\chapter{Potenze a esponente naturale e intero}\label{cap:AA-003} \citazioneinizio{% \flashcap{AA-003-potenze-esponente-naturale-intero} \geesexercises{mb01,mb02} \sorgentecap{AA-003} \matematika{AA-003} \decapoa{AA-003} Il numero dei granelli di sabbia che potrebbero riempire l'universo non è infinito, e può essere scritto in forma compatta — purché si abbia il coraggio di immaginarlo.% }{adattamento da Archimede, \emph{Arenarius} (\textsc{iii} sec.\,a.C.)} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-003-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ Quando ripetiamo la stessa operazione tante volte di seguito, abbiamo bisogno di una scrittura che la riassuma. Per la somma di un numero ripetuto abbiamo il prodotto: $7+7+7+7+7$ si scrive $5\cdot 7$. Per il prodotto di un numero ripetuto serve un altro simbolo: nasce così la \emph{potenza}. Le potenze permettono di scrivere in poche cifre numeri altrimenti enormi: la popolazione mondiale, la massa della Terra, il numero di atomi in un grammo di idrogeno. Nel famoso \emph{Arenarius}, Archimede dimostrò che si possono scrivere numeri ben più grandi del ``numero dei granelli di sabbia dell'universo'' — bastano una base e un esponente. In questo capitolo introduciamo le potenze a esponente naturale, studiamo a fondo le loro \emph{proprietà} — vere e proprie ``regole di calcolo'' che useremo in tutto il libro — ed estendiamo poi la definizione agli esponenti interi negativi. Chiudiamo con la \emph{notazione scientifica}, lo strumento standard per scrivere numeri molto grandi o molto piccoli nelle scienze sperimentali. % ============================================================ \section{Definizione di potenza}\label{sec:aa-003-01-definizione-di-potenza} \flashsec{AA-003-potenze-esponente-naturale-intero}{02} % ============================================================ \begin{definizione}[Potenza a esponente naturale]\indiceauto{potenza a esponente naturale@Potenza a esponente naturale|textbf}Sia $a$ un numero (in $\Z$ o $\Q$) e $n\in\N$ con $n\ge 1$. Si chiama \textbf{potenza}\indiceauto{potenza@Potenza} di base $a$ ed esponente $n$ il numero \[ a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdots a}_{n \text{ fattori}}. \] Il numero $a$ si dice \textbf{base} e il numero $n$ si dice \textbf{esponente}. \end{definizione} \begin{esempio} \begin{itemize} \item $3^4 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 81$; \item $(-2)^5 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = -32$; \item $(-2)^4 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = +16$; \item $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{27}$. \end{itemize} \end{esempio} \begin{nota}[Lettura] $a^n$ si legge ``$a$ alla $n$'' oppure ``$a$ elevato alla $n$-esima potenza''. Casi particolari: $a^2$ si chiama \emph{quadrato} di $a$, $a^3$ \emph{cubo} di $a$. \end{nota} \begin{teorema}[Segno di una potenza]\indiceauto{segno di una potenza@Segno di una potenza|textbf}Per ogni $a\neq 0$ e ogni $n\ge 1$: \begin{itemize} \item se $a>0$, allora $a^n>0$; \item se $a<0$ e $n$ è \emph{pari}, allora $a^n>0$; \item se $a<0$ e $n$ è \emph{dispari}, allora $a^n<0$. \end{itemize} \end{teorema} \textit{Dimostrazione (idea).