\chapter{Lavoro ed energia}\label{cap:08}

\citazioneinizio{C'è un fatto, o se preferite, una legge, che governa tutti i fenomeni naturali noti finora. Non si conosce eccezione a questa legge --- è esatta per quanto ne sappiamo. La legge si chiama conservazione dell'energia.}{Richard P. Feynman, La fisica di Feynman}

\section*{Introduzione}\label{sec:08-01-introduzione}

Nei capitoli precedenti abbiamo descritto il moto (cap.~\ref{cap:03}) e individuato le leggi che lo governano: la seconda legge della dinamica (cap.~\ref{cap:06}) permette in linea di principio di prevedere il moto di un punto materiale a partire dalle forze che agiscono su di esso. La risoluzione concreta del problema $\Fris = m\,\acc$ è però spesso laboriosa, e in molte situazioni non interessa il dettaglio istante per istante, ma una relazione globale: ad esempio, conoscendo l'altezza da cui un sasso cade, vorremmo sapere a quale velocità arriva al suolo, senza dover scrivere la legge oraria del moto.

In questo capitolo introduciamo due concetti che rendono possibile questo passaggio: il \textbf{lavoro} di una forza e l'\textbf{energia} di un punto materiale. Il loro legame --- il \emph{teorema delle forze vive} --- traduce la seconda legge della dinamica in una formulazione integrale, collegando il prodotto forza-spostamento alla variazione di una quantità scalare caratteristica del moto. Quando le forze in gioco sono \emph{conservative}, il quadro si arricchisce con la nozione di \emph{energia potenziale} e culmina nel \textbf{principio di conservazione dell'energia meccanica}: una grandezza che, in opportune condizioni, mantiene un valore costante durante il moto.

L'energia è una nozione che attraversa tutta la fisica e va ben oltre la meccanica: la incontreremo ancora nello studio della termodinamica (cap.~\ref{cap:12}), dell'elettromagnetismo, della relatività ristretta (cap.~\ref{cap:19}) e della fisica quantistica. Quando avremo terminato il corso, sarà uno dei principi unificanti più potenti che avremo a disposizione.

\section{Lavoro di una forza}\label{sec:08-lavoro}

\subsection{Definizione di lavoro per forza costante}\label{sub:08-lavoro-costante}

Consideriamo un punto materiale che si sposta lungo una traiettoria sotto l'azione di una forza $\vett{F}$ costante. Quanto la forza ``contribuisce'' al moto? La sola intensità non basta: dipende anche da come la forza è orientata rispetto allo spostamento. Spingere un carrello in avanti è più efficace di spingerlo lateralmente, anche a parità di forza applicata.

\begin{definizione}[Lavoro di una forza costante]
Sia un punto materiale soggetto a una forza costante $\vett{F}$ che subisce uno spostamento $\spos$. Si chiama \textbf{lavoro} compiuto dalla forza la grandezza scalare
\begin{equation}\label{eq:08-lavoro-def}
\lavoro = \modulo{\vett{F}}\,\modulo{\spos}\,\cos\theta,
\end{equation}
dove $\theta$ è l'angolo formato dai vettori $\vett{F}$ e $\spos$.
\end{definizione}

Il lavoro si misura nel SI in \emph{joule} ($\si{\joule} = \si{\newton}\cdot\si{\meter}$), in onore di James Prescott Joule, che nel XIX secolo stabilì sperimentalmente l'equivalenza fra lavoro meccanico e calore. Un joule è il lavoro compiuto da una forza di un newton il cui punto di applicazione si sposta di un metro nella stessa direzione: per dare un'idea, sollevare di un metro una mela di circa $\SI{100}{\gram}$ richiede un lavoro di circa $\SI{1}{\joule}$.

Il lavoro è una grandezza scalare, ma può essere positivo, negativo o nullo a seconda dell'angolo $\theta$ fra forza e spostamento:
\begin{itemize}
\item $\theta = 0$: forza e spostamento concordi, $\cos\theta = 1$, $\lavoro = F\,s > 0$. La forza ``aiuta'' il moto: lavoro \textbf{motore}.
\item $0 < \theta < \pi/2$: $\cos\theta > 0$, $\lavoro > 0$: ancora lavoro motore, di intensità minore.
\item $\theta = \pi/2$: forza e spostamento perpendicolari, $\cos\theta = 0$, $\lavoro = 0$. La forza non compie alcun lavoro.
\item $\pi/2 < \theta < \pi$: $\cos\theta < 0$, $\lavoro < 0$: lavoro \textbf{resistente}, la forza si oppone al moto.
\item $\theta = \pi$: forza e spostamento opposti, $\cos\theta = -1$, $\lavoro = -F\,s$: lavoro resistente massimo.
\end{itemize}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Linea di scorrimento (spostamento)
\draw[thick] (0,0) -- (6,0);
% Spostamento (vettore)
\draw[->, very thick, VIOLA] (0.5,0) -- (5.0,0) node[midway, below=4pt, VIOLA] {\small $\spos$};
% Blocco di partenza (tratteggiato)
\draw[GRIGIO!60, dashed] (0.2,0) rectangle (0.8,0.5);
% Blocco di arrivo
\filldraw[BLU!30, draw=BLU!70] (4.7,0) rectangle (5.3,0.5);
% Forza inclinata applicata al blocco di partenza
\draw[->, very thick, ROSSO] (0.5,0.25) -- ++({2.2*cos(35)}, {2.2*sin(35)}) node[above right=-2pt, ROSSO] {\small $\vett{F}$};
% Angolo theta
\draw (1.3,0.25) arc (0:35:0.8);
\node at (1.7,0.55) {\small $\theta$};
% Etichette
\node[GRIGIO!60!black] at (0.5,-0.4) {\scriptsize iniziale};
\node[BLU] at (5.0,-0.4) {\scriptsize finale};
\end{tikzpicture}
\caption{Lavoro di una forza costante. Il blocco subisce lo spostamento $\spos$ mentre è sottoposto alla forza $\vett{F}$, che forma un angolo $\theta$ con la direzione del moto. Solo la componente di $\vett{F}$ parallela a $\spos$, di modulo $F\cos\theta$, contribuisce al lavoro.}
\label{fig:08-lavoro-costante}
\end{figure}

\begin{attenzione}
Nel linguaggio quotidiano ``lavoro'' evoca fatica e sforzo. Il significato fisico è diverso: una forza che agisce su un corpo fermo non compie lavoro (non c'è spostamento), e una forza perpendicolare allo spostamento neppure. Reggere uno zaino fermo sulle spalle richiede sforzo muscolare, ma il lavoro fisico è nullo. Allo stesso modo, la forza centripeta che mantiene la Luna in orbita non compie lavoro perché è sempre perpendicolare alla velocità della Luna --- e quindi al suo spostamento.
\end{attenzione}

