\chapter{Rapporti proporzioni e percentuali}\label{cap:AA-008}

\citazioneinizio{%
  La proporzione è la corrispondenza esatta tra le misure delle parti di un'opera e quelle del tutto.%
}{adattamento da Vitruvio, \emph{De architectura}, libro III (\textsc{i} sec.\,a.C.)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-008-01-introduzione-motivazionale}
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Confrontare due grandezze fra loro — il prezzo per chilogrammo, la velocità di un'auto, la concentrazione di una soluzione — significa calcolare un \emph{rapporto}. E dire che ``$a$ sta a $b$ come $c$ sta a $d$'' significa affermare una \emph{proporzione}: due rapporti che sono uguali.

Le proporzioni sono il vocabolario quotidiano con cui scaliamo ricette, calcoliamo sconti, leggiamo statistiche, dosiamo farmaci, capiamo plastici e mappe. Non a caso erano già al centro della matematica greca: Pitagora le associava all'armonia musicale, Vitruvio alle proporzioni dell'architettura classica, Euclide vi dedicò un intero libro degli \emph{Elementi} (il libro V).

In questo capitolo introduciamo formalmente il \emph{rapporto} fra grandezze, la \emph{proporzione} con le sue proprietà (prodotto dei medi uguale a prodotto degli estremi, comporre e scomporre), la nozione di \emph{grandezze direttamente o inversamente proporzionali}, e infine la \emph{percentuale} con le sue applicazioni più frequenti: aumenti, sconti, problemi commerciali.

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\section{Rapporto tra grandezze}\label{sec:aa-008-01-rapporto-tra-grandezze}
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\begin{definizione}[Rapporto fra due numeri]
Il \textbf{rapporto} fra due numeri $a$ e $b$ (con $b\neq 0$) è il quoziente $\tfrac{a}{b}$. Si scrive anche $a:b$, leggendo ``$a$ a $b$'' (oppure ``$a$ sta a $b$''). I numeri $a$ e $b$ si chiamano \textbf{termini} del rapporto: $a$ è l'\emph{antecedente}, $b$ è il \emph{conseguente}.
\end{definizione}

Il rapporto $a:b$ è un numero (un razionale, se $a,b\in\Z$): le notazioni $\tfrac{a}{b}$ e $a:b$ sono equivalenti.

\begin{esempio}
Il rapporto tra le altezze di due ragazzi alti $\SI{1{,}60}{\meter}$ e $\SI{2{,}00}{\meter}$ è
\[
  1{,}60 : 2{,}00 = \frac{1{,}60}{2{,}00} = \frac{160}{200} = \frac{4}{5}.
\]
Il primo è $\tfrac{4}{5}$ — cioè l'$80\%$ — dell'altro.
\end{esempio}

\begin{nota}[Riduzione ai minimi termini]
Un rapporto è un caso particolare di frazione: si può ridurre ai minimi termini con la stessa regola del capitolo \ref{cap:AA-006}. Esempio: $24:36 = \tfrac{24}{36} = \tfrac{2}{3}$. La forma ridotta esprime il rapporto in modo più leggibile.
\end{nota}

\begin{nota}[Rapporti omogenei e non omogenei]
\begin{itemize}
  \item \emph{Omogenei}: i due termini misurano grandezze dello stesso tipo (es.\ due lunghezze, due tempi). Il rapporto è un numero puro, senza unità di misura.
  \item \emph{Non omogenei}: i termini misurano grandezze diverse. Esempi: $\tfrac{\text{spazio}}{\text{tempo}}=\text{velocità}$, $\tfrac{\text{massa}}{\text{volume}}=\text{densità}$, $\tfrac{\text{prezzo}}{\text{quantità}}$. In questo caso il rapporto ha un'unità di misura composta ($\si{\meter\per\second}$, $\si{\kilogram\per\cubic\meter}$, $\text{€}/\si{\kilogram}$).
\end{itemize}
\end{nota}

