\chapter{Relatività galileiana}\label{cap:07}

\citazioneinizio{Il moto, in quanto moto, opera in tanto in quanto ha relazione con cose che di esso mancano.}{Galileo Galilei, Dialogo sopra i due massimi sistemi}

\section*{Introduzione}\label{sec:07-01-introduzione}

Quando viaggi in treno e il convoglio scorre dolcemente su un binario rettilineo, alza gli occhi dal libro e guarda fuori dal finestrino. Se passi a fianco di un altro treno fermo in stazione, per un attimo non sai chi dei due si stia muovendo davvero: la sensazione è la stessa. E se invece guardi dentro la carrozza, niente ti rivela il moto del treno: il caffè non oscilla nella tazza, una palla che lasci cadere finisce ai tuoi piedi e non un metro più indietro, le persone camminano in corridoio come a casa loro. È come se il treno fosse fermo.

Questa esperienza quotidiana cela una delle idee più profonde della fisica, formulata per primo da Galileo Galilei nel 1632 e rimasta uno dei pilastri della meccanica fino a oggi: \textbf{le leggi del moto sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali}. Non c'è alcun esperimento meccanico, eseguito al chiuso, che permetta di distinguere se ti trovi in quiete o in moto rettilineo uniforme. Un osservatore a riposo e uno che si muove a velocità costante descrivono i fenomeni con leggi identiche; cambiano solo i valori numerici attribuiti alle singole grandezze.

Nei capitoli precedenti abbiamo introdotto i sistemi di riferimento inerziali quasi di sfuggita (cap.~\ref{cap:06}), come quei sistemi in cui vale la prima legge della dinamica. Ora ne facciamo l'oggetto centrale di studio. Vedremo come si traducono posizione, velocità e accelerazione passando da un sistema inerziale a un altro (\emph{trasformazioni di Galilei}), perché in questo passaggio l'accelerazione resta invariata e la legge $\Fris = m\,\acc$ conserva la sua forma, e applicheremo il formalismo a problemi classici come la barca che attraversa un fiume o l'aereo nel vento. Concluderemo con un'avvertenza: a velocità prossime a quella della luce le trasformazioni di Galilei smettono di valere, e vanno sostituite con la \emph{relatività ristretta} di Einstein, che riprenderemo nel capitolo~\ref{cap:19}.

\section{Principio di relatività}\label{sec:07-principio}

\subsection{Principio di relatività galileiana}\label{sub:07-principio-galileo}

Riprendiamo dal capitolo~\ref{cap:06} la nozione di sistema di riferimento inerziale.

\begin{definizione}[Sistema di riferimento inerziale]
Un \textbf{sistema di riferimento inerziale} è un sistema di riferimento in cui un punto materiale isolato (cioè non soggetto ad alcuna forza) si muove di moto rettilineo uniforme. Equivalentemente: in un sistema inerziale vale il principio d'inerzia (prima legge di Newton).
\end{definizione}

Una volta acquisito un sistema inerziale, ne otteniamo immediatamente infiniti altri: ogni sistema che si muove rispetto a quello con velocità costante in modulo, direzione e verso è anch'esso inerziale. Lo verificheremo nel §~\ref{sub:07-accelerazione} scrivendo la seconda legge della dinamica nei due sistemi: se vale nell'uno, vale anche nell'altro.

Galileo, nel 1632, va molto oltre questa osservazione tecnica e la trasforma in un principio generale, in uno dei brani più celebri della letteratura scientifica: il famoso esperimento mentale del \emph{gran navilio} (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, Giornata seconda). Salviati invita gli amici a chiudersi nella stiva di una grande nave e osservare con cura il volo delle farfalle, l'oscillazione di un pendolo, il gocciolare dell'acqua da una bottiglia, lo zampillo di un getto, i salti a piedi pari di chi è a bordo. Tutti questi fenomeni si svolgono allo stesso identico modo, dice Galileo, sia che la nave stia ferma in porto, sia che navighi rettilineamente con velocità costante: nessun esperimento condotto a bordo permette di distinguere i due casi. La conclusione è il \emph{principio di relatività} che oggi porta il suo nome.

\begin{legge}[Principio di relatività galileiana]
Le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Equivalentemente: nessun esperimento meccanico, eseguito all'interno di un sistema inerziale chiuso, permette di stabilire se il sistema sia in quiete o in moto rettilineo uniforme.
\end{legge}

\begin{nota}
Il principio non dice che ``tutti i moti sono relativi''. Dice qualcosa di più sottile: i moti rettilinei uniformi sono indistinguibili dalla quiete \emph{con esperimenti di meccanica}. Un'accelerazione, invece, è perfettamente rilevabile: se il treno frena improvvisamente lo capisci subito, anche con gli occhi chiusi, perché vieni sbalzato in avanti. La differenza fra moti inerziali e moti accelerati è oggettiva.
\end{nota}

Il principio implica che esiste una classe privilegiata di sistemi di riferimento — gli inerziali — equivalenti tra loro per lo studio della meccanica, e all'interno della quale non c'è modo di assegnare un valore assoluto alla velocità. Ciò che ha senso fisico è solo la velocità di un corpo \emph{rispetto} a un altro corpo, o a un determinato sistema di riferimento. Non esiste, in meccanica classica, qualcosa come la ``velocità assoluta''.

