\chapter{Calcolo letterale: monomi}\label{cap:AA-010}

\citazioneinizio{%
  L'algebra antica si serviva di numeri nudi; la nostra nuova arte si serve delle lettere.%
}{adattamento da François Viète, \emph{In Artem Analyticen Isagoge} (1591)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-010-01-introduzione-motivazionale}
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Fino a qui abbiamo lavorato con numeri concreti: $3$, $-7$, $\tfrac{2}{5}$, $\sqrt{2}$. Da questo capitolo in poi entriamo nel \emph{calcolo letterale}: useremo lettere ($x$, $y$, $a$, $b$, $\ldots$) come ``numeri generici'', cioè come segnaposto per qualunque numero reale. È una svolta storica che la matematica ha compiuto nel \textsc{xvi} secolo con François Viète: scrivere $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ una sola volta, e averlo dimostrato \emph{per ogni} $a,b$, equivale a verificare l'uguaglianza per tutti gli infiniti casi numerici.

Il \emph{monomio} è l'oggetto più semplice del calcolo letterale: una sola ``parola'' fatta di un numero per delle lettere. Espressioni come $3x^2$, $-\tfrac{1}{2}ab^3$, $5xyz$ sono tutte monomi. Sapere riconoscere un monomio, calcolarne il \emph{grado}, sommarlo a un altro \emph{simile}, moltiplicarlo, dividerlo, elevarlo a potenza, sono le abilità di base che useremo in tutto il resto del libro.

In questo capitolo introduciamo formalmente il monomio, le sue operazioni e i concetti correlati: monomi simili, MCD e mcm di monomi (estendendo le idee del capitolo \ref{cap:AA-004}). Nel capitolo successivo (\ref{cap:AA-011}) passeremo ai \emph{polinomi}, somme di monomi.

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\section{Definizione parte numerica e letterale}\label{sec:aa-010-01-definizione-parte-numerica-e-letterale}
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\begin{definizione}[Monomio]
Si chiama \textbf{monomio} un'espressione algebrica formata dal \emph{prodotto} di un numero (la \emph{parte numerica} o \textbf{coefficiente}) e di lettere elevate a esponenti naturali (la \textbf{parte letterale}). \emph{Non} compaiono operazioni di somma o sottrazione tra termini, né divisioni per lettere o esponenti negativi.
\end{definizione}

\begin{esempio}
Sono monomi: $3x^2y$,\quad $-\dfrac{1}{2}ab^3$,\quad $7xyz$,\quad $-5$,\quad $x$,\quad $\dfrac{2}{3}a^4$. \\
Non sono monomi: $x+y$ (c'è una somma),\quad $\dfrac{1}{x}$ (esponente negativo),\quad $\sqrt{x}$ (esponente frazionario),\quad $\dfrac{3y}{x-1}$ (divisione per un'espressione letterale).
\end{esempio}