\subsection{Lavoro come prodotto scalare}\label{sub:08-lavoro-scalare}

La definizione~\eqref{eq:08-lavoro-def} si scrive in modo più sintetico utilizzando il \emph{prodotto scalare} fra due vettori (cap.~\ref{cap:02}). Ricordiamo che, dati due vettori $\vett{a}$ e $\vett{b}$ formanti un angolo $\theta$, il loro prodotto scalare è il numero $\scalare{\vett{a}}{\vett{b}} = \modulo{\vett{a}}\,\modulo{\vett{b}}\,\cos\theta$.

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:08-lavoro-scalare}
\lavoro = \scalare{\vett{F}}{\spos}.
\end{equation}
\end{formulabox}

In componenti, se $\vett{F} = (F_x, F_y, F_z)$ e $\spos = (\Dlt x, \Dlt y, \Dlt z)$, si ha
\[
\lavoro = F_x\,\Dlt x + F_y\,\Dlt y + F_z\,\Dlt z.
\]
La formulazione vettoriale generalizza la definizione precedente a qualunque sistema di riferimento e qualunque orientazione di forza e spostamento, e la rende particolarmente comoda nei conti per componenti.

\begin{nota}
Quando agiscono più forze, il lavoro totale è la \emph{somma algebrica} dei lavori delle singole forze. Equivalentemente, è il lavoro della risultante:
\[
\lavoro_{\text{tot}} = \sum_i \scalare{\vett{F}_i}{\spos} = \scalare{\Fris}{\spos}.
\]
Questa proprietà segue dalla linearità del prodotto scalare e si rivelerà fondamentale nel teorema delle forze vive.
\end{nota}

\begin{esempio}[Spinta inclinata su pavimento orizzontale]
Una cassa di massa $m = \SI{20}{\kilogram}$ viene spinta su un pavimento orizzontale con una forza di modulo $F = \SI{50}{\newton}$ inclinata di $\theta = \SI{30}{\degree}$ verso il basso rispetto al piano. La cassa si sposta di $s = \SI{4.0}{\meter}$. Determinare il lavoro compiuto dalla forza, dalla forza peso e dalla reazione normale.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Per la~\eqref{eq:08-lavoro-def}, $\lavoro_F = F\,s\,\cos\theta$. La forza peso è verticale, perpendicolare allo spostamento orizzontale, quindi $\lavoro_{\Fpeso} = 0$. Anche la reazione normale è verticale: $\lavoro_{\Fnorm} = 0$.

Sostituendo i valori:
\[
\lavoro_F = \SI{50}{\newton}\cdot \SI{4.0}{\meter}\cdot\cos(\SI{30}{\degree}) \approx \SI{173}{\joule}.
\]
La forza spingente compie un lavoro positivo (motore) di circa $\SI{173}{\joule}$; le altre due forze non contribuiscono.
\end{soluzione}

\subsection{Lavoro di una forza variabile}\label{sub:08-lavoro-variabile}

Cosa succede se la forza non è costante lungo il moto? Per esempio, la forza elastica di una molla cresce in modulo al crescere della deformazione; la forza gravitazionale fra due corpi varia con la distanza. In questi casi la~\eqref{eq:08-lavoro-def} non è direttamente applicabile, ma può essere generalizzata con un'idea analoga a quella usata in cinematica per ricavare lo spostamento dal grafico $v$-$t$ (cap.~\ref{cap:03}).

Limitiamoci, per semplicità, a un moto unidimensionale lungo l'asse $x$, con forza $F(x)$ diretta lungo l'asse e dipendente dalla sola posizione. Suddividiamo l'intervallo $[x_1, x_2]$ in tanti piccoli sotto-intervalli di larghezza $\Dlt x_i$, abbastanza piccoli perché la forza vi si possa considerare praticamente costante, di valore $F(x_i)$. Il lavoro su ciascun sotto-intervallo vale circa $F(x_i)\,\Dlt x_i$ e il lavoro totale si ottiene sommando:
\[
\lavoro \approx \sum_i F(x_i)\,\Dlt x_i.
\]
Geometricamente, ogni addendo è l'area di un rettangolino di base $\Dlt x_i$ e altezza $F(x_i)$. Al limite per intervalli sempre più piccoli, la somma diventa l'\textbf{area sottesa dal grafico $F(x)$ tra $x_1$ e $x_2$}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Assi
\draw[->] (0,0) -- (6,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,0) -- (0,3.5) node[above] {$F(x)$};
% Curva F(x)
\draw[BLU, very thick, domain=0.4:5.4, smooth, samples=60]
  plot (\x, {0.5 + 0.7*\x - 0.07*\x*\x});
% Riempimento area sottesa fra x1 e x2
\fill[CELESTE!30, domain=1.2:4.6, smooth, samples=60]
  plot (\x, {0.5 + 0.7*\x - 0.07*\x*\x}) -- (4.6,0) -- (1.2,0) -- cycle;
% Ridisegno la curva sopra il riempimento
\draw[BLU, very thick, domain=0.4:5.4, smooth, samples=60]
  plot (\x, {0.5 + 0.7*\x - 0.07*\x*\x});
% Verticali tratteggiate ai limiti
\draw[dashed, GRIGIO] (1.2,0) -- (1.2,1.24);
\draw[dashed, GRIGIO] (4.6,0) -- (4.6,2.24);
% Etichette x1, x2
\node at (1.2,-0.3) {\small $x_1$};
\node at (4.6,-0.3) {\small $x_2$};
% Etichetta area
\node[BLU!60!black] at (2.9,1.0) {\small $\lavoro$};
\end{tikzpicture}
\caption{Lavoro di una forza variabile in moto unidimensionale. Il lavoro $\lavoro$ compiuto dalla forza $F(x)$ tra $x_1$ e $x_2$ corrisponde all'area sottesa dalla curva. Il segno dell'area --- positivo se la curva è sopra l'asse, negativo se è sotto --- coincide con il segno del lavoro.}
\label{fig:08-lavoro-variabile}
\end{figure}

\begin{nota}
Questa idea è la stessa che permette di calcolare lo spostamento come area sottesa al grafico $v$-$t$. La somma di rettangolini sempre più sottili è la base intuitiva del concetto di \emph{integrale}, che lo studente affronterà in modo sistematico al quinto anno. Per i nostri scopi, l'area sottesa è il modo geometrico di calcolare il lavoro di una forza non costante, finché sappiamo disegnare il grafico $F(x)$.
\end{nota}