} Discende direttamente dalla regola dei segni del prodotto (capitolo \ref{cap:AA-002}): il segno del prodotto di $n$ fattori uguali al segno di $a$ è positivo se $n$ è pari, negativo se $n$ è dispari. \begin{attenzione}[Parentesi e segno] Bisogna distinguere $(-2)^4$ da $-2^4$: \[ (-2)^4 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = +16, \] \[ -2^4 = -(2^4) = -16. \] Nel secondo caso la potenza riguarda solo il numero $2$, e il segno meno resta esterno. Le parentesi non sono un dettaglio: cambiano il valore di verità del calcolo. \end{attenzione} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture} % Visualizzazione della crescita di 2^n con blocchi sovrapposti \foreach \n/\h in {1/0.5, 2/1.0, 3/2.0, 4/4.0, 5/8.0} { \pgfmathsetmacro{\xpos}{(\n-1)*1.6} \draw[thick, BLU, fill=BLU!20] (\xpos, 0) rectangle (\xpos+1.0, \h); \node[BLU] at (\xpos+0.5, \h+0.3) {$\pgfmathparse{2^\n}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$}; \node[below] at (\xpos+0.5, -0.2) {\small$n=\n$}; } \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (8.5, 0); \draw[->, black] (-0.3, -0.05) -- (-0.3, 8.5); \node[black, rotate=90] at (-0.6, 4.2) {\small altezza $= 2^n$}; \end{tikzpicture} \caption{Crescita di $2^n$ per $n=1,2,3,4,5$. La base $2$ raddoppia il valore a ogni passo: $2, 4, 8, 16, 32$. Per esponenti modesti il valore esplode rapidamente, fenomeno noto come \emph{crescita esponenziale}.} \label{fig:aa-003-crescita} \end{figure} % ============================================================ \section{Proprietà delle potenze stessa base e stesso esponente}\label{sec:aa-003-02-proprieta-delle-potenze-stessa-base-stesso-esponente} \flashsec{AA-003-potenze-esponente-naturale-intero}{03} % ============================================================ Le quattro proprietà che seguono permettono di \emph{semplificare} prodotti, quozienti e potenze di numeri usando solo operazioni sugli esponenti. \begin{teorema}[Prodotto di potenze con la stessa base]\indiceauto{prodotto di potenze con la stessa base@Prodotto di potenze con la stessa base|textbf}Per ogni $a\neq 0$ e ogni $m,n\in\N$: \[ a^m\cdot a^n = a^{m+n}. \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} A sinistra abbiamo $\underbrace{a\cdots a}_{m}\cdot\underbrace{a\cdots a}_{n}$, in totale $m+n$ fattori uguali ad $a$, cioè $a^{m+n}$. \begin{esempio} $2^3\cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$. \end{esempio} \begin{teorema}[Quoziente di potenze con la stessa base]\indiceauto{quoziente di potenze con la stessa base@Quoziente di potenze con la stessa base|textbf}Per ogni $a\neq 0$ e ogni $m,n\in\N$ con $m\ge n$: \[ a^m : a^n = a^{m-n}. \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} A numeratore $m$ fattori $a$, a denominatore $n$; semplificando $n$ di loro si resta con $m-n$ fattori, ossia $a^{m-n}$. \begin{esempio} $10^7 : 10^3 = 10^{7-3} = 10^4 = 10\,000$. \end{esempio} \begin{teorema}[Prodotto di potenze con lo stesso esponente]\indiceauto{prodotto di potenze con lo stesso esponente@Prodotto di potenze con lo stesso esponente|textbf}Per ogni $a, b$ e ogni $n\in\N$: \[ a^n\cdot b^n = (a\cdot b)^n. \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} Per la commutativa e l'associativa del prodotto, $\underbrace{a\cdots a}_{n}\cdot\underbrace{b\cdots b}_{n} = \underbrace{(a\cdot b)\cdots(a\cdot b)}_{n} = (ab)^n$. \begin{esempio} $2^4\cdot 5^4 = (2\cdot 5)^4 = 10^4 = 10\,000$ (calcolo immediato anziché $16\cdot 625$). \end{esempio} \begin{teorema}[Quoziente di potenze con lo stesso esponente]\indiceauto{quoziente di potenze con lo stesso esponente@Quoziente di potenze con lo stesso esponente|textbf}Per ogni $a$, $b\neq 0$ e ogni $n\in\N$: \[ a^n : b^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n. \] \end{teorema} \begin{esempio} $\dfrac{12^3}{4^3} = \left(\dfrac{12}{4}\right)^3 = 3^3 = 27$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Potenza di una potenza}\label{sec:aa-003-03-potenza-di-una-potenza} \flashsec{AA-003-potenze-esponente-naturale-intero}{04} % ============================================================ \begin{teorema}[Potenza di potenza]\indiceauto{potenza di potenza@Potenza di potenza|textbf}Per ogni $a\neq 0$ e