che ne lasciano passare solo una parte \emph{traslucidi} (carta velina), quelli che la bloccano completamente \emph{opachi}.
\end{definizione}

Le sorgenti reali hanno sempre un'estensione spaziale, ma per semplificare l'analisi si introduce un'idealizzazione fondamentale.

\begin{definizione}[Sorgente puntiforme e raggio luminoso]
Una \textbf{sorgente puntiforme} è una sorgente le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze in gioco. Un \textbf{raggio luminoso} è la traiettoria geometrica seguita dalla luce nella sua propagazione, idealizzata come una linea orientata.
\end{definizione}

Un raggio luminoso non ha esistenza fisica diretta — è un ente geometrico — ma è uno strumento descrittivo potentissimo: tracciandone alcuni si capisce in modo immediato come la luce si propaga.

\subsection{Propagazione rettilinea della luce}\label{sub:04-rettilinea}

L'osservazione quotidiana suggerisce, e l'esperienza conferma, il primo principio dell'ottica geometrica.

\begin{legge}[Principio di propagazione rettilinea]
In un mezzo \emph{omogeneo} (con le stesse proprietà ottiche in ogni punto) e \emph{isotropo} (con le stesse proprietà in ogni direzione), la luce si propaga in linea retta.
\end{legge}

Questo principio spiega perché si vedono le ombre dei corpi opachi, perché si possono usare mire per allineare oggetti, perché la luce di una stella che osserviamo arriva da una direzione precisa. Il valore della velocità di propagazione nel vuoto, indicata con $\cluce$, è uno dei parametri più importanti della fisica:
\[
  \cluce = \SI{2.998e8}{\meter\per\second} \approx \SI{3.00e8}{\meter\per\second}.
\]
Studieremo a fondo il significato di questa costante nei capitoli sulle onde elettromagnetiche e sulla relatività ristretta.

\subsection{Ombra penombra eclissi}\label{sub:04-ombre}

Un corpo opaco, illuminato da una sorgente, blocca la luce e proietta dietro di sé una zona priva di luce. La forma della zona d'ombra dipende dalla \emph{natura della sorgente}.

\begin{itemize}
\item Con una sorgente \emph{puntiforme} si forma un'unica regione ben definita, completamente priva di luce: l'\textbf{ombra}.
\item Con una sorgente \emph{estesa} si formano due regioni distinte: una zona centrale di buio totale (l'ombra propriamente detta) circondata da una zona di buio parziale, in cui solo una parte della sorgente è visibile, detta \textbf{penombra}.
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=0.9]
% Sorgente estesa
\fill[GIALLO] (-1,0) ellipse (0.4 and 1.0);
\draw[GIALLO!60!black, thick] (-1,0) ellipse (0.4 and 1.0);
\node[GIALLO!50!black] at (-1,-1.6) {\small sorgente};
% Corpo opaco
\fill[GRIGIO] (3,0) circle (0.6);
\draw[thick] (3,0) circle (0.6);
\node at (3,-1.0) {\small corpo opaco};
% Raggi che delimitano ombra e penombra
% Raggi tangenti alti: dal punto alto sorgente al punto alto corpo
\draw[GIALLO!60!black, thin] (-1,1.0) -- (3,0.6) -- (8,0.1);
\draw[GIALLO!60!black, thin] (-1,-1.0) -- (3,-0.6) -- (8,-0.1);
% Raggi tangenti incrociati: dal punto alto sorgente al punto basso corpo (e viceversa)
\draw[GIALLO!60!black, thin] (-1,1.0) -- (3,-0.6) -- (8,-2.0);
\draw[GIALLO!60!black, thin] (-1,-1.0) -- (3,0.6) -- (8,2.0);
% Zona di ombra (cono intersezione)
\fill[black, opacity=0.6] (3,0.6) -- (3,-0.6) -- (5.4,0) -- cycle;
% Etichette
\node[white] at (4,0) {\small ombra};
\node at (6.5,1.2) {\small penombra};
\node at (6.5,-1.2) {\small penombra};
\node at (6.5,2.2) {\small piena luce};
% Schermo
\draw[thick] (8,-2.5) -- (8,2.5);
\node at (8.3,-2.7) {\small schermo};
\end{tikzpicture}
\caption{Sorgente luminosa estesa e corpo opaco. Sullo schermo si distinguono tre regioni: la zona di \emph{ombra} (nessuna luce raggiunge il punto), la zona di \emph{penombra} (solo una parte della sorgente è visibile), la zona pienamente illuminata. Con una sorgente puntiforme la penombra scomparirebbe.}
\label{fig:04-ombra-penombra}
\end{figure}

Le \textbf{eclissi} sono un esempio spettacolare del fenomeno su scala astronomica. Nell'eclissi solare la Luna si interpone fra il Sole e la Terra: gli osservatori che si trovano nel cono d'ombra vedono il Sole completamente coperto (\emph{eclissi totale}); quelli in penombra ne vedono una porzione (\emph{eclissi parziale}). Nell'eclissi lunare è la Terra a interporsi fra il Sole e la Luna, gettando la propria ombra sul satellite.

\section{Riflessione}\label{sec:04-riflessione}

Quando un raggio di luce incide su una superficie, una parte della sua energia viene rimandata indietro. È il fenomeno della \textbf{riflessione}. Se la superficie è perfettamente liscia (uno specchio) la luce rimbalza in modo regolare; se è scabra (un foglio di carta, un muro) la luce viene diffusa in tutte le direzioni — è la \emph{riflessione diffusa}, che ci permette di vedere gli oggetti illuminati.