\begin{definizione}[Forma normale]
Un monomio è scritto in \textbf{forma normale} quando:
\begin{itemize}
  \item compare un solo coefficiente numerico, scritto per primo;
  \item ogni lettera compare una sola volta, con un esponente naturale;
  \item le lettere sono scritte in ordine alfabetico.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{esempio}[Riduzione a forma normale]
\begin{itemize}
  \item $3\cdot x\cdot 2y^2 \cdot x = (3\cdot 2)\cdot x\cdot x\cdot y^2 = 6\,x^2 y^2$.
  \item $-\dfrac{1}{2}b^2 a \cdot 4 a = -\dfrac{1}{2}\cdot 4 \cdot a\cdot a\cdot b^2 = -2\,a^2 b^2$.
  \item $5 z y^2 x = 5\,xy^2 z$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Monomio nullo e monomio unità]
\begin{itemize}
  \item Il monomio \emph{nullo} è il numero $0$. Per convenzione si dice ``monomio'' anche se non ha parte letterale: il suo grado è indefinito (alcuni testi lo pongono $-\infty$).
  \item I monomi \emph{costanti} non nulli sono i numeri $a\in\R\setminus\{0\}$: hanno solo parte numerica.
  \item Il coefficiente $1$ e $-1$ non si scrivono: $1\cdot x^2 y$ si scrive $x^2y$; $-1\cdot a^3$ si scrive $-a^3$.
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.2, every node/.style={font=\small}]
  % Anatomia di un monomio: -3 x^2 y^4
  \node[BLU, font=\Large] at (0,0) {$-3$};
  \node[VERDE, font=\Large] at (0.7, 0)  {$x^2$};
  \node[VERDE, font=\Large] at (1.5, 0) {$y^4$};
  % Annotazioni con frecce
  \draw[->, BLU] (-0.3, -0.7) -- (-0.05, -0.15);
  \node[BLU, align=center] at (-0.3, -1.1) {coefficiente\\(parte numerica)};
  \draw[->, VERDE] (1.4, 0.8) -- (0.85, 0.3);
  \node[VERDE, align=center] at (1.4, 1.1) {parte letterale};
  \draw[->, ROSSO] (2.5, -0.7) -- (1.6, -0.15);
  \node[ROSSO, align=center] at (2.5, -1.1) {grado complessivo\\$2+4=6$};
\end{tikzpicture}
\caption{Anatomia di un monomio: $-3x^2 y^4$. Il \emph{coefficiente} ($-3$) è la parte numerica; le lettere $x^2 y^4$ sono la parte letterale. Il \emph{grado complessivo} è la somma degli esponenti delle lettere: $2+4=6$.}
\label{fig:aa-010-anatomia}
\end{figure}

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\section{Grado di un monomio}\label{sec:aa-010-02-grado-di-un-monomio}
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\begin{definizione}[Grado di un monomio]
Sia $M$ un monomio non nullo scritto in forma normale.
\begin{itemize}
  \item Il \textbf{grado di $M$ rispetto a una lettera} è l'esponente con cui quella lettera compare in $M$. Se la lettera non compare, il grado rispetto a quella lettera è $0$.
  \item Il \textbf{grado complessivo} (o semplicemente \emph{grado}) di $M$ è la somma degli esponenti di \emph{tutte} le lettere che compaiono in $M$.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{esempio}
Considera $M = -5\,a^3 b\, c^2$.
\begin{itemize}
  \item Grado rispetto ad $a$: $3$.
  \item Grado rispetto a $b$: $1$.
  \item Grado rispetto a $c$: $2$.
  \item Grado rispetto a $d$: $0$ (la lettera non compare).
  \item Grado complessivo: $3+1+2=6$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Monomi costanti]
Un monomio costante non nullo (es. $7$) ha \emph{grado $0$}: nessuna lettera, nessun esponente da sommare. È coerente con la convenzione $a^0=1$ vista nel capitolo \ref{cap:AA-003}.
\end{nota}

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\section{Monomi simili}\label{sec:aa-010-03-monomi-simili}
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\begin{definizione}[Monomi simili]
Due monomi (non nulli) si dicono \textbf{simili} se hanno la \emph{stessa parte letterale}, cioè le stesse lettere ciascuna con lo stesso esponente. Possono differire solo per il coefficiente.
\end{definizione}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $3x^2y$ e $-\dfrac{1}{2}x^2y$: simili (stessa parte $x^2y$).
  \item $5ab^2$ e $-4ab^2$: simili.
  \item $3x^2y$ e $3xy^2$: \emph{non} simili (gli esponenti di $x$ e $y$ sono scambiati).
  \item $7a$ e $7a^2$: non simili.
  \item $5$ e $-2$: simili (entrambi costanti, ``parte letterale'' vuota).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{definizione}[Monomi opposti, monomi uguali]
\begin{itemize}
  \item Due monomi sono \emph{uguali} se sono simili e hanno lo stesso coefficiente.
  \item Due monomi sono \emph{opposti} se sono simili e hanno coefficienti opposti.
\end{itemize}
Esempio: $3x^2y$ e $3x^2y$ sono uguali; $3x^2y$ e $-3x^2y$ sono opposti.
\end{definizione}

