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% Capitolo 17 — Induzione elettromagnetica
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\chapter{Induzione elettromagnetica}\label{cap:17}

\citazioneinizio{Una calamita in moto vicino a una bobina induce in essa una corrente elettrica.}{Michael Faraday, diario di laboratorio, 29 agosto 1831 (parafrasi)}

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\section{Introduzione motivazionale}
\label{sec:17-introduzione-motivazionale}
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Ørsted (1820) aveva mostrato che una corrente elettrica produce un
campo magnetico. La domanda inversa nasce immediatamente: un campo
magnetico può produrre una corrente elettrica? Per un decennio i
fisici cercarono l'effetto inverso, senza risultati. Faraday e Joseph
Henry (indipendentemente, nel 1831) trovarono finalmente la risposta:
\textbf{sì, ma a una condizione precisa --- che il campo magnetico
\emph{vari nel tempo}}.

Da questa scoperta è nato il concetto di \textbf{induzione
elettromagnetica}, alla base della stragrande maggioranza dell'energia
elettrica usata oggi nel mondo. Ogni volta che premi un interruttore
della luce, accendi un motore, ricarichi un cellulare, dietro c'è
una qualche forma di induzione: alternatori che convertono energia
meccanica in elettrica, trasformatori che trasportano l'energia a
lunga distanza, motori che fanno l'inverso.

In questo capitolo studieremo: i fenomeni di induzione scoperti da
Faraday, la legge quantitativa di Faraday-Neumann, la regola di Lenz
sul verso della corrente indotta, le applicazioni (alternatore,
trasformatore, correnti parassite), e infine la sintesi conclusiva
dell'elettromagnetismo classico nelle \textbf{equazioni di Maxwell}.

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\section{Il fenomeno dell'induzione}
\label{sec:17-fenomeno-induzione}
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\subsection{Esperienze di Faraday}
\label{sub:17-faraday-esperimenti}
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Tra agosto e novembre del \num{1831} Faraday eseguì una serie di
esperimenti decisivi, di cui i due più famosi sono i seguenti.

\paragraph{Magnete e bobina.}
Una bobina di filo conduttore è collegata a un galvanometro (uno
strumento sensibile alla corrente). Avvicinando un magnete a barra
all'imboccatura della bobina, il galvanometro segnala il passaggio
di una corrente. Allontanando il magnete, la corrente passa nel verso
opposto. Con magnete e bobina entrambi fermi, nessuna corrente.

\paragraph{Due bobine accoppiate.}
Due bobine sono avvolte su uno stesso nucleo (per esempio un anello
di ferro). La prima bobina è collegata a una pila, l'altra a un
galvanometro. Quando si chiude o si apre il circuito della pila ---
ovvero quando la corrente in essa varia ---, il galvanometro
nell'altra bobina segnala una breve corrente; ma una corrente
costante nella prima bobina non produce alcun effetto nell'altra.

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % barra magnete
  \draw[ROSSO, fill=ROSSO!40] (-3.5,0) rectangle (-2.0,0.6);
  \draw[BLU, fill=BLU!40] (-2.0,0) rectangle (-0.5,0.6);
  \node[font=\small] at (-2.75,0.3) {\textbf{N}};
  \node[font=\small] at (-1.25,0.3) {\textbf{S}};
  % freccia di moto del magnete
  \draw[->, very thick, ARANCIO] (-0.3,0.3) -- (0.7,0.3);
  \node[ARANCIO, font=\small, above] at (0.2,0.4) {moto};
  % bobina (avvolgimento schematizzato)
  \foreach \i in {0,1,...,8}{
    \draw[GRIGIO, thick] (1.5+0.3*\i,0.6) arc (180:0:0.15);
    \draw[GRIGIO, thick] (1.5+0.3*\i,0) arc (-180:0:0.15);
  }
  \draw[GRIGIO, very thick] (1.5,0.6) -- (1.5,0);
  \draw[GRIGIO, very thick] (1.5+0.3*8+0.3,0.6) -- (1.5+0.3*8+0.3,0);
  % fili che escono e vanno al galvanometro
  \draw[thick] (1.5,0) -- (1.5,-0.7);
  \draw[thick] (4.2,0) -- (4.2,-0.7);
  \draw[thick] (1.5,-0.7) -- (2.5,-0.7);
  \draw[thick] (4.2,-0.7) -- (3.2,-0.7);
  % galvanometro
  \draw[VERDE, thick] (2.85,-0.7) circle (0.35);
  \node[VERDE, font=\small] at (2.85,-0.7) {G};
\end{tikzpicture}
\caption{Esperimento di Faraday: una calamita in moto verso (o da)
una bobina induce in essa una corrente elettrica, rilevabile dal
galvanometro G. La corrente esiste solo durante il moto: se calamita
e bobina sono entrambe ferme, il flusso magnetico nella bobina è
costante e nessuna corrente fluisce.}
\label{fig:17-faraday-bobina}
\end{figure}

\paragraph{La sintesi qualitativa di Faraday.}
Ciò che accomuna i due esperimenti --- e tutte le decine di varianti
che Faraday provò --- è una nozione che Faraday stesso intuì in
termini delle sue ``linee di forza'': quando il numero di linee di
$\Bcampo$ \emph{attraverso} la bobina cambia nel tempo, nella bobina
nasce una corrente. È solo la \emph{variazione} del campo magnetico
(o, equivalentemente, del \emph{flusso} di $\Bcampo$) a produrre
l'effetto: un campo magnetico statico, per quanto intenso, non
induce nulla.