\subsection{Leggi della riflessione}\label{sub:04-leggi-riflessione}

Le leggi che governano la riflessione regolare furono studiate sin dall'antichità (già Euclide ne fornì una formulazione), ma la loro sistematizzazione moderna si deve a René Descartes (Cartesio) nel XVII secolo.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Specchio (superficie riflettente)
\draw[thick] (-3,0) -- (3,0);
\foreach \x in {-2.7,-2.4,...,2.7}{
  \draw[thin] (\x,0) -- (\x-0.25,-0.25);
}
% Normale
\draw[dashed, GRIGIO] (0,-0.3) -- (0,3);
\node[GRIGIO] at (0.3,2.7) {\small normale};
% Raggio incidente
\draw[->, very thick, BLU] (-2.5,2.5) -- (0,0);
\node[BLU] at (-2.0,2.4) {\small raggio incidente};
% Raggio riflesso
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (2.5,2.5);
\node[ROSSO] at (2.0,2.4) {\small raggio riflesso};
% Angolo di incidenza
\draw[VERDE, thick] (0,1.2) arc (90:135:1.2);
\node[VERDE] at (-0.7,1.4) {\small $\hat{i}$};
% Angolo di riflessione
\draw[VIOLA, thick] (0,1.2) arc (90:45:1.2);
\node[VIOLA] at (0.7,1.4) {\small $\hat{r}$};
% Punto di incidenza
\filldraw[black] (0,0) circle (1.5pt);
\node at (0.3,-0.3) {\small $P$};
\end{tikzpicture}
\caption{Riflessione di un raggio luminoso su uno specchio piano. Il raggio incidente, la normale alla superficie nel punto di incidenza e il raggio riflesso giacciono nello stesso piano; l'angolo di incidenza $\hat{i}$ e l'angolo di riflessione $\hat{r}$ sono uguali.}
\label{fig:04-riflessione}
\end{figure}

\begin{legge}[Leggi della riflessione]
Quando un raggio luminoso incide su una superficie riflettente nel punto $P$, sia $\hat{i}$ l'angolo formato dal raggio incidente con la normale alla superficie in $P$ (\emph{angolo di incidenza}) e $\hat{r}$ l'angolo formato dal raggio riflesso con la stessa normale (\emph{angolo di riflessione}). Allora:
\begin{enumerate}
\item il raggio incidente, la normale e il raggio riflesso giacciono nello \emph{stesso piano};
\item l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione:
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-riflessione}
\hat{i} = \hat{r}.
\end{equation}
\centering{\small\([\hat{i}\,]=[\hat{r}\,]=[\mathrm{rad}]\)}
\end{formulabox}
\end{enumerate}
\end{legge}

\begin{attenzione}
Gli angoli di incidenza e di riflessione si misurano sempre rispetto alla \emph{normale}, non rispetto alla superficie. È un errore frequente: misurare $\hat{i}$ dalla superficie significa scrivere $90^\circ - \hat{i}$ al posto di $\hat{i}$, e tutte le formule successive risultano sbagliate.
\end{attenzione}

\subsection{Specchi piani e formazione delle immagini}\label{sub:04-specchi-piani}

Quando guardiamo in uno specchio, vediamo un'\emph{immagine} degli oggetti che ci stanno davanti. Capire dove si forma e che caratteristiche ha è una semplice applicazione delle leggi della riflessione.

Consideriamo un oggetto puntiforme $O$ posto davanti a uno specchio piano. Da $O$ partono raggi in tutte le direzioni; quelli che colpiscono lo specchio vengono riflessi secondo la legge $\hat{i} = \hat{r}$. Tracciando due raggi qualsiasi e prolungandone i riflessi all'indietro (dietro lo specchio), si scopre che i prolungamenti si incontrano in un unico punto $O'$, simmetrico di $O$ rispetto al piano dello specchio.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Specchio
\draw[thick] (0,-2) -- (0,2);
\foreach \y in {-1.7,-1.4,...,1.7}{
  \draw[thin] (0,\y) -- (-0.25,\y+0.25);
}
% Oggetto
\filldraw[BLU] (-3,0.8) circle (2pt);
\node[BLU] at (-3.3,0.8) {\small $O$};
% Immagine virtuale
\filldraw[ROSSO] (3,0.8) circle (2pt);
\node[ROSSO] at (3.3,0.8) {\small $O'$};
% Due raggi dall'oggetto allo specchio
\draw[->, thick, BLU] (-3,0.8) -- (0,1.4);
\draw[->, thick, BLU] (-3,0.8) -- (0,0);
% Raggi riflessi (verso l'occhio)
\draw[->, thick, ROSSO] (0,1.4) -- (2.0,1.0);
\draw[->, thick, ROSSO] (0,0) -- (2.0,-0.4);
% Prolungamenti dietro lo specchio
\draw[dashed, GRIGIO] (0,1.4) -- (3,0.8);
\draw[dashed, GRIGIO] (0,0) -- (3,0.8);
% Distanze dallo specchio
\draw[<->, GRIGIO] (-3,-1.6) -- (0,-1.6);
\node[GRIGIO] at (-1.5,-1.85) {\small $d$};
\draw[<->, GRIGIO] (0,-1.6) -- (3,-1.6);
\node[GRIGIO] at (1.5,-1.85) {\small $d$};
% Etichetta
\node at (-2.5,-2.4) {\small oggetto};
\node at (2.5,-2.4) {\small immagine virtuale};
\end{tikzpicture}
\caption{Formazione dell'immagine in uno specchio piano. I raggi riflessi divergono a partire dallo specchio; i loro prolungamenti all'indietro (linee tratteggiate) si incontrano in $O'$, simmetrico di $O$ rispetto al piano dello specchio. L'immagine è \emph{virtuale}: nel punto $O'$ non c'è effettiva concentrazione di luce.}
\label{fig:04-specchio-piano}
\end{figure}

\begin{definizione}[Immagine reale e virtuale]
Un'\textbf{immagine reale} è un punto in cui i raggi luminosi convergono effettivamente: in quel punto è possibile raccogliere la luce, ad esempio su uno schermo. Un'\textbf{immagine virtuale} è un punto in cui non passa luce, ma da cui i raggi luminosi \emph{sembrano} provenire all'occhio dell'osservatore: il cervello prolunga all'indietro i raggi e localizza la sorgente apparente.
\end{definizione}

L'immagine in uno specchio piano è dunque virtuale, simmetrica dell'oggetto rispetto al piano dello specchio, della stessa dimensione e diritta (non capovolta). C'è però un'inversione: la destra e la sinistra appaiono scambiate.