\subsection{Potenza media e istantanea}\label{sub:08-potenza}

Compiere un dato lavoro in un'ora o in un secondo non è la stessa cosa: il \emph{tempo} impiegato è una caratteristica importante del processo. Per quantificarla si introduce la potenza.

\begin{definizione}[Potenza media e istantanea]
Sia $\lavoro$ il lavoro compiuto da una forza nell'intervallo di tempo $\Dlt t$. La \textbf{potenza media} sviluppata è
\[
\potenza_{\text{m}} = \frac{\lavoro}{\Dlt t}.
\]
La \textbf{potenza istantanea} all'istante $t$ è il valore a cui tende la potenza media quando $\Dlt t \to 0$.
\end{definizione}

L'unità SI della potenza è il \emph{watt} ($\si{\watt} = \si{\joule\per\second}$), in onore di James Watt, l'inventore della macchina a vapore moderna. Un'unità di uso comune è il \emph{cavallo vapore} (CV), pari a circa $\SI{735}{\watt}$.

Quando il punto materiale si muove con velocità $\vel$ sotto l'azione di una forza $\vett{F}$, la potenza istantanea ha un'espressione particolarmente elegante. In un piccolo intervallo $\Dlt t$ lo spostamento è $\spos \approx \vel\,\Dlt t$, e il lavoro vale $\Dlt\lavoro = \scalare{\vett{F}}{\spos} = \scalare{\vett{F}}{\vel}\,\Dlt t$. Dividendo per $\Dlt t$:

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:08-potenza-vel}
\potenza = \scalare{\vett{F}}{\vel}.
\end{equation}
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Potenza di un'auto]
Un'auto di massa $m = \SI{1200}{\kilogram}$ accelera da ferma fino a $v = \SI{30}{\meter\per\second}$ (circa $\SI{108}{\kilo\meter\per\hour}$) in $\Dlt t = \SI{10}{\second}$, lungo un tratto rettilineo orizzontale. Trascurando le resistenze, calcolare la potenza media sviluppata dal motore.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, il lavoro compiuto dalla forza motrice si traduce, come vedremo nel §~\ref{sub:08-forze-vive}, nella variazione di energia cinetica $\lavoro = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 - 0$. La potenza media vale dunque
\[
\potenza_{\text{m}} = \frac{\lavoro}{\Dlt t} = \frac{m\,v^2}{2\,\Dlt t}.
\]
Sostituendo:
\[
\potenza_{\text{m}} = \frac{\SI{1200}{\kilogram}\cdot(\SI{30}{\meter\per\second})^2}{2\cdot \SI{10}{\second}} = \SI{54000}{\watt} = \SI{54}{\kilo\watt} \approx \num{73}\;\text{CV}.
\]
\end{soluzione}

\section{Energia cinetica}\label{sec:08-cinetica}

\subsection{Definizione di energia cinetica}\label{sub:08-cinetica-def}

Un corpo in moto ha la capacità di compiere lavoro: una palla scagliata può rompere un vetro, un'auto in corsa può deformare un guard-rail, l'acqua di un fiume può far girare una ruota. Quanto più una massa è grande e quanto più è veloce, tanto maggiore è la sua capacità di compiere lavoro. Questa capacità si chiama \textbf{energia cinetica}.

\begin{definizione}[Energia cinetica]
Si chiama \textbf{energia cinetica} di un punto materiale di massa $m$ che si muove con velocità di modulo $v$ la grandezza scalare
\begin{equation}\label{eq:08-Ec-def}
\Ec = \frac{1}{2}\,m\,v^2.
\end{equation}
\end{definizione}

L'energia cinetica si misura in joule, come il lavoro: $\si{\kilogram}\cdot(\si{\meter\per\second})^2 = \si{\kilogram\meter\squared\per\second\squared} = \si{\joule}$. È una grandezza scalare e \emph{sempre non negativa}: si annulla solo quando il corpo è fermo.

Notiamo due aspetti importanti:
\begin{itemize}
\item L'energia cinetica dipende solo dal modulo della velocità, non dalla sua direzione: due corpi della stessa massa che si muovono alla stessa velocità in direzioni opposte hanno la stessa $\Ec$.
\item Cresce con il \emph{quadrato} della velocità: raddoppiare la velocità significa quadruplicare l'energia cinetica. Questa è una delle ragioni per cui i limiti di velocità sui veicoli sono così importanti per la sicurezza stradale.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Energia cinetica di un proiettile e di un'auto]
Confrontare l'energia cinetica di un proiettile di massa $m_1 = \SI{10}{\gram}$ con velocità $v_1 = \SI{400}{\meter\per\second}$, di un'auto di massa $m_2 = \SI{1000}{\kilogram}$ alla velocità $v_2 = \SI{50}{\kilo\meter\per\hour}$, e di un transatlantico di massa $m_3 = \SI{5e7}{\kilogram}$ alla velocità $v_3 = \SI{20}{\kilo\meter\per\hour}$.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Convertiamo le velocità in $\si{\meter\per\second}$: $v_2 = \num{50}/\num{3.6} \approx \SI{13.9}{\meter\per\second}$ e $v_3 = \num{20}/\num{3.6} \approx \SI{5.56}{\meter\per\second}$.