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\section{Proporzioni: proprietà fondamentali}\label{sec:aa-008-02-proporzioni-proprieta-fondamentali}
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\begin{definizione}[Proporzione]
Una \textbf{proporzione} è un'uguaglianza fra due rapporti:
\[
  a : b = c : d, \qquad \text{ovvero}\qquad \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.
\]
Si legge ``$a$ sta a $b$ come $c$ sta a $d$''. I quattro numeri $a, b, c, d$ si chiamano \textbf{termini} della proporzione. In particolare: $a$ e $d$ sono gli \textbf{estremi}, $b$ e $c$ sono i \textbf{medi}.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Proprietà fondamentale delle proporzioni]
In ogni proporzione $a:b=c:d$, il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi:
\[
  a\cdot d = b\cdot c.
\]
Viceversa, se quattro numeri $a,b,c,d$ (con $b,d\neq 0$) soddisfano $ad=bc$, allora formano una proporzione $a:b=c:d$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} ($\Rightarrow$) Da $\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}$, moltiplicando entrambi i membri per $bd$ (non nullo): $ad=bc$.

($\Leftarrow$) Se $ad=bc$, dividendo entrambi i membri per $bd$ (non nullo): $\tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}$, ossia $a:b=c:d$.

\begin{formulabox}
\[
  a:b = c:d \quad\Longleftrightarrow\quad a\cdot d = b\cdot c.
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}
$3:4 = 9:12$ perché $3\cdot 12 = 36 = 4\cdot 9$. \checkmark

$\;2:5 = 7:18$ è una falsa proporzione: $2\cdot 18 = 36 \neq 35 = 5\cdot 7$.
\end{esempio}

\begin{teorema}[Proprietà del permutare, dell'invertire, del comporre e dello scomporre]
Data la proporzione $a:b=c:d$ (con $a,b,c,d\neq 0$), valgono anche:
\begin{itemize}
  \item \emph{permutare i medi}: $a:c = b:d$;
  \item \emph{permutare gli estremi}: $d:b = c:a$;
  \item \emph{invertire}: $b:a = d:c$;
  \item \emph{comporre}: $(a+b):b = (c+d):d$;
  \item \emph{scomporre}: $(a-b):b = (c-d):d$ (purché $a\neq b$ o equivalentemente $c\neq d$).
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea).} Tutte si ricavano dalla proprietà fondamentale $ad=bc$. Esempio della prima (permutare i medi): da $ad=bc$, dividendo per $cd$ ($c,d\neq 0$) si ha $\tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{d}$, cioè $a:c=b:d$. Per le altre, basta manipolare $ad=bc$ in modo simile.

\begin{nota}[A che servono]
La proprietà del comporre/scomporre è particolarmente utile per risolvere problemi del tipo: ``due grandezze stanno fra loro come $3$ a $5$, e la loro somma è $80$. Quanto valgono?''. Vedremo l'applicazione negli esempi.
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}
  % Visualizzazione di 2:3 = 4:6 come due coppie di rettangoli
  % Prima coppia
  \draw[thick, BLU, fill=BLU!20] (0,0) rectangle (1,0.7);
  \node[BLU] at (0.5, 0.35) {2};
  \node[BLU, above] at (0.5, 0.75) {\small$a$};
  \draw[thick, BLU, fill=BLU!20] (1.3,0) rectangle (2.8,0.7);
  \node[BLU] at (2.05, 0.35) {3};
  \node[BLU, above] at (2.05, 0.75) {\small$b$};
  \node at (3.5, 0.35) {$=$};
  % Seconda coppia (raddoppia)
  \draw[thick, VERDE, fill=VERDE!20] (4.5,0) rectangle (6.5,0.7);
  \node[VERDE] at (5.5, 0.35) {4};
  \node[VERDE, above] at (5.5, 0.75) {\small$c$};
  \draw[thick, VERDE, fill=VERDE!20] (6.8,0) rectangle (9.8,0.7);
  \node[VERDE] at (8.3, 0.35) {6};
  \node[VERDE, above] at (8.3, 0.75) {\small$d$};
  \node[below] at (4.9, -0.2) {\small la stessa proporzione, scala raddoppiata};
  \node[above] at (4.9, 1.5) {\small $a:b = c:d \iff a\cdot d = b\cdot c$};
\end{tikzpicture}
\caption{Lettura visiva di una proporzione: $2:3 = 4:6$. I due rettangoli ``piccoli'' stanno fra loro come i due ``grandi''. Cambiando la scala, il rapporto si conserva. La proprietà fondamentale $a\cdot d = b\cdot c$ dice che le due aree ``incrociate'' (qui $2\cdot 6 = 3\cdot 4 = 12$) coincidono.}
\label{fig:aa-008-proporzione}
\end{figure}

