\chapter{Termologia: temperatura ed equilibrio termico}\label{cap:05}

\citazioneinizio{Quando si è capaci di misurare ciò di cui si sta parlando ed esprimerlo in numeri, allora si conosce qualcosa al riguardo; ma quando non lo si può misurare, la conoscenza è scarsa e insoddisfacente.}{William Thomson (Lord Kelvin)}

\section*{Introduzione}\label{sec:05-01-introduzione}

Tutti abbiamo familiarità con le sensazioni di ``caldo'' e ``freddo'': una tazza di tè appena versato è calda, un cubetto di ghiaccio è freddo. Ma queste impressioni soggettive non sono ancora fisica. Se metti la mano sinistra in una bacinella di acqua tiepida e la mano destra in una di acqua bollente per qualche secondo, e poi le immergi entrambe in una stessa bacinella di acqua a temperatura ambiente, la mano sinistra ti sembrerà calda e la destra fredda — eppure stanno toccando esattamente la stessa acqua. Le sensazioni ingannano.

Per fare scienza dei fenomeni termici dobbiamo passare dalla sensazione alla \emph{misura}: associare a ogni stato di un corpo un numero, la temperatura, che rispetti l'evidenza sperimentale e ci permetta di confrontare oggettivamente situazioni diverse. La citazione di Kelvin all'inizio del capitolo coglie esattamente questo passaggio: la conoscenza qualitativa diventa scientifica solo quando si fa quantitativa.

In questo capitolo ci concentriamo sulla \emph{temperatura}, lasciando per il capitolo~\ref{cap:12} il concetto di \emph{calore}, ad essa strettamente legato ma distinto. Per ora ci basterà capire: che cosa significa ``temperatura'', come si definisce in modo operativo, perché due corpi messi a contatto raggiungono uno stato comune (\emph{equilibrio termico}), e quali scale numeriche si usano per esprimerla. Tutto il resto della termodinamica — calore specifico, gas perfetti, primo e secondo principio — poggerà su questi fondamenti.

\section{Sistemi termici e interazioni}\label{sec:05-sistemi}

\subsection{Interazioni fra sistemi fisici come cambiamento di stato}\label{sub:05-interazioni}

Cominciamo con un'osservazione semplice. Mettiamo un cubetto di ghiaccio in un bicchiere d'acqua a temperatura ambiente. Dopo qualche minuto il cubetto è completamente sciolto, e l'acqua del bicchiere è più fredda di prima. Qualcosa è successo, qualcosa è cambiato in entrambi i corpi. Diciamo che fra il cubetto e l'acqua c'è stata un'\textbf{interazione termica}.

Lo stesso linguaggio vale per altri esempi familiari:
\begin{itemize}
\item una pentola d'acqua sul fornello acceso si scalda fino a bollire;
\item un caffè caldo lasciato sul tavolo si raffredda lentamente;
\item due lastre di metallo, una calda e una fredda, messe a contatto raggiungono dopo un po' la stessa temperatura intermedia.
\end{itemize}

In tutti questi casi due corpi (o due parti dello stesso corpo) interagiscono fra loro, e il segnale dell'interazione è un \emph{cambiamento di stato}: cambia la temperatura, cambia il volume, cambia l'aspetto fisico (il ghiaccio diventa acqua liquida, l'acqua bollente diventa vapore). La fisica dei fenomeni termici è la fisica di queste interazioni.

\begin{definizione}[Sistema termodinamico]
Un \textbf{sistema termodinamico} è una porzione finita di materia o di spazio scelta come oggetto di studio, separata dal resto dell'universo da un confine (reale o ideale). Tutto ciò che sta fuori dal sistema è detto \emph{ambiente} o \emph{esterno}.
\end{definizione}

A seconda di che cosa il confine lascia attraversare, distinguiamo:
\begin{itemize}
\item un sistema \textbf{aperto} scambia con l'esterno sia materia sia energia (un bicchiere senza coperchio);
\item un sistema \textbf{chiuso} scambia energia ma non materia (una bottiglia tappata);
\item un sistema \textbf{isolato} non scambia nulla con l'esterno (idealizzazione: un thermos perfetto si avvicina a questa condizione).
\end{itemize}

