\chapter{Numeri decimali limitati e periodici}\label{cap:AA-007}

\citazioneinizio{%
  Con le frazioni decimali si possono eseguire tutti i calcoli necessari servendosi solo di moltiplicazioni e divisioni per le potenze di dieci.%
}{adattamento da Simon Stevin, \emph{De Thiende} (1585)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-007-01-introduzione-motivazionale}
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Quando dividiamo $1$ per $4$ con la divisione in colonna otteniamo $0{,}25$: un \emph{numero decimale finito}, che si scrive in un numero limitato di cifre dopo la virgola. Quando però dividiamo $1$ per $3$, otteniamo $0{,}333\ldots$: le cifre si ripetono all'infinito. E dividendo $1$ per $7$ si scopre una sequenza ancora più curiosa: $0{,}142857\,142857\,142857\ldots$, in cui sei cifre si ripetono ciclicamente per sempre.

Cosa decide se una frazione ``si chiude'' in poche cifre oppure si ripete? La risposta, sorprendentemente semplice, sta nella \emph{scomposizione in fattori primi} del denominatore (capitolo \ref{cap:AA-005}). E c'è anche il problema inverso: dato un decimale periodico, come si trova la frazione che lo genera?

In questo capitolo studiamo a fondo il legame fra frazioni e numeri decimali: classifichiamo i decimali (finiti, periodici semplici, periodici misti), enunciamo la regola che permette di prevederne il tipo a partire dal denominatore, e impariamo a calcolare la \emph{frazione generatrice} di un decimale periodico. Lungo il cammino incontreremo per la prima volta l'idea — che svilupperemo nel capitolo \ref{cap:AA-009} — di numero \emph{irrazionale}: un decimale infinito \emph{non periodico}.

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\section{Frazione decimale e numero decimale finito}\label{sec:aa-007-01-frazione-decimale-e-numero-decimale-finito}
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\begin{definizione}[Frazione decimale]
Una frazione $\tfrac{a}{b}$ si dice \textbf{decimale} se il suo denominatore $b$ è una potenza di $10$:
\[
  b = 10^n \quad \text{con } n\in\N.
\]
Esempi: $\tfrac{3}{10}$, $\tfrac{27}{100}$, $\tfrac{1\,247}{1\,000}$.
\end{definizione}

Le frazioni decimali sono particolarmente comode perché si scrivono direttamente come \emph{numeri decimali}: basta spostare la virgola di tante posizioni quante sono le cifre dello zero al denominatore.

\begin{esempio}
\[
  \frac{3}{10}=0{,}3,\qquad
  \frac{27}{100}=0{,}27,\qquad
  \frac{1\,247}{1\,000}=1{,}247.
\]
\end{esempio}

\begin{teorema}[Caratterizzazione dei decimali finiti]
Una frazione $\tfrac{a}{b}$ \emph{ridotta ai minimi termini} (cioè con $\mcd(a,b)=1$) genera un \textbf{decimale finito} se e solo se il denominatore $b$ ha come fattori primi solo $2$ e $5$:
\[
  b = 2^h\cdot 5^k, \quad h,k\in\N.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea).} Se $b = 2^h\cdot 5^k$, possiamo ``equilibrarlo'' moltiplicando numeratore e denominatore per quello che manca per arrivare a $10^{\max(h,k)}$. Esempio: $\tfrac{3}{8}=\tfrac{3}{2^3}=\tfrac{3\cdot 5^3}{2^3\cdot 5^3}=\tfrac{375}{1\,000}=0{,}375$.