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\section{Risoluzione di proporzioni}\label{sec:aa-008-03-risoluzione-di-proporzioni}
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Risolvere una proporzione significa determinare il \emph{termine incognito} (di solito indicato con $x$) sapendo gli altri tre.

\begin{procedura}[Termine incognito in una proporzione]
Per trovare il termine incognito $x$ in $a:b=c:d$ (dove uno dei quattro termini è $x$), si applica la proprietà fondamentale $a\cdot d = b\cdot c$ e si risolve l'equazione di primo grado risultante.
\end{procedura}

\begin{esempio}[Estremo incognito]
Risolvere $x:6=10:15$.

\textit{Soluzione.} Per la proprietà fondamentale: $x\cdot 15 = 6\cdot 10$, cioè $15x=60$, da cui $x=4$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Medio incognito]
Risolvere $4:x=8:14$.

\textit{Soluzione.} $4\cdot 14 = x\cdot 8$, cioè $8x=56$, da cui $x=7$.
\end{esempio}

\begin{definizione}[Grandezze direttamente proporzionali]
Due grandezze $x$ e $y$ si dicono \textbf{direttamente proporzionali} se il loro rapporto $\tfrac{y}{x}$ è una costante non nulla $k$:
\[
  y = k\cdot x.
\]
La costante $k$ si chiama \textbf{costante di proporzionalità}. Quando $x$ raddoppia, anche $y$ raddoppia; se $x$ si dimezza, $y$ si dimezza.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Grandezze inversamente proporzionali]
Due grandezze $x$ e $y$ si dicono \textbf{inversamente proporzionali} se il loro prodotto $x\cdot y$ è una costante non nulla $k$:
\[
  y = \frac{k}{x}.
\]
Quando $x$ raddoppia, $y$ si dimezza; se $x$ triplica, $y$ diventa un terzo.
\end{definizione}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item Spazio e tempo a velocità costante: $s=v\cdot t$, $s$ e $t$ sono direttamente proporzionali (la costante è $v$).
  \item Tempo di viaggio e velocità con spazio fissato: $t=\tfrac{s}{v}$. $t$ e $v$ sono inversamente proporzionali.
  \item Numero di operai e tempo necessario a un lavoro (assumendo un lavoro fisso): inversamente proporzionali.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Sinistra: y = kx (retta) e destra: y = k/x (iperbole)
  \begin{scope}
    \draw[->, GRIGIO] (-0.3, 0) -- (4, 0) node[right] {\small$x$};
    \draw[->, GRIGIO] (0, -0.3) -- (0, 3.5) node[above] {\small$y$};
    \draw[thick, BLU, domain=0:3.5, smooth, samples=50] plot ({\x}, {\x*0.9});
    \node[BLU] at (2.8, 2.0) {$y=k\,x$};
    \node[below] at (2.0, -0.6) {\small direttamente proporzionali};
  \end{scope}
  \begin{scope}[shift={(5.5,0)}]
    \draw[->, GRIGIO] (-0.3, 0) -- (4, 0) node[right] {\small$x$};
    \draw[->, GRIGIO] (0, -0.3) -- (0, 3.5) node[above] {\small$y$};
    \draw[thick, VERDE, domain=0.4:3.5, smooth, samples=50] plot ({\x}, {1.2/\x});
    \node[VERDE] at (2.8, 1.4) {$y=\tfrac{k}{x}$};
    \node[below] at (2.0, -0.6) {\small inversamente proporzionali};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Grafici di due grandezze direttamente proporzionali ($y=kx$, retta passante per l'origine) e inversamente proporzionali ($y=k/x$, ramo di iperbole). Approfondiremo le rette nel capitolo \ref{cap:GA-002} e le iperboli equilatere nel capitolo \ref{cap:GA-010}.}
\label{fig:aa-008-diretta-inversa}
\end{figure}

