\chapter{Prerequisiti dalla scuola media}\label{cap:AA-000}

\citazioneinizio{Il principiante che inciampi non sui contenuti ma sulle convenzioni di calcolo è come un atleta zoppicato dai lacci: sa correre, ma non riesce a farlo.}{adattamento didattico (parafrasi)}

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\section{Premessa al capitolo}\label{sec:aa-000-premessa}
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Questo capitolo è un \emph{ripasso compatto} dei saperi matematici
acquisiti nella scuola media. Non sostituisce un libro di scuola
media: è pensato per chi affronta il liceo e vuole verificare di
avere i prerequisiti algebrici e aritmetici saldi prima di entrare
nei capitoli successivi (calcolo letterale avanzato, equazioni,
disequazioni, geometria analitica).

Ogni sezione è breve, frutto di una sintesi: definizioni essenziali,
formule da ricordare in box evidenziato, un esempio per fissare il
metodo. Se una sezione ti risulta poco chiara, è il segnale che ti
serve studiare meglio l'argomento corrispondente su un testo di
scuola media.

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\section{Classificazione dei saperi matematici}\label{sec:aa-000-01}
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La matematica si articola tradizionalmente in alcuni grandi rami:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Aritmetica}: studia i numeri e le operazioni
        elementari.
  \item \textbf{Algebra}: estende l'aritmetica usando \emph{lettere}
        come simboli al posto dei numeri, e studia equazioni e
        disequazioni.
  \item \textbf{Geometria}: studia figure, misure, proprietà dello
        spazio.
  \item \textbf{Analisi}: studia funzioni, limiti, derivate,
        integrali (è il cuore del biennio finale del liceo).
  \item \textbf{Probabilità e statistica}: studia il caso e
        l'elaborazione di dati.
  \item \textbf{Logica}: studia il ragionamento corretto, i
        connettivi, le dimostrazioni.
\end{itemize}

I rami non sono compartimenti stagni: l'algebra usa l'aritmetica,
la geometria analitica unisce algebra e geometria, l'analisi usa
tutte le altre. Il programma di liceo costruisce gli strumenti
necessari ad attraversare questa rete.

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\section{Insiemi numerici \texorpdfstring{$\N$, $\Z$, $\Q$}{N, Z, Q}}\label{sec:aa-000-02}
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Gli insiemi numerici si costruiscono per \emph{estensioni successive},
ciascuna per soddisfare un'operazione che nel precedente non era
sempre possibile.

\begin{itemize}
  \item $\N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ --- \textbf{numeri naturali}.
        Chiusi rispetto a somma e prodotto; \emph{non chiusi}
        rispetto a sottrazione ($3 - 5$ non è in $\N$).
  \item $\Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$ --- \textbf{interi
        relativi}. Estendono $\N$ aggiungendo i \emph{negativi}.
        Chiusi rispetto a somma, prodotto, sottrazione; non chiusi
        rispetto a divisione ($3/2$ non è in $\Z$).
  \item $\Q$ = insieme dei numeri della forma $a/b$ con $a, b \in \Z$
        e $b \neq 0$ --- \textbf{numeri razionali}. Chiusi rispetto a
        tutte e quattro le operazioni (eccetto divisione per zero).
\end{itemize}

Catena di inclusioni: $\N \subset \Z \subset \Q$ (ogni intero è razionale,
ogni naturale è intero).

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\section{Operazioni e proprietà aritmetiche}\label{sec:aa-000-03}
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Le quattro operazioni base (addizione, sottrazione, moltiplicazione,
divisione) soddisfano queste proprietà:

\begin{formulabox}
\[
\begin{aligned}
&\text{commutativa:} & a + b &= b + a, & a \cdot b &= b \cdot a; \\
&\text{associativa:} & (a+b)+c &= a+(b+c), & (a \cdot b) \cdot c &= a \cdot (b \cdot c); \\
&\text{distributiva:} & a \cdot (b + c) &= a \cdot b + a \cdot c.
\end{aligned}
\]
\end{formulabox}

\textbf{Regola dei segni in $\Z$}:
\begin{itemize}
  \item Somma di concordi: si sommano i valori assoluti, si tiene il
        segno comune. ($-3 - 5 = -8$)
  \item Somma di discordi: si sottraggono i valori assoluti, si tiene
        il segno del maggiore. ($-7 + 4 = -3$)
  \item Prodotto: $(+)(+) = +$, $(-)(-) = +$, $(+)(-) = (-)(+) = -$.
\end{itemize}

\begin{esempio}{Applicare la distributiva}
Calcolare $7 \cdot 23$ scomponendo $23 = 20 + 3$:
$7 \cdot 23 = 7 \cdot (20 + 3) = 7 \cdot 20 + 7 \cdot 3 = 140 + 21 = 161$.
\end{esempio}

\textbf{Divisione per zero}: non è definita. $a / 0$ non ha senso
matematico ($0$ non ha inverso moltiplicativo).