Viceversa, se $b$ contiene un primo $p\notin\{2,5\}$, non c'è modo di trasformarlo in una potenza di $10$ moltiplicando per qualcosa di intero: $p$ non scomparirà mai. La divisione $a:b$ non termina e dà un periodico (lo vedremo a breve).

\begin{esempio}[Riconoscere un decimale finito]
\begin{itemize}
  \item $\tfrac{7}{40}$: denominatore $40 = 2^3\cdot 5$. Solo fattori $2$ e $5$: decimale finito. Calcolo: $\tfrac{7}{40}=\tfrac{7\cdot 25}{40\cdot 25}=\tfrac{175}{1\,000}=0{,}175$.
  \item $\tfrac{4}{15}$: denominatore $15=3\cdot 5$. C'è il fattore $3$: \emph{non} è finito.
  \item $\tfrac{9}{160}$: $160=2^5\cdot 5$. Solo $2$ e $5$: finito.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{attenzione}[Ridurre prima ai minimi termini]
La regola vale per frazioni \emph{già ridotte}. Per esempio $\tfrac{6}{15}$ ha denominatore con il fattore $3$, ma una volta semplificata diventa $\tfrac{2}{5}=0{,}4$, decimale finito. La regola va applicata alla forma ridotta.
\end{attenzione}

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\section{Numeri decimali periodici semplici}\label{sec:aa-007-02-numeri-decimali-periodici-semplici}
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\begin{definizione}[Decimale periodico semplice]
Un numero decimale si dice \textbf{periodico semplice} se, subito dopo la virgola, presenta un gruppo di cifre che si ripete indefinitamente. Tale gruppo di cifre si chiama \textbf{periodo} e si indica con una barra (oppure con parentesi tonde):
\[
  0{,}\overline{3} = 0{,}3333\ldots,\quad
  0{,}\overline{142857} = 0{,}142857\,142857\ldots
\]
\end{definizione}

\begin{teorema}[Caratterizzazione]
Una frazione $\tfrac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini genera un \textbf{decimale periodico semplice} se e solo se il denominatore $b$ è coprimo con $10$ (cioè non ha fra i suoi fattori primi né $2$ né $5$):
\[
  \mcd(b,10) = 1.
\]
\end{teorema}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\tfrac{1}{3}$: $b=3$, coprimo con $10$. Periodico semplice: $\tfrac{1}{3}=0{,}\overline{3}$.
  \item $\tfrac{1}{7}$: $b=7$, coprimo con $10$. Periodico semplice: $\tfrac{1}{7}=0{,}\overline{142857}$ (periodo di lunghezza $6$).
  \item $\tfrac{5}{11}$: $b=11$, coprimo con $10$. Periodico semplice: $\tfrac{5}{11}=0{,}\overline{45}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Lunghezza del periodo]
Si può dimostrare che la lunghezza del periodo di $\tfrac{1}{n}$ (con $\mcd(n,10)=1$) divide $\varphi(n)$, dove $\varphi$ è la funzione di Eulero. Per i casi più semplici basta provare: $\tfrac{1}{3}$ ha periodo $1$, $\tfrac{1}{7}$ ha periodo $6$, $\tfrac{1}{11}$ ha periodo $2$, $\tfrac{1}{13}$ ha periodo $6$. Approfondiremo questi argomenti in un futuro modulo di teoria dei numeri.
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9, every node/.style={font=\small}]
  % Visualizzazione della divisione di 1:7 con il ciclo dei resti
  \node[draw, BLU, circle, fill=BLU!10] (r1) at (90:1.8) {$1$};
  \node[draw, BLU, circle, fill=BLU!10] (r3) at (30:1.8) {$3$};
  \node[draw, BLU, circle, fill=BLU!10] (r2) at (-30:1.8) {$2$};
  \node[draw, BLU, circle, fill=BLU!10] (r6) at (-90:1.8) {$6$};
  \node[draw, BLU, circle, fill=BLU!10] (r4) at (-150:1.8) {$4$};
  \node[draw, BLU, circle, fill=BLU!10] (r5) at (150:1.8) {$5$};
  \draw[->, VERDE, thick] (r1) to[bend left=15] node[midway, above right]{\scriptsize cifra 1} (r3);
  \draw[->, VERDE, thick] (r3) to[bend left=15] node[midway, right]{\scriptsize cifra 4} (r2);
  \draw[->, VERDE, thick] (r2) to[bend left=15] node[midway, below right]{\scriptsize cifra 2} (r6);
  \draw[->, VERDE, thick] (r6) to[bend left=15] node[midway, below left]{\scriptsize cifra 8} (r4);
  \draw[->, VERDE, thick] (r4) to[bend left=15] node[midway, left]{\scriptsize cifra 5} (r5);
  \draw[->, VERDE, thick] (r5) to[bend left=15] node[midway, above left]{\scriptsize cifra 7} (r1);
  \node[ROSSO] at (0,0) {\scriptsize $\tfrac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Ciclo dei resti nella divisione $1:7$. Partendo da resto $1$ (dividendo iniziale), la divisione produce in sequenza i resti $1,3,2,6,4,5$ e poi torna a $1$: a quel punto le cifre del quoziente cominciano a ripetersi. La lunghezza del ciclo è $6$, quindi $\tfrac{1}{7}$ ha periodo di lunghezza $6$.}
\label{fig:aa-007-ciclo-resti}
\end{figure}