\subsection{Esperimenti meccanici e sistemi inerziali}\label{sub:07-esperimenti}

Per cogliere quanto l'enunciato sia controintuitivo nella sua portata, confrontiamolo con la nostra esperienza quotidiana.

\begin{itemize}
\item Lasci cadere un sasso dal cestino di una bicicletta che procede a velocità costante. Il sasso non cade ``indietro'' rispetto alla bici: cade verticalmente nel sistema di riferimento della bici stessa (e descrive una parabola in quello di un osservatore fermo a terra, come vedremo nel §~\ref{sub:07-velocita}).
\item Su un treno in corsa rettilinea uniforme, lanci una pallina verticalmente verso l'alto: ti ritorna in mano. Esattamente come a casa.
\item Un pendolo appeso a un aereo che vola in cielo limpido a velocità costante oscilla con lo stesso periodo $T = 2\pi\sqrt{\ell/\grav}$ del medesimo pendolo a terra.
\item Una palla da biliardo urta un'altra palla a bordo di una nave in navigazione rettilinea uniforme: gli urti seguono le stesse leggi (cap.~\ref{cap:09}) che si osservano in un biliardo a terra.
\end{itemize}

In tutti questi esempi il sistema (treno, bici, aereo, nave) è inerziale; al suo interno la dinamica vale immutata. Se invece il treno frena, l'aereo entra in turbolenza, la bici sterza bruscamente, allora compaiono effetti — pendoli che oscillano da soli, oggetti che ``scivolano'' sul tavolino — che tradiscono il moto non inerziale del sistema. Il principio di relatività riguarda esclusivamente i sistemi inerziali.

\begin{attenzione}
Il principio non dice che le grandezze cinematiche siano le stesse nei due sistemi: la velocità della pallina rispetto al treno è chiaramente diversa dalla velocità della pallina rispetto alla banchina. Dice che le \emph{leggi}, cioè le relazioni fra le grandezze, hanno la stessa forma. La pallina, in entrambi i sistemi, segue $\Fris = m\,\acc$; cambiano i valori di $\vel$, ma non la legge.
\end{attenzione}

Nella storia successiva della fisica il principio è stato generalizzato (relatività ristretta, relatività generale) ed esteso a tutti i fenomeni — non solo meccanici, ma anche elettromagnetici e gravitazionali. La relatività galileiana resta valida per la meccanica a velocità molto minori di quella della luce, che è il regime quotidiano degli oggetti macroscopici. Torneremo sui suoi limiti nel §~\ref{sub:07-limiti}.

\section{Trasformazioni di Galilei}\label{sec:07-trasformazioni}

Per dare al principio di relatività veste matematica, dobbiamo capire come si traducono le grandezze cinematiche da un sistema di riferimento inerziale a un altro. Le formule che le legano si chiamano \emph{trasformazioni di Galilei}.

\subsection{Trasformazioni della posizione}\label{sub:07-posizione}

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali, $S$ e $S'$. Per fissare le idee, immaginiamo $S$ solidale alla banchina di una stazione, $S'$ solidale a un treno che vi transita rettilineamente con velocità costante $\vett{u}$ rispetto a $S$. Supponiamo che gli assi di $S'$ siano paralleli a quelli di $S$ (stesso orientamento) e che all'istante $t = 0$ le due origini $O$ e $O'$ coincidano.

Sia $P$ un punto materiale qualunque (per esempio un passeggero in piedi nella carrozza, o una pallina lanciata da lui). Indichiamo con
\begin{itemize}
\item $\pos$ il vettore posizione di $P$ rispetto a $O$ (osservatore in stazione);
\item $\pos'$ il vettore posizione di $P$ rispetto a $O'$ (osservatore sul treno);
\item $\vett{r}_{O'} = \vett{u}\,t$ il vettore posizione di $O'$ rispetto a $O$ all'istante $t$ (poiché $\vett{u}$ è costante e all'istante $t = 0$ le origini coincidevano).
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]
\centering
% ---------------------------------------------------------------
% FIGURA: Due sistemi di riferimento inerziali S e S'.
% S è solidale alla banchina (origine O, assi x e y).
% S' è solidale al treno e si muove con velocità costante u
% rispetto a S, lungo l'asse x.
% Il punto P è osservato da entrambi: r dal sistema S,
% r' dal sistema S'. La relazione r = r' + u t è la somma
% vettoriale.
% ---------------------------------------------------------------
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Sistema S
\draw[->, thick] (-0.3,0) -- (5.5,0) node[right] {$x$};
\draw[->, thick] (0,-0.3) -- (0,3.8) node[above] {$y$};
\filldraw[black] (0,0) circle (1.5pt) node[below left] {\small $O$};
\node[font=\small] at (0.3,3.5) {$S$ (banchina)};

% Sistema S' traslato a destra di "u t"
\draw[->, thick, BLU] (3,0) -- (6.5,0) node[right, BLU] {$x'$};
\draw[->, thick, BLU] (3,-0.3) -- (3,3) node[above, BLU] {$y'$};
\filldraw[BLU] (3,0) circle (1.5pt) node[below=2pt, BLU] {\small $O'$};
\node[font=\small, BLU] at (3.5,2.7) {$S'$ (treno)};

% Vettore u t (da O a O')
\draw[->, very thick, VERDE] (0,0) -- (3,0);
\node[VERDE, font=\small] at (1.5,-0.45) {$\vett{u}\,t$};

% Punto P
\filldraw[ROSSO] (4.2,2.4) circle (2pt) node[above right, ROSSO] {\small $P$};

% Vettore r (da O a P)
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (4.2,2.4);
\node[ROSSO, font=\small] at (1.7,1.6) {$\pos$};