\subsection{Specchi sferici concavi e convessi}\label{sub:04-specchi-sferici}

Uno specchio sferico è una porzione di superficie sferica riflettente. Si chiama \textbf{concavo} se la superficie riflettente è quella interna alla sfera (come una conca), \textbf{convesso} se è quella esterna (come una cupola).

\begin{definizione}[Elementi di uno specchio sferico]
Per uno specchio sferico si definiscono:
\begin{itemize}
\item il \emph{centro di curvatura} $C$: il centro della sfera di cui lo specchio è una porzione;
\item il \emph{vertice} $V$: il centro geometrico della calotta;
\item l'\emph{asse ottico}: la retta passante per $C$ e $V$;
\item il \emph{raggio di curvatura} $R$: la distanza $\overline{CV}$;
\item il \emph{fuoco} $F$: il punto dell'asse ottico in cui convergono (o sembrano divergere) i raggi paralleli all'asse, dopo la riflessione;
\item la \emph{distanza focale} $f = \overline{VF}$.
\end{itemize}
\end{definizione}

Per specchi non troppo aperti (\emph{condizione di Gauss}: i raggi si mantengono vicini all'asse e poco inclinati), si dimostra geometricamente che il fuoco è a metà fra il centro di curvatura e il vertice:
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-fuoco-specchio}
f = \frac{R}{2}.
\end{equation}
\centering{\small\([f]=[R]=[\mathrm{m}]\)}
\end{formulabox}

Lo specchio concavo ha $f > 0$ e fa \emph{convergere} i raggi paralleli all'asse: si dice \emph{convergente}. Lo specchio convesso ha $f < 0$ e fa \emph{divergere} i raggi (i prolungamenti all'indietro si incontrano in $F$ dietro lo specchio): si dice \emph{divergente}.

Gli specchi concavi si usano nei telescopi riflettori per concentrare la luce delle stelle, nei fari delle automobili per produrre fasci paralleli, nelle parabole solari per concentrare la radiazione. Gli specchi convessi si usano negli specchietti retrovisori delle auto e nei sistemi di sorveglianza, perché offrono un campo visivo molto ampio (a costo di un'immagine rimpicciolita).

\section{Rifrazione}\label{sec:04-rifrazione}

Quando un raggio di luce passa da un mezzo trasparente a un altro (per esempio dall'aria all'acqua), una parte si riflette e una parte passa nel secondo mezzo, ma cambia direzione: si dice che il raggio viene \textbf{rifratto}. Il fenomeno è all'origine di moltissime osservazioni quotidiane: una matita immersa in un bicchiere d'acqua sembra spezzata, un pesce visto da fuori appare più vicino alla superficie di quanto non sia, le lenti degli occhiali correggono la vista.

\subsection{Indice di rifrazione di un mezzo}\label{sub:04-indice}

Il fatto sperimentale alla base della rifrazione è che la luce si propaga in mezzi materiali con velocità \emph{minore} che nel vuoto. Definiamo allora una grandezza che misura quanto ogni mezzo ``rallenta'' la luce.

\begin{definizione}[Indice di rifrazione]
L'\textbf{indice di rifrazione assoluto} di un mezzo è il rapporto fra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce $v$ in quel mezzo:
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-indice}
n = \frac{\cluce}{v}.
\end{equation}
\centering{\small\([n]=[\text{adim.}],\;[\cluce]=[v]=\left[\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]\)}
\end{formulabox}
\end{definizione}

Poiché $v \le \cluce$, si ha sempre $n \ge 1$. L'indice di rifrazione è un numero \emph{adimensionale}: rapporto fra due velocità. Alcuni valori tipici, per la luce visibile:

\begin{table}[H]
  \centering
  \caption{Indice di rifrazione di alcuni mezzi (luce gialla, $\lambda \approx \SI{589}{\nano\meter}$).}
  \label{tab:04-indici}
  \begin{tabular}{lc}
    \toprule
    \textbf{Mezzo} & \textbf{Indice $n$} \\
    \midrule
    Vuoto              & $1$ (esatto) \\
    Aria (a $0\,\si{\celsius}$, $1\,\si{atm}$) & $1.000\,29$ \\
    Acqua              & $1.33$ \\
    Vetro comune       & $1.50$ \\
    Vetro flint        & $1.65$ \\
    Diamante           & $2.42$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

\begin{nota}
L'indice di rifrazione dipende leggermente dalla \emph{lunghezza d'onda} (cioè dal colore) della luce. Questa dipendenza, detta \emph{dispersione}, è ciò che permette a un prisma di scomporre la luce bianca nei colori dell'arcobaleno: le diverse componenti vengono deviate di angoli leggermente diversi. La studieremo nel capitolo~\ref{cap:18}.
\end{nota}

\subsection{Legge di Snell-Cartesio}\label{sub:04-snell}

Le leggi quantitative della rifrazione furono trovate da Willebrord Snell (1621) e indipendentemente formulate da Cartesio (1637).