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\section{Numeri decimali periodici misti}\label{sec:aa-007-03-numeri-decimali-periodici-misti}
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\begin{definizione}[Decimale periodico misto]
Un numero decimale si dice \textbf{periodico misto} se, fra la virgola e l'inizio del periodo, compaiono una o più cifre che \emph{non} si ripetono. Tali cifre formano l'\textbf{antiperiodo}.
\[
  0{,}1\overline{6} = 0{,}16666\ldots \qquad\text{(antiperiodo $1$, periodo $6$).}
\]
\end{definizione}

\begin{teorema}[Caratterizzazione]
Una frazione $\tfrac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini genera un \textbf{decimale periodico misto} se e solo se il denominatore $b$ contiene fra i suoi fattori primi \emph{sia} il $2$ o il $5$ \emph{sia} almeno un altro primo:
\[
  b = 2^h\cdot 5^k \cdot m, \quad\text{con } h+k\ge 1 \text{ e } m>1 \text{ coprimo con } 10.
\]
La lunghezza dell'antiperiodo è $\max(h,k)$.
\end{teorema}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\tfrac{1}{6}$: $b=6=2\cdot 3$. C'è $2$ ma anche $3$: periodico misto. Calcolo: $\tfrac{1}{6}=0{,}1\overline{6}$, antiperiodo $1$, periodo $6$.
  \item $\tfrac{5}{12}$: $b=12=2^2\cdot 3$. Periodico misto, antiperiodo di lunghezza $\max(2,0)=2$. Calcolo: $\tfrac{5}{12}=0{,}41\overline{6}$.
  \item $\tfrac{7}{30}$: $b=30=2\cdot 3\cdot 5$. Periodico misto, antiperiodo di lunghezza $\max(1,1)=1$. Calcolo: $\tfrac{7}{30}=0{,}2\overline{3}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[
  level distance=15mm,
  level 1/.style={sibling distance=70mm},
  level 2/.style={sibling distance=40mm},
  every node/.style={font=\small},
]
  \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center] (root)
    {Frazione $\tfrac{a}{b}$ ridotta\\ai minimi termini}
    child {
      node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center]
        {$b = 2^h\cdot 5^k$\\(solo $2$ e $5$)}
      child { node[VERDE!50!black]
        {decimale\textbf{ finito}} }
    }
    child {
      node[draw, ROSSO, rounded corners, fill=ROSSO!10, align=center]
        {$b$ contiene\\altri primi}
      child {
        node[draw, ARANCIO, rounded corners, fill=ARANCIO!10, align=center]
          {$b$ coprimo\\con $10$}
        child { node[ARANCIO!70!black]
          {periodico \textbf{semplice}} }
      }
      child {
        node[draw, VIOLA, rounded corners, fill=VIOLA!10, align=center]
          {$b$ ha $2$ o $5$\\\emph{e} altri primi}
        child { node[VIOLA!70!black]
          {periodico \textbf{misto}} }
      }
    };
\end{tikzpicture}
\caption{Albero decisionale per il tipo di decimale generato da una frazione ridotta ai minimi termini. Si guarda la scomposizione in primi del denominatore: se ci sono solo $2$ e $5$, decimale finito; se non ci sono né $2$ né $5$, periodico semplice; se ci sono sia $2$ (o $5$) sia altri primi, periodico misto.}
\label{fig:aa-007-classificazione}
\end{figure}