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\subsection{Legge di Faraday-Neumann}
\label{sub:17-faraday-neumann}
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La forma quantitativa della legge fu data poco dopo da Franz Neumann
(\num{1845}), in termini del \textbf{flusso del campo magnetico}
attraverso la superficie delimitata dalla spira.

Per una spira (o bobina) che racchiude una superficie $S$, il flusso
di $\Bcampo$ vale:
\[
   \Phi(\Bcampo) = \int_S \Bcampo \cdot \mathrm{d}\vett{A}.
\]
Per $\Bcampo$ uniforme e una spira piana di area $A$ con normale che
forma angolo $\theta$ con $\Bcampo$, si ha semplicemente
$\Phi(\Bcampo) = B\,A\,\cos\theta$.

\begin{legge}{Legge di Faraday-Neumann}
La forza elettromotrice (f.e.m.) indotta in un circuito chiuso è
proporzionale alla \emph{rapidità con cui il flusso del campo
magnetico} attraverso il circuito varia nel tempo:
%
\begin{formulabox}
\[ \varepsilon = -\,\dfrac{\mathrm{d}\Phi(\Bcampo)}{\mathrm{d}t}
   \label{eq:17-faraday-neumann} \]
{\footnotesize\textit{Unità SI:}\;$[\varepsilon]=\si{\volt}$;\;
 $[\Phi(\Bcampo)]=\si{\weber}=\si{\tesla\square\meter}$;\;
 $[t]=\si{\second}$.}
\end{formulabox}
%
Per una bobina di $N$ spire avvolte ``in serie'', la f.e.m.\ totale è
$N$ volte quella di una singola spira:
$\varepsilon = -N\,\mathrm{d}\Phi(\Bcampo)/\mathrm{d}t$.
\end{legge}

Il segno meno è importante e codifica la \emph{legge di Lenz} (vedi
sotto). Il modulo della f.e.m.\ può essere scritto come
$|\varepsilon| = |\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t|$, ma la formula completa
specifica anche il \emph{verso}.

\textbf{Tre modi per far variare $\Phi$.}
Dal momento che $\Phi = B\,A\,\cos\theta$, ogni variazione di flusso
può venire da:
\begin{enumerate}
  \item Variazione di $B$ nel tempo (avvicinare un magnete, accendere
        un elettromagnete, ecc.).
  \item Variazione dell'area $A$ del circuito (sbarra mobile su rotaie
        conduttrici).
  \item Variazione dell'angolo $\theta$ (rotazione della spira nel
        campo: è il principio dell'alternatore).
\end{enumerate}

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\subsection{Legge di Lenz}
\label{sub:17-lenz}
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Heinrich Lenz, nel \num{1834}, formulò una regola elegante per
determinare il \emph{verso} della corrente indotta, regola che è
codificata nel segno meno della legge di Faraday-Neumann.

\begin{legge}{Legge di Lenz}
La corrente indotta in un circuito ha sempre un verso tale che il
campo magnetico da essa generato si oppone alla variazione di
flusso che l'ha prodotta.
\end{legge}

Esempi:
\begin{itemize}
  \item Se avvicino il polo Nord di una calamita a una spira, il
        flusso di $\Bcampo$ attraverso la spira cresce. La corrente
        indotta nella spira genera un campo magnetico che si oppone
        a questo aumento: il lato della spira rivolto verso la
        calamita assume polarità Nord (respinge il magnete).
  \item Se allontano il polo Nord dalla spira, il flusso decresce.
        La corrente indotta si oppone alla diminuzione: il lato
        della spira rivolto verso la calamita assume polarità Sud
        (attrae il magnete).
\end{itemize}

\textbf{Significato fisico: conservazione dell'energia.}
La legge di Lenz è una conseguenza della conservazione dell'energia.
Se la corrente indotta cooperasse con la variazione di flusso anziché
opporvisi, otterremmo energia dal nulla --- una macchina a moto
perpetuo. Lenz impone invece che il movente esterno (chi muove la
calamita) debba sempre \emph{fare lavoro contro} la corrente indotta:
quel lavoro è l'energia che alimenta la corrente. Bilancio energetico
salvo.