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\section{Potenze a esponente naturale e intero}\label{sec:aa-000-04}
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\begin{definizione}{Potenza}
Per $n \in \N, n \geq 1$: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ volte}}$.
Per $n = 0$ (con $a \neq 0$): $a^0 = 1$.
Per esponente intero negativo (con $a \neq 0$): $a^{-n} = 1/a^n$.
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà delle potenze} ($a, b \neq 0$, $m, n \in \Z$):
\[
\begin{aligned}
a^m \cdot a^n &= a^{m+n}, & a^m / a^n &= a^{m-n}, \\
(a^m)^n &= a^{m \cdot n}, & (a \cdot b)^n &= a^n \cdot b^n, \\
(a/b)^n &= a^n / b^n.
\end{aligned}
\]
\end{formulabox}

\textbf{Notazione scientifica}: ogni numero positivo si può scrivere
come $a \cdot 10^n$ con $1 \leq a < 10$ e $n \in \Z$ (es. $4.56 \cdot 10^7$,
$3.14 \cdot 10^{-5}$). È la base della notazione scientifica usata
in fisica.

\begin{esempio}{Semplificare}
$(2^3)^4 \cdot 2^{-5} = 2^{12} \cdot 2^{-5} = 2^7 = 128$.
\end{esempio}

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\section{Divisibilità, MCD, mcm}\label{sec:aa-000-05}
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$a$ \textbf{divide} $b$ (scritto $a \mid b$) se esiste $k \in \Z$ tale
che $b = k \cdot a$. Allora $a$ è un \emph{divisore} di $b$ e $b$ è
un \emph{multiplo} di $a$.

\textbf{Criteri di divisibilità} (utilissimi per il calcolo mentale):
\begin{itemize}
  \item per $2$: l'ultima cifra è pari ($0, 2, 4, 6, 8$);
  \item per $3$: la somma delle cifre è multipla di $3$;
  \item per $5$: l'ultima cifra è $0$ o $5$;
  \item per $9$: la somma delle cifre è multipla di $9$;
  \item per $10$: l'ultima cifra è $0$;
  \item per $11$: la differenza fra somma delle cifre di posto pari
        e di posto dispari è multipla di $11$.
\end{itemize}

\begin{definizione}{MCD e mcm}
Il \textbf{Massimo Comun Divisore} di $a, b$ è il più grande intero
positivo che divide entrambi: $\operatorname{MCD}(a, b)$.
Il \textbf{minimo comune multiplo} è il più piccolo intero positivo
multiplo di entrambi: $\operatorname{mcm}(a, b)$.
\end{definizione}

\textbf{Calcolo via scomposizione in fattori primi}:
\begin{itemize}
  \item $\operatorname{MCD}$: prodotto dei fattori primi \emph{comuni},
        ciascuno preso col minimo esponente.
  \item $\operatorname{mcm}$: prodotto dei fattori primi \emph{comuni
        e non comuni}, ciascuno preso col massimo esponente.
\end{itemize}

\begin{esempio}{MCD e mcm di 12 e 18}
$12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$.
$\operatorname{MCD}(12, 18) = 2 \cdot 3 = 6$.
$\operatorname{mcm}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$.
Verifica: $\operatorname{MCD} \cdot \operatorname{mcm} = 6 \cdot 36 = 216 = 12 \cdot 18$. \checkmark
\end{esempio}

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\section{Numeri primi e fattorizzazione}\label{sec:aa-000-06}
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\begin{definizione}{Numero primo}
Un intero $p > 1$ è \textbf{primo} se ha esattamente due divisori
positivi distinti: $1$ e $p$. Un intero $> 1$ non primo si dice
\textbf{composto}. Per convenzione, $0$ e $1$ non sono né primi né
composti.
\end{definizione}

Primi inferiori a $30$: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$.