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\section{Addizione e sottrazione}\label{sec:aa-010-04-addizione-e-sottrazione}
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\begin{teorema}[Somma di monomi simili]
La somma di due monomi simili è ancora un monomio simile a essi, il cui coefficiente è la \emph{somma algebrica} dei coefficienti.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea).} Per la proprietà distributiva (capitolo \ref{cap:AA-002}): $ax^p y^q + bx^p y^q = (a+b)\,x^p y^q$.

\begin{attenzione}[Solo monomi simili!]
La somma è possibile in forma compatta \emph{solo} tra monomi simili. La somma di due monomi non simili — per esempio $3x^2y + 2xy^2$ — \emph{non} è un monomio: è già un polinomio (capitolo \ref{cap:AA-011}). Si lascia indicata così com'è.
\end{attenzione}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $3a^2 b + 5a^2 b = 8a^2 b$ (simili: si somma).
  \item $7xy - 2xy = 5xy$.
  \item $\dfrac{1}{2}m^2 n + \dfrac{1}{3}m^2 n = \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)m^2 n = \dfrac{5}{6}m^2 n$.
  \item $3x^2 + 4x$: non simili, non si possono sommare in un monomio. Resta $3x^2 + 4x$ (polinomio).
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Moltiplicazione, divisione, potenza}\label{sec:aa-010-05-moltiplicazione-divisione-potenza}
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\begin{teorema}[Prodotto di monomi]
Il prodotto di due monomi è un monomio il cui coefficiente è il prodotto dei coefficienti e la cui parte letterale si ottiene moltiplicando le parti letterali (sommando gli esponenti delle lettere uguali).
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Per le proprietà delle potenze (capitolo \ref{cap:AA-003}): $x^p\cdot x^q = x^{p+q}$. Esempio:
\[
  (3a^2 b)\cdot (-2a b^3 c) = (3)\cdot(-2)\cdot a^{2+1}\cdot b^{1+3}\cdot c = -6\,a^3 b^4 c.
\]

\begin{teorema}[Quoziente di monomi]
Il quoziente di due monomi $A$ e $B$ (con $B\neq 0$) è ancora un monomio \emph{se e solo se} ogni lettera che compare in $B$ compare anche in $A$ con esponente almeno pari. In tal caso, il coefficiente è il quoziente dei coefficienti e gli esponenti delle lettere si \emph{sottraggono}.
\end{teorema}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $(6 a^3 b^2) : (2 a b) = (6:2)\cdot a^{3-1}\cdot b^{2-1} = 3\,a^2 b$.
  \item $(-12 x^4 y^3) : (-3 x^2 y) = 4\,x^2 y^2$.
  \item $(5 a^2 b) : (2 a^3 b)$: non è un monomio, perché in $a$ a denominatore l'esponente è $3>2$. Resta una frazione algebrica: $\dfrac{5}{2a}$ (capitolo \ref{cap:AA-014}).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{teorema}[Potenza di un monomio]
Una potenza $(M)^n$ di un monomio $M=a\,x^{p_1}\ldots x_k^{p_k}$ è il monomio in cui:
\begin{itemize}
  \item il coefficiente è elevato a $n$;
  \item ogni esponente delle lettere è moltiplicato per $n$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Per la proprietà $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$ (capitolo \ref{cap:AA-003}) e $(a\,b)^n = a^n\,b^n$:
\[
  (a\,x^p y^q)^n = a^n\cdot x^{p\cdot n}\cdot y^{q\cdot n}.
\]