ogni $m,n\in\N$: \[ \left(a^m\right)^n = a^{m\cdot n}. \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} $(a^m)^n$ è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a^m$; ciascuno è un prodotto di $m$ fattori uguali ad $a$. In totale: $n\cdot m$ fattori uguali ad $a$, cioè $a^{mn}$. \begin{esempio} $(2^3)^4 = 2^{3\cdot 4} = 2^{12} = 4096$. \end{esempio} \begin{attenzione}[Non confondere con $a^{m^n}$] $(a^m)^n$ è \emph{diverso} da $a^{m^n}$: il primo significa $a^{mn}$, il secondo significa $a^{(m^n)}$, in cui l'esponente è esso stesso una potenza. Esempio: \[ (2^3)^2 = 2^6 = 64, \qquad 2^{3^2} = 2^9 = 512. \] Le parentesi (e l'ordine di lettura dall'alto al basso negli esponenti) cambiano completamente il risultato. \end{attenzione} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture}[node distance=2cm, every node/.style={font=\small}] % Schema delle 5 proprietà \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center] (P1) at (0, 2) {$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$\\\scriptsize stessa base}; \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center] (P2) at (4.2, 2) {$a^m : a^n = a^{m-n}$\\\scriptsize stessa base}; \node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center] (P3) at (0, 0) {$a^n\cdot b^n = (ab)^n$\\\scriptsize stesso esponente}; \node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center] (P4) at (4.2, 0) {$a^n : b^n = (a/b)^n$\\\scriptsize stesso esponente}; \node[draw, VIOLA, rounded corners, fill=VIOLA!10, align=center] (P5) at (8.4, 1) {$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$\\\scriptsize potenza di potenza}; \end{tikzpicture} \caption{Le cinque proprietà fondamentali delle potenze. In blu le proprietà ``stessa base'' (operano sugli esponenti); in verde quelle ``stesso esponente'' (operano sulle basi); in viola la regola della ``potenza di potenza''.} \label{fig:aa-003-proprieta} \end{figure} % ============================================================ \section{Potenze a esponente zero e uno}\label{sec:aa-003-04-potenze-a-esponente-zero-e-uno} \flashsec{AA-003-potenze-esponente-naturale-intero}{05} % ============================================================ I casi limite $n=1$ e $n=0$ vanno fissati con convenzioni coerenti rispetto alle proprietà appena viste. \begin{definizione}[Esponente $1$]\indiceauto{esponente 1@Esponente 1|textbf}Per ogni $a$: $a^1 = a$. Una potenza con esponente $1$ è il numero stesso. \end{definizione} \begin{definizione}[Esponente $0$]\indiceauto{esponente 0@Esponente 0|textbf}Per ogni $a\neq 0$: $a^0 = 1$. Una potenza con esponente zero (e base non nulla) vale $1$. \end{definizione} \begin{nota}[Perché $a^0=1$] La definizione $a^0=1$ non è arbitraria: serve a rendere coerente la proprietà del quoziente $a^m:a^n=a^{m-n}$ quando $m=n$. Infatti: \[ \frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0. \] Ma il primo membro vale $1$ (qualunque numero diviso per sé stesso, se non nullo); dunque deve essere $a^0=1$. \end{nota} \begin{attenzione}[Il caso $0^0$] La scrittura $0^0$ non è definita in modo univoco: \emph{convenzionalmente} si pone $0^0=1$ in molti contesti (algebra, combinatoria, sviluppi di Taylor), ma in altri (limiti) compare come \emph{forma indeterminata}. In questo libro la trattazione algebrica usa la convenzione $0^0=1$; per il significato ``analitico'' rimandiamo al capitolo \ref{cap:AN-003}. \end{attenzione} % ============================================================ \section{Potenze a esponente intero negativo}\label{sec:aa-003-05-potenze-a-esponente-intero-negativo} \flashsec{AA-003-potenze-esponente-naturale-intero}{06} % ============================================================ Per dare