% Vettore r' (da O' a P)
\draw[->, very thick, ARANCIO] (3,0) -- (4.2,2.4);
\node[ARANCIO, font=\small] at (3.4,1.4) {$\pos'$};

% Velocità del treno (freccia decorativa sopra l'origine S')
\draw[->, thick, BLU!70] (3.0,3.3) -- (4.0,3.3);
\node[BLU!70, font=\small] at (3.5,3.55) {$\vett{u}$};

\end{tikzpicture}
\caption{Due sistemi di riferimento inerziali. Il sistema $S'$ (treno) trasla con velocità costante $\vett{u}$ rispetto al sistema $S$ (banchina): all'istante $t$ la sua origine si trova in $\vett{u}\,t$. Il punto materiale $P$ ha posizione $\pos$ rispetto a $O$ e $\pos'$ rispetto a $O'$; le tre frecce formano un triangolo che esprime la relazione $\pos = \pos' + \vett{u}\,t$.}
\label{fig:07-frames}
\end{figure}

Dalla regola di addizione dei vettori (cap.~\ref{cap:02}) si legge direttamente sulla figura~\ref{fig:07-frames} che $\pos = \vett{u}\,t + \pos'$, ovvero

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:07-trasf-posizione}
\pos = \pos' + \vett{u}\,t.
\end{equation}
\end{formulabox}

Risolvendo per $\pos'$:
\begin{equation}\label{eq:07-trasf-posizione-prime}
\pos' = \pos - \vett{u}\,t.
\end{equation}

Le~\eqref{eq:07-trasf-posizione} e~\eqref{eq:07-trasf-posizione-prime} sono le \textbf{trasformazioni di Galilei} per la posizione. Permettono di passare dalla descrizione del moto di $P$ in un sistema all'altro.

A queste si aggiunge un'ipotesi che Galileo (e Newton) consideravano talmente ovvia da non doverla esplicitare, ma che la relatività di Einstein metterà profondamente in discussione: l'\emph{universalità del tempo}. Nei due sistemi inerziali si misura lo \emph{stesso} tempo:
\begin{equation}\label{eq:07-tempo}
t' = t.
\end{equation}

Tutti gli orologi, in tutti i sistemi inerziali, ticchettano con lo stesso ritmo e segnano la stessa ora (a meno di una sincronizzazione iniziale). È un'ipotesi che il senso comune sembra confermare e che funziona benissimo finché si tratta di velocità ordinarie.

In coordinate cartesiane, supponendo per semplicità che $\vett{u} = u\,\ii$ (treno che si muove lungo l'asse $x$), le~\eqref{eq:07-trasf-posizione-prime} e~\eqref{eq:07-tempo} si scrivono

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:07-galilei-cart}
\begin{aligned}
x' &= x - u\,t, \\
y' &= y, \\
z' &= z, \\
t' &= t.
\end{aligned}
\end{equation}
\end{formulabox}

Solo la coordinata parallela alla direzione del moto relativo si modifica; le componenti trasverse e il tempo restano invariati.

\begin{esempio}[Posizione di un passeggero]
Un treno transita lungo un binario rettilineo con velocità costante $u = \SI{30}{\meter\per\second}$ rispetto alla banchina. Un passeggero si trova all'interno della carrozza, fermo rispetto al treno, in una posizione $x'_P = \SI{12}{\meter}$ misurata dall'origine $O'$ del sistema solidale al treno. Sapendo che all'istante $t_0 = \SI{0}{\second}$ le origini $O$ e $O'$ coincidevano, determinare la posizione $x_P$ del passeggero rispetto alla banchina all'istante $t = \SI{4.0}{\second}$.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, dalla~\eqref{eq:07-galilei-cart} risolta per $x$:
\[
x_P = x'_P + u\,t.
\]
Sostituendo i valori numerici:
\[
x_P = \SI{12}{\meter} + \SI{30}{\meter\per\second}\cdot \SI{4.0}{\second} = \SI{12}{\meter} + \SI{120}{\meter} = \SI{132}{\meter}.
\]
Per l'osservatore sulla banchina il passeggero si trova a $\SI{132}{\meter}$ dall'origine, e la sua posizione cresce nel tempo: anche se è fermo rispetto al treno, dal punto di vista della banchina si sta muovendo.
\end{soluzione}

\subsection{Trasformazioni della velocità composizione classica}\label{sub:07-velocita}

Per ottenere la legge di trasformazione delle velocità basta derivare la~\eqref{eq:07-trasf-posizione} rispetto al tempo. Ricordando che la velocità di un punto materiale in un dato sistema è la derivata rispetto al tempo della sua posizione in quel sistema (cap.~\ref{cap:03}), e che $\vett{u}$ è \emph{costante}:
\[
\der{\pos}{t} = \der{\pos'}{t} + \der{(\vett{u}\,t)}{t}
\quad\Longrightarrow\quad
\vel = \vel' + \vett{u}.
\]

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:07-comp-velocita}
\vel = \vel' + \vett{u}.
\end{equation}
\end{formulabox}

\begin{legge}[Composizione classica delle velocità]
Se un punto materiale ha velocità $\vel'$ rispetto a un sistema di riferimento $S'$ che a sua volta si muove con velocità $\vett{u}$ rispetto a un sistema $S$, la sua velocità rispetto a $S$ è la somma vettoriale
\begin{equation}\label{eq:07-comp-velocita-bis}
\vel = \vel' + \vett{u}.
\end{equation}
\end{legge}