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Mezzi
\fill[CELESTE!15] (-3,-2.5) rectangle (3,0);
\fill[BLU!15]    (-3,0) rectangle (3,2.5);
\draw[thick] (-3,0) -- (3,0);
% Etichette mezzi
\node at (2.5,1.5) {\small mezzo 1, $n_1$};
\node at (2.5,-1.5) {\small mezzo 2, $n_2$};
% Normale
\draw[dashed, GRIGIO] (0,-2.3) -- (0,2.3);
\node[GRIGIO] at (0.3,2.1) {\small normale};
% Raggio incidente
\draw[->, very thick, BLU] (-2,2) -- (0,0);
\node[BLU] at (-1.7,1.7) {\small incidente};
% Raggio rifratto (deviato verso la normale, mezzo più denso)
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (1.3,-2.2);
\node[ROSSO] at (1.7,-1.8) {\small rifratto};
% Raggio riflesso (debole, tratteggiato)
\draw[->, thick, GRIGIO!70] (0,0) -- (2,2);
\node[GRIGIO!50!black] at (1.7,1.5) {\small riflesso};
% Angolo di incidenza
\draw[VERDE, thick] (0,1.2) arc (90:135:1.2);
\node[VERDE] at (-0.7,1.4) {\small $\hat{i}$};
% Angolo di rifrazione
\draw[VIOLA, thick] (0,-1.2) arc (-90:-60:1.2);
\node[VIOLA] at (0.55,-1.45) {\small $\hat{r}$};
% Punto
\filldraw[black] (0,0) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\caption{Rifrazione di un raggio luminoso al passaggio dal mezzo $1$ al mezzo $2$. Quando $n_2 > n_1$ (passaggio verso un mezzo otticamente più denso), il raggio rifratto si avvicina alla normale: $\hat{r} < \hat{i}$. Una piccola parte del raggio viene anche riflessa.}
\label{fig:04-rifrazione}
\end{figure}

\begin{legge}[Leggi di Snell-Cartesio]
Quando un raggio luminoso passa dal mezzo $1$ (indice $n_1$) al mezzo $2$ (indice $n_2$), siano $\hat{i}$ l'angolo di incidenza e $\hat{r}$ l'angolo di rifrazione (entrambi misurati dalla normale). Allora:
\begin{enumerate}
\item il raggio incidente, la normale e il raggio rifratto giacciono nello stesso piano;
\item vale la relazione
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-snell}
n_1 \sin\hat{i} = n_2 \sin\hat{r}.
\end{equation}
\centering{\small\([n_1]=[n_2]=[\text{adim.}],\;[\hat{i}\,]=[\hat{r}\,]=[\mathrm{rad}]\)}
\end{formulabox}
\end{enumerate}
\end{legge}

\begin{nota}[Lettura qualitativa]
Riscriviamo la legge di Snell come $\sin\hat{r} = (n_1/n_2)\sin\hat{i}$. Se $n_2 > n_1$ (passaggio a un mezzo più denso) si ha $\sin\hat{r} < \sin\hat{i}$, quindi $\hat{r} < \hat{i}$: il raggio si \emph{avvicina alla normale}. Se $n_2 < n_1$ (passaggio a un mezzo meno denso) accade il contrario: il raggio si \emph{allontana dalla normale}.
\end{nota}

\begin{esempio}[Rifrazione aria-acqua]
Un raggio luminoso incide sulla superficie dell'acqua dall'aria con un angolo di incidenza $\hat{i} = \SI{40}{\degree}$. Determinare l'angolo di rifrazione, sapendo che $n_{\text{aria}} \approx 1.00$ e $n_{\text{acqua}} = 1.33$.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, dalla legge di Snell~\eqref{eq:04-snell} con mezzo $1$ aria e mezzo $2$ acqua:
\begin{align}
n_1\sin\hat{i} &= n_2\sin\hat{r}, \\
\sin\hat{r} &= \frac{n_1}{n_2}\sin\hat{i}, \\
\hat{r} &= \arcsin\!\left(\frac{n_1}{n_2}\sin\hat{i}\right).
\end{align}
Sostituendo i valori:
\begin{align}
\sin\hat{r} &= \frac{1.00}{1.33}\cdot \sin\SI{40}{\degree} = \frac{1.00}{1.33}\cdot 0.643 \approx 0.483, \\
\hat{r} &\approx \SI{29}{\degree}.
\end{align}
Il raggio si avvicina alla normale, come ci si aspetta nel passaggio a un mezzo più denso.

Verifica di plausibilità: per $\hat{i} \to 0$ (incidenza perpendicolare) anche $\hat{r}\to 0$, e infatti la legge di Snell impone questa coerenza. Per $\hat{i}$ piccoli ci si aspetterebbe un fattore di riduzione vicino a $n_1/n_2 \approx 0.75$, e in effetti $\hat{r}/\hat{i} \approx 29/40 = 0.73$, coerente.
\end{soluzione}

\subsection{Riflessione totale e angolo limite}\label{sub:04-riflessione-totale}

Quando la luce passa da un mezzo più denso a uno meno denso ($n_1 > n_2$), il raggio rifratto si allontana dalla normale: $\hat{r} > \hat{i}$. Aumentando l'angolo di incidenza, l'angolo di rifrazione cresce più rapidamente, fino a raggiungere $\SI{90}{\degree}$. Per questo valore particolare il raggio rifratto giace lungo la superficie di separazione: oltre questa soglia, la luce \emph{non passa più} nel secondo mezzo, ma viene interamente rinviata indietro, come se la superficie di separazione fosse uno specchio perfetto. Si chiama \textbf{riflessione totale}.

\begin{definizione}[Angolo limite]
L'\textbf{angolo limite} $\hat{L}$ è l'angolo di incidenza per cui l'angolo di rifrazione vale esattamente $\SI{90}{\degree}$. Per ogni $\hat{i} > \hat{L}$ si ha riflessione totale.
\end{definizione}