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\section{Frazione generatrice di un decimale periodico}\label{sec:aa-007-04-frazione-generatrice-di-un-decimale-periodico}
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Il problema inverso — dato un numero decimale, ricostruire la frazione che lo genera — è interessante per ogni tipo di decimale. Per i finiti è facile, per i periodici serve una regola un po' più astuta.

\begin{procedura}[Decimale finito $\to$ frazione]
Dato $0{,}a_1 a_2\ldots a_n$ (cifre dopo la virgola), la frazione corrispondente è
\[
  \frac{a_1 a_2\ldots a_n}{10^n},
\]
poi semplificata ai minimi termini.
\end{procedura}

\begin{esempio}
$0{,}175 = \dfrac{175}{1\,000} = \dfrac{175 : 25}{1\,000 : 25} = \dfrac{7}{40}$.
\end{esempio}

\begin{teorema}[Frazione generatrice di un decimale periodico semplice]
La frazione generatrice del decimale periodico semplice $0{,}\overline{p}$ (dove $p$ è un gruppo di $n$ cifre) è
\[
  0{,}\overline{p} = \frac{p}{\underbrace{99\ldots 9}_{n \text{ nove}}}.
\]
Più in generale, $i{,}\overline{p}$ (parte intera $i$) ha generatrice $i + \tfrac{p}{99\ldots 9}$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $x=0{,}\overline{p}$ con $p$ di $n$ cifre. Moltiplichiamo per $10^n$, che ``sposta'' la virgola di $n$ posti:
\[
  10^n\cdot x = p{,}\overline{p}.
\]
Sottraendo $x$ a entrambi i membri:
\[
  10^n\cdot x - x = p{,}\overline{p} - 0{,}\overline{p} = p,
\]
da cui $x(10^n - 1) = p$, cioè $x = \tfrac{p}{10^n - 1} = \tfrac{p}{99\ldots 9}$ ($n$ nove).

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $0{,}\overline{3} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
  \item $0{,}\overline{45} = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$.
  \item $0{,}\overline{142857} = \dfrac{142\,857}{999\,999} = \dfrac{1}{7}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{teorema}[Frazione generatrice di un decimale periodico misto]
La frazione generatrice del decimale periodico misto $0{,}a\overline{p}$, dove $a$ è l'antiperiodo (di $m$ cifre) e $p$ è il periodo (di $n$ cifre), è
\[
  0{,}a\overline{p} = \frac{a p - a}{\underbrace{99\ldots 9}_{n \text{ nove}}\,\underbrace{00\ldots 0}_{m \text{ zeri}}},
\]
dove $ap$ è il numero formato concatenando le cifre di $a$ e $p$, e $a$ è il numero formato dalle sole cifre di antiperiodo.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $x=0{,}a\overline{p}$. Moltiplicando per $10^m$:
\[
  10^m\cdot x = a{,}\overline{p}.
\]
$a{,}\overline{p}$ è un periodico semplice (con parte intera $a$). Per il teorema precedente: $a{,}\overline{p} = a + \tfrac{p}{10^n - 1}$. Quindi
\[
  10^m\cdot x = a + \frac{p}{10^n - 1} = \frac{a(10^n - 1)+p}{10^n - 1} = \frac{a\cdot 10^n - a + p}{10^n - 1} = \frac{ap - a}{10^n - 1},
\]
dove abbiamo riconosciuto $a\cdot 10^n + p$ come il numero ``ap'' concatenato. Dividendo per $10^m$:
\[
  x = \frac{ap - a}{(10^n - 1)\cdot 10^m} = \frac{ap - a}{99\ldots 9\,00\ldots 0}\quad(n\text{ nove},\ m\text{ zeri}).
\]