La regola è intuitiva: se in un treno che viaggia a $\SI{30}{\meter\per\second}$ ti alzi e cammini in avanti a $\SI{1.0}{\meter\per\second}$ (rispetto al treno), un osservatore a terra ti vede muovere a $\SI{31}{\meter\per\second}$. Se invece cammini all'indietro a $\SI{1.0}{\meter\per\second}$, ti vede a $\SI{29}{\meter\per\second}$. Le velocità si sommano, eventualmente con segno.

\begin{nota}
Inverte la~\eqref{eq:07-comp-velocita}: $\vel' = \vel - \vett{u}$. Le due formule sono la stessa relazione vista dall'una o dall'altra parte. È utile abituarsi a entrambe.
\end{nota}

\begin{esempio}[Pallina lanciata in un treno]
Un treno percorre un binario rettilineo a velocità costante $u = \SI{20}{\meter\per\second}$ rispetto alla banchina. All'interno della carrozza un passeggero lancia una pallina nel verso del moto del treno con velocità $v' = \SI{5.0}{\meter\per\second}$ rispetto al treno. Qual è la velocità della pallina rispetto alla banchina? E se la lanciasse nel verso opposto?
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Scegliamo l'asse $x$ nel verso del moto del treno. Algebricamente, dalla~\eqref{eq:07-comp-velocita} proiettata sull'asse $x$:
\[
v = v' + u.
\]

\textbf{Lancio nel verso del moto.} $v' > 0$, quindi
\[
v = +\SI{5.0}{\meter\per\second} + \SI{20}{\meter\per\second} = \SI{25}{\meter\per\second}.
\]

\textbf{Lancio nel verso opposto.} $v' < 0$, quindi
\[
v = -\SI{5.0}{\meter\per\second} + \SI{20}{\meter\per\second} = \SI{15}{\meter\per\second}.
\]

Nel secondo caso la pallina, vista dalla banchina, si muove ancora nel verso del treno, ma più lentamente di esso: il passeggero la sta lanciando ``contro'' il moto del treno, ma non con velocità sufficiente a invertirne il segno per l'osservatore esterno.
\end{soluzione}

\begin{esempio}[Sasso che cade dalla bici]
Una bicicletta procede a velocità costante $\vett{u} = u\,\ii$ con $u = \SI{4.0}{\meter\per\second}$. All'istante $t = 0$ il ciclista lascia cadere un sasso dal cestino, posto a un'altezza $h = \SI{1.2}{\meter}$ da terra. Descrivere il moto del sasso (a) nel sistema $S'$ solidale alla bicicletta, (b) nel sistema $S$ solidale alla strada. Trascurare la resistenza dell'aria.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Scegliamo gli assi $x$ orizzontale (verso del moto della bici) e $y$ verticale verso l'alto, con origine nell'istante e nella posizione di rilascio del sasso (in entrambi i sistemi).

\textbf{Sistema $S'$ (ciclista).} Nel sistema della bici il sasso è inizialmente fermo: $\vel'_0 = \vett{0}$. Sotto l'azione della gravità cade con accelerazione $\acc' = -\grav\,\jj$, quindi
\begin{align*}
x'(t) &= 0, \\
y'(t) &= -\tfrac{1}{2}\,\grav\,t^2.
\end{align*}
Il ciclista vede il sasso cadere verticalmente, lungo una retta.

\textbf{Sistema $S$ (strada).} Per la~\eqref{eq:07-comp-velocita} la velocità iniziale del sasso rispetto alla strada è
\[
\vel_0 = \vel'_0 + \vett{u} = u\,\ii.
\]
Cioè il sasso, all'istante del rilascio, si muove orizzontalmente alla stessa velocità della bici. La gravità è la stessa nei due sistemi, quindi
\begin{align*}
x(t) &= u\,t, \\
y(t) &= -\tfrac{1}{2}\,\grav\,t^2.
\end{align*}
Eliminando $t$ fra le due si ottiene $y = -\dfrac{\grav}{2\,u^2}\,x^2$: l'osservatore a terra vede il sasso descrivere una \emph{parabola}.

\textbf{Tempo e luogo di caduta.} Il sasso tocca terra quando $y = -h$, da cui $t_{\text{c}} = \sqrt{2h/\grav}$. Sostituendo:
\[
t_{\text{c}} = \sqrt{\frac{2 \cdot \SI{1.2}{\meter}}{\SI{9.81}{\meter\per\second\squared}}} \approx \SI{0.49}{\second}.
\]
La distanza orizzontale percorsa dal sasso (rispetto alla strada) è $x_{\text{c}} = u\,t_{\text{c}} \approx \SI{2.0}{\meter}$. Esattamente la stessa distanza percorsa dalla bici nello stesso tempo: ecco perché il sasso, visto dal ciclista, cade ai suoi piedi (parallelamente al cestino), e non ``indietro''.
\end{soluzione}

L'esempio è una verifica in piccolo del principio di relatività: due osservatori inerziali assegnano allo stesso evento (il sasso cade) descrizioni cinematiche \emph{diverse} (retta verticale per uno, parabola per l'altro), ma le \emph{leggi} che usano sono le stesse — la gravità $\acc = -\grav\,\jj$ in entrambi i casi.