Imponendo $\hat{r} = \SI{90}{\degree}$ nella~\eqref{eq:04-snell}, con $n_1 > n_2$:
\[
  n_1 \sin\hat{L} = n_2 \sin\SI{90}{\degree} = n_2,
\]
da cui:
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-angolo-limite}
\sin\hat{L} = \frac{n_2}{n_1}.
\end{equation}
\centering{\small\([\hat{L}\,]=[\mathrm{rad}],\;[n_1]=[n_2]=[\text{adim.}]\)}
\end{formulabox}

L'angolo limite esiste solo nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso. Per la coppia acqua-aria, $\sin\hat{L} = 1.00/1.33 \approx 0.752$, da cui $\hat{L} \approx \SI{49}{\degree}$. È per questo che un sub che guardi verso l'alto vede tutto il mondo esterno compresso in un cono di semi-apertura di $\SI{49}{\degree}$ (\emph{finestra di Snell}); per angoli maggiori vede invece il fondale riflesso dalla superficie come da uno specchio.

\begin{nota}[Applicazioni]
La riflessione totale è alla base della trasmissione della luce nelle \emph{fibre ottiche}, sottili filamenti di vetro in cui la luce, una volta entrata da un capo, vi resta confinata grazie a successive riflessioni totali contro le pareti, e arriva all'altro capo con perdite minime. Le fibre ottiche sono il pilastro tecnologico delle telecomunicazioni moderne. Lo stesso fenomeno spiega lo scintillio dei diamanti, il cui altissimo indice di rifrazione ($n = 2.42$) produce un angolo limite molto piccolo ($\hat{L} \approx \SI{24}{\degree}$): la luce che entra fatica a uscire e rimbalza più volte all'interno del cristallo prima di emergere.
\end{nota}

\section{Formalizzazione matematica dell'ottica geometrica}\label{sec:04-formalizzazione}

Specchi sferici e lenti sottili condividono una caratteristica fondamentale: per raggi parassiali (vicini all'asse e poco inclinati), il sistema ottico \emph{focalizza} i raggi provenienti da un punto-oggetto in un singolo punto-immagine. Esiste cioè una corrispondenza biunivoca fra punti dello spazio-oggetto e punti dello spazio-immagine, e si possono dare formule generali che la descrivono.

\subsection{Equazione dei punti coniugati}\label{sub:04-coniugati}

\begin{definizione}[Punti coniugati]
Dato un sistema ottico, si dicono \textbf{punti coniugati} un punto-oggetto $O$ e il corrispondente punto-immagine $O'$, entrambi sull'asse ottico (o riferiti ad esso). La distanza dell'oggetto dal sistema si indica con $p$, quella dell'immagine con $q$.
\end{definizione}

Per uno specchio sferico nella condizione di Gauss, e per una lente sottile (di spessore trascurabile), vale una relazione semplice e potentissima.

\begin{legge}[Equazione dei punti coniugati]
Dato un sistema ottico (specchio sferico o lente sottile) di distanza focale $f$, le distanze $p$ dell'oggetto e $q$ dell'immagine, misurate dal sistema lungo l'asse ottico, soddisfano la relazione
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-coniugati}
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}.
\end{equation}
\centering{\small\([p]=[q]=[f]=[\mathrm{m}]\)}
\end{formulabox}
\end{legge}

\begin{nota}[Convenzione dei segni]
Adottiamo la convenzione \emph{``reale è positivo''} usata nella tradizione didattica italiana:
\begin{itemize}
\item $p > 0$ per oggetti reali (sempre, nei nostri problemi);
\item $q > 0$ se l'immagine è reale (dalla parte opposta dell'oggetto per le lenti, dalla stessa parte per gli specchi); $q < 0$ se è virtuale;
\item $f > 0$ per sistemi convergenti (specchio concavo, lente convergente); $f < 0$ per sistemi divergenti (specchio convesso, lente divergente).
\end{itemize}
\end{nota}

L'equazione~\eqref{eq:04-coniugati} permette di rispondere immediatamente alle domande tipiche: dove si forma l'immagine di un oggetto? Quali distanze $p$ producono immagini reali e quali virtuali? Si analizzino tre casi notevoli per una lente convergente:

\begin{itemize}
\item se $p > f$ (oggetto oltre il fuoco), $q > 0$ e finito: l'immagine è reale;
\item se $p = f$ (oggetto nel fuoco), $1/q = 0$ ovvero $q\to\infty$: l'immagine si forma all'infinito (i raggi escono paralleli);
\item se $p < f$ (oggetto fra fuoco e lente), $q < 0$: l'immagine è virtuale, dalla stessa parte dell'oggetto. È il principio della lente d'ingrandimento.
\end{itemize}

\subsection{Ingrandimento lineare}\label{sub:04-ingrandimento}

Oltre a sapere \emph{dove} si forma l'immagine, ci interessa sapere \emph{come è fatta}: orientata come l'oggetto o capovolta? più grande o più piccola? Lo dice l'\textbf{ingrandimento lineare}.

\begin{definizione}[Ingrandimento lineare]
Detta $h$ l'altezza dell'oggetto (misurata perpendicolarmente all'asse ottico) e $h'$ quella dell'immagine, l'\textbf{ingrandimento lineare} è il rapporto
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:04-ingrandimento}
G = \frac{h'}{h} = -\frac{q}{p}.
\end{equation}
\centering{\small\([G]=[\text{adim.}],\;[h]=[h']=[p]=[q]=[\mathrm{m}]\)}
\end{formulabox}
\end{definizione}

