\chapter{Frazioni equivalenti e operazioni con le frazioni}\label{cap:AA-006}

\citazioneinizio{%
  Sapere fare le frazioni significa avere in mano gran parte dell'aritmetica: la stessa quantità si può scrivere in infiniti modi, e operare con esse è il primo passo verso l'algebra.%
}{adattamento didattico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-006-01-introduzione-motivazionale}
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Una \emph{frazione} è una scrittura della forma $\tfrac{a}{b}$ con $a, b\in\Z$ e $b\neq 0$. Esprime la divisione di una parte $a$ rispetto a un \emph{tutto} suddiviso in $b$ parti uguali. È, in un certo senso, la naturale estensione dei numeri interi: quando una grandezza non sta in modo ``intero'' in un'altra (per esempio dividere $1$ in $3$ parti, oppure $7$ in $4$), nasce il bisogno di frazioni.

Le abbiamo già incontrate nel capitolo \ref{cap:AA-001} come oggetti che generano l'insieme dei numeri razionali $\Q$. In questo capitolo studiamo a fondo le \emph{operazioni}: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza. Vedremo che la regola di base — il minimo comune denominatore per somma e sottrazione, il prodotto incrociato per la divisione — è semplice ma richiede attenzione e fluidità. La fluidità con le frazioni numeriche è quella che, capitoli più avanti, permetterà di lavorare con disinvoltura con le \emph{frazioni algebriche} (capitolo \ref{cap:AA-014}).

In questo capitolo richiamiamo la definizione di frazione, l'equivalenza, la riduzione ai minimi termini, le quattro operazioni con le frazioni, le potenze, e affrontiamo espressioni numeriche complesse.

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\section{Definizione di frazione e significato}\label{sec:aa-006-01-definizione-di-frazione-e-significato}
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\begin{definizione}[Frazione]
Una \textbf{frazione} è una scrittura della forma
\[
  \dfrac{a}{b},\qquad a\in\Z,\ b\in\Z,\ b\neq 0,
\]
dove $a$ si chiama \textbf{numeratore}, $b$ \textbf{denominatore}. La barra di frazione indica una divisione: $\tfrac{a}{b} = a:b$.
\end{definizione}

\begin{nota}[Interpretazioni]
La frazione $\tfrac{a}{b}$ ha più letture, tutte utili:
\begin{itemize}
  \item \emph{Operativa}: $a$ diviso $b$ (un quoziente).
  \item \emph{Parte-tutto}: si è diviso il tutto in $b$ parti uguali, e se ne sono prese $a$.
  \item \emph{Rapporto}: indica il rapporto fra due grandezze.
\end{itemize}
Esempio: $\tfrac{3}{4}$ è $3$ diviso $4$ (= $0{,}75$), oppure ``$3$ pezzi su $4$'' di una pizza divisa in quarti.
\end{nota}

\begin{nota}[Frazioni proprie, improprie, apparenti]
\begin{itemize}
  \item \emph{Propria}: $|a|<|b|$, valore in modulo $<1$. Esempio: $\tfrac{2}{5}$.
  \item \emph{Impropria}: $|a|>|b|$, valore in modulo $>1$. Esempio: $\tfrac{7}{3}$.
  \item \emph{Apparente}: $b\mid a$, valore intero. Esempio: $\tfrac{12}{4}=3$.
\end{itemize}
\end{nota}

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\section{Frazioni equivalenti e proprietà invariantiva}\label{sec:aa-006-02-frazioni-equivalenti-e-proprieta-invariantiva}
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\begin{definizione}[Frazioni equivalenti]
Due frazioni $\dfrac{a}{b}$ e $\dfrac{c}{d}$ si dicono \textbf{equivalenti} se rappresentano lo stesso numero razionale. Equivalentemente:
\[
  \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff a\cdot d = b\cdot c.
\]
\end{definizione}

\begin{esempio}
$\tfrac{2}{3}, \tfrac{4}{6}, \tfrac{6}{9}, \tfrac{10}{15}$ sono tutte equivalenti: rappresentano lo stesso razionale, $\tfrac{2}{3}\approx 0{,}667$. Si verifica con i ``prodotti incrociati'': $2\cdot 6 = 4\cdot 3$, $2\cdot 9 = 6\cdot 3$, eccetera.
\end{esempio}

\begin{teorema}[Proprietà invariantiva]
Moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero \emph{non nullo}, la frazione resta equivalente:
\[
  \dfrac{a}{b} = \dfrac{a\cdot k}{b\cdot k}, \qquad k\neq 0.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} $\dfrac{a\cdot k}{b\cdot k} = \dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{k}{k} = \dfrac{a}{b}\cdot 1 = \dfrac{a}{b}$.