Algebricamente, $\Ec = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2$ per ciascun corpo. Sostituendo:
\begin{align}
{\Ec}_1 &= \tfrac{1}{2}\cdot \SI{0.010}{\kilogram}\cdot(\SI{400}{\meter\per\second})^2 = \SI{800}{\joule}, \\
{\Ec}_2 &= \tfrac{1}{2}\cdot \SI{1000}{\kilogram}\cdot(\SI{13.9}{\meter\per\second})^2 \approx \SI{9.65e4}{\joule}, \\
{\Ec}_3 &= \tfrac{1}{2}\cdot \SI{5e7}{\kilogram}\cdot(\SI{5.56}{\meter\per\second})^2 \approx \SI{7.7e8}{\joule}.
\end{align}
Il proiettile, pur leggerissimo, ha energia comparabile a quella di un'automobile lanciata a velocità modesta; il transatlantico, pur lento, supera entrambi di molti ordini di grandezza.
\end{soluzione}

\subsection{Teorema delle forze vive energia-lavoro}\label{sub:08-forze-vive}

La connessione fondamentale tra lavoro ed energia cinetica è il seguente teorema, storicamente noto come ``teorema delle forze vive'' (\emph{vis viva}), terminologia che risale a Leibniz nel \num{1686}.

\begin{teorema}[Teorema delle forze vive]
Il lavoro totale compiuto dalla forza risultante che agisce su un punto materiale, durante un suo qualunque spostamento, è uguale alla variazione di energia cinetica del punto stesso:
\begin{equation}\label{eq:08-forze-vive}
\lavoro_{\text{tot}} = \Dlt\Ec = {\Ec}_{\text{f}} - {\Ec}_{\text{i}}.
\end{equation}
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[ \lavoro_{\text{tot}} = \tfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{f}}^2 - \tfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{i}}^2. \]
\end{formulabox}

Diamo una giustificazione del teorema nel caso di moto rettilineo con forza risultante costante $F$ diretta come lo spostamento. Dalle leggi del MRUA (cap.~\ref{cap:03}) abbiamo $v_{\text{f}}^2 = v_{\text{i}}^2 + 2\,a\,s$, ovvero $a\,s = (v_{\text{f}}^2 - v_{\text{i}}^2)/2$. Moltiplicando per $m$:
\[
\underbrace{m\,a}_{F}\cdot s = \frac{m\,v_{\text{f}}^2 - m\,v_{\text{i}}^2}{2},
\]
cioè $\lavoro = F\,s = \tfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{f}}^2 - \tfrac{1}{2}\,m\,v_{\text{i}}^2 = \Dlt\Ec$. La dimostrazione si estende, con strumenti più avanzati, a qualunque tipo di moto e di forza.

\begin{nota}
Il segno del lavoro totale ha un significato preciso: se $\lavoro_{\text{tot}} > 0$ l'energia cinetica aumenta e il corpo accelera (in modulo); se $\lavoro_{\text{tot}} < 0$ l'energia cinetica diminuisce e il corpo decelera; se $\lavoro_{\text{tot}} = 0$ il modulo della velocità resta invariato (la direzione può però cambiare, come nel moto circolare uniforme).
\end{nota}

\begin{esempio}[Velocità all'impatto di un sasso in caduta]
Un sasso di massa $m = \SI{0.50}{\kilogram}$ viene lasciato cadere da una quota $h = \SI{15}{\meter}$. Trascurando l'attrito dell'aria, calcolare la velocità con cui arriva al suolo usando il teorema delle forze vive.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
L'unica forza in gioco è la forza peso $\Fpeso$, parallela e concorde allo spostamento, che vale $\Dlt y = h$ (la quota diminuisce di $h$, ma il vettore peso è nello stesso verso del moto, quindi $\theta = 0$). Il lavoro della forza peso è
\[
\lavoro_{\Fpeso} = m\,\grav\,h.
\]
Per il teorema delle forze vive, $\lavoro_{\Fpeso} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 - 0$, da cui
\[
v = \sqrt{2\,\grav\,h}.
\]
Sostituendo: $v = \sqrt{2\cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}\cdot \SI{15}{\meter}} \approx \SI{17}{\meter\per\second}$.

Il risultato non dipende dalla massa, in pieno accordo con la legge della caduta dei gravi (cap.~\ref{cap:03}). Notiamo come il teorema permetta di ricavare $v$ \emph{senza calcolare il tempo di caduta}: una scorciatoia molto utile.
\end{soluzione}

\section{Forze conservative ed energia potenziale}\label{sec:08-conservative}

\subsection{Forze conservative e forze non conservative}\label{sub:08-conservative-def}

Per certe forze --- la forza peso, la forza elastica, la forza gravitazionale, la forza di Coulomb --- il lavoro compiuto durante uno spostamento dipende solo dalle posizioni di partenza e di arrivo, non dal cammino percorso per andare dall'una all'altra. Per altre --- l'attrito dinamico, la resistenza dell'aria --- il lavoro dipende invece dall'intera traiettoria: percorrendo un tragitto più lungo, si dissipa più energia.

\begin{definizione}[Forza conservativa]
Una forza si dice \textbf{conservativa} se il lavoro che essa compie su un punto materiale che si sposta da una posizione $A$ a una posizione $B$ \emph{non dipende dalla traiettoria seguita}, ma solo dalle due posizioni estreme.
\end{definizione}

Una formulazione equivalente: una forza è conservativa se e solo se il lavoro che compie lungo un qualunque \emph{cammino chiuso} (con $A = B$) è nullo. Infatti, se il lavoro non dipende dal cammino, allora andare da $A$ a $B$ per una via e tornare per un'altra produce lavori opposti, la cui somma è nulla.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Punti A e B
\filldraw[BLU] (0.5,0.5) circle (2pt) node[below left, BLU] {\small $A$};
\filldraw[ROSSO] (5.5,2) circle (2pt) node[above right, ROSSO] {\small $B$};
% Cammino 1 (curva sopra)
\draw[VERDE, very thick, ->] (0.5,0.5) .. controls (1.5,2.8) and (3.5,3.2) .. (5.5,2);
\node[VERDE!60!black] at (2.5,3.0) {\small cammino 1};
% Cammino 2 (curva sotto)
\draw[ARANCIO, very thick, ->] (0.5,0.5) .. controls (2,-0.3) and (4,-0.5) .. (5.5,2);
\node[ARANCIO!70!black] at (3.0,-0.3) {\small cammino 2};
% Etichetta forza conservativa
\node at (3.0,1.3) {\small $\lavoro_1 = \lavoro_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Forza conservativa. Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo un qualunque cammino che vada da $A$ a $B$ assume sempre lo stesso valore $\lavoro_1 = \lavoro_2$, indipendentemente dal percorso. Equivalentemente, il lavoro lungo un cammino chiuso ($A = B$) è nullo.}
\label{fig:08-conservativa}
\end{figure}