Il segno è essenziale per leggere correttamente la geometria del problema:
\begin{itemize}
\item $G > 0$: immagine \emph{diritta} (orientata come l'oggetto);
\item $G < 0$: immagine \emph{capovolta};
\item $\modulo{G} > 1$: immagine \emph{ingrandita};
\item $\modulo{G} < 1$: immagine \emph{rimpicciolita}.
\end{itemize}

\subsection{Costruzione grafica delle immagini}\label{sub:04-costruzione-grafica}

Le formule danno il risultato numerico, ma per capire \emph{cosa succede} nulla batte una buona costruzione grafica. Per le lenti sottili, tre raggi notevoli partenti dalla testa dell'oggetto sono sufficienti a localizzare l'immagine.

\begin{procedura}[Tre raggi notevoli per le lenti sottili]
\begin{enumerate}
\item Il raggio \emph{parallelo all'asse ottico}, dopo aver attraversato la lente, passa per il fuoco $F$ dal lato opposto.
\item Il raggio \emph{passante per il centro ottico} della lente prosegue indisturbato.
\item Il raggio \emph{passante per il fuoco} dal lato dell'oggetto esce parallelo all'asse ottico.
\end{enumerate}
Bastano due qualsiasi di questi raggi per individuare il punto-immagine; il terzo serve da controllo.
\end{procedura}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=0.85]
% Asse ottico
\draw[->] (-5.5,0) -- (5.5,0) node[right] {asse ottico};
% Lente convergente (rappresentata come segmento con piccole frecce)
\draw[thick, BLU] (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw[->, BLU, thick] (-0.25,2.5) -- (0,2.5);
\draw[->, BLU, thick] (0.25,2.5) -- (0,2.5);
\draw[->, BLU, thick] (-0.25,-2.5) -- (0,-2.5);
\draw[->, BLU, thick] (0.25,-2.5) -- (0,-2.5);
% Fuochi
\filldraw[black] (-1.5,0) circle (1.5pt) node[below right] {\small $F$};
\filldraw[black] (1.5,0) circle (1.5pt) node[below right] {\small $F'$};
% Distanza focale
\draw[<->, GRIGIO] (0,-2.9) -- (1.5,-2.9) node[midway, below, GRIGIO] {\small $f$};
% Oggetto (freccia in piedi)
\draw[->, very thick, ROSSO] (-4,0) -- (-4,1.7) node[above, ROSSO] {\small $h$};
\node at (-4,-0.3) {\small $O$};
% Raggio 1: parallelo all'asse → passa per F'
\draw[->, thick, VERDE] (-4,1.7) -- (0,1.7);
\draw[->, thick, VERDE] (0,1.7) -- (3.4,-1.0);
% Raggio 2: per il centro ottico → indisturbato
\draw[->, thick, VIOLA] (-4,1.7) -- (3.4,-1.0);
% Raggio 3: per F (lato oggetto) → esce parallelo
\draw[->, thick, ARANCIO] (-4,1.7) -- (-1.5,0);
\draw[->, thick, ARANCIO] (-1.5,0) -- (3.4,0);
\draw[ARANCIO, thick] (3.4,0) -- (4.5,0);
% Immagine (freccia in giù)
\draw[->, very thick, ROSSO] (3.4,0) -- (3.4,-1.0) node[below, ROSSO] {\small $h'$};
\node at (3.4,0.3) {\small $O'$};
% Distanze p e q
\draw[<->, GRIGIO] (-4,-3.5) -- (0,-3.5) node[midway, below, GRIGIO] {\small $p$};
\draw[<->, GRIGIO] (0,-3.5) -- (3.4,-3.5) node[midway, below, GRIGIO] {\small $q$};
\end{tikzpicture}
\caption{Costruzione grafica dell'immagine in una lente convergente, per un oggetto posto oltre il fuoco. I tre raggi notevoli convergono nel punto-immagine $O'$. L'immagine risulta reale (i raggi convergono effettivamente), capovolta ($h' < 0$) e, in questo caso, rimpicciolita.}
\label{fig:04-lente-costruzione}
\end{figure}

\begin{esempio}[Lente d'ingrandimento]
Una lente sottile convergente di distanza focale $f = \SI{10}{\centi\meter}$ è usata come lente d'ingrandimento. Un oggetto alto $h = \SI{2.0}{\milli\meter}$ è posto a $p = \SI{8.0}{\centi\meter}$ dalla lente. Determinare la posizione, la natura e l'altezza dell'immagine.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, dall'equazione~\eqref{eq:04-coniugati}:
\begin{align}
\frac{1}{p} + \frac{1}{q} &= \frac{1}{f}, \\
\frac{1}{q} &= \frac{1}{f} - \frac{1}{p} = \frac{p - f}{p\,f}, \\
q &= \frac{p\,f}{p - f}.
\end{align}
L'ingrandimento è $G = -q/p$ e l'altezza dell'immagine $h' = G\cdot h$.

Sostituendo i valori, $f = \SI{10}{\centi\meter}$ e $p = \SI{8.0}{\centi\meter}$:
\begin{align}
q &= \frac{(\SI{8.0}{\centi\meter})\cdot(\SI{10}{\centi\meter})}{\SI{8.0}{\centi\meter} - \SI{10}{\centi\meter}} = \frac{\SI{80}{\centi\meter\squared}}{-\SI{2.0}{\centi\meter}} = -\SI{40}{\centi\meter}, \\
G &= -\frac{q}{p} = -\frac{-\SI{40}{\centi\meter}}{\SI{8.0}{\centi\meter}} = +5.0, \\
h' &= G\cdot h = 5.0\cdot \SI{2.0}{\milli\meter} = \SI{10}{\milli\meter}.
\end{align}

L'immagine ha $q < 0$: è dunque \emph{virtuale}, dalla stessa parte dell'oggetto. Ha $G > 0$: è \emph{diritta}. Ha $\modulo{G} = 5 > 1$: è \emph{ingrandita} cinque volte. Esattamente il comportamento di una lente d'ingrandimento.