\begin{formulabox}
\[
  \dfrac{a}{b} = \dfrac{a k}{b k} = \dfrac{a/d}{b/d} \qquad (k\neq 0,\ d\mid a\land d\mid b).
\]
\end{formulabox}

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\section{Riduzione ai minimi termini}\label{sec:aa-006-03-riduzione-ai-minimi-termini}
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\begin{definizione}[Frazione ridotta ai minimi termini]
Una frazione $\dfrac{a}{b}$ è \textbf{ridotta ai minimi termini} se $\mcd(|a|, |b|) = 1$ (numeratore e denominatore sono \emph{coprimi}) e il denominatore è positivo.
\end{definizione}

\begin{procedura}[Ridurre ai minimi termini]
Per ridurre $\dfrac{a}{b}$ ai minimi termini:
\begin{enumerate}
  \item Si calcola $d = \mcd(|a|, |b|)$ (capitolo \ref{cap:AA-004}).
  \item Si divide numeratore e denominatore per $d$: $\tfrac{a}{b} \to \tfrac{a/d}{b/d}$.
  \item Se il denominatore risulta negativo, si moltiplicano entrambi per $-1$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
$\dfrac{18}{24}$: $\mcd(18, 24) = 6$. $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18:6}{24:6} = \dfrac{3}{4}$.

$\dfrac{-15}{-25}$: $\mcd = 5$, e si toglie il segno meno comune. $\dfrac{-15}{-25} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$.

$\dfrac{84}{144}$: $\mcd(84, 144) = 12$. $\dfrac{84}{144} = \dfrac{7}{12}$.
\end{esempio}

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\section{Confronto tra frazioni}\label{sec:aa-006-04-confronto-tra-frazioni}
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\begin{procedura}[Confrontare due frazioni positive]
Per stabilire se $\dfrac{a}{b}$ è maggiore, minore o uguale a $\dfrac{c}{d}$ (con $b, d > 0$):
\begin{itemize}
  \item \emph{Stesso denominatore}: se $b = d$, confronta direttamente $a$ con $c$.
  \item \emph{Diverso denominatore}: porta entrambe al \emph{minimo comune denominatore} (mcm di $b$ e $d$), poi confronta i numeratori.
  \item \emph{Prodotto incrociato}: $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\iff a\cdot d < b\cdot c$ (per $b, d > 0$).
\end{itemize}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Confrontare $\tfrac{3}{5}$ e $\tfrac{7}{12}$.

\textit{Soluzione.} Prodotto incrociato: $3\cdot 12 = 36$, $5\cdot 7 = 35$. Poiché $36 > 35$, $\tfrac{3}{5} > \tfrac{7}{12}$.

Equivalentemente, mcm$(5,12)=60$: $\tfrac{3}{5}=\tfrac{36}{60}$, $\tfrac{7}{12}=\tfrac{35}{60}$.
\end{esempio}

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\section{Addizione e sottrazione}\label{sec:aa-006-05-addizione-e-sottrazione}
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\begin{teorema}[Somma e differenza con stesso denominatore]
Se due frazioni hanno lo \emph{stesso} denominatore, la loro somma (o differenza) ha lo stesso denominatore e numeratore pari alla somma (o differenza) dei numeratori:
\[
  \dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a\pm b}{c}.
\]
\end{teorema}

\begin{teorema}[Somma e differenza con denominatori diversi]
Se le frazioni hanno denominatori diversi, si riducono prima allo stesso denominatore (il \emph{minimo comune denominatore}, mcd se conviene), poi si applica la regola precedente.
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{a d \pm b c}{b d}.
\]
\end{formulabox}

\begin{procedura}[Somma di frazioni passo per passo]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si calcola $m = \mcm(b, d)$ (minimo comune denominatore).
  \item Si trasforma ogni frazione in una con denominatore $m$:
        $\tfrac{a}{b}\to\tfrac{a\cdot(m/b)}{m}$, $\tfrac{c}{d}\to\tfrac{c\cdot(m/d)}{m}$.
  \item Si sommano i numeratori (mantenendo il denominatore $m$).
  \item Si riduce il risultato ai minimi termini.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Calcolare $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}$.

\textit{Soluzione.} mcm$(3,6) = 6$. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$. Allora $\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}
Calcolare $\dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}$.