\begin{esempio}{Sbarra mobile su rotaie}
Una sbarra conduttrice di lunghezza $L$ scivola con velocità $v$ su
due rotaie parallele, perpendicolari a un campo magnetico $\Bcampo$
uscente dal piano. La superficie racchiusa dal circuito (sbarra +
rotaie + cavo di chiusura) cambia col tempo:
$A(t) = A_0 + L\,v\,t$, e quindi $\Phi(t) = B\,A(t)$, da cui
$\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t = B\,L\,v$. Per Faraday-Neumann:
\[
   |\varepsilon| = B\,L\,v.
\]
Per Lenz, la corrente indotta circola in modo da generare un campo
magnetico opposto a $\Bcampo$ all'interno del circuito (cioè
entrante): in pratica, la corrente nella sbarra è tale da produrre
una forza $\vett{F} = I\vett{L}\times\Bcampo$ opposta a $\vett{v}$,
ovvero che frena il moto. Per mantenere la sbarra in moto a $v$
costante, qualcuno deve spingerla con forza pari (e opposta) alla
frenatura: il lavoro che spende è esattamente l'energia dissipata
dalla corrente nel circuito ($P = \varepsilon I = (BLv)\cdot I$).
\end{esempio}

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\section{Applicazioni dell'induzione}
\label{sec:17-applicazioni}
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\subsection{Alternatore}
\label{sub:17-alternatore}
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L'\textbf{alternatore} è il dispositivo che converte energia meccanica
in energia elettrica sfruttando l'induzione. La sua versione minima è
una bobina rettangolare di $N$ spire, area $A$, che ruota a
velocità angolare $\omega$ in un campo magnetico uniforme $\Bcampo$.

L'angolo fra la normale alla bobina e $\Bcampo$ varia nel tempo come
$\theta(t) = \omega t$, e il flusso vale
$\Phi(t) = N\,B\,A\,\cos(\omega t)$. Derivando, la f.e.m.\ indotta è:

\begin{formulabox}
\[ \varepsilon(t) = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
   = N\,B\,A\,\omega\,\sin(\omega t)
   = \varepsilon_0\,\sin(\omega t)
   \label{eq:17-alternatore} \]
{\footnotesize\textit{Unità SI:}\;$[\varepsilon]=\si{\volt}$;\;
 $[\omega]=\si{\radian\per\second}$;\;
 ampiezza $\varepsilon_0 = N\,B\,A\,\omega$.}
\end{formulabox}

La f.e.m.\ è dunque \textbf{sinusoidale} nel tempo: questa è la
celebre \emph{corrente alternata} (AC, alternating current). Le reti
elettriche europee operano a frequenza $f = \SI{50}{\hertz}$
($\omega = 2\pi f = \SI{314}{\radian\per\second}$); in America del
Nord, a $\SI{60}{\hertz}$.

\textbf{Perché corrente alternata.}
Storicamente, agli inizi del '900, ci fu una vera ``guerra delle
correnti'' fra Edison (sostenitore della corrente continua, DC) e
Tesla/Westinghouse (sostenitori dell'alternata, AC). Vinse l'alternata
per un motivo decisivo: si trasforma facilmente da una tensione
all'altra con i trasformatori (vedi sotto), permettendo la
trasmissione efficiente a lunga distanza.

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\subsection{Trasformatore}
\label{sub:17-trasformatore}
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Il \textbf{trasformatore} è un dispositivo passivo (senza parti in
movimento) che cambia il livello di tensione di una corrente
alternata. È costituito da due bobine, \emph{primario} ($N_1$ spire)
e \emph{secondario} ($N_2$ spire), avvolte su uno stesso nucleo
ferromagnetico (per ``canalizzare'' il flusso magnetico).

\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % nucleo di ferro (rettangolo cavo)
  \draw[thick, fill=GRIGIO!30] (0,0) rectangle (5,2.5);
  \draw[thick, fill=white] (1,0.6) rectangle (4,1.9);
  \node[font=\small] at (4.7,2.25) {ferro};
  % primario (spire sulla sinistra, sul tratto verticale del nucleo)
  \foreach \y in {0.1,0.45,0.8,1.15,1.5,1.85,2.2}{
    \draw[BLU, very thick] (0.4,\y) -- (0.85,\y);
  }
  \node[BLU, font=\small, below] at (0.5,0.0) {$N_1$};
  % fili primario
  \draw[BLU, thick] (0.4,0.1) -- (-0.3,0.1) -- (-0.3,2.4);
  \draw[BLU, thick] (0.4,2.2) -- (-0.5,2.2);
  \node[BLU, font=\small, left] at (-0.4,1.25) {$V_1$};
  % AC source (cerchio con tilde)
  \draw[BLU, thick] (-1.0,1.25) circle (0.3);
  \node[BLU] at (-1.0,1.25) {$\sim$};
  \draw[BLU, thick] (-0.7,1.25) -- (-0.5,2.2);
  \draw[BLU, thick] (-1.3,1.25) -- (-0.3,2.4);
  % secondario (spire sulla destra)
  \foreach \y in {0.1,0.45,0.8,1.15,1.5,1.85,2.2}{
    \draw[ROSSO, very thick] (4.15,\y) -- (4.6,\y);
  }
  \node[ROSSO, font=\small, below] at (4.5,0.0) {$N_2$};
  % fili secondario
  \draw[ROSSO, thick] (4.6,0.1) -- (5.5,0.1) -- (5.5,1.0);
  \draw[ROSSO, thick] (4.6,2.2) -- (5.5,2.2) -- (5.5,1.5);
  \node[ROSSO, font=\small, right] at (5.6,1.25) {$V_2$};
  % carico (resistore)
  \draw[ROSSO, very thick] (5.5,1.5) -- (5.4,1.4) -- (5.6,1.3) -- (5.4,1.2) -- (5.6,1.1) -- (5.5,1.0);
\end{tikzpicture}
\caption{Trasformatore. Una corrente alternata applicata al primario
($N_1$ spire) genera un flusso magnetico alternato nel nucleo di
ferro. Il nucleo convoglia tale flusso anche attraverso il
secondario ($N_2$ spire), in cui per induzione di Faraday-Neumann si
genera una tensione alternata $V_2 = (N_2/N_1)\,V_1$.}
\label{fig:17-trasformatore}
\end{figure}