\textbf{Crivello di Eratostene}: algoritmo per trovare tutti i primi
fino a un limite $N$. Si scrivono i numeri da $2$ a $N$, si cerchia
$2$ e si cancellano i suoi multipli; si cerchia il prossimo non
cancellato ($3$) e si cancellano i suoi multipli; si procede fino a
$\sqrt{N}$. I numeri rimasti cerchiati o non cancellati sono i primi.

\begin{legge}{Teorema fondamentale dell'aritmetica}
Ogni intero $n > 1$ si scrive in modo unico come prodotto di numeri
primi (a meno dell'ordine dei fattori).
\end{legge}

\begin{esempio}{Fattorizzazione di 120}
$120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15
 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.
\end{esempio}

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\section{Frazioni}\label{sec:aa-000-07}
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Una \textbf{frazione} $\dfrac{a}{b}$ (con $b \neq 0$) rappresenta un
numero razionale. $a$ è il \emph{numeratore}, $b$ il \emph{denominatore}.

\textbf{Frazioni equivalenti}: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot k}{b \cdot k}$
per ogni $k \neq 0$ (proprietà invariantiva: moltiplicare/dividere
numeratore e denominatore per lo stesso numero non altera il valore).

\textbf{Riduzione ai minimi termini}: dividere numeratore e
denominatore per $\operatorname{MCD}(a, b)$. La frazione risultante è
\emph{irriducibile}.

\begin{formulabox}
\textbf{Operazioni con frazioni}:
\[
\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d \pm b \cdot c}{b \cdot d},
\quad
\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d},
\quad
\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}.
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}{Somma di frazioni}
$\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 1}{3 \cdot 4}
 = \dfrac{8 + 3}{12} = \dfrac{11}{12}$.
\end{esempio}

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\section{Numeri decimali}\label{sec:aa-000-08}
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Un numero razionale, scritto in forma decimale, può essere:
\begin{itemize}
  \item \textbf{decimale finito}: la divisione si chiude
        (es. $1/4 = 0.25$);
  \item \textbf{decimale periodico semplice}: il periodo inizia subito
        dopo la virgola (es. $1/3 = 0.\overline{3}$, $1/7 = 0.\overline{142857}$);
  \item \textbf{decimale periodico misto}: c'è un antiperiodo, poi
        un periodo che si ripete (es. $1/6 = 0.1\overline{6}$).
\end{itemize}

\textbf{Quando si ottiene un decimale finito vs periodico}: dato
$a/b$ con frazione \emph{irriducibile}, $b$ contiene solo i fattori
primi $2$ e $5$ $\Rightarrow$ decimale finito; altrimenti periodico.

\textbf{Frazione generatrice}: ogni decimale (finito o periodico) si
può riportare a frazione. Algoritmi noti per periodici:
\[
0.\overline{ab} = \dfrac{ab}{99}, \qquad
0.\overline{abc} = \dfrac{abc}{999}, \qquad
0.a\overline{bc} = \dfrac{abc - a}{990}.
\]

\begin{esempio}{Frazione generatrice di $0.\overline{27}$}
$0.\overline{27} = 27/99 = 3/11$ (ridotta ai minimi termini).
\end{esempio}

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\section{Rapporti, proporzioni, percentuali}\label{sec:aa-000-09}
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Il \textbf{rapporto} fra due grandezze omogenee $a$ e $b$ (con $b \neq 0$)
è il quoziente $a:b = a/b$.

Una \textbf{proporzione} è un'uguaglianza fra due rapporti: $a:b = c:d$,
dove $a, d$ sono gli \emph{estremi} e $b, c$ i \emph{medi}.

\begin{formulabox}
\textbf{Proprietà fondamentale}: $a:b = c:d \iff a \cdot d = b \cdot c$.
\end{formulabox}

Altre proprietà:
\begin{itemize}
  \item Invertire: $a:b = c:d \Rightarrow b:a = d:c$.
  \item Permutare medi: $a:b = c:d \Rightarrow a:c = b:d$.
  \item Comporre: $(a+b):b = (c+d):d$.
  \item Scomporre: $(a-b):b = (c-d):d$.
\end{itemize}

\textbf{Percentuale}: $x\%$ significa $x/100$. Per calcolare il
$p\%$ di una quantità $Q$: $Q \cdot p/100$.

\begin{esempio}{Risolvere una proporzione}
$3 : 8 = x : 24 \Rightarrow x = 3 \cdot 24 / 8 = 9$.
\end{esempio}

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\section{Introduzione ai numeri reali \texorpdfstring{$\R$}{R}}\label{sec:aa-000-10}
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L'insieme $\Q$ dei razionali è ``denso'' (fra due razionali distinti
ce n'è sempre un altro), ma non basta a misurare \emph{tutte} le
lunghezze. Storicamente, il problema emerse coi pitagorici.

\begin{legge}{$\sqrt{2}$ non è razionale}
La diagonale di un quadrato di lato $1$ ha lunghezza $\sqrt{2}$.
Si dimostra (per assurdo) che $\sqrt{2} \notin \Q$.
\end{legge}

\textit{Dimostrazione.} Supponiamo per assurdo $\sqrt{2} = a/b$ con
$a, b$ interi positivi e $\operatorname{MCD}(a, b) = 1$ (frazione
ridotta). Allora $2 = a^2/b^2$, da cui $a^2 = 2b^2$: $a^2$ è pari,
quindi anche $a$ è pari, $a = 2k$. Sostituendo:
$4k^2 = 2b^2$, $b^2 = 2k^2$, dunque $b^2$ è pari, $b$ è pari. Ma
allora $\operatorname{MCD}(a, b) \geq 2$, contraddizione.