\subsection{Invarianza dell'accelerazione}\label{sub:07-accelerazione}

Derivando ulteriormente la~\eqref{eq:07-comp-velocita} rispetto al tempo, e tenendo conto ancora una volta che $\vett{u}$ è costante (perché $S'$ è inerziale rispetto a $S$):
\[
\der{\vel}{t} = \der{\vel'}{t} + \der{\vett{u}}{t} = \der{\vel'}{t} + \vett{0}.
\]

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:07-inv-acc}
\acc = \acc'.
\end{equation}
\end{formulabox}

\begin{teorema}[Invarianza dell'accelerazione]
Sotto trasformazioni di Galilei fra due sistemi di riferimento inerziali, l'accelerazione di un punto materiale è la stessa nei due sistemi:
\[
\acc = \acc'.
\]
\end{teorema}

Questo è il risultato matematico che dà sostanza al principio di relatività. La massa è una proprietà del corpo, la stessa nei due sistemi. Le forze, in meccanica classica, dipendono dalle posizioni \emph{relative} dei corpi (per la forza-peso, l'attrazione gravitazionale è la stessa per qualunque osservatore inerziale; per la forza elastica della molla, la deformazione è una distanza relativa; per la tensione, dipende solo dalla configurazione dei corpi vincolati): anch'esse sono le stesse nei due sistemi. Quindi
\[
\Fris = m\,\acc \quad\Longleftrightarrow\quad \Fris' = m\,\acc',
\]
e poiché $\Fris = \Fris'$ e $\acc = \acc'$, le due leggi sono \emph{una la stessa equazione}: la seconda legge della dinamica ha la stessa forma in $S$ e in $S'$. Questo è esattamente quanto afferma il principio di relatività galileiana.

\begin{nota}
Notiamo bene la condizione: $\vett{u}$ costante. Se $S'$ accelerasse rispetto a $S$ (per esempio un treno che frena), allora $\der{\vett{u}}{t} \neq \vett{0}$ e l'accelerazione misurata in $S'$ differirebbe da quella misurata in $S$ per un termine $-\der{\vett{u}}{t}$, che si manifesta come una forza apparente (forza ``inerziale''). È quanto avviene nei sistemi non inerziali, che esulano dal nostro studio in questo capitolo.
\end{nota}

\section{Applicazioni}\label{sec:07-applicazioni}

\subsection{Moto relativo: barca-corrente e aereo-vento}\label{sub:07-relativi}

I problemi pratici più comuni in cui si usano le trasformazioni di Galilei sono quelli in cui un mezzo (una barca, un aereo, un nuotatore) si muove dentro un altro mezzo che a sua volta è in moto (l'acqua di un fiume, l'aria atmosferica, l'acqua del mare).

La regola operativa è semplice: nominare con cura i tre sistemi di riferimento in gioco e applicare la~\eqref{eq:07-comp-velocita}. Adotteremo la notazione $\vel_{A/B}$ per indicare ``velocità di $A$ rispetto a $B$''. La composizione classica si scrive allora

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:07-comp-AB}
\vel_{A/C} = \vel_{A/B} + \vel_{B/C},
\end{equation}
\end{formulabox}

e si legge: la velocità di $A$ rispetto a $C$ è uguale alla velocità di $A$ rispetto a $B$ più la velocità di $B$ rispetto a $C$. La regola mnemonica è che, scritti uno sotto l'altro i pedici, si ``cancella'' il pedice intermedio (qui $B$) e ne resta la combinazione $A/C$. Possiamo concatenarne quante ne vogliamo.

\begin{esempio}[Barca che attraversa un fiume]
Un fiume largo $\ell = \SI{80}{\meter}$ scorre con velocità costante $v_{\text{a}} = \SI{1.5}{\meter\per\second}$ (acqua rispetto a terra) parallela alle rive. Una barca naviga rispetto all'acqua con velocità di modulo $v_{\text{b}} = \SI{2.0}{\meter\per\second}$, dirigendo la prua perpendicolare alle rive. Determinare:
\begin{enumerate}
\item modulo, direzione e verso della velocità della barca rispetto a terra;
\item il tempo impiegato per attraversare il fiume;
\item lo spostamento longitudinale (cioè parallelo alla corrente) della barca al momento dell'arrivo sull'altra riva.
\end{enumerate}
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Scegliamo gli assi: $x$ parallelo alla corrente (verso del flusso), $y$ perpendicolare alla riva di partenza (verso l'altra riva). Indichiamo con $T$ il sistema solidale a terra, $A$ il sistema solidale all'acqua, $B$ la barca.

I dati si traducono nei vettori
\[
\vel_{A/T} = v_{\text{a}}\,\ii, \qquad \vel_{B/A} = v_{\text{b}}\,\jj.
\]

\textbf{(a) Velocità della barca rispetto a terra.} Algebricamente, dalla~\eqref{eq:07-comp-AB}:
\[
\vel_{B/T} = \vel_{B/A} + \vel_{A/T} = v_{\text{b}}\,\jj + v_{\text{a}}\,\ii = v_{\text{a}}\,\ii + v_{\text{b}}\,\jj.
\]
Modulo:
\[
\modulo{\vel_{B/T}} = \sqrt{v_{\text{a}}^2 + v_{\text{b}}^2} = \sqrt{(\SI{1.5}{\meter\per\second})^2 + (\SI{2.0}{\meter\per\second})^2} = \SI{2.5}{\meter\per\second}.
\]
Angolo $\theta$ rispetto alla riva (asse $x$):
\[
\tan\theta = \frac{v_{\text{b}}}{v_{\text{a}}} = \frac{\SI{2.0}{\meter\per\second}}{\SI{1.5}{\meter\per\second}} \approx 1.33
\quad\Longrightarrow\quad
\theta \approx \SI{53}{\degree}.
\]
La barca avanza rispetto a terra in una direzione obliqua, deviata a valle rispetto alla perpendicolare alla riva.