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $(2x^3 y)^4 = 2^4\cdot x^{12}\cdot y^4 = 16\,x^{12} y^4$.
  \item $(-3a b^2)^3 = (-3)^3\cdot a^3\cdot b^6 = -27\,a^3 b^6$.
  \item $\left(\dfrac{1}{2} m n^2\right)^5 = \dfrac{1}{32}\,m^5 n^{10}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[node distance=2cm, every node/.style={font=\small}]
  % Schema delle operazioni con monomi
  \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center] (S) at (0, 2)
    {SOMMA\\\scriptsize solo se simili\\\scriptsize si sommano coefficienti};
  \node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center] (P) at (4, 2)
    {PRODOTTO\\\scriptsize sempre possibile\\\scriptsize coeff. $\times$ coeff., esp. $+$ esp.};
  \node[draw, ARANCIO, rounded corners, fill=ARANCIO!10, align=center] (Q) at (0, 0)
    {QUOZIENTE\\\scriptsize quando il dividendo ``contiene'' il divisore\\\scriptsize coeff. $:$ coeff., esp. $-$ esp.};
  \node[draw, VIOLA, rounded corners, fill=VIOLA!10, align=center] (E) at (4, 0)
    {POTENZA\\\scriptsize sempre possibile\\\scriptsize coeff. elevato a $n$, esp. $\times n$};
\end{tikzpicture}
\caption{Riassunto delle operazioni sui monomi. La somma è il caso particolare che richiede monomi \emph{simili}; le altre tre operazioni sono sempre possibili sul prodotto/potenza, e producono ancora un monomio. Il quoziente, invece, dà un monomio solo se il dividendo ``contiene'' il divisore in ogni lettera.}
\label{fig:aa-010-operazioni}
\end{figure}

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\section{MCD e mcm tra monomi}\label{sec:aa-010-06-mcd-e-mcm-tra-monomi}
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L'idea di MCD e mcm (capitoli \ref{cap:AA-004} e \ref{cap:AA-005}) si estende naturalmente ai monomi. È utilissima per le scomposizioni a fattor comune (capitolo \ref{cap:AA-013}) e per le frazioni algebriche (capitolo \ref{cap:AA-014}).

\begin{procedura}[MCD di monomi]
Dati due o più monomi:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Coefficiente}: si calcola l'MCD dei coefficienti (in valore assoluto).
  \item \emph{Parte letterale}: si prendono le lettere \emph{comuni a tutti}, ciascuna con l'esponente \emph{minimo}.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{procedura}[mcm di monomi]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item \emph{Coefficiente}: si calcola il mcm dei coefficienti (in valore assoluto).
  \item \emph{Parte letterale}: si prendono \emph{tutte} le lettere (anche quelle non comuni), ciascuna con l'esponente \emph{massimo}.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Calcolare $\mcd$ e $\mcm$ di $12a^3 b^2$ e $18 a^2 b c$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Coefficienti: $\mcd(12,18)=6$, $\mcm(12,18)=36$.
  \item Parti letterali: lettere comuni $a$ e $b$, esponenti minimi $a^2$ e $b^1$. Lettere totali $a, b, c$, esponenti massimi $a^3$, $b^2$, $c^1$.
\end{itemize}
Quindi:
\[
  \mcd(12a^3 b^2,\ 18a^2 b c) = 6\,a^2 b,\qquad
  \mcm(12a^3 b^2,\ 18a^2 b c) = 36\,a^3 b^2 c.
\]
\end{esempio}

\begin{nota}[Segno del coefficiente]
Per convenzione il coefficiente di $\mcd$ e di $\mcm$ si prende positivo. Per esempio $\mcd(-6x^2,\ 4x) = 2x$ (non $-2x$, anche se entrambi dividono).
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-010-08-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Forma normale e grado]
Ridurre a forma normale e calcolare il grado complessivo del monomio
\[
  M = (-2)\cdot 3\, a^2\cdot b\cdot (-a)\cdot b^3.
\]

\textit{Soluzione.}
\[
  M = (-2)\cdot 3\cdot(-1)\cdot a^{2+1}\cdot b^{1+3} = 6\,a^3 b^4.
\]
Grado complessivo: $3+4=7$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma algebrica]
Calcolare $\;3x^2 y - 5x^2 y + 7x^2 y - x^2 y$.