\textit{Soluzione.} mcm$(4,6)=12$. $\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{12}$, $\dfrac{5}{6}=\dfrac{10}{12}$. Allora $\dfrac{9}{12}-\dfrac{10}{12}=-\dfrac{1}{12}$.
\end{esempio}

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\section{Moltiplicazione}\label{sec:aa-006-06-moltiplicazione}
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\begin{teorema}[Prodotto di frazioni]
Il prodotto di due frazioni si ottiene moltiplicando numeratori e denominatori:
\[
  \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}.
\]
\end{teorema}

\begin{nota}[Semplificazione prima del prodotto]
Spesso conviene \emph{semplificare in croce} prima di moltiplicare: se in numeratore e denominatore di frazioni diverse compaiono fattori comuni, si semplificano.
\end{nota}

\begin{esempio}
$\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{4}{9}$: numeratore $3$ e denominatore $9$ hanno fattore $3$ in comune ($3=3, 9=3^2$); numeratore $4$ e denominatore $8$ hanno fattore $4$. Semplificando: $\dfrac{\cancel{3}}{\cancel{8}_2}\cdot\dfrac{\cancel{4}^1}{\cancel{9}_3} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$.
\end{esempio}

\begin{formulabox}
\[
  \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d} = \dfrac{a c}{b d}.
\]
\end{formulabox}

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\section{Divisione e frazione reciproca}\label{sec:aa-006-07-divisione-e-frazione-reciproca}
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\begin{definizione}[Frazione reciproca]
La \textbf{frazione reciproca} (o \emph{inverso moltiplicativo}) di $\dfrac{a}{b}$ è $\dfrac{b}{a}$ (per $a\neq 0$): il loro prodotto è $1$.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Quoziente di frazioni]
La divisione tra due frazioni si trasforma in un prodotto per la reciproca della seconda:
\[
  \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c} = \dfrac{a\cdot d}{b\cdot c} \qquad (c\neq 0).
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a d}{b c}.
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}
$\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{7}{2} = \dfrac{21}{10}$.
\end{esempio}

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\section{Potenze di frazioni}\label{sec:aa-006-08-potenze-di-frazioni}
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\begin{teorema}[Potenza di una frazione]
Per ogni $n\in\N$:
\[
  \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}.
\]
Per $n$ negativo (e $a\neq 0$): $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^n$.
\end{teorema}

\begin{esempio}
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{8}{27}$; $\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{16}{25}$.
\end{esempio}

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\section{Espressioni con frazioni}\label{sec:aa-006-09-espressioni-con-frazioni}
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Quando in un'espressione numerica compaiono frazioni e operazioni di vario tipo, si applicano le \emph{precedenze} viste nel capitolo \ref{cap:AA-002}: parentesi → potenze → moltiplicazioni e divisioni → addizioni e sottrazioni. All'interno di ogni livello, si lavora da sinistra a destra.

\begin{esempio}
Calcolare $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}$.

\textit{Soluzione.} Prima il prodotto: $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{8}$. Poi somma: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{8}$. mcm$(3,8)=24$: $\dfrac{16}{24}+\dfrac{9}{24}=\dfrac{25}{24}$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-006-11-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Espressione complessa con tutte le operazioni]
Calcolare $\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right):\dfrac{1}{6}\cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^2$.

\textit{Soluzione.} Prima le parentesi tonde:
\[
  \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{3-2}{6} = \dfrac{1}{6}.
\]
Poi la potenza: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}$. Adesso da sinistra a destra:
\[
  \dfrac{1}{6}:\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{9}{16} = 1\cdot\dfrac{9}{16} = \dfrac{9}{16}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riduzione e confronto]
Confrontare $\dfrac{14}{35}$ e $\dfrac{24}{60}$.

\textit{Soluzione.} Riduciamo: $\dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5}$; $\dfrac{24}{60} = \dfrac{2}{5}$. Sono \emph{uguali}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Trovare il termine mancante]
Trovare $x$ tale che $\dfrac{3}{x} = \dfrac{12}{20}$.

\textit{Soluzione.} Riducendo $\tfrac{12}{20}=\tfrac{3}{5}$. Quindi $\dfrac{3}{x}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow x=5$.

Alternativamente, prodotto incrociato: $3\cdot 20 = 12\cdot x \Rightarrow x = \dfrac{60}{12} = 5$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Operazione fra tre frazioni]
Calcolare $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{15}$.

\textit{Soluzione.} mcm$(5,3,15)=15$. $\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{15}$, $\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{15}$, $\dfrac{7}{15}$ resta. $\dfrac{6+5-7}{15}=\dfrac{4}{15}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Frazione di una frazione]
Quanto vale $\dfrac{2}{3}$ di $\dfrac{9}{10}$?