Quando una tensione alternata $V_1(t)$ è applicata al primario, vi
scorre una corrente alternata che genera un flusso magnetico
alternato $\Phi(t)$ nel nucleo. Per la legge di Faraday-Neumann:
\begin{align*}
   V_1 &= -N_1\,\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}, \\
   V_2 &= -N_2\,\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}.
\end{align*}
Dividendo membro a membro:

\begin{legge}{Rapporto di trasformazione (trasformatore ideale)}
%
\begin{formulabox}
\[ \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1} \label{eq:17-trasformatore} \]
{\footnotesize\textit{Unità SI:}\;$[V]=\si{\volt}$;\;
 $N_1, N_2$ adimensionali (numero di spire).}
\end{formulabox}
\end{legge}

\textbf{Trasformatore elevatore}: $N_2 > N_1$, $V_2 > V_1$. Aumenta
la tensione (al prezzo di ridurre la corrente, per conservare la
potenza).

\textbf{Trasformatore abbassatore}: $N_2 < N_1$, $V_2 < V_1$. Riduce
la tensione (e aumenta la corrente).

\textbf{Conservazione della potenza.}
In un trasformatore \emph{ideale} (senza perdite), la potenza al
primario eguaglia quella al secondario:
$V_1\,I_1 = V_2\,I_2$, da cui $I_2/I_1 = N_1/N_2$. In pratica, c'è
sempre qualche perdita (per effetto Joule negli avvolgimenti e per
correnti parassite nel nucleo), ma i trasformatori commerciali
arrivano facilmente al $98$--$99\%$ di efficienza.

\textbf{Trasporto dell'energia elettrica.}
È grazie ai trasformatori che l'energia elettrica può essere
trasportata efficientemente: una centrale elettrica produce a
$\sim \SI{15}{\kilo\volt}$, un trasformatore elevatore porta la
tensione a $\sim \SI{400}{\kilo\volt}$ per la linea di alta
tensione (riducendo enormemente le perdite $i^2 R$), e una rete di
trasformatori abbassatori la riporta progressivamente fino ai
$\sim \SI{230}{\volt}$ delle prese domestiche.

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\subsection{Correnti parassite (Foucault)}
\label{sub:17-foucault}
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Quando un blocco di metallo \emph{esteso} è immerso in un campo
magnetico variabile (oppure si muove in un campo non uniforme), in
esso si inducono \textbf{correnti parassite}, dette anche
\emph{correnti di Foucault}. Sono correnti circolari, ``vorticose'',
che fluiscono nella massa del conduttore.

\textbf{Frenata magnetica.}
Un disco metallico che ruota fra le espansioni polari di un magnete
viene frenato dalle correnti parassite indotte in esso (per
Lenz, le correnti generano un campo che si oppone al moto). È il
principio dei \emph{freni magnetici} usati nei treni veloci, nelle
montagne russe, in alcuni mezzi pesanti: nessuna usura meccanica,
solo dissipazione per effetto Joule.

\textbf{Riscaldamento per induzione.}
Sulle piastre da cucina ``a induzione'', sotto la superficie di vetro
c'è una bobina percorsa da corrente alternata ad alta frequenza
($\sim \SI{20}{\kilo\hertz}$). Quando vi si pone una pentola
metallica, le correnti parassite indotte nel fondo della pentola
producono calore per effetto Joule. La piastra di vetro resta
relativamente fredda (non è metallica), il calore nasce direttamente
nella pentola: efficiente e sicuro.

\textbf{Limitare le correnti parassite.}
Nei trasformatori, le correnti parassite nel nucleo sono uno spreco
energetico. Per limitarle si costruiscono i nuclei in \emph{lamierini}
sottili (decimi di mm) isolati uno dall'altro: il flusso di corrente
parassita resta confinato in ogni singolo lamierino, troppo piccolo
per dissipare molta energia.

\textbf{Schermi elettromagnetici.}
Una scatola conduttiva (\emph{gabbia di Faraday}) protegge dagli
effetti elettromagnetici esterni: le correnti parassite indotte
nelle pareti generano campi che cancellano i campi esterni
all'interno. È il principio dei locali schermati per esperimenti
delicati, dei microonde (che invece confinano la radiazione interna),
dei contenitori per dispositivi elettronici sensibili.