\subsection{Stato macroscopico di un sistema}\label{sub:05-stato}

Un grammo d'acqua contiene un numero gigantesco di molecole: circa $\num{3.3e22}$. Descrivere posizione e velocità di ognuna di esse, istante per istante, è impossibile in pratica e — come vedremo — anche inutile per gran parte delle domande che ci poniamo. Per fortuna, l'esperienza mostra che bastano poche grandezze macroscopiche a caratterizzare il comportamento osservabile del sistema.

\begin{definizione}[Stato macroscopico]
Lo \textbf{stato macroscopico} di un sistema termodinamico in equilibrio è l'insieme dei valori assunti da poche grandezze fisiche misurabili (volume, pressione, temperatura, massa, densità\dots) che ne descrivono completamente il comportamento osservabile, prescindendo dal dettaglio del moto delle singole molecole.
\end{definizione}

\begin{nota}
La descrizione \emph{microscopica} — in termini di posizioni e velocità delle singole particelle — non è sbagliata, ma è impraticabile e quasi sempre inutile: se in una stanza vuoi sapere se fa caldo o freddo, ti basta un termometro, non l'elenco delle posizioni e velocità di $\num{e25}$ molecole d'aria. Il legame fra descrizione macroscopica e microscopica è oggetto della \emph{termodinamica statistica}, che studieremo nel capitolo~\ref{cap:20}.
\end{nota}

Diciamo che un sistema è in uno \textbf{stato di equilibrio} (termico, meccanico, chimico) quando le grandezze macroscopiche che lo descrivono non variano nel tempo, in assenza di interazioni esterne. È solo per stati di equilibrio che ha senso assegnare un valore univoco a temperatura, pressione, volume — e di conseguenza è agli stati di equilibrio che si applicheranno le leggi della termodinamica classica.

\subsection{Variabili di stato e loro misurabilità}\label{sub:05-variabili}

\begin{definizione}[Variabili di stato]
Le grandezze fisiche che caratterizzano lo stato macroscopico di un sistema in equilibrio si chiamano \textbf{variabili di stato} (o coordinate termodinamiche). Esempi: volume $V$, pressione $p$, temperatura $T$, massa $m$, densità $\rho$.
\end{definizione}

Le variabili di stato si dividono in due grandi famiglie, di cui è importante avere chiara la distinzione.

\begin{itemize}
\item Le grandezze \textbf{estensive} dipendono dalla quantità di materia: raddoppiando il sistema, il loro valore raddoppia. Esempi: massa, volume, energia, numero di particelle.
\item Le grandezze \textbf{intensive} non dipendono dalla quantità di materia: prendendo metà del sistema in equilibrio, il loro valore resta invariato. Esempi: temperatura, pressione, densità.
\end{itemize}

\begin{nota}
Il rapporto fra due grandezze estensive è una grandezza intensiva. Per esempio, la densità $\rho = m/V$ è intensiva: se prendi la metà di un blocco d'acqua, sia la massa sia il volume si dimezzano, ma il rapporto resta lo stesso. È una distinzione utile da tenere a mente in tutta la termodinamica.
\end{nota}

Tutte le variabili di stato devono essere \emph{misurabili}: per ognuna serve una procedura operativa che permette di assegnarle un valore numerico riproducibile (cfr.\ capitolo~\ref{cap:01}). Per volume e massa abbiamo già strumenti familiari (cilindri graduati, bilance); per la pressione vedremo il manometro nel capitolo~\ref{cap:10}; per la temperatura — che è la grandezza protagonista di questo capitolo — dobbiamo procedere con cura.

\section{La temperatura}\label{sec:05-temperatura}

\subsection{Definizione operativa di temperatura}\label{sub:05-definizione}

Le sensazioni di caldo e freddo, come abbiamo visto, sono inaffidabili. Eppure suggeriscono qualcosa di reale: esiste una proprietà degli oggetti per cui possiamo metterli in ordine — più caldo, più freddo. Il problema è trasformare questa intuizione in una grandezza fisica misurabile.