\textbf{(b) Tempo di attraversamento.} La componente perpendicolare alla riva della velocità della barca rispetto a terra è $v_{\text{b}}$ (la corrente non sposta la barca \emph{verso} l'altra riva, perché è parallela alle rive). Quindi
\[
t = \frac{\ell}{v_{\text{b}}} = \frac{\SI{80}{\meter}}{\SI{2.0}{\meter\per\second}} = \SI{40}{\second}.
\]

\textbf{(c) Spostamento longitudinale.} Nello stesso tempo $t$ la corrente sposta la barca parallelamente alle rive di
\[
\Dlt x = v_{\text{a}}\,t = \SI{1.5}{\meter\per\second} \cdot \SI{40}{\second} = \SI{60}{\meter}.
\]
La barca approda sulla riva opposta a $\SI{60}{\meter}$ a valle del punto di fronte alla partenza.

\textbf{Verifica.} La distanza totale percorsa rispetto a terra dovrebbe essere $\modulo{\vel_{B/T}}\cdot t = \SI{2.5}{\meter\per\second}\cdot\SI{40}{\second} = \SI{100}{\meter}$. Per Pitagora $\sqrt{(\SI{80}{\meter})^2 + (\SI{60}{\meter})^2} = \sqrt{\SI{10000}{\meter\squared}} = \SI{100}{\meter}$: torna.
\end{soluzione}

\begin{figure}[ht]
\centering
% ---------------------------------------------------------------
% FIGURA: Barca che attraversa un fiume con corrente.
% Le rive sono orizzontali, la corrente scorre verso destra.
% La barca dirige la prua perpendicolare alle rive (vettore
% v_{B/A} verso l'alto), ma la corrente la trasporta a valle:
% rispetto a terra la sua traiettoria è obliqua (vettore v_{B/T}).
% La somma vettoriale è il triangolo rettangolo
%      v_{B/T} = v_{B/A} + v_{A/T}.
% ---------------------------------------------------------------
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Rive (orizzontali, ombreggiate)
\fill[GIALLO!20] (-0.5,-0.5) rectangle (8.5,0);
\fill[GIALLO!20] (-0.5,4) rectangle (8.5,4.5);
\draw[thick] (-0.5,0) -- (8.5,0);
\draw[thick] (-0.5,4) -- (8.5,4);
\node[font=\small] at (-0.2,-0.25) {\small riva};
\node[font=\small] at (-0.2,4.25) {\small riva};

% Indicazione della corrente (frecce sul fiume)
\foreach \xc in {1, 4, 7}{
  \draw[->, CELESTE!80, very thick] (\xc-0.4,2) -- (\xc+0.4,2);
}
\node[CELESTE!80, font=\small] at (7.3,2.4) {corrente};

% Punto di partenza
\filldraw[black] (1.5,0) circle (2pt) node[below, font=\small] {$P_0$};

% Punto di arrivo
\filldraw[black] (4.5,4) circle (2pt) node[above, font=\small] {$P_1$};

% Traiettoria reale (rispetto a terra)
\draw[dashed, GRIGIO] (1.5,0) -- (4.5,4);

% Vettori applicati nel punto di partenza
% v_{B/A}: prua perpendicolare alle rive (verticale)
\draw[->, very thick, BLU] (1.5,0) -- (1.5,2.5);
\node[BLU, font=\small] at (1.05,1.6) {$\vel_{B/A}$};

% v_{A/T}: corrente (orizzontale)
\draw[->, very thick, VERDE] (1.5,2.5) -- (3.4,2.5);
\node[VERDE, font=\small] at (2.45,2.8) {$\vel_{A/T}$};

% v_{B/T}: somma (diagonale)
\draw[->, very thick, ROSSO] (1.5,0) -- (3.4,2.5);
\node[ROSSO, font=\small] at (2.95,1.0) {$\vel_{B/T}$};

% Angolo theta
\draw[VIOLA, thick] (1.5,0.8) arc (90:53:0.8);
\node[VIOLA, font=\small] at (1.85,1.0) {$\theta$};

\end{tikzpicture}
\caption{Barca che attraversa un fiume. Il pilota dirige la prua perpendicolare alle rive ($\vel_{B/A}$, in blu), ma la corrente ($\vel_{A/T}$, in verde) la trasporta a valle. La velocità rispetto a terra ($\vel_{B/T}$, in rosso) è la somma vettoriale: la barca approda obliquamente nel punto $P_1$, spostato verso valle rispetto al punto direttamente di fronte a $P_0$.}
\label{fig:07-barca}
\end{figure}