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\section{Verso le equazioni di Maxwell}
\label{sec:17-verso-maxwell}
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\subsection{Legame fra campi elettrici e magnetici variabili}
\label{sub:17-legame-E-B}
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L'induzione elettromagnetica è il primo grande \emph{legame} fra i
campi $\vett{E}$ e $\Bcampo$ che fino ad allora erano considerati
indipendenti. La legge di Faraday-Neumann ci dice infatti:
\begin{quote}
``Un campo magnetico variabile nel tempo \emph{genera} un campo
elettrico (non conservativo!) capace di mettere in moto le cariche
in un circuito.''
\end{quote}

In forma più astratta, la legge di Faraday-Neumann scritta su un
circuito statico equivale a:
\[
   \oint_{\partial S} \vett{E}\cdot \mathrm{d}\vett{\ell}
   = -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{A}.
\]
Il primo membro è la circuitazione di $\vett{E}$ lungo un cammino
chiuso. In elettrostatica (cap.~\ref{cap:14}) questa è zero ($\vett{E}$
è conservativo). Qui invece, in presenza di un flusso magnetico
variabile, non è più zero. Il campo elettrico indotto è
\emph{rotazionale}, e le sue linee si chiudono su se stesse.

\textbf{Simmetria emergente.}
A questo punto si pone naturalmente la domanda speculare: ``un campo
elettrico variabile nel tempo genera a sua volta un campo magnetico?''
Maxwell, nel \num{1865}, lo postulò teoricamente per ragioni di
coerenza interna delle equazioni dell'elettromagnetismo, prima ancora
che vi fosse evidenza sperimentale diretta. La sua risposta è sì:
introdusse il termine della \emph{corrente di spostamento}.

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\subsection{Corrente di spostamento}
\label{sub:17-corrente-spostamento}
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La legge di Ampère (cap.~\ref{cap:16}) lega la circuitazione di
$\Bcampo$ alla corrente concatenata:
\[
   \oint_{\partial S} \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{\ell}
   = \muvuoto\,I_{\mathrm{int}}.
\]
Maxwell notò che questa formula presenta un'incoerenza quando
applicata a circuiti con condensatori: per una superficie che taglia
il filo, $I_{\mathrm{int}}$ è la corrente nel filo; per una superficie
che taglia il dielettrico fra le armature del condensatore,
$I_{\mathrm{int}} = 0$. Ma le due superfici hanno lo stesso contorno!
Contraddizione.

Per risolverla, Maxwell aggiunse alla corrente reale un termine extra,
detto \textbf{corrente di spostamento}, proporzionale alla variazione
del flusso elettrico:

\begin{formulabox}
\[ I_{\mathrm{spost}} = \epsvuoto\,\dfrac{\mathrm{d}\Phi(\vett{E})}{\mathrm{d}t}
   \label{eq:17-spostamento} \]
{\footnotesize\textit{Unità SI:}\;$[I_{\mathrm{spost}}]=\si{\ampere}$;\;
 $[\epsvuoto]=\si{\farad\per\meter}$;\;
 $[\Phi(\vett{E})]=\si{\volt\meter}$.}
\end{formulabox}

La legge di Ampère, così generalizzata (\textbf{legge di
Ampère-Maxwell}), diventa:
\[
   \oint_{\partial S} \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{\ell}
   = \muvuoto\,\Big(I_{\mathrm{int}} + \epsvuoto\,
   \dfrac{\mathrm{d}\Phi(\vett{E})}{\mathrm{d}t}\Big).
\]
Adesso le due superfici danno lo stesso risultato (nel dielettrico,
$\vett{E}$ varia e ``finge'' un termine $I_{\mathrm{spost}}$ pari alla
corrente nel filo).

\textbf{Conseguenza dirompente.}
Anche in assenza di correnti reali, un campo elettrico variabile nel
tempo genera un campo magnetico --- esatto contraltare della legge di
Faraday-Neumann. I due campi diventano sorgenti l'uno dell'altro,
generandosi e propagandosi insieme: nascono le \textbf{onde
elettromagnetiche} (cap.~\ref{cap:18}).

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\subsection{Equazioni di Maxwell: sintesi}
\label{sub:17-equazioni-maxwell}
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Con la legge di Faraday-Neumann e la corrente di spostamento, James
Clerk Maxwell completò nel \num{1865} la sintesi
dell'elettromagnetismo classico in quattro equazioni, oggi note come
\textbf{equazioni di Maxwell}. In forma integrale:

\begin{legge}{Equazioni di Maxwell (forma integrale)}
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Gauss per $\vett{E}$}: \quad
        $\oint \vett{E}\cdot \mathrm{d}\vett{A} = Q_{\mathrm{int}}/\epsvuoto$.
        \\
        Le cariche elettriche sono sorgenti del campo elettrico.