significato a esponenti negativi ragioniamo come fatto per $a^0$: estendere la regola del quoziente $a^m:a^n=a^{m-n}$ anche al caso $m0$ è scritto in \textbf{notazione scientifica} quando ha la forma \[ x = a \cdot 10^n, \] con $1 \le a < 10$ (il \emph{coefficiente}) e $n\in\Z$ (l'\emph{ordine di grandezza}). Per $x<0$ si applica la stessa scrittura al modulo: $x = -|a|\cdot 10^n$. \end{definizione} \begin{procedura}[Convertire in notazione scientifica] \hfill \begin{enumerate} \item Si individua la \emph{prima cifra significativa} del numero. \item Si sposta la virgola fino a metterla subito dopo la prima cifra: si ottiene il coefficiente $a$ con $1\le a<10$. \item Il numero di posizioni di cui si è spostata la virgola, con segno, è l'esponente $n$: \emph{positivo} se la virgola si è spostata verso sinistra (numero grande, $\ge 10$); \emph{negativo} se si è spostata verso destra (numero piccolo, $<1$). \end{enumerate} \end{procedura} \begin{esempio} \begin{itemize} \item $\num{250000} = 2{,}5\cdot 10^5$ (virgola spostata di $5$ posti a sinistra). \item $\num{0.00037} = 3{,}7\cdot 10^{-4}$ (virgola spostata di $4$ posti a destra). \item $\num{6.022e23}$ (la costante di Avogadro): $6{,}022\cdot 10^{23}$. \item $\num{9.11e-31}$ (la massa dell'elettrone, in $\si{\kilogram}$): $9{,}11\cdot 10^{-31}$. \end{itemize} \end{esempio} \begin{nota}[Ordine di grandezza] L'\textbf{ordine di grandezza} di un numero scritto in notazione scientifica $a\cdot 10^n$ è $10^n$. Confrontare ordini di grandezza permette di paragonare numeri anche molto diversi: la massa del Sole ($\approx 2\cdot 10^{30}\,\si{\kilogram}$) è circa $2\cdot 10^{60}$ volte la massa di un elettrone ($\approx 9\cdot 10^{-31}\,\si{\kilogram}$): fra le due ci sono sessanta ordini di grandezza. Riprenderemo gli ordini di grandezza nei capitoli del libro di fisica. \end{nota} % ============================================================ \section{Esempi svolti}\label{sec:aa-003-08-esempi-svolti} % ============================================================ \begin{esempio}[Calcolo con le 5 proprietà] Calcolare $\dfrac{2^7\cdot 2^3}{2^5\cdot 4^2}$. \textit{Soluzione.} Per la proprietà del prodotto con la stessa base: $2^7\cdot 2^3 = 2^{10}$. Al denominatore, $4=2^2$ quindi $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$, e $2^5\cdot 2^4 = 2^9$. Allora: \[ \frac{2^{10}}{2^9} = 2^{10-9} = 2^1 = 2. \] \end{esempio} \begin{esempio}[Esponenti negativi] Calcolare $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-3}\cdot\left(\dfrac{2}{5}\right)^{5}$. \textit{Soluzione.} Per il prodotto a stessa base: $\left(\tfrac{2}{5}\right)^{-3+5}=\left(\tfrac{2}{5}\right)^2=\tfrac{4}{25}$. \end{esempio} \begin{esempio}[Riscrivere come potenza di una sola base] Riscrivere $\dfrac{8^4\cdot 16^{-2}}{2^3}$ come potenza di $2$. \textit{Soluzione.} Convertiamo tutto in base $2$: $8 = 2^3$, $16 = 2^4$. Allora: \[ \frac{(2^3)^4 \cdot (2^4)^{-2}}{2^3} = \frac{2^{12}\cdot 2^{-8}}{2^3} = \frac{2^{12-8}}{2^3} = \frac{2^4}{2^3} = 2^{4-3} = 2^1 = 2. \] \end{esempio} \begin{esempio}[Confronto di ordini di grandezza] Stabilire se $3{,}1\cdot 10^{17}$ è maggiore o minore di $2{,}9\cdot 10^{18}$. \textit{Soluzione.} I due ordini di grandezza sono $10^{17}$ e $10^{18}$, dunque il secondo numero è ``una decina di volte'' più grande. In particolare: \[ \frac{2{,}9\cdot 10^{18}}{3{,}1\cdot 10^{17}} = \frac{2{,}9}{3{,}1}\cdot 10^{18-17} \approx 0{,}94\cdot 10^1 \approx 9{,}4. \] Il secondo è circa $9{,}4$ volte il primo, quindi è maggiore. \end{esempio} \begin{esempio}[Notazione scientifica e operazioni] Calcolare $(3\cdot 10^4)\cdot(2{,}5\cdot 10^{-2})$ esprimendo il risultato in notazione scientifica. \textit{Soluzione.