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\section{Percentuali e calcolo percentuale}\label{sec:aa-008-04-percentuali-e-calcolo-percentuale}
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\begin{definizione}[Percentuale]
Una \textbf{percentuale} è una frazione con denominatore $100$. Si indica con il simbolo $\%$:
\[
  r\% = \frac{r}{100}.
\]
\end{definizione}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $25\% = \tfrac{25}{100} = \tfrac{1}{4} = 0{,}25$;
  \item $50\% = \tfrac{1}{2}$;
  \item $100\% = 1$ (il \emph{tutto});
  \item $150\% = \tfrac{3}{2} = 1{,}5$ (più del tutto).
\end{itemize}
\end{esempio}

I tre problemi tipici di calcolo percentuale corrispondono ai tre incogniti possibili nella formula
\[
  \boxed{\;\text{parte} = \frac{r}{100}\cdot \text{tutto}\;}.
\]

\begin{procedura}[Tre problemi tipici]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item \emph{Calcolo della parte}: dato il tutto $T$ e la percentuale $r\%$, la parte è
        \[
          P = \frac{r}{100}\cdot T.
        \]
  \item \emph{Calcolo della percentuale}: dati il tutto $T$ e la parte $P$, la percentuale è
        \[
          r = \frac{P}{T}\cdot 100.
        \]
  \item \emph{Calcolo del tutto}: dati la parte $P$ e la percentuale $r\%$, il tutto è
        \[
          T = \frac{P\cdot 100}{r}.
        \]
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Il $30\%$ di $\num{250}$ è
\[
  \frac{30}{100}\cdot 250 = 75.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}
$\num{18}$ è quale percentuale di $\num{72}$?
\[
  \frac{18}{72}\cdot 100 = \frac{1}{4}\cdot 100 = 25\%.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}
Se il $40\%$ di un capitale è $\num{600}$ euro, qual è il capitale?
\[
  T = \frac{600\cdot 100}{40} = 1\,500\,\text{€}.
\]
\end{esempio}

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\section{Aumenti e sconti percentuali}\label{sec:aa-008-05-aumenti-e-sconti-percentuali}
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\begin{definizione}[Aumento percentuale]
Un valore $V$ subisce un \textbf{aumento del $r\%$} se il nuovo valore è
\[
  V' = V + \frac{r}{100}\cdot V = V\left(1+\frac{r}{100}\right).
\]
\end{definizione}

\begin{definizione}[Sconto (diminuzione) percentuale]
Un valore $V$ subisce uno \textbf{sconto del $r\%$} se il nuovo valore è
\[
  V' = V - \frac{r}{100}\cdot V = V\left(1-\frac{r}{100}\right).
\]
\end{definizione}

\begin{esempio}
Un capo di abbigliamento costa $\num{80}$ euro. Con uno sconto del $25\%$ il prezzo diventa
\[
  80\cdot\left(1-\frac{25}{100}\right) = 80\cdot 0{,}75 = 60\,\text{€}.
\]
Lo sconto in assoluto è di $\num{20}$ euro.
\end{esempio}

\begin{attenzione}[Sconti successivi non si sommano!]
Due sconti consecutivi del $20\%$ \emph{non} equivalgono a uno sconto del $40\%$. Applicandoli uno dopo l'altro:
\[
  V'' = V\cdot 0{,}80\cdot 0{,}80 = 0{,}64\cdot V.
\]
È uno sconto del $36\%$, non del $40\%$. Vale lo stesso per aumenti consecutivi:
\[
  V'' = V\cdot 1{,}20\cdot 1{,}20 = 1{,}44\cdot V \quad (+44\%),
\]
non un $40\%$. È l'effetto della \emph{moltiplicazione} dei coefficienti, non della loro somma.
\end{attenzione}

\begin{nota}[Cenno all'interesse semplice]
Nelle applicazioni finanziarie, un capitale $C$ deposit a tasso annuo $r\%$ produce, dopo $t$ anni, un interesse semplice
\[
  I = C\cdot \frac{r}{100}\cdot t.
\]
Il montante (capitale + interessi) è $M = C + I = C\left(1+\tfrac{r\cdot t}{100}\right)$. Riprenderemo l'\emph{interesse composto} (che usa la formula con moltiplicazioni successive) negli esercizi del capitolo \ref{cap:EL-002} sulla funzione esponenziale.
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-008-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Ricetta da scalare]
Una ricetta per $4$ persone prevede $\SI{320}{\gram}$ di farina. Quanta farina serve per $7$ persone?