Quando una forza è conservativa, ad ogni posizione $P$ del punto materiale è possibile associare un numero $\Epg(P)$, detto \textbf{energia potenziale}, tale che il lavoro compiuto dalla forza nello spostamento da $A$ a $B$ è
\begin{equation}\label{eq:08-W-Ep}
\lavoro_{A\to B} = \Epg(A) - \Epg(B) = -\Dlt\Epg.
\end{equation}
L'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva: ciò che ha significato fisico sono le sue \emph{differenze}, non i valori assoluti. Si fissa un livello di riferimento (un punto in cui $\Epg = 0$) e si misurano le altre energie potenziali rispetto ad esso.

\begin{attenzione}
Il segno meno nella~\eqref{eq:08-W-Ep} è cruciale: \emph{quando l'energia potenziale diminuisce, la forza compie lavoro positivo}. Una palla che cade perde quota e quindi energia potenziale gravitazionale, mentre la forza peso compie un lavoro motore (positivo).
\end{attenzione}

Le forze \textbf{non conservative}, di cui l'attrito dinamico è il prototipo, non ammettono un'energia potenziale. Il lavoro dell'attrito su un blocco che striscia su un tavolo è proporzionale alla lunghezza del cammino percorso ed è sempre negativo: percorrere un giro chiuso non riporta a lavoro nullo, e parte dell'energia meccanica iniziale viene dissipata in calore.

\subsection{Energia potenziale gravitazionale locale}\label{sub:08-Epg-locale}

Vicino alla superficie terrestre, la forza peso è costante: $\Fpeso = -m\,\grav\,\jj$ se l'asse $y$ è verticale e orientato verso l'alto. Calcoliamo il lavoro della forza peso quando il punto materiale si sposta da una quota $y_1$ a una quota $y_2$, lungo un cammino qualunque.

Consideriamo dapprima un cammino verticale: lo spostamento ha solo la componente $\Dlt y = y_2 - y_1$, quindi $\lavoro = \scalare{\Fpeso}{\spos} = -m\,\grav\,(y_2 - y_1)$. Nel caso di un cammino inclinato, la componente orizzontale dello spostamento è perpendicolare alla forza peso e non contribuisce al lavoro: solo la componente verticale conta, e il risultato è il medesimo. La forza peso è dunque \emph{conservativa}: il suo lavoro dipende solo dal dislivello $\Dlt y$.

Confrontando con la~\eqref{eq:08-W-Ep},
\[
\lavoro_{\Fpeso} = m\,\grav\,y_1 - m\,\grav\,y_2 = \Epg(y_1) - \Epg(y_2),
\]
si identifica l'energia potenziale gravitazionale (in approssimazione locale, ovvero per $\grav$ costante):

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:08-Epg-grav}
\Epg(y) = m\,\grav\,y + \text{costante}.
\end{equation}
\end{formulabox}

Si sceglie comunemente la costante in modo che $\Epg = 0$ a una quota di riferimento (il pavimento, il livello del mare, il piano della scrivania): tutte le quote diventano allora positive verso l'alto e negative verso il basso.

\begin{nota}
La formula vale solo per dislivelli piccoli rispetto al raggio terrestre, in cui $\grav$ può essere considerato costante. Per problemi astronomici (un satellite, la Luna) si dovrà ricorrere alla legge di gravitazione universale e a un'energia potenziale diversa, $\Epg(r) = -G\,M\,m/r$, che vedremo nel cap.~\ref{cap:13}.
\end{nota}

\subsection{Energia potenziale elastica}\label{sub:08-Epg-elastica}

Una molla ideale di costante elastica $k$, deformata di un tratto $x$ rispetto alla posizione di riposo, esercita la forza di richiamo $F = -k\,x$ (legge di Hooke, cap.~\ref{cap:06}). La forza varia linearmente con la posizione: per calcolarne il lavoro non si può usare la formula della forza costante, ma si ricorre all'idea grafica del §~\ref{sub:08-lavoro-variabile}.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Assi
\draw[->] (-3,0) -- (3.5,0) node[right] {$x$};
\draw[->] (0,-2.5) -- (0,2.5) node[above] {$F = -k\,x$};
% Retta F=-kx
\draw[BLU, very thick] (-2.5,2) -- (2.5,-2);
\node[BLU] at (2.7,-1.7) {\small $F = -k\,x$};
% Area triangolare per x>0 (riempita con celeste)
\fill[CELESTE!30] (0,0) -- (1.8,0) -- (1.8,-1.44) -- cycle;
\draw[dashed, GRIGIO] (1.8,0) -- (1.8,-1.44);
\node at (1.8,0.25) {\small $x$};
\node[BLU!60!black] at (1.05,-0.75) {\scriptsize $\lavoro = -\tfrac{1}{2}k x^2$};
% Origine
\node at (-0.25,-0.25) {\small $O$};
\end{tikzpicture}
\caption{Forza elastica e suo lavoro. La retta $F = -k\,x$ rappresenta la forza che la molla esercita sul corpo allungandosi (per $x > 0$ la forza tira indietro, $F < 0$). Il lavoro fatto dalla forza elastica nello spostamento da $0$ a $x$ è l'area triangolare con segno: $\lavoro = -\tfrac{1}{2}\,k\,x^2$.}
\label{fig:08-elastica}
\end{figure}

Calcoliamo il lavoro che la forza elastica compie quando il corpo si sposta da $x = 0$ (posizione di riposo) a una posizione generica $x$. Sul grafico $F$-$x$, la forza è la retta $F = -k\,x$; l'area sottesa fra $0$ e $x$ è un triangolo di base $x$ e altezza $|{-k\,x}| = k\,x$, con segno negativo (l'area è sotto l'asse). Quindi
\[
\lavoro_{\text{elastica}}(0 \to x) = -\tfrac{1}{2}\,k\,x^2.
\]