Servono numeri ``nuovi'', non esprimibili come frazione: i
\textbf{numeri irrazionali}. Esempi celebri:
$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi, e$.

L'insieme dei reali $\R = \Q \cup \{\text{irrazionali}\}$ è
\textbf{completo}: a ogni punto della retta corrisponde un reale e
viceversa. Lo studio rigoroso ($\R$ tramite sezioni di Dedekind o
successioni di Cauchy) appartiene all'analisi.

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\section{Calcolo letterale: monomi}\label{sec:aa-000-11}
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\begin{definizione}{Monomio}
Un \textbf{monomio} è un'espressione del tipo $c \cdot x^a \cdot y^b \cdot z^c \cdots$,
prodotto di un \emph{coefficiente} numerico per una \emph{parte
letterale} con esponenti naturali. Esempi: $3x^2y$, $-7a^3b^2$,
$\dfrac{1}{2}x$.
\end{definizione}

\textbf{Grado}: somma degli esponenti delle lettere. $3x^2y$ ha
grado $3$; $-7a^3b^2$ ha grado $5$.

\textbf{Monomi simili}: hanno la stessa parte letterale (stessi
esponenti per ogni lettera). Esempio: $3xy$ e $-5xy$ sono simili;
$3xy$ e $3x^2y$ no.

\textbf{Operazioni}:
\begin{itemize}
  \item Somma/differenza solo fra monomi simili: si sommano i
        coefficienti. $3xy + (-5xy) = -2xy$.
  \item Prodotto fra qualsiasi monomi: si moltiplicano i
        coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere
        uguali. $3x^2y \cdot 2x y^3 = 6x^3 y^4$.
  \item Quoziente (quando esiste come monomio): coefficienti si
        dividono, esponenti si sottraggono.
\end{itemize}

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\section{Calcolo letterale: polinomi}\label{sec:aa-000-12}
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\begin{definizione}{Polinomio}
Un \textbf{polinomio} è una somma algebrica di monomi.
\end{definizione}

\textbf{Grado del polinomio}: massimo grado fra i suoi monomi.
\textbf{Polinomio ordinato}: monomi disposti per gradi decrescenti
(o crescenti) di una stessa lettera.
\textbf{Polinomio completo}: contiene tutti i gradi da $0$ al grado
massimo (eventualmente con coefficienti nulli, da esplicitare se
necessario per algoritmi).

\textbf{Operazioni}:
\begin{itemize}
  \item Somma/differenza: si sommano monomi simili.
        $(2x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 2x + 7) = 3x^2 + x + 2$.
  \item Prodotto: distributiva, ogni monomio del primo per ogni
        monomio del secondo.
        $(x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$.
  \item Divisione (cenno): per dividere $A(x)$ per $B(x)$ si usa
        l'algoritmo della divisione polinomiale (analogo a quello
        numerico). Risultato: $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$ con
        $\deg R < \deg B$.
\end{itemize}

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\section{Prodotti notevoli}\label{sec:aa-000-13}
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Identità algebriche da memorizzare \emph{tutte}: rendono il calcolo
letterale molto più veloce e sono la chiave per la scomposizione dei
polinomi (capitolo successivo).

\begin{formulabox}
\[
\begin{aligned}
(a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
(a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 \\
(a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 \\
(a + b)^3 &= a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3 \\
(a - b)^3 &= a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3 \\
(a + b + c)^2 &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
\end{aligned}
\]
\end{formulabox}

\textbf{Differenza e somma di cubi} (utili nella scomposizione):
\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2), \qquad
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
\]

\textbf{Triangolo di Tartaglia} (o di Pascal): fornisce i coefficienti
di $(a + b)^n$ per ogni $n \in \N$:
\[
\begin{array}{cccccccc}
n = 0: & & & & 1 & & & \\
n = 1: & & & 1 & & 1 & & \\
n = 2: & & 1 & & 2 & & 1 & \\
n = 3: & 1 & & 3 & & 3 & & 1 \\
\end{array}
\]
Ogni numero è la somma dei due sopra. La riga $n$-esima dà i
coefficienti binomiali $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$.