} Sfruttiamo la commutativa e la proprietà del prodotto a stesso esponente: \[ (3\cdot 2{,}5)\cdot 10^{4-2} = 7{,}5\cdot 10^{2}. \] Poiché $1\le 7{,}5<10$, è già in notazione scientifica. Il valore numerico è $\num{750}$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-003-09-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Calcola, riducendo i risultati alla forma più semplice:\quad (a) $5^3$;\quad (b) $(-3)^4$;\quad (c) $-3^4$;\quad (d) $(-2)^5$;\quad (e) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^4$;\quad (f) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3$. \item Applica la proprietà del prodotto/quoziente con la stessa base:\quad (a) $3^4\cdot 3^2$;\quad (b) $7^5 : 7^3$;\quad (c) $5^6\cdot 5^{-2}$;\quad (d) $10^{-3}\cdot 10^7$;\quad (e) $\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 : \left(\dfrac{2}{3}\right)^2$. \item Applica la proprietà del prodotto/quoziente con lo stesso esponente:\quad (a) $4^3\cdot 25^3$;\quad (b) $5^4\cdot 2^4$;\quad (c) $\dfrac{30^5}{6^5}$;\quad (d) $\dfrac{12^7}{4^7}$. \item Applica la proprietà della potenza di potenza:\quad (a) $(2^3)^4$;\quad (b) $(5^2)^{-3}$;\quad (c) $\left(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\right)^3$. \item Riscrivi come potenza di una sola base (la base più piccola possibile):\quad (a) $\dfrac{9^3\cdot 27^2}{3^5}$;\quad (b) $\dfrac{16\cdot 8^{-2}}{4^3}$;\quad (c) $\dfrac{25^{-1}\cdot 125}{5^4}$. \item Scrivi in notazione scientifica:\quad (a) $\num{12 000}$;\quad (b) $\num{0.000725}$;\quad (c) $\num{3 000 000 000}$;\quad (d) $\num{0.0000049}$. \item Riscrivi in notazione decimale ordinaria:\quad (a) $2{,}5\cdot 10^4$;\quad (b) $8\cdot 10^{-3}$;\quad (c) $1{,}7\cdot 10^{0}$;\quad (d) $4{,}1\cdot 10^{6}$. \item Esegui in notazione scientifica e dai il risultato sempre in notazione scientifica:\quad (a) $(4\cdot 10^5)\cdot(2\cdot 10^3)$;\quad (b) $(3\cdot 10^{-4})\cdot(6\cdot 10^7)$;\quad (c) $\dfrac{8\cdot 10^9}{2\cdot 10^4}$;\quad (d) $(7\cdot 10^{-2})^2$. \item (Discussione.) Un compagno scrive $a^m + a^n = a^{m+n}$, basandosi sull'analogia con il prodotto. Spiega perché è \emph{sbagliato} e fornisci un controesempio numerico. \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ============================================================ \section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-003-10-riepilogo-del-capitolo} % ============================================================ \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item Per $n\ge 1$, $a^n=\underbrace{a\cdots a}_{n}$. Casi notevoli: $a^1=a$; $a^2$ quadrato; $a^3$ cubo. \item Segno: $a^n>0$ se $a>0$; per $a<0$, $a^n>0$ se $n$ è pari, $a^n<0$ se $n$ è dispari. Attenzione a $-a^n$ vs $(-a)^n$. \item Cinque proprietà fondamentali (per $a,b\neq 0$): \quad $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$;\quad $a^m : a^n = a^{m-n}$;\quad $a^n\cdot b^n = (ab)^n$;\quad $a^n : b^n = (a/b)^n$;\quad $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$. \item Convenzioni: $a^0=1$ per $a\neq 0$ (così la proprietà del quoziente resta coerente); $0^0$ è convenzionalmente $1$ in algebra ma è forma indeterminata in analisi (capitolo \ref{cap:AN-003}). \item Esponenti negativi: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ per $a\neq 0$. Con questa estensione, tutte le cinque proprietà restano valide per esponenti in $\Z$. \item \emph{Notazione scientifica}: ogni numero positivo si scrive $a\cdot 10^n$ con $1\le a<10$ e $n\in\Z$. L'\emph{ordine di grandezza} è $10^n$, comodo per confronti tra numeri molto grandi o molto piccoli. \item Errore tipico: $a^m+a^n\neq a^{m+n}$. Le proprietà delle potenze regolano \emph{prodotti}, non somme. \end{itemize} \end{riepilogo}