  \item \textbf{Gauss per $\Bcampo$}: \quad
        $\oint \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{A} = 0$.
        \\
        Non esistono monopoli magnetici. Le linee di $\Bcampo$ sono
        chiuse.

  \item \textbf{Faraday-Neumann}: \quad
        $\oint \vett{E}\cdot \mathrm{d}\vett{\ell}
         = -\,\mathrm{d}\Phi(\Bcampo)/\mathrm{d}t$.
        \\
        Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico.

  \item \textbf{Ampère-Maxwell}: \quad
        $\oint \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{\ell}
         = \muvuoto\,(I_{\mathrm{int}} +
              \epsvuoto\,\mathrm{d}\Phi(\vett{E})/\mathrm{d}t)$.
        \\
        Correnti elettriche e campi elettrici variabili generano
        un campo magnetico.
\end{enumerate}
\end{legge}

\begin{attenzione}{Forza e profondità delle equazioni di Maxwell}
Le quattro equazioni di Maxwell, integrate dalla forza di Lorentz
$\vett{F} = q(\vett{E} + \vett{v}\times\Bcampo)$, contengono
\emph{tutto} l'elettromagnetismo classico: ottica, radio, microonde,
raggi X, induzione, magnetismo dei materiali, antenne, motori. Sono
considerate uno dei più alti risultati della fisica teorica.
L'unificazione di elettricità, magnetismo e ottica fu così
straordinaria che ispirò Einstein a cercare un'analoga unificazione
fra spazio e tempo (la relatività ristretta, cap.~\ref{cap:19}).
\end{attenzione}

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\section{Esempi svolti}
\label{sec:17-esempi-svolti}
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\begin{esempio}{Spira in campo magnetico variabile}
Una spira circolare di raggio $R = \SI{5.0}{\centi\meter}$ è immersa
in un campo magnetico uniforme perpendicolare al suo piano. Il campo
cresce nel tempo come $B(t) = B_0 + \alpha\,t$, con
$B_0 = \SI{0.10}{\tesla}$ e $\alpha = \SI{0.50}{\tesla\per\second}$.
Calcoliamo la f.e.m.\ indotta nella spira.

\textbf{Impostazione.}
Area $A = \pi R^2$. Flusso $\Phi(t) = B(t)\cdot A = (B_0 + \alpha t)\,A$.
\[
   \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \alpha\,A.
\]

\textbf{Calcolo.}
$A = \pi \cdot (0.05)^2 \approx \SI{7.85e-3}{\square\meter}$.
\[
   |\varepsilon| = \alpha\,A
   = \SI{0.50}{\tesla\per\second}\cdot \SI{7.85e-3}{\square\meter}
   \approx \SI{3.93e-3}{\volt} = \SI{3.93}{\milli\volt}.
\]
Per la legge di Lenz, la corrente indotta scorre in modo da generare
un campo opposto a $\Bcampo$ (che cresce), cioè nel verso opposto a
quello in cui le linee di campo originale puntano.
\end{esempio}

\begin{esempio}{Sbarra mobile su rotaie}
Una sbarra conduttrice di lunghezza $L = \SI{30}{\centi\meter}$
scorre con $v = \SI{2.0}{\meter\per\second}$ su due rotaie parallele,
immerse in un campo $\Bcampo = \SI{0.40}{\tesla}$ perpendicolare al
piano delle rotaie. Calcoliamo la f.e.m.\ indotta. Se il circuito ha
resistenza totale $R = \SI{2.0}{\ohm}$, quale corrente scorre? Quale
forza deve applicare l'agente esterno per mantenere $v$ costante?

\textbf{f.e.m.}
$|\varepsilon| = B\,L\,v = 0.40\cdot 0.30\cdot 2.0 = \SI{0.24}{\volt}$.

\textbf{Corrente.}
$i = \varepsilon/R = 0.24/2.0 = \SI{0.12}{\ampere}$.

\textbf{Forza frenante.}
$F = B\,I\,L = 0.40\cdot 0.12\cdot 0.30 = \SI{0.0144}{\newton}$.
L'agente esterno deve applicare la stessa forza, in verso opposto
alla frenatura, per mantenere la velocità.

\textbf{Verifica energetica.}
Potenza meccanica fornita: $P_{\mathrm{mecc}} = F\,v = 0.0144\cdot 2.0
= \SI{0.0288}{\watt}$. Potenza dissipata nel circuito:
$P_{\mathrm{el}} = \varepsilon\,i = 0.24\cdot 0.12 = \SI{0.0288}{\watt}$.
\;\checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}{Alternatore semplice}
Una bobina rettangolare di $N = \num{500}$ spire e area
$A = \SI{0.02}{\square\meter}$ ruota a $f = \SI{50}{\hertz}$ in un
campo magnetico $B = \SI{0.30}{\tesla}$. Calcoliamo l'ampiezza della
f.e.m.\ alternata generata.