L'idea, antica almeno quanto il termoscopio costruito da Galileo intorno al 1592, è di sfruttare il fatto che molte proprietà fisiche dei corpi (volume, lunghezza, pressione, resistenza elettrica, colore di un metallo incandescente\dots) cambiano in modo riproducibile quando il corpo si scalda o si raffredda. Una qualsiasi di queste proprietà può servire da \emph{indicatore} della temperatura.

\begin{definizione}[Definizione operativa di temperatura]
La \textbf{temperatura} di un sistema in equilibrio è la grandezza fisica misurata da un \emph{termometro} messo a contatto con il sistema, dopo che termometro e sistema hanno raggiunto a loro volta l'equilibrio reciproco.
\end{definizione}

\begin{nota}
È una definizione \emph{operativa}: non spiega che cos'\emph{è} la temperatura (lo capiremo nel capitolo~\ref{cap:20}: è una misura dell'energia cinetica media delle particelle), ma dice come misurarla. Per fare fisica quantitativa è esattamente ciò che serve. La definizione operativa è una strategia tipica della fisica: si rinuncia a dire ``che cos'è'' una grandezza e si specifica invece ``come la si misura''. Spesso il \emph{come} chiarisce meglio del \emph{che cos'è}.
\end{nota}

\subsection{Termometri e taratura}\label{sub:05-termometri}

\begin{definizione}[Termometro]
Un \textbf{termometro} è un dispositivo che sfrutta una proprietà fisica di un corpo (detta \emph{grandezza termometrica}) variabile con la temperatura, per fornire una misura numerica della temperatura stessa.
\end{definizione}

Esistono molti tipi di termometro, ciascuno basato su una diversa grandezza termometrica:
\begin{itemize}
\item termometri \emph{a liquido}: sfruttano la dilatazione termica di un liquido (mercurio, alcol colorato) racchiuso in un capillare di vetro;
\item termometri \emph{a gas}: misurano la pressione di un gas a volume costante (o il volume a pressione costante);
\item termometri \emph{a resistenza}: sfruttano la variazione della resistenza elettrica di un metallo o di un semiconduttore con la temperatura;
\item \emph{termocoppie}: sfruttano la differenza di potenziale che si genera fra due metalli diversi a contatto, dipendente dalla temperatura;
\item \emph{pirometri ottici}: misurano l'intensità e il colore della luce emessa da un corpo molto caldo, senza contatto.
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Bulbo (cerchio in basso)
\fill[ROSSO!70] (0,0) circle (0.5);
\draw[thick] (0,0) circle (0.5);
% Capillare (rettangolo verticale)
\draw[thick] (-0.12,0.45) -- (-0.12,5);
\draw[thick] (0.12,0.45) -- (0.12,5);
\draw[thick] (-0.12,5) -- (0.12,5);
% Mercurio nel capillare
\fill[ROSSO!70] (-0.10,0.45) rectangle (0.10,3.2);
% Tacche con numeri (Celsius)
\foreach \y/\val in {0.5/0, 1.4/20, 2.3/40, 3.2/60, 4.1/80, 5.0/100}{
  \draw[thick] (0.18,\y) -- (0.45,\y);
  \node[right] at (0.5,\y) {\small \val};
}
% Tacche minori
\foreach \y in {0.95,1.85,2.75,3.65,4.55}{
  \draw[thin] (0.18,\y) -- (0.32,\y);
}
% Etichetta unità
\node[right] at (0.5,5.5) {\si{\celsius}};
% Etichetta sostanza
\node at (-1.2,0) {\small bulbo con};
\node at (-1.2,-0.4) {\small mercurio};
% Indicatore livello attuale
\draw[->, thick, BLU] (-1.0,3.2) -- (-0.2,3.2);
\node[BLU] at (-1.6,3.2) {\small livello};
\end{tikzpicture}
\caption{Schema di un termometro a mercurio con scala Celsius. Il bulbo contiene il liquido termometrico; il livello nel capillare cambia con la temperatura per dilatazione termica. La scala è incisa sul vetro con tacche numerate fra i due punti fissi.}
\label{fig:05-termometro}
\end{figure}

\begin{procedura}[Costruire una scala termometrica]
Per associare al termometro una scala di valori numerici si procede così:
\begin{enumerate}
\item si scelgono due \textbf{punti fissi}: stati riproducibili a cui assegnare per convenzione due valori numerici di temperatura. Tradizionalmente: la \emph{temperatura del ghiaccio fondente} (acqua e ghiaccio in equilibrio a pressione atmosferica) e la \emph{temperatura dell'acqua bollente} (acqua e vapore in equilibrio a pressione atmosferica);
\item si misura il valore della grandezza termometrica $X$ ai due punti fissi, ottenendo $X_0$ e $X_{100}$;
\item si suddivide l'intervallo $[X_0, X_{100}]$ in un numero stabilito di parti uguali, e si estende la suddivisione anche oltre i punti fissi.
\end{enumerate}
La temperatura $T$ corrispondente a un generico valore $X$ della grandezza termometrica si ottiene per interpolazione lineare:
\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:05-taratura}
T = T_0 + \frac{X - X_0}{X_{100} - X_0}\,(T_{100} - T_0).
\end{equation}
\end{formulabox}
\end{procedura}