\textit{Soluzione.} ``Di'' significa moltiplicazione: $\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{10} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-006-12-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Riduci ai minimi termini:\quad
        (a) $\tfrac{12}{18}$;\quad
        (b) $\tfrac{45}{60}$;\quad
        (c) $\tfrac{-24}{36}$;\quad
        (d) $\tfrac{84}{144}$;\quad
        (e) $\tfrac{0}{7}$.
  \item Stabilisci se le coppie sono di frazioni equivalenti:\quad
        (a) $\tfrac{3}{4}$ e $\tfrac{15}{20}$;\quad
        (b) $\tfrac{2}{5}$ e $\tfrac{6}{14}$;\quad
        (c) $\tfrac{-7}{8}$ e $\tfrac{7}{-8}$.
  \item Confronta (indicando $<$, $>$ o $=$):\quad
        (a) $\tfrac{2}{3}$ e $\tfrac{5}{7}$;\quad
        (b) $\tfrac{4}{9}$ e $\tfrac{7}{15}$;\quad
        (c) $\tfrac{5}{6}$ e $\tfrac{10}{12}$.
  \item Calcola:\quad
        (a) $\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}$;\quad
        (b) $\tfrac{5}{6}-\tfrac{1}{2}$;\quad
        (c) $\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{12}$;\quad
        (d) $1-\tfrac{2}{5}+\tfrac{3}{10}$.
  \item Calcola i prodotti, semplificando in croce:\quad
        (a) $\tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{3}{8}$;\quad
        (b) $\tfrac{15}{16}\cdot\tfrac{8}{25}$;\quad
        (c) $\tfrac{7}{12}\cdot\tfrac{8}{14}\cdot\tfrac{9}{4}$.
  \item Calcola i quozienti:\quad
        (a) $\tfrac{3}{5}:\tfrac{2}{7}$;\quad
        (b) $\tfrac{4}{9}:\tfrac{2}{3}$;\quad
        (c) $\tfrac{7}{8}:\tfrac{14}{16}$;\quad
        (d) $\tfrac{1}{2}:5$.
  \item Calcola le potenze:\quad
        (a) $\left(\tfrac{2}{3}\right)^4$;\quad
        (b) $\left(\tfrac{1}{5}\right)^{-2}$;\quad
        (c) $\left(\tfrac{3}{4}\right)^0$.
  \item Calcola le espressioni:\quad
        (a) $\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}\right)\cdot\tfrac{6}{5}$;\quad
        (b) $\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{6}$;\quad
        (c) $\left[\left(\tfrac{1}{2}\right)^2-\tfrac{1}{4}\right]:\tfrac{3}{8}$.
  \item (Discussione.) Un sacco di farina pesa $\SI{15}{\kilogram}$. Se vendo $\tfrac{2}{5}$ del sacco e poi $\tfrac{1}{3}$ del resto, quanta farina mi resta? (Suggerimento: il ``resto'' del primo passaggio è $\tfrac{3}{5}$ del sacco, e tolgo $\tfrac{1}{3}$ di quello.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-006-13-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Una \emph{frazione} $\tfrac{a}{b}$ (con $b\neq 0$) si legge come quoziente, parte-tutto o rapporto. Distinta in propria, impropria, apparente.
  \item \emph{Equivalenza}: $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} \iff ad = bc$. Proprietà invariantiva: $\tfrac{a}{b} = \tfrac{ak}{bk}$ per $k\neq 0$.
  \item \emph{Ridotta ai minimi termini}: $\mcd(|a|, |b|)=1$ e denominatore positivo. Si ottiene dividendo per $\mcd(|a|,|b|)$.
  \item \emph{Confronto}: prodotto incrociato $ad$ vs $bc$ (con $b, d > 0$), oppure stesso denominatore comune.
  \item \emph{Addizione/Sottrazione}: stesso denominatore, somma/differenza dei numeratori. Diverso denominatore: ridurre al mcm.
        \[ \dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d} = \dfrac{ad \pm bc}{bd}. \]
  \item \emph{Moltiplicazione}: numeratore $\cdot$ numeratore, denominatore $\cdot$ denominatore. Conviene semplificare in croce prima.
  \item \emph{Divisione}: prodotto per la reciproca. $\tfrac{a}{b}:\tfrac{c}{d} = \tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{d}{c}$.
  \item \emph{Potenze}: $\left(\tfrac{a}{b}\right)^n = \tfrac{a^n}{b^n}$. Per esponente negativo si inverte la frazione.
  \item \emph{Espressioni}: rispettare le precedenze. Parentesi $\to$ potenze $\to$ moltiplic./divisioni $\to$ addiz./sottraz.
\end{itemize}
\end{riepilogo}