Il problema dell'aereo nel vento è del tutto analogo: basta sostituire ``aereo'' a ``barca'' e ``aria'' a ``acqua''. Il pilota può scegliere la \emph{rotta} (la direzione effettiva rispetto al suolo) in due modi:
\begin{itemize}
\item \emph{puntando dritto verso la destinazione}: la prua è allineata col bersaglio, ma il vento spinge l'aereo lateralmente, e si arriva in un punto sbagliato; è la situazione della figura~\ref{fig:07-barca};
\item \emph{compensando il vento}: il pilota orienta la prua leggermente ``contro'' il vento, in modo che la somma vettoriale $\vel_{\text{aereo}/\text{aria}} + \vel_{\text{aria}/\text{terra}}$ punti esattamente verso la destinazione. È la procedura che si insegna nei corsi di volo.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Barca che punta sulla riva opposta]
Riprendiamo l'esempio precedente, con $\ell = \SI{80}{\meter}$, $v_{\text{a}} = \SI{1.5}{\meter\per\second}$, $v_{\text{b}} = \SI{2.0}{\meter\per\second}$. Il pilota vuole ora arrivare \emph{esattamente} sul punto della riva opposta di fronte alla partenza. In che direzione deve dirigere la prua?
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Indichiamo con $\alpha$ l'angolo che la prua forma con la perpendicolare alle rive, contato verso \emph{monte} (cioè in verso opposto alla corrente). Le componenti della velocità della barca rispetto all'acqua sono allora
\[
\vel_{B/A} = -v_{\text{b}}\sin\alpha\,\ii + v_{\text{b}}\cos\alpha\,\jj.
\]
Sommando la velocità della corrente $\vel_{A/T} = v_{\text{a}}\,\ii$, la velocità rispetto a terra è
\[
\vel_{B/T} = (v_{\text{a}} - v_{\text{b}}\sin\alpha)\,\ii + v_{\text{b}}\cos\alpha\,\jj.
\]

Per arrivare di fronte alla partenza, la componente $x$ deve annullarsi:
\[
v_{\text{a}} - v_{\text{b}}\sin\alpha = 0
\quad\Longrightarrow\quad
\sin\alpha = \frac{v_{\text{a}}}{v_{\text{b}}}.
\]

Sostituendo:
\[
\sin\alpha = \frac{\SI{1.5}{\meter\per\second}}{\SI{2.0}{\meter\per\second}} = 0.75
\quad\Longrightarrow\quad
\alpha \approx \SI{49}{\degree}.
\]

Il tempo di attraversamento è ora $t = \ell/(v_{\text{b}}\cos\alpha) = \SI{80}{\meter}/(\SI{2.0}{\meter\per\second}\cdot 0.661) \approx \SI{61}{\second}$, sensibilmente maggiore dei $\SI{40}{\second}$ del caso precedente: per attraversare ``dritto'' bisogna pagare un prezzo in tempo.

\textbf{Caso limite.} Notiamo che la soluzione esiste solo se $v_{\text{a}} \le v_{\text{b}}$: se la corrente fosse più veloce della barca, $\sin\alpha > 1$ e nessun angolo permetterebbe alla barca di compensare il flusso. È il caso dei fiumi in piena, dove un nuotatore può essere trascinato a valle senza speranza di risalita.
\end{soluzione}

\subsection{Limiti del modello: anticipazione della relatività ristretta}\label{sub:07-limiti}

Le trasformazioni di Galilei e la composizione classica delle velocità sono in ottimo accordo con l'esperienza per oggetti macroscopici a velocità ordinarie: treni, auto, aerei, palline da tennis, sassi, persino sonde spaziali. La fisica del Novecento ha però scoperto che il modello \emph{non vale} quando ci si avvicina alla velocità della luce, $c \approx \SI{3.0e8}{\meter\per\second}$.

Il problema emerse a fine Ottocento, quando si studiò la propagazione della luce. Le equazioni di Maxwell (cap.~\ref{cap:18}) prevedono che la luce si propaghi nel vuoto con velocità $c$. Ma rispetto a \emph{quale} sistema di riferimento? Se applichiamo la~\eqref{eq:07-comp-velocita}, dovremmo trovare velocità diverse per la luce in sistemi inerziali diversi: per un osservatore che corre incontro a un raggio luminoso, la luce dovrebbe arrivare a velocità $c + u$; per uno che lo fugge, a velocità $c - u$. La velocità della luce dovrebbe insomma comportarsi come la velocità della pallina nel treno.

L'esperimento di Michelson e Morley (1887) misurò con precisione la velocità della luce in direzioni diverse, sperando di rivelare il moto della Terra rispetto a un ipotetico ``etere'' luminifero. Il risultato fu negativo, e venne replicato con precisione crescente nei decenni successivi: \textbf{la velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali}, indipendentemente dal moto della sorgente o dell'osservatore. Una pallina nel treno si compone come $v + u$, ma un raggio di luce nel treno arriva all'osservatore esterno ancora a $c$, non a $c + u$. È un fatto sperimentale in netto contrasto con la~\eqref{eq:07-comp-velocita}.

\begin{attenzione}
La scoperta, all'inizio incomprensibile, fu chiarita da Albert Einstein nel 1905 con la \textbf{relatività ristretta}. Le trasformazioni di Galilei vengono sostituite da quelle di Lorentz, in cui anche il tempo diventa una grandezza relativa: $t' \neq t$ in generale. Il principio di relatività galileiana viene esteso a tutti i fenomeni (non solo meccanici) e accompagnato dal postulato di invarianza di $c$. Le trasformazioni di Galilei restano un'ottima approssimazione finché $u/c \ll 1$. Studieremo la relatività ristretta nel capitolo~\ref{cap:19}.
\end{attenzione}

A titolo di confronto, calcoliamo $u/c$ in alcune situazioni quotidiane: un'auto in autostrada ha $u/c \approx 4\cdot 10^{-8}$; un aereo di linea, $u/c \approx 8\cdot 10^{-7}$; la Terra nel suo moto orbitale, $u/c \approx 10^{-4}$. In tutti questi casi le correzioni relativistiche sono troppo piccole per essere percepite nei problemi di tutti i giorni, ed è giusto continuare a usare le trasformazioni di Galilei. Esse smettono di essere accettabili soltanto in fisica delle particelle, in astrofisica e in tutti i fenomeni in cui compaia la luce o un'altra radiazione elettromagnetica come elemento centrale del problema.