\textbf{Calcolo.}
$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 50 \approx \SI{314}{\radian\per\second}$.
\[
   \varepsilon_0 = N\,B\,A\,\omega
   = 500\cdot 0.30\cdot 0.02\cdot 314
   \approx \SI{942}{\volt}.
\]
L'ampiezza è circa $\SI{1}{\kilo\volt}$; il valore \emph{efficace}
(usato in pratica per le tensioni di rete) è
$V_{\mathrm{eff}} = \varepsilon_0/\sqrt{2} \approx \SI{666}{\volt}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}{Trasformatore abbassatore}
Un trasformatore alimentato dalla rete a $V_1 = \SI{230}{\volt}$
deve fornire $V_2 = \SI{12}{\volt}$ (per esempio per un caricabatterie).
Quale è il rapporto $N_2/N_1$? Se al secondario è collegato un
dispositivo che assorbe $I_2 = \SI{2.0}{\ampere}$, quale è la
corrente al primario (trasformatore ideale)?

\textbf{Rapporto di trasformazione.}
\[
   \dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{12}{230}
   \approx 0.052.
\]

\textbf{Corrente al primario.}
$V_1\,I_1 = V_2\,I_2$ (conservazione della potenza), da cui
$I_1 = (V_2/V_1)\,I_2 = 0.052\cdot 2.0 \approx \SI{0.104}{\ampere}$.
Al primario circola circa un ventesimo della corrente del secondario.
\end{esempio}

\begin{esempio}{Frenata di un disco metallico}
Un disco di rame ruota fra le espansioni polari di un magnete
permanente. Le correnti parassite indotte nel disco dissipano,
ipotizziamo, una potenza $P = \SI{50}{\watt}$. Da dove viene questa
energia?

\textbf{Soluzione.}
L'energia viene dal lavoro che il motore (o la mano dell'operatore)
deve fare per mantenere la rotazione. La frenata magnetica si oppone
al moto, esattamente come previsto dalla legge di Lenz; per mantenere
$\omega$ costante, l'operatore deve fornire una potenza meccanica
$P_{\mathrm{mecc}} = P = \SI{50}{\watt}$ (energia chimica dei muscoli,
elettrica del motore, ecc.). Se il motore si spegne, il disco rallenta
e si ferma: l'energia cinetica iniziale viene convertita in calore dalle
correnti parassite.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}
\label{sec:17-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Una bobina di $N = 100$ spire e area
        $A = \SI{50}{\centi\meter\squared}$ è immersa in un campo
        magnetico uniforme perpendicolare al suo piano. Il campo
        decresce con velocità $\mathrm{d}B/\mathrm{d}t = -\SI{0.20}{\tesla\per\second}$.
        Calcola la f.e.m.\ indotta.
        \hfill [$|\varepsilon| = N|A\,\mathrm{d}B/\mathrm{d}t|
                \approx \SI{0.10}{\volt}$]

  \item Una sbarra di $L = \SI{50}{\centi\meter}$ si muove a
        $v = \SI{5.0}{\meter\per\second}$ in un campo $B = \SI{0.10}{\tesla}$
        perpendicolare al moto. Quale f.e.m.\ si induce ai capi della
        sbarra?
        \hfill [$|\varepsilon| = BLv = \SI{0.25}{\volt}$]

  \item Un magnete viene avvicinato a una bobina; durante il moto, il
        flusso di $\Bcampo$ attraverso la bobina passa da
        $\Phi_1 = \SI{2.0}{\milli\weber}$ a
        $\Phi_2 = \SI{8.0}{\milli\weber}$ in $\Dlt t = \SI{0.20}{\second}$.
        Quale è la f.e.m.\ media indotta?
        \hfill [$|\varepsilon| = \Dlt\Phi/\Dlt t = \SI{0.030}{\volt}$]

  \item Una bobina di $N = 200$ spire e area
        $A = \SI{0.01}{\square\meter}$ ruota a
        $\omega = \SI{377}{\radian\per\second}$ (rete a $\SI{60}{\hertz}$)
        in un campo $B = \SI{0.50}{\tesla}$. Calcola l'ampiezza della
        f.e.m.\ generata.
        \hfill [$\varepsilon_0 = NBA\omega \approx \SI{377}{\volt}$]

  \item Un trasformatore ha $N_1 = \num{2000}$ spire al primario.
        Quanti giri devono avere il secondario perché $V_2/V_1 = 5$?
        E quante perché $V_2/V_1 = 1/10$?
        \hfill [$N_2 = \num{10000}$ (elevatore);\;
                $N_2 = 200$ (abbassatore)]

  \item Un trasformatore ideale ha primario a $\SI{4000}{\volt}$ e
        secondario a $\SI{220}{\volt}$. Se la potenza erogata al
        secondario è $\SI{10}{kW}$, quanto vale la corrente al
        primario?
        \hfill [$I_1 = P/V_1 = \SI{2.5}{\ampere}$]

  \item Spiega con la legge di Lenz: in che verso scorre la corrente
        indotta in una spira posta orizzontalmente quando una
        calamita con il polo Nord verso il basso viene avvicinata
        da sopra (vista dall'alto, oraria o antioraria)?
        \hfill [vista dall'alto: \emph{antioraria}, in modo da
                produrre un campo opposto (cioè verso l'alto), che
                respinga il polo N che si avvicina]