\begin{procedura}[Frazione generatrice — regola pratica]
Per un decimale periodico misto della forma $0{,}\underbrace{a\ldots a}_{\text{antiperiodo}}\,\overline{\underbrace{p\ldots p}_{\text{periodo}}}$:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Numeratore}: si scrive il numero ottenuto leggendo \emph{antiperiodo + periodo} (concatenati) e si sottrae il numero formato dal solo antiperiodo.
  \item \emph{Denominatore}: si scrivono tanti $9$ quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti $0$ quante sono le cifre dell'antiperiodo.
  \item Si semplifica ai minimi termini.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
$0{,}1\overline{6}$: antiperiodo ``$1$'' (1 cifra), periodo ``$6$'' (1 cifra).
\[
  \text{numeratore: } 16 - 1 = 15, \qquad \text{denominatore: } 90.
\]
$0{,}1\overline{6} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}
$0{,}41\overline{6}$: antiperiodo ``$41$'' (2 cifre), periodo ``$6$'' (1 cifra).
\[
  \text{numeratore: } 416 - 41 = 375, \qquad \text{denominatore: } 900.
\]
$0{,}41\overline{6} = \dfrac{375}{900} = \dfrac{5}{12}$. \checkmark
\end{esempio}

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\section{Numeri decimali non periodici: cenno agli irrazionali}\label{sec:aa-007-05-cenno-irrazionali}
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Abbiamo visto che ogni razionale, scritto in forma decimale, è \emph{finito o periodico}. È vero anche il viceversa: \emph{ogni decimale finito o periodico è razionale} (basta calcolarne la frazione generatrice).

Sorge spontanea la domanda: esistono decimali \emph{infiniti non periodici}?

\begin{esempio}[Un decimale costruito \emph{ad hoc}]
Consideriamo il numero
\[
  x = 0{,}1\,01\,001\,0001\,00001\,000001\,\ldots
\]
in cui dopo ogni $1$ si aggiunge \emph{uno zero in più} del precedente. Le cifre non si ripetono mai con un periodo costante: $x$ è un decimale infinito \emph{non} periodico. Per quanto detto, non può essere razionale.
\end{esempio}

\begin{nota}[Esistono dunque numeri non razionali]
I numeri di questo tipo si chiamano \textbf{irrazionali}. Sono i numeri reali che \emph{non} si possono scrivere come $\tfrac{a}{b}$. Esempi famosi: $\sqrt{2}$ (la cui irrazionalità abbiamo dimostrato nel capitolo \ref{cap:LD-005}), $\sqrt{3}$, $\pi$, $e$. Per essi, la rappresentazione decimale è infinita e non si stabilisce mai una struttura ciclica.

Razionali $\Q$ + irrazionali = \emph{numeri reali} $\R$. Approfondiremo questa estensione nel capitolo \ref{cap:AA-009}.
\end{nota}

\begin{nota}[Il caso curioso $0{,}\overline{9}$]
La frazione generatrice di $0{,}\overline{9}$ secondo la nostra regola è
\[
  0{,}\overline{9} = \frac{9}{9} = 1.
\]
È un'identità: $0{,}9999\ldots = 1$, esattamente. Non è ``circa $1$'': è $1$. La cosa è meno scandalosa di quanto sembri, e ha a che fare con i \emph{limiti}: la somma $0{,}9+0{,}09+0{,}009+\cdots$ tende a $1$ all'aumentare dei termini. Riprenderemo l'argomento nel capitolo \ref{cap:AN-002}.
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-007-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Classificare senza dividere]
Stabilire se le seguenti frazioni generano decimali finiti, periodici semplici o misti:
\quad (a) $\tfrac{3}{8}$;\quad (b) $\tfrac{2}{15}$;\quad (c) $\tfrac{7}{11}$;\quad (d) $\tfrac{11}{50}$;\quad (e) $\tfrac{5}{36}$.