\begin{attenzione}
Termometri costruiti con grandezze termometriche diverse possono \emph{non concordare} alle temperature intermedie, anche se sono d'accordo ai punti fissi. Per esempio, un termometro a mercurio e uno ad alcol tarati entrambi a $\SI{0}{\celsius}$ e $\SI{100}{\celsius}$ possono dare letture leggermente diverse a $\SI{50}{\celsius}$, perché le dilatazioni dei due liquidi non sono perfettamente lineari né uguali. Si è dunque concordato per convenzione internazionale di prendere come riferimento il \emph{termometro a gas a volume costante}, le cui letture sono molto vicine alla temperatura ``vera'' definita teoricamente nel capitolo~\ref{cap:20}.
\end{attenzione}

\subsection{Equilibrio termico come processo di interazione}\label{sub:05-equilibrio}

Quando due corpi a temperature diverse vengono messi a contatto, l'esperienza mostra che le loro temperature evolvono nel tempo: il più caldo si raffredda, il più freddo si riscalda, finché entrambi raggiungono una temperatura comune intermedia, dopodiché non cambiano più. Si dice che hanno raggiunto l'\textbf{equilibrio termico}.

\begin{definizione}[Equilibrio termico]
Due sistemi a contatto, in grado di interagire termicamente fra loro, sono in \textbf{equilibrio termico} quando le loro variabili di stato (in particolare la temperatura) non variano più nel tempo. Equivalentemente: due sistemi sono in equilibrio termico se, messi a contatto attraverso una parete che permette lo scambio di energia termica, non scambiano nulla.
\end{definizione}

L'equilibrio termico non è un fatto istantaneo: è il risultato di un'interazione (scambio di energia termica) che procede finché esiste una differenza di temperatura, e si arresta quando questa differenza si annulla. È esattamente questa proprietà a permettere a un termometro di funzionare: messo a contatto con un corpo, il termometro raggiunge l'equilibrio termico con esso, e a quel punto la sua lettura coincide con la temperatura del corpo.

\subsection{Principio zero della termodinamica}\label{sub:05-principio-zero}

Il fatto che ``avere la stessa temperatura'' sia una relazione \emph{transitiva} — se $A$ ha la stessa temperatura di $B$, e $B$ ha la stessa temperatura di $C$, allora anche $A$ e $C$ hanno la stessa temperatura — sembra ovvio, ma logicamente non lo è affatto. Eppure è proprio quello che permette di usare i termometri: il termometro $B$ misura la temperatura di un corpo $A$; se poi misura anche un corpo $C$ e troviamo lo stesso valore, possiamo concludere che $A$ e $C$, pur senza essersi mai toccati, hanno la stessa temperatura. Senza questa proprietà non avrebbe senso parlare di temperatura come grandezza universale.

L'evidenza sperimentale di questa transitività è così fondamentale da meritare il nome di \emph{principio} (anche se è stato formalizzato dopo i principi primo e secondo della termodinamica, e per non rinumerarli si è scelto di chiamarlo ``principio zero'').

\begin{legge}[Principio zero della termodinamica]
Se due sistemi $A$ e $B$ sono in equilibrio termico con un terzo sistema $C$, allora $A$ e $B$ sono in equilibrio termico fra loro:
\[
  A \sim C \quad \text{e} \quad B \sim C \quad \implies \quad A \sim B,
\]
dove il simbolo $\sim$ denota equilibrio termico.
\end{legge}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Tre sistemi
\draw[thick, fill=BLU!20]   (-3.5,0) circle (0.7) node {\Large $A$};
\draw[thick, fill=GIALLO!30]( 3.5,0) circle (0.7) node {\Large $B$};
\draw[thick, fill=VERDE!25] ( 0,-2.5) circle (0.7) node {\Large $C$};
% Contatti reali
\draw[<->, very thick, ROSSO] (-2.85,-0.3) -- (-0.55,-2.25);
\draw[<->, very thick, ROSSO] ( 2.85,-0.3) -- ( 0.55,-2.25);
\node[ROSSO] at (-2.0,-1.5) {\small $A \sim C$};
\node[ROSSO] at ( 2.0,-1.5) {\small $B \sim C$};
% Conseguenza
\draw[<->, very thick, dashed, BLU] (-2.8,0) -- (2.8,0);
\node[BLU] at (0,0.4) {\small $A \sim B$ (conseguenza)};
\end{tikzpicture}
\caption{Principio zero della termodinamica. Se $A$ è in equilibrio termico con $C$ e $B$ è in equilibrio termico con $C$, allora $A$ e $B$ sono in equilibrio termico fra loro, anche senza essersi mai toccati. È questa transitività a rendere possibile l'uso del termometro come standard di confronto.}
\label{fig:05-principio-zero}
\end{figure}