\textit{Soluzione.} I monomi sono tutti simili (stessa parte $x^2 y$):
\[
  (3 - 5 + 7 - 1)\,x^2 y = 4\,x^2 y.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Prodotto e potenza]
Calcolare $\;\left(\dfrac{2}{3} a^2 b\right)^3 \cdot \left(-\dfrac{1}{4}a b^2\right)$.

\textit{Soluzione.} Prima la potenza:
\[
  \left(\dfrac{2}{3} a^2 b\right)^3 = \dfrac{8}{27}\,a^6 b^3.
\]
Poi il prodotto:
\[
  \dfrac{8}{27}\,a^6 b^3\cdot\left(-\dfrac{1}{4}a b^2\right)
  = \left(\dfrac{8}{27}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right) a^{6+1}\,b^{3+2}
  = -\dfrac{8}{108}\,a^7 b^5 = -\dfrac{2}{27}\,a^7 b^5.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quoziente]
Calcolare $\;(-15\,a^4 b^3 c^2) : (3\,a^2 b)$.

\textit{Soluzione.} Lettere comuni: $a$ ed $b$ (con esponenti sufficienti).
\[
  \frac{-15}{3}\cdot a^{4-2}\cdot b^{3-1}\cdot c^{2} = -5\,a^2 b^2 c^2.
\]
Il quoziente è un monomio.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Espressione mista]
Semplificare $\;(2x y^2)^3 - x y\cdot(4 x^2 y^5) + (xy^2)^3$.