\textit{Soluzione.} Tutte sono già ridotte. Guardiamo la scomposizione del denominatore:
\begin{itemize}
  \item (a) $8 = 2^3$: solo $2$. \textbf{Finito}.
  \item (b) $15 = 3\cdot 5$: c'è $5$ e c'è $3$. \textbf{Periodico misto}, antiperiodo di lunghezza $\max(0,1)=1$.
  \item (c) $11$: nessun $2$ né $5$. \textbf{Periodico semplice}.
  \item (d) $50 = 2\cdot 5^2$: solo $2$ e $5$. \textbf{Finito}.
  \item (e) $36 = 2^2\cdot 3^2$: c'è $2$ e c'è $3$. \textbf{Periodico misto}, antiperiodo di lunghezza $\max(2,0)=2$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Conversione frazione $\to$ decimale]
Trasformare in decimale $\tfrac{9}{16}$.

\textit{Soluzione.} $16=2^4$: decimale finito. ``Equilibriamo'' a una potenza di $10$:
\[
  \frac{9}{16} = \frac{9}{2^4} = \frac{9\cdot 5^4}{2^4\cdot 5^4} = \frac{9\cdot 625}{10\,000} = \frac{5\,625}{10\,000} = 0{,}5625.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Frazione generatrice di un periodico semplice]
Calcolare la frazione generatrice di $0{,}\overline{27}$.

\textit{Soluzione.} Periodo $27$ (2 cifre): $0{,}\overline{27}=\tfrac{27}{99}=\tfrac{3}{11}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Frazione generatrice di un periodico misto]
Calcolare la frazione generatrice di $2{,}5\overline{83}$.

\textit{Soluzione.} Parte intera $2$, parte decimale $0{,}5\overline{83}$.
La parte decimale: antiperiodo ``$5$'' ($m=1$), periodo ``$83$'' ($n=2$). Numeratore: $583-5=578$. Denominatore: $\underbrace{99}_{2\text{ nove}}\underbrace{0}_{1\text{ zero}}=990$. Quindi $0{,}5\overline{83}=\tfrac{578}{990}=\tfrac{289}{495}$.

Sommando la parte intera: $2{,}5\overline{83} = 2 + \tfrac{289}{495} = \tfrac{2\cdot 495 + 289}{495} = \tfrac{1\,279}{495}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Decimale con periodo lungo]
Calcolare i primi $6$ valori decimali di $\tfrac{1}{13}$. Determinare il periodo.