Verifica di plausibilità: l'oggetto è posto fra il fuoco e la lente ($p < f$), e in questa configurazione l'equazione dei punti coniugati prevede sempre immagine virtuale, diritta e ingrandita — coerente con il risultato.
\end{soluzione}

\section{Strumenti ottici}\label{sec:04-strumenti}

\subsection{Lenti sottili convergenti e divergenti}\label{sub:04-lenti}

Una \textbf{lente sottile} è un corpo trasparente (in genere vetro o materiale plastico) delimitato da due superfici sferiche, il cui spessore è trascurabile rispetto al raggio di curvatura delle superfici. Le lenti si classificano in base alla forma in due grandi famiglie.

\begin{itemize}
\item Le \textbf{lenti convergenti} sono più spesse al centro che ai bordi: biconvesse, piano-convesse, menisco convergente. Hanno $f > 0$ e fanno convergere i raggi paralleli all'asse nel fuoco $F'$.
\item Le \textbf{lenti divergenti} sono più sottili al centro che ai bordi: biconcave, piano-concave, menisco divergente. Hanno $f < 0$ e fanno divergere i raggi paralleli all'asse, i cui prolungamenti all'indietro si incontrano in un fuoco virtuale.
\end{itemize}

\begin{nota}
Le lenti divergenti producono \emph{sempre} immagini virtuali, diritte e rimpicciolite, qualunque sia la distanza dell'oggetto. Lo si verifica facilmente dall'equazione~\eqref{eq:04-coniugati} con $f < 0$: si ottiene $q < 0$ in ogni caso.
\end{nota}

L'inverso della distanza focale, $P = 1/f$, è il \textbf{potere diottrico} della lente. Si misura in \emph{diottrie}: una diottria è il potere di una lente con distanza focale di un metro, ovvero $\SI{1}{\per\meter}$. Una lente da $+\SI{2}{\per\meter}$ ha $f = \SI{0.5}{\meter}$ ed è convergente; una lente da $-\SI{1}{\per\meter}$ ha $f = -\SI{1}{\meter}$ ed è divergente. È il numero che compare sulle prescrizioni degli occhiali.

\subsection{Costruzione di strumenti ottici semplici}\label{sub:04-strumenti-semplici}

Combinando lenti e specchi si ottengono strumenti ottici di grande utilità pratica.

\paragraph{Lente d'ingrandimento.} Una singola lente convergente, con l'oggetto posto entro la distanza focale, fornisce un'immagine virtuale e ingrandita (cfr.\ esempio precedente). È lo strumento più semplice ed è usato per leggere caratteri piccoli, esaminare francobolli, ispezionare circuiti.

\paragraph{Microscopio composto.} È un sistema a due lenti convergenti. La prima, l'\emph{obiettivo}, ha distanza focale molto piccola e produce un'immagine reale, capovolta e ingrandita di un piccolo oggetto. La seconda, l'\emph{oculare}, agisce come una lente d'ingrandimento sull'immagine prodotta dall'obiettivo. L'ingrandimento totale è il prodotto degli ingrandimenti delle due lenti, e può raggiungere facilmente l'ordine di $1000\times$.

\paragraph{Telescopio rifrattore.} Due lenti convergenti coassiali, ma ottimizzate per oggetti lontani: l'obiettivo è una lente di grande diametro e grande distanza focale, l'oculare è una lente di piccola distanza focale. L'obiettivo produce un'immagine reale e capovolta dell'oggetto lontano nel suo fuoco, e l'oculare la ingrandisce. Galileo, nel 1609, costruì il primo telescopio funzionante con cui osservare il cielo, scoprendo le montagne lunari, le fasi di Venere, i quattro maggiori satelliti di Giove.

\paragraph{Telescopio riflettore.} Inventato da Newton, sostituisce l'obiettivo con uno specchio concavo di grande diametro, che concentra la luce delle stelle nel suo fuoco. Ha vantaggi enormi per l'astronomia: gli specchi non producono aberrazione cromatica e si possono costruire molto più grandi delle lenti. Tutti i grandi telescopi moderni sono riflettori.

\subsection{L'occhio umano come sistema ottico}\label{sub:04-occhio}

Il più antico e diffuso strumento ottico è l'occhio umano. Schematicamente, è un sistema ottico convergente che forma sulla retina, che svolge il ruolo di schermo, un'immagine reale e capovolta del mondo esterno (è il cervello a ``raddrizzarla'' nell'elaborazione successiva).

\begin{itemize}
\item La \textbf{cornea} e il \textbf{cristallino} agiscono insieme come una lente convergente, di distanza focale variabile (un'azione detta \emph{accomodamento}).
\item L'\textbf{iride} regola la quantità di luce che entra, contraendo o dilatando la \textbf{pupilla}.
\item La \textbf{retina}, sul fondo dell'occhio, è una membrana ricca di cellule fotosensibili (coni e bastoncelli) che convertono la luce in segnali nervosi.
\end{itemize}

L'occhio normale può mettere a fuoco oggetti da una distanza di pochi centimetri (\emph{punto prossimo}, $\sim \SI{25}{\centi\meter}$ in un giovane adulto) fino all'infinito (\emph{punto remoto}). I difetti più comuni sono:

\begin{itemize}
\item la \textbf{miopia}: il bulbo oculare è troppo lungo, le immagini degli oggetti lontani si formano davanti alla retina. Si corregge con lenti \emph{divergenti}, che spostano in avanti l'immagine.
\item l'\textbf{ipermetropia}: il bulbo è troppo corto, le immagini si formano oltre la retina. Si corregge con lenti \emph{convergenti}.
\item la \textbf{presbiopia}: con l'invecchiamento il cristallino perde elasticità e fatica ad accomodare per oggetti vicini. Si corregge anch'essa con lenti convergenti.
\end{itemize}