\begin{nota}[Perché ``zero''?]
Il primo e il secondo principio della termodinamica furono formulati nel XIX secolo da Clausius, Kelvin e altri. Solo nel 1931 Ralph H.\ Fowler riconobbe che dietro all'idea stessa di temperatura si nasconde un assioma logicamente più fondamentale, che andrebbe enunciato \emph{prima} degli altri due. Per non rinumerare leggi già famose, si scelse il nome ``principio zero''.
\end{nota}

Il principio zero ha una conseguenza concettuale importante: poiché ``essere in equilibrio termico'' è una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica e transitiva), si possono raggruppare tutti i sistemi del mondo in classi di sistemi mutuamente in equilibrio termico. Ad ogni classe si può associare un'\emph{etichetta numerica} — la temperatura — comune a tutti i suoi membri. È questa la giustificazione logica del concetto di temperatura come grandezza fisica.

\section{Scale termometriche}\label{sec:05-scale}

\subsection{Scala Celsius}\label{sub:05-celsius}

La scala più usata nella vita quotidiana in gran parte del mondo è la \textbf{scala Celsius}, proposta dall'astronomo svedese Anders Celsius nel 1742.

\begin{legge}[Scala Celsius]
La scala Celsius assegna i valori numerici:
\begin{itemize}
\item $\SI{0}{\celsius}$ alla temperatura del ghiaccio fondente (acqua e ghiaccio in equilibrio a pressione atmosferica standard, $p = \SI{1.013e5}{\pascal}$);
\item $\SI{100}{\celsius}$ alla temperatura dell'acqua bollente (acqua e vapore in equilibrio alla stessa pressione).
\end{itemize}
L'intervallo fra i due punti fissi è suddiviso in $100$ gradi uguali.
\end{legge}

L'unità di misura è il \emph{grado Celsius}, simbolo $\si{\celsius}$. Differenze di temperatura nella scala Celsius si esprimono in $\si{\celsius}$.

\begin{nota}
Celsius nella sua proposta originaria del 1742 fissò $\SI{0}{\celsius}$ all'ebollizione e $\SI{100}{\celsius}$ alla fusione, in pratica al contrario di come oggi conosciamo la sua scala. Fu il botanico Carl von Linné a invertirla qualche anno dopo, dandole la forma attuale. Il nome ``Celsius'' è rimasto come riconoscimento storico.
\end{nota}

\subsection{Scala Kelvin temperatura assoluta}\label{sub:05-kelvin}

La scala Celsius è comoda nella vita quotidiana, ma il suo zero — la temperatura del ghiaccio fondente — è una scelta arbitraria, legata a una particolare sostanza (l'acqua) in particolari condizioni (pressione atmosferica). C'è uno zero più fondamentale?

L'analisi sperimentale del comportamento dei gas suggerì già nel XIX secolo che, raffreddando un gas, la sua pressione (a volume costante) o il suo volume (a pressione costante) decrescono linearmente con la temperatura. Estrapolando le rette ottenute fino a pressione zero o volume zero, tutte le rette si incontrano in uno stesso punto: $\SI{-273.15}{\celsius}$. Sotto questa temperatura, una pressione o un volume positivi sono impossibili. Questo punto è uno \textbf{zero naturale}, indipendente dalla sostanza scelta: è lo \textbf{zero assoluto}.