\textit{Soluzione.} Divisione in colonna di $1:13$:
\begin{align*}
  1{,}\,0 &= 13\cdot 0 + 10, \\
  10{,}\,0 &= 13\cdot 7 + 9, \\
  9{,}\,0 &= 13\cdot 6 + 12, \\
  12{,}\,0 &= 13\cdot 9 + 3, \\
  3{,}\,0 &= 13\cdot 2 + 4, \\
  4{,}\,0 &= 13\cdot 3 + 1.
\end{align*}
Tornati al resto $1$ (di partenza), il ciclo si chiude. Periodo di lunghezza $6$: $\tfrac{1}{13}=0{,}\overline{076923}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-007-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Stabilisci, senza fare le divisioni, se le seguenti frazioni generano un decimale finito, periodico semplice o misto (riducendole prima ai minimi termini se necessario):\quad
        (a) $\tfrac{3}{8}$;\quad (b) $\tfrac{5}{6}$;\quad (c) $\tfrac{7}{50}$;\quad (d) $\tfrac{4}{9}$;\quad
        (e) $\tfrac{12}{75}$;\quad (f) $\tfrac{17}{40}$;\quad (g) $\tfrac{3}{14}$;\quad (h) $\tfrac{9}{125}$.
  \item Trasforma in decimale (senza calcolatrice):\quad
        (a) $\tfrac{3}{4}$;\quad (b) $\tfrac{1}{8}$;\quad (c) $\tfrac{7}{20}$;\quad (d) $\tfrac{11}{16}$;\quad (e) $\tfrac{1}{125}$.
  \item Trasforma in frazione (decimale finito):\quad
        (a) $0{,}4$;\quad (b) $0{,}25$;\quad (c) $1{,}125$;\quad (d) $0{,}0625$;\quad (e) $3{,}8$.
  \item Trova la frazione generatrice (periodici semplici):\quad
        (a) $0{,}\overline{1}$;\quad (b) $0{,}\overline{6}$;\quad (c) $0{,}\overline{27}$;\quad
        (d) $0{,}\overline{142857}$;\quad (e) $1{,}\overline{2}$;\quad (f) $0{,}\overline{18}$.
  \item Trova la frazione generatrice (periodici misti):\quad
        (a) $0{,}1\overline{6}$;\quad (b) $0{,}41\overline{6}$;\quad (c) $0{,}1\overline{27}$;\quad
        (d) $1{,}2\overline{3}$;\quad (e) $0{,}08\overline{3}$;\quad (f) $2{,}5\overline{83}$.
  \item Calcola, riducendo i risultati a frazione e poi a decimale:\quad
        (a) $0{,}\overline{6} + 0{,}\overline{3}$;\quad
        (b) $0{,}\overline{2}\cdot 0{,}\overline{3}$;\quad
        (c) $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2}$ — scrivi il risultato come decimale e classifica il tipo.
  \item Mostra (riconducendoti ai casi visti nelle dimostrazioni) che $\tfrac{1}{99}=0{,}\overline{01}$. E $\tfrac{1}{999}$?
  \item Sia $x=0{,}\overline{a_1 a_2}$ con $a_1, a_2 \in\{0,1,\ldots,9\}$, non entrambi nulli. Mostra che il denominatore della frazione generatrice ridotta divide $99$.
  \item (Discussione.) È vero che $0{,}\overline{9}=1$? Convinci un compagno scettico fornendo almeno due argomenti diversi.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-007-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Una \emph{frazione decimale} ha denominatore potenza di $10$: si converte subito in numero decimale finito spostando la virgola.
  \item Data $\tfrac{a}{b}$ ridotta ai minimi termini, il \emph{tipo} di decimale dipende dalla scomposizione di $b$:
        \begin{itemize}
          \item solo fattori $2$ e $5$ $\Rightarrow$ \textbf{finito};
          \item nessun $2$ né $5$ $\Rightarrow$ \textbf{periodico semplice};
          \item misto (qualche $2$ o $5$ + altri primi) $\Rightarrow$ \textbf{periodico misto}, con antiperiodo di lunghezza $\max(h,k)$ dove $b=2^h\,5^k\,m$.
        \end{itemize}
  \item \emph{Generatrice di un finito}: $0{,}a_1\ldots a_n = \tfrac{a_1\ldots a_n}{10^n}$ (poi semplifica).
  \item \emph{Generatrice di un periodico semplice}: $0{,}\overline{p}=\tfrac{p}{99\ldots 9}$ ($n$ nove se $p$ ha $n$ cifre).
  \item \emph{Generatrice di un periodico misto}: $0{,}a\overline{p}=\tfrac{ap-a}{99\ldots 9\,00\ldots 0}$ ($n$ nove, $m$ zeri).
  \item Ogni razionale ha rappresentazione decimale finita o periodica, e viceversa. Esistono però decimali infiniti \emph{non periodici}: si chiamano \textbf{irrazionali} (es. $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$). Approfondimento nel capitolo \ref{cap:AA-009}.
  \item Curiosità: $0{,}\overline{9}=1$ esattamente — è un caso speciale della formula del periodico semplice.
\end{itemize}
\end{riepilogo}