\textit{Soluzione.} Le quantità sono direttamente proporzionali al numero di persone. Imposto la proporzione:
\[
  4 : 320 = 7 : x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{320\cdot 7}{4} = 560.
\]
Servono $\SI{560}{\gram}$ di farina.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Operai e tempo]
$\num{12}$ operai costruiscono un muro in $\num{8}$ giorni. Quanti giorni servirebbero a $\num{16}$ operai?

\textit{Soluzione.} Tempo e numero di operai sono inversamente proporzionali: il prodotto resta costante. Imposto $12\cdot 8 = 16\cdot x$, da cui
\[
  x = \frac{12\cdot 8}{16} = 6\,\text{giorni}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Comporre per risolvere un problema]
La somma di due numeri è $\num{80}$ e il loro rapporto è $3:5$. Determina i due numeri.

\textit{Soluzione.} Siano $a$ e $b$ i due numeri con $a:b=3:5$. Per la proprietà del comporre:
\[
  (a+b):b = (3+5):5,\quad\text{cioè}\quad 80:b = 8:5.
\]
Da cui $b = \tfrac{80\cdot 5}{8} = 50$, e $a = 80-50 = 30$. Verifica: $30:50 = 3:5$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Aumento percentuale]
Lo stipendio di un dipendente è di $\num{1800}$ euro al mese. A gennaio viene aumentato del $4\%$, e a luglio di un ulteriore $3\%$ sulla nuova base. Quanto guadagna a fine anno? Qual è l'aumento percentuale complessivo?

\textit{Soluzione.}
\begin{align*}
  \text{dopo gennaio:} &\quad 1\,800\cdot 1{,}04 = 1\,872\,\text{€}, \\
  \text{dopo luglio:}  &\quad 1\,872\cdot 1{,}03 = 1\,928{,}16\,\text{€}.
\end{align*}
Aumento complessivo:
\[
  \frac{1\,928{,}16 - 1\,800}{1\,800}\cdot 100 = \frac{128{,}16}{1\,800}\cdot 100 \approx 7{,}12\%.
\]
Non è $4\%+3\%=7\%$, ma $1{,}04\cdot 1{,}03 = 1{,}0712$, cioè $+7{,}12\%$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sconto e ricarico]
Un commerciante compra un articolo a $\num{50}$ euro, lo rivende con un ricarico del $40\%$ e poi, in saldo, applica uno sconto del $25\%$ sul prezzo di vendita. A quanto vende l'articolo? Quale è il margine percentuale rispetto al prezzo d'acquisto?

\textit{Soluzione.} Prezzo di listino: $50\cdot 1{,}40 = 70$ €. Prezzo scontato: $70\cdot 0{,}75 = 52{,}50$ €. Margine sul costo:
\[
  \frac{52{,}50 - 50}{50}\cdot 100 = \frac{2{,}50}{50}\cdot 100 = 5\%.
\]
Quindi il margine è del $5\%$: ricarico e sconto si combinano moltiplicativamente, $1{,}40\cdot 0{,}75 = 1{,}05$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Interesse semplice]
Un capitale di $\num{2000}$ euro è investito al tasso annuo del $3\%$ per $4$ anni. Calcolare interesse e montante.