\begin{legge}[Scala Kelvin]
La scala Kelvin (o \emph{scala assoluta}) ha lo zero coincidente con lo zero assoluto e la stessa ampiezza di grado della scala Celsius. La temperatura espressa in kelvin si denota con $T$ e si misura in \emph{kelvin}, simbolo $\si{\kelvin}$ (senza il simbolo di grado).
\end{legge}

\begin{nota}
Il \emph{kelvin} è un'unità di base del Sistema Internazionale (cfr.\ capitolo~\ref{cap:01}). Dal 2019 è definito a partire dalla costante di Boltzmann $k_B$, fissata per convenzione a $k_B = \SI{1.380649e-23}{\joule\per\kelvin}$ (esatto). Per il liceo basta sapere che storicamente fu definita imponendo $T = \SI{273.16}{\kelvin}$ al punto triplo dell'acqua (lo stato in cui ghiaccio, acqua liquida e vapore coesistono in equilibrio).
\end{nota}

Lo zero assoluto è un limite \emph{irraggiungibile}: è possibile avvicinarvisi quanto si vuole, ma non toccarlo (il \emph{terzo principio della termodinamica}, nel cap.~\ref{cap:12}, formalizza questa affermazione). I laboratori di fisica delle basse temperature riescono oggi a raggiungere temperature di pochi nanokelvin, ma mai zero.

\subsection{Conversioni tra scale e zero assoluto}\label{sub:05-conversioni}

Poiché Celsius e Kelvin hanno la stessa ampiezza di grado e differiscono solo per l'origine, la conversione fra le due scale è una semplice traslazione.

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:05-conversione}
T_{\si{\kelvin}} = t_{\si{\celsius}} + 273.15, \qquad t_{\si{\celsius}} = T_{\si{\kelvin}} - 273.15.
\end{equation}
\end{formulabox}

\begin{attenzione}
\begin{itemize}
\item I \emph{valori} di temperatura cambiano: $\SI{0}{\celsius} = \SI{273.15}{\kelvin}$, $\SI{20}{\celsius} = \SI{293.15}{\kelvin}$, ecc.
\item Le \emph{differenze} di temperatura sono invece le stesse: $\Dlt T = \SI{50}{\kelvin} = \SI{50}{\celsius}$. Per questo nelle formule di termodinamica in cui compare $\Dlt T$ è indifferente usare l'una o l'altra unità.
\item Tutte le formule fondamentali della termodinamica (legge dei gas perfetti, energia cinetica media delle molecole, leggi della radiazione termica\dots) richiedono temperature in \emph{kelvin}, mai in $\si{\celsius}$.
\end{itemize}
\end{attenzione}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Asse Celsius
\draw[thick, ->] (0,-1) -- (0,5.5);
\node[above] at (0,5.5) {$t\,(\si{\celsius})$};
\foreach \y/\val in {0/0, 1/100, 2/200, 3/300, 4/400, 5/500, -0.7315/-73.15}{
  \draw[thick] (-0.1,\y) -- (0.1,\y);
}
% Etichette su Celsius (valori chiave)
\node[left] at (-0.15,0)      {\small $0$};
\node[left] at (-0.15,1)      {\small $100$};
\node[left] at (-0.15,-0.7315){\small $-73.15$};
\node[left] at (-0.15,-2.7315){\small $-273.15$};
% Asse Kelvin
\draw[thick, ->] (3,-1) -- (3,5.5);
\node[above] at (3,5.5) {$T\,(\si{\kelvin})$};
\foreach \y/\val in {-2.7315/0, 0/273.15, 1/373.15, 2/473.15, 3/573.15, 4/673.15, 5/773.15}{
  \draw[thick] (2.9,\y) -- (3.1,\y);
}
\node[right] at (3.15,-2.7315){\small $0$};
\node[right] at (3.15,0)      {\small $273.15$};
\node[right] at (3.15,1)      {\small $373.15$};
% Limite zero assoluto
\draw[dashed, ROSSO, thick] (-1.2,-2.7315) -- (4.5,-2.7315);
\node[ROSSO, right] at (4.5,-2.7315){\small zero assoluto};
% Punti notevoli (ghiaccio, ebollizione)
\draw[dotted, BLU] (-1.2,0) -- (4.0,0);
\node[BLU, right] at (4.5,0) {\small ghiaccio fondente};
\draw[dotted, BLU] (-1.2,1) -- (4.0,1);
\node[BLU, right] at (4.5,1) {\small acqua bollente};
% Estendo l'asse Celsius oltre lo zero assoluto per mostrare il limite
\draw[ultra thick, ROSSO] (-0.1,-2.7315) -- (0.1,-2.7315);
\draw[ultra thick, ROSSO] (2.9,-2.7315) -- (3.1,-2.7315);
\end{tikzpicture}
\caption{Confronto fra scala Celsius e scala Kelvin. Le due scale hanno la stessa ampiezza di grado e differiscono solo per la posizione dello zero. Lo zero assoluto, $\SI{0}{\kelvin}$, corrisponde a $\SI{-273.15}{\celsius}$: è un limite naturale al di sotto del quale nessun sistema fisico può esistere.}
\label{fig:05-scale}
\end{figure}