\textit{Soluzione.} Calcoliamo i tre addendi separatamente.
\begin{align*}
  (2 x y^2)^3 &= 8\,x^3 y^6, \\
  x y\cdot(4 x^2 y^5) &= 4\,x^3 y^6, \\
  (x y^2)^3 &= x^3 y^6.
\end{align*}
Tutti simili (parte letterale $x^3 y^6$). Somma algebrica:
\[
  8\,x^3 y^6 - 4\,x^3 y^6 + x^3 y^6 = (8-4+1)\,x^3 y^6 = 5\,x^3 y^6.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[MCD e mcm]
Calcolare $\mcd$ e $\mcm$ di $20\,a^3 b^2 c$, $12\,a b^4$, $30\,a^2 b^3 c^2$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Coefficienti: $20=2^2\cdot 5$, $12=2^2\cdot 3$, $30=2\cdot 3\cdot 5$. \quad $\mcd(20,12,30)=2$; $\mcm(20,12,30)=60$.
  \item Parte letterale per $\mcd$: lettere comuni a tutti $=\{a,b\}$ (c non c'è in 12). Esponenti minimi: $a^1$, $b^2$.
  \item Parte letterale per $\mcm$: lettere totali $\{a,b,c\}$, esponenti massimi: $a^3$, $b^4$, $c^2$.
\end{itemize}
Quindi:
\[
  \mcd = 2\,a b^2,\qquad \mcm = 60\,a^3 b^4 c^2.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-010-09-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Riduci a forma normale e indica coefficiente e grado complessivo:\quad
        (a) $3 a\cdot(-2)b^2\cdot 5a$;\quad
        (b) $-\dfrac{2}{3}x y^2\cdot 6 x^2 y$;\quad
        (c) $(-1)^3\, x^2 y\,(-x y^3)$;\quad
        (d) $7\cdot z\cdot 4\cdot 2 z^3$.
  \item Stabilisci quali coppie di monomi sono simili:\quad
        (a) $3 a^2 b$ e $-5 a^2 b$;\quad
        (b) $4 x y^3$ e $4 x^3 y$;\quad
        (c) $-7$ e $\sqrt{2}$;\quad
        (d) $\dfrac{1}{2} m n^2$ e $\dfrac{3}{4} m^2 n$.
  \item Calcola la somma algebrica:\quad
        (a) $5 a^2 - 3 a^2 + 7 a^2$;\quad
        (b) $\dfrac{1}{2} x y + \dfrac{2}{3} x y - x y$;\quad
        (c) $4 ab^2 - ab^2 + 6 ab^2 - 9 ab^2$.
  \item Calcola il prodotto:\quad
        (a) $(2x^2 y)\cdot(-3xy^3)$;\quad
        (b) $\left(-\dfrac{1}{2}a^2\right)\cdot\left(\dfrac{4}{5}a^3 b\right)$;\quad
        (c) $(0{,}5\,m^3 n^2)\cdot(-4\,m n^4)$.
  \item Calcola il quoziente (quando è un monomio):\quad
        (a) $(12 x^5 y^2) : (-3 x^2 y)$;\quad
        (b) $(-18 a^3 b^4) : (2 a b^2)$;\quad
        (c) $(10 m^2 n) : (4 m n^2)$ — è un monomio?
  \item Calcola la potenza:\quad
        (a) $(2x^2 y)^4$;\quad (b) $(-3 a b^2)^3$;\quad
        (c) $\left(\dfrac{1}{3} x y^2\right)^2$;\quad (d) $\left(-\dfrac{2}{5} a^3\right)^3$.
  \item Semplifica:\quad
        (a) $(3 a^2)^2\cdot(2 a)^3$;\quad
        (b) $\dfrac{(4 x^2 y)^3}{2 x^4 y^2}$;\quad
        (c) $(x y^2)^3 + 2 x^3 y^5 \cdot y - x^3 y^6$.
  \item Calcola $\mcd$ e $\mcm$:\quad
        (a) $6 a^2 b$ e $9 a b^3$;\quad
        (b) $8 x^3 y$ e $12 x y^2$;\quad
        (c) $5 a^2 b c$, $10 a b^2$, $15 a^3 b c$;\quad
        (d) $4 x^2 y$, $6 x y^3$, $9 y^2$.
  \item (Discussione.) Un compagno scrive: ``$3 x^2 + 2 x^2 = 5 x^4$'' come la somma di esponenti nelle potenze. Spiega dove sbaglia e indica la regola corretta.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-010-10-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un \emph{monomio} è un prodotto di un \emph{coefficiente} (parte numerica) e di lettere elevate a esponenti naturali (parte letterale). Niente somme/sottrazioni interne, niente esponenti negativi o frazionari.
  \item \emph{Forma normale}: un solo coefficiente, ogni lettera una sola volta con esponente naturale, lettere in ordine alfabetico.
  \item Il \emph{grado rispetto a una lettera} è l'esponente di quella lettera. Il \emph{grado complessivo} è la somma di tutti gli esponenti.
  \item Due monomi sono \emph{simili} se hanno la stessa parte letterale (stesse lettere, stessi esponenti). Solo i monomi simili si sommano in un monomio: si sommano i coefficienti.
  \item \emph{Prodotto}: si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali. Sempre possibile.
  \item \emph{Quoziente}: si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti. È un monomio solo se nel dividendo ogni lettera compare con esponente $\ge$ a quello del divisore.
  \item \emph{Potenza $(M)^n$}: il coefficiente è elevato a $n$, ogni esponente delle lettere è moltiplicato per $n$.
  \item \emph{MCD di monomi}: MCD dei coefficienti $\times$ lettere comuni con esponente minimo.
  \item \emph{mcm di monomi}: mcm dei coefficienti $\times$ tutte le lettere con esponente massimo.
\end{itemize}
\end{riepilogo}