\textit{Soluzione.}
\[
  I = 2\,000\cdot \frac{3}{100}\cdot 4 = 240\,\text{€}.
\]
Il montante è $M = 2\,000 + 240 = 2\,240$ €.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-008-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Riduci ai minimi termini ed esprimi anche in forma decimale:\quad
        (a) $36:48$;\quad (b) $\num{125}:\num{200}$;\quad (c) $\num{1500}:\num{1200}$;\quad (d) $\num{0.6}:\num{0.4}$.
  \item Verifica se le seguenti scritture sono proporzioni; in caso negativo, correggi il quarto termine per renderle vere:\quad
        (a) $3:5 = 9:15$;\quad (b) $4:7 = 12:21$;\quad (c) $6:8 = 15:18$;\quad (d) $2:9 = 18:81$.
  \item Risolvi le proporzioni rispetto a $x$:\quad
        (a) $x:6 = 4:8$;\quad (b) $5:x = 15:21$;\quad (c) $3:4 = x:20$;\quad (d) $12:9 = 8:x$.
  \item Stabilisci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali:\quad
        (a) area e raggio di un cerchio;\quad
        (b) tempo di un viaggio e velocità (a distanza fissata);\quad
        (c) costo della spesa e quantità di mele acquistate (a prezzo unitario fissato);\quad
        (d) numero di operai e tempo per fare un lavoro.
  \item Una mappa è in scala $1:\num{25000}$: due paesi distano sulla mappa $\SI{8}{\centi\meter}$. Quanto distano in realtà?
  \item Calcola:\quad
        (a) il $15\%$ di $\num{280}$;\quad
        (b) il $7\%$ di $\num{1500}$;\quad
        (c) il $120\%$ di $\num{50}$;\quad
        (d) il $0{,}5\%$ di $\num{800}$.
  \item Determina la percentuale richiesta:\quad
        (a) $\num{42}$ è quale percentuale di $\num{168}$?\quad
        (b) Su una classe di $\num{25}$ alunni, ne sono presenti $\num{22}$: percentuale di presenza?\quad
        (c) In una soluzione di $\num{500}$ g, ci sono $\num{20}$ g di sale: percentuale in massa?
  \item Un articolo costa $\num{120}$ euro. Calcola il prezzo dopo:\quad
        (a) un aumento del $10\%$;\quad
        (b) uno sconto del $20\%$;\quad
        (c) un aumento del $10\%$ seguito da uno sconto del $10\%$ (è uguale al prezzo iniziale?);\quad
        (d) tre sconti consecutivi del $10\%$ (qual è lo sconto percentuale complessivo?).
  \item Un capitale di $\num{1500}$ euro è investito al tasso annuo del $4\%$. Calcola, in regime di interesse semplice, l'interesse maturato e il montante dopo $3$ anni.
  \item (Discussione.) Un negozio annuncia ``$+50\%$ di prodotto al prezzo di prima''. Un altro annuncia ``$33\%$ di sconto a parità di prodotto''. Quale conviene? Confrontale calcolando il prezzo per unità di prodotto.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-008-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un \emph{rapporto} fra $a$ e $b$ (con $b\neq 0$) è il quoziente $\tfrac{a}{b}$, equivalente a $a:b$. Si riduce ai minimi termini come una frazione.
  \item Una \emph{proporzione} $a:b=c:d$ è l'uguaglianza fra due rapporti. $a,d$ sono gli \emph{estremi}, $b,c$ i \emph{medi}.
  \item \emph{Proprietà fondamentale}: $a:b=c:d \Leftrightarrow a\cdot d = b\cdot c$. Da essa derivano permutare, invertire, comporre, scomporre.
  \item \emph{Grandezze direttamente proporzionali}: $y=kx$, rapporto costante. Grafico: retta per l'origine.
  \item \emph{Grandezze inversamente proporzionali}: $y=k/x$, prodotto costante. Grafico: iperbole.
  \item Una \emph{percentuale} $r\%$ è la frazione $\tfrac{r}{100}$. La formula chiave è $\text{parte}=\tfrac{r}{100}\cdot\text{tutto}$, da cui si ricavano i tre problemi tipici.
  \item \emph{Aumento del $r\%$}: $V'=V(1+\tfrac{r}{100})$. \emph{Sconto del $r\%$}: $V'=V(1-\tfrac{r}{100})$.
  \item \emph{Sconti/aumenti successivi non si sommano}: si moltiplicano i coefficienti. Esempio: $-20\%$ poi $-20\%$ dà $-36\%$, non $-40\%$.
  \item \emph{Interesse semplice}: $I=C\cdot\tfrac{r}{100}\cdot t$, montante $M=C+I$. L'interesse \emph{composto} si tratterà nel capitolo \ref{cap:EL-002}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}