Più in generale, in uno spostamento da $x_1$ a $x_2$, il lavoro vale $\lavoro = -\tfrac{1}{2}\,k\,x_2^2 - (-\tfrac{1}{2}\,k\,x_1^2) = \tfrac{1}{2}\,k\,x_1^2 - \tfrac{1}{2}\,k\,x_2^2$. Confrontando con la~\eqref{eq:08-W-Ep}, si ottiene l'energia potenziale elastica:

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:08-Epg-elastica}
{\Epg}_{\text{el}}(x) = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2.
\end{equation}
\end{formulabox}

L'origine della scala (dove $\Epg = 0$) è scelta naturalmente nella posizione di riposo $x = 0$. L'energia potenziale elastica è sempre non negativa, ed è quadratica in $x$: deformazioni doppie corrispondono a energie quadruple.

\begin{esempio}[Energia di una molla compressa]
Una molla di costante elastica $k = \SI{200}{\newton\per\meter}$ viene compressa di $x = \SI{5.0}{\centi\meter}$ rispetto alla posizione di riposo. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata?
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Algebricamente, ${\Epg}_{\text{el}} = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2$. Convertendo $x = \SI{0.050}{\meter}$ e sostituendo:
\[
{\Epg}_{\text{el}} = \tfrac{1}{2}\cdot \SI{200}{\newton\per\meter}\cdot(\SI{0.050}{\meter})^2 = \SI{0.25}{\joule}.
\]
La molla immagazzina $\SI{0.25}{\joule}$, energia che potrà essere restituita ad un corpo che le venga messo a contatto e lasciato libero.
\end{soluzione}

\section{Conservazione dell'energia meccanica}\label{sec:08-conservazione}

\subsection{Principio di conservazione dell'energia meccanica}\label{sub:08-conservazione-principio}

I concetti di lavoro, energia cinetica ed energia potenziale si riuniscono ora in un risultato di portata fondamentale.

\begin{definizione}[Energia meccanica]
Si chiama \textbf{energia meccanica} totale di un punto materiale la somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale:
\begin{equation}\label{eq:08-Em-def}
\Em = \Ec + \Epg.
\end{equation}
\end{definizione}

L'energia meccanica include tutte le energie potenziali presenti: ad esempio, in un sistema con sia gravità sia molla, $\Em = \Ec + {\Epg}_{\text{grav}} + {\Epg}_{\text{el}}$.

\subsection{Sistemi con sole forze conservative}\label{sub:08-conservazione-conservative}

\begin{teorema}[Conservazione dell'energia meccanica]
Se su un punto materiale agiscono \emph{soltanto} forze conservative, la sua energia meccanica si mantiene costante durante il moto:
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:08-conservazione}
\Em = \Ec + \Epg = \text{costante}.
\end{equation}
\end{formulabox}

La dimostrazione è immediata: per il teorema delle forze vive, $\lavoro_{\text{tot}} = \Dlt\Ec$. Per la~\eqref{eq:08-W-Ep}, se tutte le forze sono conservative, $\lavoro_{\text{tot}} = -\Dlt\Epg$. Combinando,
\[
\Dlt\Ec = -\Dlt\Epg \quad\Longrightarrow\quad \Dlt\Ec + \Dlt\Epg = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Dlt\Em = 0.
\]
La conservazione dell'energia meccanica è uno strumento di calcolo straordinariamente potente: scelti due istanti di osservazione qualunque (uno iniziale e uno finale), permette di scrivere direttamente
\[
{\Ec}_{\text{i}} + {\Epg}_{\text{i}} = {\Ec}_{\text{f}} + {\Epg}_{\text{f}},
\]
e di estrarre la grandezza incognita senza dover ricostruire il moto in dettaglio.

\begin{esempio}[Velocità a fondo piano inclinato senza attrito]
Un blocco di massa $m = \SI{2.0}{\kilogram}$ scende, partendo da fermo, lungo un piano inclinato liscio di angolo $\theta = \SI{30}{\degree}$ e lunghezza $\ell = \SI{4.0}{\meter}$. Determinare la velocità con cui arriva alla base.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Sul piano agiscono la forza peso (conservativa), la reazione normale (perpendicolare al moto, lavoro nullo) e nessun attrito. L'energia meccanica si conserva.

Algebricamente: poniamo $\Epg = 0$ alla base del piano e indichiamo con $h = \ell\,\sin\theta$ la quota iniziale. Lo stato iniziale ha ${\Ec}_{\text{i}} = 0$ e ${\Epg}_{\text{i}} = m\,\grav\,h$; lo stato finale ha ${\Ec}_{\text{f}} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2$ e ${\Epg}_{\text{f}} = 0$. La conservazione dà
\[
0 + m\,\grav\,h = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 + 0 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\,\grav\,h} = \sqrt{2\,\grav\,\ell\,\sin\theta}.
\]
Sostituendo: $h = \SI{4.0}{\meter}\cdot\sin(\SI{30}{\degree}) = \SI{2.0}{\meter}$, e
\[
v = \sqrt{2\cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}\cdot \SI{2.0}{\meter}} \approx \SI{6.3}{\meter\per\second}.
\]
La massa non compare nel risultato finale, e la velocità è la stessa che avrebbe il corpo cadendo verticalmente da quota $h$: il piano inclinato cambia l'\emph{accelerazione} con cui il moto si svolge, non la velocità di arrivo, perché la conservazione dell'energia coinvolge solo il dislivello.
\end{soluzione}

\begin{esempio}[Pendolo semplice]
Un pendolo è costituito da un filo di lunghezza $\ell = \SI{1.20}{\meter}$ e da una massa puntiforme $m$ all'estremità inferiore. La massa viene scostata dalla verticale di un angolo $\theta_0 = \SI{40}{\degree}$ e lasciata libera. Trascurando l'attrito, calcolare la velocità con cui transita per il punto più basso.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
Le forze in gioco sono la forza peso (conservativa) e la tensione del filo. La tensione è in ogni istante perpendicolare al moto (diretta lungo il filo, mentre la velocità è tangente all'arco) e quindi non compie lavoro. L'energia meccanica si conserva.