\begin{esempio}[Conversioni di temperatura]
Convertire le seguenti temperature: la temperatura corporea media umana ($\SI{36.6}{\celsius}$), l'azoto liquido ($\SI{77}{\kelvin}$), il punto di fusione del piombo ($\SI{327}{\celsius}$), il fondo cosmico a microonde ($\SI{2.73}{\kelvin}$).
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Applichiamo la~\eqref{eq:05-conversione} caso per caso.

Temperatura corporea: $T = \num{36.6} + \num{273.15} = \SI{309.75}{\kelvin}$.

Azoto liquido: $t = \num{77} - \num{273.15} = \SI{-196.15}{\celsius}$.

Punto di fusione del piombo: $T = \num{327} + \num{273.15} = \SI{600.15}{\kelvin}$.

Fondo cosmico: $t = \num{2.73} - \num{273.15} = \SI{-270.42}{\celsius}$.

Verifica di plausibilità: temperature ``ordinarie'' della scala Celsius (decine di gradi) corrispondono a kelvin attorno a $\num{300}$; temperature criogeniche (poche centinaia di kelvin sopra lo zero) corrispondono a Celsius molto negativi; il fondo cosmico è quasi allo zero assoluto, a meno di pochi kelvin. Tutto coerente.
\end{soluzione}

\begin{esempio}[Taratura di un termometro a resistenza]
Un termometro a resistenza ha le seguenti letture ai due punti fissi: $R_0 = \SI{100.0}{\ohm}$ al ghiaccio fondente, $R_{100} = \SI{138.5}{\ohm}$ all'acqua bollente. Determinare la temperatura corrispondente a una lettura di $R = \SI{125.0}{\ohm}$, sia in Celsius sia in kelvin, assumendo che la resistenza vari linearmente con la temperatura.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, per la~\eqref{eq:05-taratura} con $T_0 = \SI{0}{\celsius}$, $T_{100} = \SI{100}{\celsius}$ e grandezza termometrica $X = R$:
\[
  t = \frac{R - R_0}{R_{100} - R_0}\cdot \SI{100}{\celsius}.
\]

Sostituendo i valori:
\begin{align}
t &= \frac{\SI{125.0}{\ohm} - \SI{100.0}{\ohm}}{\SI{138.5}{\ohm} - \SI{100.0}{\ohm}}\cdot \SI{100}{\celsius} = \frac{\SI{25.0}{\ohm}}{\SI{38.5}{\ohm}}\cdot \SI{100}{\celsius} \approx \SI{64.9}{\celsius}, \\
T &= t + \num{273.15} \approx \SI{338.0}{\kelvin}.
\end{align}

Verifica di plausibilità: la lettura $\SI{125.0}{\ohm}$ è a circa due terzi dell'intervallo $[\SI{100.0}{\ohm}, \SI{138.5}{\ohm}]$, dunque ci si aspetta una temperatura a circa due terzi dell'intervallo $[\SI{0}{\celsius}, \SI{100}{\celsius}]$, cioè attorno a $\SI{65}{\celsius}$ — coerente con il risultato.
\end{soluzione}