  \item Una linea di alta tensione trasporta una potenza
        $P = \SI{500}{MW}$ alla tensione $V = \SI{400}{\kilo\volt}$.
        Calcola la corrente trasportata. Se la stessa potenza fosse
        trasportata a $V = \SI{4}{\kilo\volt}$, quanto sarebbero le
        perdite in linea (a parità di resistenza $R$)?
        \hfill [$I = \SI{1250}{\ampere}$ a $\SI{400}{\kilo\volt}$,\;
                $I' = \SI{125000}{\ampere}$ a $\SI{4}{\kilo\volt}$;\;
                perdite $i^2 R$ aumentano di $\num{10000}$ volte]

  \item Una piastra a induzione opera a $\SI{20}{\kilo\hertz}$ con
        un'efficienza prossima al $\SI{90}{\percent}$. Spiega
        qualitativamente perché la piastra di vetro stessa non si
        scalda, mentre il fondo della pentola sì.
        \hfill [il vetro è isolante, in esso non si inducono correnti
                parassite; il metallo conduce e le correnti
                parassite dissipano per effetto Joule nel metallo]

  \item Considera due spire vicine, ortogonali fra loro (i piani
        delle due spire sono perpendicolari). Una di esse è
        percorsa da corrente alternata. Si induce una corrente
        nell'altra? Argomenta.
        \hfill [risposta: \emph{no}, il flusso di $\Bcampo$ della
                prima attraverso la seconda è nullo per simmetria.
                Quindi nessuna induzione]
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ==================================================================
\section{Riepilogo del capitolo}
\label{sec:17-riepilogo}
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\begin{riepilogo}

\textbf{Induzione elettromagnetica} --- Un flusso magnetico variabile
nel tempo, attraverso un circuito chiuso, induce in esso una corrente
elettrica. Scoperta da Faraday e Henry nel \num{1831}.

\textbf{Legge di Faraday-Neumann} --- $\varepsilon = -\mathrm{d}\Phi(\Bcampo)/\mathrm{d}t$
(per $N$ spire, $\varepsilon = -N\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$).
Il flusso può variare per cambiamenti di $B$, dell'area $A$ o
dell'angolo $\theta$.

\textbf{Legge di Lenz} --- La corrente indotta ha sempre il verso
che si \emph{oppone} alla variazione di flusso che l'ha generata.
Conseguenza della conservazione dell'energia.

\textbf{Alternatore} --- Bobina rotante in $\Bcampo$ produce una
f.e.m.\ sinusoidale, $\varepsilon(t) = \varepsilon_0 \sin(\omega t)$
con $\varepsilon_0 = NBA\omega$. È l'origine della corrente alternata
(AC) delle reti elettriche (Europa: \SI{50}{\hertz}; America del
Nord: \SI{60}{\hertz}).

\textbf{Trasformatore} --- Due bobine accoppiate su un nucleo
ferromagnetico. Per un trasformatore ideale,
$V_2/V_1 = N_2/N_1$ e $V_1 I_1 = V_2 I_2$. Permette il trasporto
efficiente dell'energia elettrica a lunga distanza (alta tensione,
bassa corrente, basse perdite $i^2 R$).

\textbf{Correnti parassite (Foucault)} --- Correnti vorticose
indotte in conduttori massivi posti in campi variabili. Applicazioni:
frenata magnetica, riscaldamento per induzione (piastre da cucina).
Si limitano costruendo i nuclei in lamierini isolati.

\textbf{Verso le equazioni di Maxwell} --- L'induzione di Faraday
mostra che un $\Bcampo$ variabile genera un $\vett{E}$. Per
simmetria, Maxwell postulò che un $\vett{E}$ variabile genera un
$\Bcampo$ (\emph{corrente di spostamento},
$I_{\mathrm{spost}} = \epsvuoto\,\mathrm{d}\Phi(\vett{E})/\mathrm{d}t$).

\textbf{Equazioni di Maxwell} (forma integrale, sintesi
dell'elettromagnetismo classico, 1865):
\begin{enumerate}
  \item $\oint \vett{E}\cdot \mathrm{d}\vett{A} = Q/\epsvuoto$
        (Gauss elettrico).
  \item $\oint \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{A} = 0$
        (Gauss magnetico).
  \item $\oint \vett{E}\cdot \mathrm{d}\vett{\ell} = -\mathrm{d}\Phi(\Bcampo)/\mathrm{d}t$
        (Faraday).
  \item $\oint \Bcampo\cdot \mathrm{d}\vett{\ell} =
        \muvuoto\,(I + \epsvuoto\,\mathrm{d}\Phi(\vett{E})/\mathrm{d}t)$
        (Ampère-Maxwell).
\end{enumerate}
Insieme alla forza di Lorentz, contengono tutto l'elettromagnetismo
classico e predicono l'esistenza delle onde elettromagnetiche.

\end{riepilogo}