Algebricamente: ponendo lo zero dell'energia potenziale nel punto più basso, l'altezza iniziale rispetto a quel punto vale
\[
h = \ell - \ell\,\cos\theta_0 = \ell\,(1 - \cos\theta_0).
\]
La conservazione dell'energia, fra la quota iniziale (a riposo) e il punto più basso (di massima velocità), dà
\[
m\,\grav\,h = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\,\grav\,\ell\,(1 - \cos\theta_0)}.
\]
Sostituendo: $1 - \cos(\SI{40}{\degree}) \approx \num{0.234}$, quindi
\[
v = \sqrt{2\cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}\cdot \SI{1.20}{\meter}\cdot \num{0.234}} \approx \SI{2.3}{\meter\per\second}.
\]
\end{soluzione}

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Stealth, scale=1]
% Soffitto
\fill[pattern=north east lines, pattern color=GRIGIO!70] (-1,3) rectangle (1,3.2);
\draw[GRIGIO] (-1,3) -- (1,3);
% Pendolo: posizione iniziale (a sinistra, scostata)
\coordinate (O) at (0,3);
\draw[GRIGIO!50, dashed] (O) -- (0,0); % verticale di riferimento
\draw[BLU!60, thick] (O) -- ({-3*sin(40)},{3-3*cos(40)});
\filldraw[BLU!50] ({-3*sin(40)},{3-3*cos(40)}) circle (4pt);
\node[BLU!70!black] at ({-3*sin(40)-0.2},{3-3*cos(40)+0.3}) {\small $A$};
% Posizione di massima velocità (in basso)
\filldraw[ROSSO] (0,0) circle (4pt);
\node[ROSSO] at (0.45,0) {\small $B$};
% Linea arco di traiettoria
\draw[VERDE, dashed, thick] ({-3*sin(40)},{3-3*cos(40)}) arc[start angle=-130, end angle=-90, radius=3];
% Quota iniziale h
\draw[<->, GRIGIO!70!black] ({-3*sin(40)-0.6},{3-3*cos(40)}) -- ({-3*sin(40)-0.6},0);
\node[GRIGIO!70!black] at ({-3*sin(40)-1.0},{(3-3*cos(40))/2}) {\small $h$};
% Etichetta angolo iniziale
\draw (0,2.55) arc (-90:-130:0.45);
\node at (-0.35,2.4) {\small $\theta_0$};
% Vettore velocità nel punto piú basso
\draw[->, very thick, ROSSO] (0,0) -- (1.0,0) node[right, ROSSO] {\small $\vel$};
% Asse di riferimento
\node at (-3.2,-0.5) {\small $\Epg = 0$};
\draw[GRIGIO!50, dashed] (-3,0) -- (1.5,0);
\end{tikzpicture}
\caption{Pendolo semplice. Il punto materiale, scostato dalla verticale di un angolo $\theta_0$, parte da fermo dalla posizione $A$ a quota $h = \ell(1 - \cos\theta_0)$ rispetto al punto più basso $B$. Trascurando gli attriti, la conservazione dell'energia meccanica permette di calcolare la velocità in $B$ senza bisogno di risolvere l'equazione del moto.}
\label{fig:08-pendolo}
\end{figure}

\subsection{Effetto delle forze dissipative}\label{sub:08-dissipative}

In presenza di forze non conservative --- attrito dinamico, resistenza viscosa --- l'energia meccanica \emph{non} si conserva. Per quantificarne la diminuzione, riprendiamo il teorema delle forze vive separando esplicitamente i due tipi di lavoro:
\[
\lavoro_{\text{tot}} = \lavoro_{\text{cons}} + \lavoro_{\text{nc}} = \Dlt\Ec.
\]
Per le forze conservative vale $\lavoro_{\text{cons}} = -\Dlt\Epg$, quindi
\[
-\Dlt\Epg + \lavoro_{\text{nc}} = \Dlt\Ec \quad\Longrightarrow\quad \lavoro_{\text{nc}} = \Dlt\Ec + \Dlt\Epg = \Dlt\Em.
\]

\begin{formulabox}
\begin{equation}\label{eq:08-dissipative}
\lavoro_{\text{nc}} = {\Em}_{\text{f}} - {\Em}_{\text{i}} = \Dlt\Em.
\end{equation}
\end{formulabox}

Il lavoro delle forze non conservative coincide con la variazione di energia meccanica. Per le forze \emph{dissipative} (attrito, viscosità) tale lavoro è negativo, e la conseguenza è una diminuzione di $\Em$: l'energia ``persa'' dal sistema meccanico non scompare, però; si trasforma in altre forme --- principalmente \emph{calore} (cap.~\ref{cap:12}) --- per cui la \emph{conservazione dell'energia totale}, in senso esteso, continua a valere. È questo il significato profondo del passaggio dalla meccanica alla termodinamica, di cui ci occuperemo più avanti.

\begin{esempio}[Blocco frenato dall'attrito]
Un blocco di massa $m = \SI{1.5}{\kilogram}$ viene lanciato lungo un piano orizzontale con velocità iniziale $v_0 = \SI{6.0}{\meter\per\second}$. Il coefficiente di attrito dinamico fra blocco e piano vale $\mu_\text{d} = \num{0.30}$. Determinare lo spazio percorso prima di fermarsi.
\end{esempio}

\begin{soluzione}
La forza di attrito ha modulo $\Fattrito = \mu_\text{d}\,m\,\grav$, è opposta al moto e quindi compie un lavoro
\[
\lavoro_{\text{attr}} = -\mu_\text{d}\,m\,\grav\,d,
\]
dove $d$ è lo spazio percorso. La forza peso e la reazione normale sono perpendicolari al moto e non contribuiscono.