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
\item Un \textbf{sistema termodinamico} è una porzione di materia (o di spazio) scelta come oggetto di studio, separata dall'ambiente da un confine. Si dice aperto, chiuso o isolato a seconda di che cosa il confine lascia attraversare.
\item Lo \textbf{stato macroscopico} di un sistema in equilibrio è descritto da poche \textbf{variabili di stato} (volume, pressione, temperatura, massa, densità). Si dividono in \emph{estensive} (proporzionali alla quantità di materia) e \emph{intensive} (indipendenti).
\item La \textbf{temperatura} è definita operativamente attraverso un termometro: un dispositivo che sfrutta una grandezza termometrica variabile con il calore.
\item La \textbf{taratura} di una scala termometrica usa due punti fissi e interpolazione lineare: $T = T_0 + \dfrac{X - X_0}{X_{100}-X_0}\,(T_{100}-T_0)$.
\item Due sistemi a contatto raggiungono spontaneamente un \textbf{equilibrio termico} caratterizzato da una temperatura comune, dopo il quale non scambiano più energia termica.
\item Il \textbf{principio zero della termodinamica} afferma la transitività dell'equilibrio termico: $A\sim C$ e $B\sim C$ implicano $A\sim B$. È la giustificazione logica del concetto stesso di temperatura.
\item La \textbf{scala Celsius} assegna $\SI{0}{\celsius}$ al ghiaccio fondente e $\SI{100}{\celsius}$ all'acqua bollente a pressione atmosferica, con grado uguale a un centesimo dell'intervallo.
\item La \textbf{scala Kelvin} ha la stessa ampiezza di grado della Celsius ma origine nello \emph{zero assoluto}, limite irraggiungibile per ogni sistema fisico. Conversione: $T_{\si{\kelvin}} = t_{\si{\celsius}} + \num{273.15}$.
\item Le \emph{differenze} di temperatura sono uguali nelle due scale; i valori invece differiscono di $\num{273.15}$. Le formule fondamentali della termodinamica richiedono temperature in kelvin.
\end{itemize}
\end{riepilogo}

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
\item Classifica le seguenti grandezze come estensive o intensive: massa, volume, densità, temperatura, pressione, numero di particelle, energia, concentrazione di un soluto in soluzione.

\item Spiega perché la sensazione delle ``tre bacinelle'' (mano in acqua calda, mano in acqua fredda, poi entrambe in acqua tiepida) non costituisce una misura affidabile della temperatura. Quale principio fisico viene violato dalla nostra percezione?

\item Una persona afferma di aver inventato una nuova scala termometrica, ``X'', in cui il ghiaccio fondente sta a $\SI{20}{X}$ e l'acqua bollente a $\SI{120}{X}$. Determinare la formula di conversione fra gradi $X$ e gradi Celsius. A quanti gradi $X$ corrisponde la temperatura ambiente di $\SI{20}{\celsius}$?

\item Convertire in kelvin: la temperatura del Sole in superficie ($\SI{5500}{\celsius}$), la temperatura di liquefazione dell'elio ($\SI{-269}{\celsius}$), una notte invernale a Torino ($\SI{-5}{\celsius}$).

\item Convertire in gradi Celsius: la temperatura della corona solare ($\SI{e6}{\kelvin}$), una stanza riscaldata ($\SI{293}{\kelvin}$), il punto di fusione del tungsteno ($\SI{3695}{\kelvin}$).

\item Un termometro a gas a volume costante misura una pressione $p_0 = \SI{1.000e5}{\pascal}$ al ghiaccio fondente e $p_{100} = \SI{1.366e5}{\pascal}$ all'acqua bollente. Quanto vale la temperatura, in $\si{\celsius}$ e in $\si{\kelvin}$, quando la pressione misurata è $p = \SI{1.150e5}{\pascal}$?

\item Estrapolando la retta della pressione di un gas in funzione della temperatura misurata in Celsius, si trova che $p \to 0$ per $t \to \SI{-273.15}{\celsius}$. Spiega in che senso questo fatto giustifica l'esistenza di uno zero assoluto e perché la sua posizione non dipende dal gas usato.

\item Tre corpi $A$, $B$, $C$ sono messi alla prova: posti a contatto $A$ e $B$ raggiungono l'equilibrio termico, poi $B$ messo a contatto con $C$ raggiunge anche con esso l'equilibrio termico. Senza ulteriori esperimenti, possiamo prevedere il comportamento di $A$ e $C$ messi a contatto? Quale principio della termodinamica giustifica la previsione?

\item In un termometro a mercurio il bulbo ha sezione $\num{50}$ volte maggiore della sezione del capillare. Se il mercurio si dilata di una frazione $\num{1.8e-4}$ per ogni grado Celsius (relativamente al volume del bulbo), e il bulbo contiene un volume $V_0 = \SI{0.20}{\centi\meter\cubed}$ di mercurio, calcolare di quanti millimetri si alza il livello nel capillare per ogni grado Celsius (assumendo la sezione del capillare $S = \SI{4.0e-3}{\centi\meter\squared}$).

\item Un astrofisico afferma che la temperatura misurata sulla superficie di una stella di neutroni è ``circa $\SI{e6}{\kelvin}$''. È accettabile in questo contesto trascurare la differenza fra Celsius e kelvin? Discuti.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}