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
\item I sistemi di riferimento inerziali sono quelli in cui vale la prima legge della dinamica. Dato un sistema inerziale, ogni altro sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso è anch'esso inerziale.
\item Il \textbf{principio di relatività galileiana} afferma che le leggi della meccanica hanno la stessa forma in tutti i sistemi inerziali: nessun esperimento meccanico permette di distinguere quiete da moto rettilineo uniforme.
\item Le \textbf{trasformazioni di Galilei} legano le coordinate di uno stesso punto materiale viste da due sistemi inerziali $S$ e $S'$, con $S'$ in moto a velocità costante $\vett{u}$ rispetto a $S$:
\[
\pos = \pos' + \vett{u}\,t,\qquad t' = t.
\]
\item Per derivazione si ottiene la \textbf{composizione classica delle velocità}:
\[
\vel = \vel' + \vett{u},
\]
e in generale $\vel_{A/C} = \vel_{A/B} + \vel_{B/C}$.
\item L'\textbf{accelerazione è invariante}: $\acc = \acc'$. Di conseguenza la seconda legge della dinamica $\Fris = m\,\acc$ ha la stessa forma in $S$ e $S'$, in accordo con il principio di relatività.
\item Nei problemi di moto relativo (barca-corrente, aereo-vento) si nominano con cura i tre sistemi in gioco e si applica la~\eqref{eq:07-comp-AB}: la velocità rispetto a un sistema esterno è la somma vettoriale di velocità rispetto a un sistema intermedio.
\item La velocità della luce nel vuoto $c$ \emph{non} obbedisce alla composizione classica: è la stessa in tutti i sistemi inerziali. Le trasformazioni di Galilei sono un'ottima approssimazione per $u/c \ll 1$, ma vanno sostituite dalla \textbf{relatività ristretta} di Einstein quando $u$ si avvicina a $c$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
\item Un treno percorre un binario rettilineo a $u = \SI{72}{\kilo\meter\per\hour}$ rispetto alla banchina. Un passeggero cammina nel corridoio nel verso del moto del treno alla velocità $v' = \SI{1.2}{\meter\per\second}$ rispetto al treno. Determinare la velocità del passeggero rispetto alla banchina (in \si{\meter\per\second} e in \si{\kilo\meter\per\hour}).

\item Due automobili procedono lungo la stessa strada rettilinea, in versi opposti, ciascuna a $\SI{90}{\kilo\meter\per\hour}$ rispetto alla strada. Determinare la velocità dell'una rispetto all'altra.

\item Un'auto $A$ viaggia a $\SI{100}{\kilo\meter\per\hour}$ rispetto alla strada, un'auto $B$ procede nella stessa direzione e nello stesso verso a $\SI{120}{\kilo\meter\per\hour}$. Determinare la velocità di $B$ rispetto ad $A$ e quella di $A$ rispetto a $B$. Quale auto, vista da $A$, sembra ``avvicinarsi''?

\item Un fiume largo $\ell = \SI{120}{\meter}$ ha corrente di velocità $v_{\text{a}} = \SI{2.0}{\meter\per\second}$. Un nuotatore può nuotare con velocità di modulo $v_{\text{n}} = \SI{1.5}{\meter\per\second}$ rispetto all'acqua. (a) Se nuota perpendicolare alle rive, quanto tempo impiega per attraversare e di quanto è trascinato a valle? (b) Riesce ad arrivare di fronte al punto di partenza? Giustificare la risposta.

\item Un aereo viaggia con velocità $\SI{800}{\kilo\meter\per\hour}$ rispetto all'aria. Un vento di $\SI{60}{\kilo\meter\per\hour}$ soffia da ovest verso est. Il pilota vuole dirigersi verso nord rispetto al suolo. In che direzione deve dirigere la prua? Quale sarà il modulo della velocità rispetto al suolo?

\item Su un treno che procede a $u = \SI{30}{\meter\per\second}$ rispetto alla banchina, un passeggero lascia cadere da fermo (rispetto al treno) un sasso da un'altezza $h = \SI{1.5}{\meter}$. (a) Descrivere la traiettoria del sasso nel sistema di riferimento del treno e in quello della banchina. (b) Calcolare la distanza orizzontale percorsa dal sasso, rispetto a terra, prima di toccare il pavimento. Trascurare la resistenza dell'aria.

\item Dimostrare formalmente, partendo dalla~\eqref{eq:07-comp-velocita}, che se $S'$ si muove a velocità costante $\vett{u}$ rispetto a $S$, allora un punto materiale in moto rettilineo uniforme rispetto a $S$ è in moto rettilineo uniforme anche rispetto a $S'$. (Questo verifica che, come anticipato, $S'$ è inerziale se $S$ lo è.)

\item Un osservatore in moto a velocità $u = \SI{0.10}{c}$ rispetto a una sorgente luminosa, in verso uscente dalla sorgente, vorrebbe applicare la composizione classica delle velocità per dedurre che la luce gli arriva a $c - u = \SI{0.90}{c}$. L'esperimento di Michelson-Morley smentisce questa conclusione. Cosa misura realmente l'osservatore? Provare a spiegare a parole, sulla base del §~\ref{sub:07-limiti}, perché questo fatto richiede una nuova teoria.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}