Algebricamente, per la~\eqref{eq:08-dissipative} (e con $\Dlt\Epg = 0$, perché il moto è orizzontale), il lavoro dell'attrito uguaglia la variazione di energia cinetica:
\[
-\mu_\text{d}\,m\,\grav\,d = 0 - \tfrac{1}{2}\,m\,v_0^2 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{v_0^2}{2\,\mu_\text{d}\,\grav}.
\]
Sostituendo:
\[
d = \frac{(\SI{6.0}{\meter\per\second})^2}{2\cdot \num{0.30}\cdot \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}} \approx \SI{6.1}{\meter}.
\]
Notiamo come la massa si semplifichi: lo spazio di arresto dipende solo dalla velocità iniziale, dal coefficiente di attrito e da $\grav$.
\end{soluzione}

\begin{nota}
Lo stesso problema si potrebbe risolvere per via dinamica, con $\Fris = m\,\acc$ e poi con le leggi del MRUA. Si arriverebbe alla stessa formula. Il vantaggio del metodo energetico è che non richiede di risolvere il moto dettagliatamente: scelti gli stati iniziale e finale, si scrive direttamente l'equazione fra le energie. Per problemi più complessi (curve, superfici irregolari, sistemi di più corpi) il guadagno è ancora più sensibile.
\end{nota}

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
\item Il \textbf{lavoro} di una forza costante è $\lavoro = \scalare{\vett{F}}{\spos} = F\,s\,\cos\theta$. È una grandezza scalare, può essere positivo (motore), negativo (resistente) o nullo (forza perpendicolare al moto). Si misura in \textbf{joule} ($\si{\joule} = \si{\newton\meter}$).
\item Per una forza variabile in moto unidimensionale, il lavoro è l'\emph{area sottesa} dal grafico $F(x)$ tra $x_1$ e $x_2$.
\item La \textbf{potenza} è il lavoro per unità di tempo, $\potenza = \lavoro/\Dlt t$, e per un punto materiale in moto vale $\potenza = \scalare{\vett{F}}{\vel}$. Si misura in \textbf{watt} ($\si{\watt} = \si{\joule\per\second}$).
\item L'\textbf{energia cinetica} di un punto materiale è $\Ec = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2$, sempre non negativa.
\item Il \textbf{teorema delle forze vive} afferma che $\lavoro_{\text{tot}} = \Dlt\Ec$: il lavoro totale della risultante uguaglia la variazione di energia cinetica.
\item Una forza è \textbf{conservativa} se il suo lavoro non dipende dal cammino, ma solo dagli estremi. Per ogni forza conservativa esiste un'\emph{energia potenziale} $\Epg$ tale che $\lavoro = -\Dlt\Epg$.
\item L'\textbf{energia potenziale gravitazionale} (locale) è $\Epg = m\,\grav\,y$; quella \textbf{elastica} è ${\Epg}_{\text{el}} = \tfrac{1}{2}\,k\,x^2$.
\item L'\textbf{energia meccanica} è $\Em = \Ec + \Epg$. Se agiscono solo forze conservative, $\Em$ si conserva durante il moto.
\item In presenza di forze non conservative, il loro lavoro vale $\lavoro_{\text{nc}} = \Dlt\Em$. Per le forze dissipative ciò comporta una diminuzione dell'energia meccanica, che si trasforma in altre forme (calore in primis).
\end{itemize}
\end{riepilogo}

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
\item Una valigia di massa $m = \SI{15}{\kilogram}$ viene trascinata lungo un corridoio orizzontale per $s = \SI{8.0}{\meter}$, con una forza di $F = \SI{40}{\newton}$ inclinata di $\theta = \SI{20}{\degree}$ verso l'alto rispetto al pavimento. Calcolare il lavoro della forza, della forza peso e della reazione normale.

\item Una scatola viene sollevata verticalmente con velocità costante per $h = \SI{3.0}{\meter}$. La sua massa è $m = \SI{12}{\kilogram}$. Calcolare il lavoro della forza esercitata dalla persona e il lavoro della forza peso. Verificare la coerenza con il teorema delle forze vive.

\item Un punto materiale di massa $m = \SI{0.80}{\kilogram}$ si muove lungo una traiettoria rettilinea sotto l'azione di una forza variabile $F(x) = (\num{12} - \num{2.0}\,x)\,\si{\newton}$ con $x$ in metri. Calcolare il lavoro compiuto dalla forza nello spostamento da $x_1 = 0$ a $x_2 = \SI{6.0}{\meter}$, usando l'interpretazione grafica.

\item Un'auto di massa $m = \SI{1500}{\kilogram}$ viaggia a velocità costante $v = \SI{25}{\meter\per\second}$ su una strada orizzontale, contrastando una forza di resistenza complessiva $F_\text{r} = \SI{600}{\newton}$. Determinare la potenza erogata dal motore.

\item Una pallina di massa $m = \SI{0.20}{\kilogram}$ viene lanciata orizzontalmente da un'altezza $h = \SI{1.5}{\meter}$ con velocità iniziale $v_0 = \SI{4.0}{\meter\per\second}$. Trascurando l'attrito dell'aria, determinare la velocità con cui tocca terra usando la conservazione dell'energia meccanica.

\item Un blocco di massa $m = \SI{0.50}{\kilogram}$ è lanciato dalla base di un piano inclinato liscio di angolo $\theta = \SI{25}{\degree}$ con velocità iniziale $v_0 = \SI{5.0}{\meter\per\second}$ diretta lungo il piano verso l'alto. A quale distanza dalla base si ferma?

\item Una molla di costante elastica $k = \SI{350}{\newton\per\meter}$ è compressa di $x = \SI{8.0}{\centi\meter}$ e tiene appoggiato (senza essere collegato) un cubetto di massa $m = \SI{0.20}{\kilogram}$ su un piano orizzontale liscio. La molla viene rilasciata e si distende fino alla lunghezza di riposo, lanciando il cubetto. Con quale velocità il cubetto si stacca?

\item Un pendolo di lunghezza $\ell = \SI{0.80}{\meter}$ viene scostato dalla verticale di $\SI{30}{\degree}$ e lasciato libero. Calcolare la velocità della massa nel punto più basso e la tensione del filo in quel punto, sapendo che la massa vale $m = \SI{0.50}{\kilogram}$. (\emph{Suggerimento}: nel punto più basso il moto è circolare e la risultante è centripeta.)

\item Una slitta di massa $m = \SI{30}{\kilogram}$ scende da ferma lungo un pendio innevato lungo $\ell = \SI{50}{\meter}$, inclinato di $\theta = \SI{15}{\degree}$. Il coefficiente di attrito dinamico vale $\mu_\text{d} = \num{0.10}$. Calcolare la velocità con cui arriva alla base, usando il bilancio energetico.

\item Un'auto di massa $m = \SI{1200}{\kilogram}$ viaggia a $v_0 = \SI{30}{\meter\per\second}$ e frena fino a fermarsi su una strada orizzontale. L'energia cinetica iniziale viene dissipata dai freni. Quanta energia totale viene trasformata in calore? Se la frenata avviene in $\SI{5.0}{\second}$, qual è la potenza media dissipata?
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}