\begin{esempio}{Applicare un prodotto notevole}
Sviluppare $(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-000-esercizi}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola $\operatorname{MCD}(84, 126)$ e $\operatorname{mcm}(84, 126)$
        usando la scomposizione in fattori primi.
        \hfill [$\operatorname{MCD} = 42$, $\operatorname{mcm} = 252$]

  \item Riduci ai minimi termini la frazione $\dfrac{144}{216}$.
        \hfill [$2/3$]

  \item Calcola in forma di frazione: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{12}$.
        \hfill [$1/2$]

  \item Trasforma in frazione i decimali $0.\overline{36}$ e $0.41\overline{6}$.
        \hfill [$4/11$;\;$5/12$]

  \item Dimostra che $\sqrt{3}$ è irrazionale (per assurdo,
        analogamente a $\sqrt{2}$).
        \hfill [supponi $\sqrt{3} = a/b$ ridotta;\;
                $3b^2 = a^2$;\;$3 \mid a^2 \Rightarrow 3 \mid a$;\;
                $a = 3k$;\;$3b^2 = 9k^2$;\;$b^2 = 3k^2$;\;
                $3 \mid b$: contraddizione.]

  \item Calcola usando le proprietà delle potenze:
        $\dfrac{(2^3 \cdot 3^2)^2}{2^4 \cdot 3^3}$.
        \hfill [$2^2 \cdot 3 = 12$]

  \item Sviluppa $(2x + 3y)^2$ e $(x - 2)^3$.
        \hfill [$4x^2 + 12xy + 9y^2$;\;$x^3 - 6x^2 + 12x - 8$]

  \item Calcola: $(5a^2 - 3a + 1) - (2a^2 + a - 4)$.
        \hfill [$3a^2 - 4a + 5$]

  \item Risolvi la proporzione $7 : 14 = 9 : x$.
        \hfill [$x = 18$]

  \item Aumenta $\SI{350}{}$ del $\SI{12}{\percent}$, poi diminuisci
        il risultato dell'$\SI{8}{\percent}$. Quanto si ottiene?
        Confronta con il valore di partenza.
        \hfill [$392 \to 360.64$;\;
                circa il $\SI{3}{\percent}$ in più del valore iniziale]
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-000-riepilogo}
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\begin{riepilogo}

\textbf{Insiemi numerici} --- $\N \subset \Z \subset \Q \subset \R$.
Estensioni successive per rendere chiuse le operazioni: $\Z$ per la
sottrazione, $\Q$ per la divisione, $\R$ per le radici e i limiti.

\textbf{Operazioni e proprietà} --- Commutativa, associativa,
distributiva. Regola dei segni per $\Z$. Divisione per zero non
definita.

\textbf{Potenze} --- Proprietà fondamentali: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$,
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $(ab)^n = a^n b^n$. Estensioni a
esponente $0$ e negativo. Notazione scientifica.

\textbf{Divisibilità, MCD, mcm} --- Criteri di divisibilità (per $2,
3, 5, 9, 10, 11$). Calcolo di MCD e mcm tramite scomposizione in
fattori primi. Identità $\operatorname{MCD} \cdot \operatorname{mcm} = a \cdot b$.

\textbf{Numeri primi} --- Definizione, crivello di Eratostene,
teorema fondamentale dell'aritmetica (esistenza e unicità della
fattorizzazione).

\textbf{Frazioni} --- Proprietà invariantiva, riduzione ai minimi
termini, operazioni. Confronto tramite riduzione a denominatore
comune.

\textbf{Numeri decimali} --- Finiti, periodici semplici, periodici
misti. Frazione generatrice. Criterio sui fattori primi di $b$ per
distinguere finiti/periodici.

\textbf{Rapporti, proporzioni, percentuali} --- Proprietà
fondamentale $a \cdot d = b \cdot c$. Percentuale $= /100$.

\textbf{Numeri irrazionali} --- $\sqrt{2}, \pi, e$ ecc.; non
esprimibili come frazione. Dimostrazione per assurdo
dell'irrazionalità di $\sqrt{2}$. Insieme $\R$ completo.

\textbf{Calcolo letterale} --- Monomi (coefficiente, parte letterale,
grado, simili). Polinomi (somma, prodotto, divisione algoritmica).

\textbf{Prodotti notevoli} --- $(a \pm b)^2$, $(a \pm b)(a \mp b)$,
$(a \pm b)^3$, cubi somma/differenza, quadrato di trinomio. Triangolo
di Tartaglia.

\end{riepilogo}