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
\item L'\textbf{ottica geometrica} idealizza la luce come raggi rettilinei, valida finché non entrano in gioco fenomeni ondulatori (cap.~\ref{cap:18}).
\item In un mezzo omogeneo e isotropo, la luce si propaga in linea retta con velocità $\cluce \approx \SI{3.00e8}{\meter\per\second}$ nel vuoto.
\item Le \textbf{leggi della riflessione} affermano che raggio incidente, normale e raggio riflesso sono complanari e che $\hat{i} = \hat{r}$ (angoli misurati dalla normale).
\item Uno specchio piano forma un'immagine \emph{virtuale}, simmetrica dell'oggetto rispetto al piano dello specchio, di uguali dimensioni.
\item L'\textbf{indice di rifrazione} di un mezzo è $n = \cluce/v$, con $v$ velocità della luce nel mezzo, ed è sempre $n \ge 1$.
\item La \textbf{legge di Snell-Cartesio} afferma che $n_1\sin\hat{i} = n_2\sin\hat{r}$ al passaggio fra mezzi diversi.
\item Nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso esiste un \textbf{angolo limite} $\hat{L}$ con $\sin\hat{L} = n_2/n_1$: oltre $\hat{L}$ si ha \emph{riflessione totale}.
\item L'\textbf{equazione dei punti coniugati} è $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{f}$, con la convenzione ``reale è positivo''.
\item L'\textbf{ingrandimento lineare} è $G = h'/h = -q/p$; il segno ne indica l'orientamento, il modulo la grandezza relativa.
\item Le \textbf{lenti convergenti} ($f>0$) producono immagini reali e capovolte se $p > f$, virtuali e ingrandite se $p < f$. Le \textbf{lenti divergenti} ($f<0$) producono sempre immagini virtuali, diritte, rimpicciolite.
\item Il potere diottrico è $P = 1/f$, misurato in diottrie ($\si{\per\meter}$).
\item L'\textbf{occhio umano} è un sistema convergente ad accomodamento variabile; miopia, ipermetropia e presbiopia si correggono con lenti opportune.
\end{itemize}
\end{riepilogo}

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
\item Un raggio luminoso incide su uno specchio piano formando un angolo di $\SI{25}{\degree}$ con la \emph{superficie} dello specchio. Quanto vale l'angolo di riflessione misurato dalla normale? E quello fra raggio incidente e raggio riflesso?

\item Due specchi piani sono disposti perpendicolarmente fra loro. Un raggio luminoso incide sul primo con un angolo di incidenza $\hat{i} = \SI{30}{\degree}$. Determinare la direzione del raggio dopo essere stato riflesso da entrambi gli specchi e mostrare che essa è opposta a quella iniziale (proprietà del riflettore d'angolo, usato nei catarifrangenti).

\item Un raggio di luce attraversa una lastra di vetro ($n = 1.50$) di spessore $\SI{4.0}{\centi\meter}$, immersa in aria, con angolo di incidenza $\hat{i} = \SI{55}{\degree}$. Calcolare l'angolo di rifrazione all'interno del vetro e dimostrare che il raggio uscente è parallelo a quello entrante. Calcolare lo spostamento laterale del raggio.

\item Calcolare l'angolo limite per il passaggio della luce dal vetro ($n = 1.50$) all'aria.

\item Una fibra ottica è composta da un \emph{nucleo} di vetro con $n_1 = 1.52$ rivestito da un \emph{mantello} con $n_2 = 1.48$. Calcolare l'angolo limite all'interfaccia nucleo-mantello e l'angolo massimo di accettazione della luce all'imboccatura della fibra (immersa in aria).

\item Uno specchio concavo ha raggio di curvatura $R = \SI{40}{\centi\meter}$. Un oggetto alto $\SI{3.0}{\centi\meter}$ è posto a $\SI{60}{\centi\meter}$ dal vertice. Determinare posizione, natura, ingrandimento e altezza dell'immagine.

\item Una lente convergente ha distanza focale $f = \SI{15}{\centi\meter}$. Un oggetto è posto a $p = \SI{30}{\centi\meter}$ dalla lente. Determinare $q$, $G$ e descrivere natura e orientamento dell'immagine. Ripetere per $p = \SI{15}{\centi\meter}$ e $p = \SI{10}{\centi\meter}$.

\item Una lente divergente ha potere diottrico $P = -\SI{2.5}{\per\meter}$. Un oggetto è posto a $\SI{20}{\centi\meter}$ dalla lente. Calcolare distanza focale, posizione e ingrandimento dell'immagine.

\item Un astronomo costruisce un telescopio rifrattore con un obiettivo di distanza focale $f_\text{ob} = \SI{1.0}{\meter}$ e un oculare di distanza focale $f_\text{oc} = \SI{2.5}{\centi\meter}$. Sapendo che l'ingrandimento angolare di un telescopio è $f_\text{ob}/f_\text{oc}$, calcolare l'ingrandimento.

\item Una persona miope non vede nitidamente oltre $\SI{50}{\centi\meter}$. Determinare il potere diottrico delle lenti correttive necessarie a portarle il punto remoto all'infinito. (Suggerimento: la lente deve formare di un oggetto all'infinito un'immagine virtuale a $\SI{50}{\centi\meter}$ dall'occhio.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

\bigskip
\noindent\href{https://giovanninicco.com/soluzioni-004-ottica.pdf}{\textbf{$\rightarrow$ Soluzioni degli esercizi proposti}} \;(fascicolo PDF a parte).