\chapter{Equazioni di primo grado intere}
\label{cap:AA-015}

\citazioneinizio{Tutta la difficoltà sta nel ridurre i problemi alle proporzioni e alle equazioni: è in ciò che consiste l'arte dei matematici.}{René Descartes, \textit{Regole per la direzione dell'ingegno}}

\section*{Perché questo capitolo}\label{sec:aa-015-01-perche-questo-capitolo}

Fin dalla scuola media abbiamo imparato a risolvere problemi del tipo «un numero, aggiunto al suo doppio, dà $\num{18}$: quanto vale?». La soluzione, con un po' di intuito, salta agli occhi: $6$. Ma il salto del pensiero algebrico è un altro: \emph{trasformare l'enunciato a parole in una scrittura simbolica}. Chiamiamo $x$ il numero cercato e scriviamo
\[
x + 2x = 18.
\]
Questa scrittura — che non è ancora una soluzione, ma il \emph{problema riformulato} — è una \textbf{equazione}. Risolverla significa applicare regole precise che, partendo da essa, ne producano una equivalente più semplice (la stessa \emph{verità} in una forma più chiara), fino ad arrivare a $x = 6$.

\medskip

Il guadagno è enorme: non ci serve più l'intuizione caso per caso. Una volta tradotto il problema in equazione, le regole di manipolazione algebrica ci portano alla soluzione \emph{automaticamente}, e funzionano allo stesso modo per problemi che con la sola intuizione non sapremmo affrontare. È quanto Cartesio annunciava nel passo in apertura: la \emph{vera} difficoltà sta nel tradurre — risolvere è poi un esercizio di tecnica.

\medskip

In questo capitolo ci occupiamo del caso più semplice e più importante: le equazioni in cui l'incognita compare al primo grado, e solo nei numeratori. Sono le equazioni che fanno da fondamento a tutto il resto.

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\section{Identità ed equazioni}
\label{sec:AA-015-01-identita-equazioni}
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\subsection{Tre tipi di uguaglianza}
\label{sub:AA-015-01-tre-uguaglianze}

Quando in matematica scriviamo «$A = B$» possiamo intendere tre cose distinte. Vale la pena chiarirle subito, perché confonderle è una causa frequente di errori.

\medskip

\noindent\textbf{(1) Uguaglianza numerica.} Entrambi i membri sono numeri: l'uguaglianza è semplicemente \emph{vera} o \emph{falsa}. Per esempio,
\[
3 + 5 = 8 \quad\text{(vera)}, \qquad 7 \cdot 2 = 15 \quad\text{(falsa)}.
\]
Non c'è niente da risolvere: c'è solo da verificare.

\medskip

\noindent\textbf{(2) Identità.} I due membri contengono lettere, ma l'uguaglianza è vera \emph{qualunque valore} si attribuisca alle lettere. Per esempio,
\[
(x+1)^{2} = x^{2} + 2x + 1
\]
è vera per ogni $x \in \R$: basta sviluppare il quadrato del binomio. Le identità non hanno una «soluzione», hanno tutte le soluzioni: l'insieme dei valori per cui sono vere coincide con tutto $\R$.

\medskip

\noindent\textbf{(3) Equazione.} I due membri contengono almeno una lettera (l'\emph{incognita}) e l'uguaglianza è vera \emph{solo per certi} valori dell'incognita, che si tratta di determinare. Per esempio,
\[
2x - 4 = 0
\]
è vera solo per $x = 2$: per ogni altro valore l'uguaglianza è falsa.

\medskip

\begin{nota}[Identità o equazione?]
Date due espressioni $A(x)$ e $B(x)$, l'uguaglianza $A(x) = B(x)$ è
\begin{itemize}
  \item un'\textbf{identità} se è vera per ogni $x$ del dominio comune di $A$ e $B$;
  \item un'\textbf{equazione} se è vera solo per alcuni valori particolari di $x$.
\end{itemize}
La distinzione \emph{non} dipende dall'aspetto della scrittura, ma dal suo \emph{contenuto di verità}. Per stabilirlo, in genere, serve un calcolo.
\end{nota}

\subsection{Definizioni formali}
\label{sub:AA-015-01-definizioni-formali}

\begin{definizione}[Equazione, soluzione, insieme delle soluzioni]
Si dice \textbf{equazione} nell'incognita $x$ una scrittura della forma
\[
A(x) = B(x),
\]
dove $A(x)$ e $B(x)$ sono espressioni algebriche. L'espressione $A(x)$ si chiama \emph{primo membro}, $B(x)$ \emph{secondo membro}.

Una \textbf{soluzione} (o \emph{radice}) dell'equazione è un valore $x_0 \in \R$ tale che $A(x_0) = B(x_0)$ sia un'uguaglianza numerica vera.

L'\textbf{insieme delle soluzioni} è il sottoinsieme
\[
S = \{\, x \in \R \,:\, A(x) = B(x) \,\} \subseteq \R.
\]
\textbf{Risolvere} l'equazione significa determinare $S$.
\end{definizione}

\medskip

\begin{definizione}[Grado di un'equazione]
Il \textbf{grado} di un'equazione è il grado del polinomio $A(x) - B(x)$ dopo aver portato tutto al primo membro e ridotto. Un'equazione si dice di \textbf{primo grado} se tale grado è uguale a $1$.
\end{definizione}

\medskip

\begin{definizione}[Forma normale di un'equazione di primo grado]
Ogni equazione di primo grado nell'incognita $x$ può essere portata, mediante manipolazioni algebriche, alla \emph{forma normale}
\[
ax + b = 0, \qquad a, b \in \R.
\]
I numeri $a$ e $b$ si chiamano \emph{coefficienti}; in particolare $a$ è il \emph{coefficiente dell'incognita} e $b$ è il \emph{termine noto}.
\end{definizione}

\medskip

\begin{esempio}
L'equazione $3(x-1) + 2 = 7x - 5$ è di primo grado: portando tutto al primo membro e riducendo si ottiene
\[
3x - 3 + 2 - 7x + 5 = 0 \;\Rightarrow\; -4x + 4 = 0,
\]
cioè la forma normale con $a = -4$ e $b = 4$.
\end{esempio}

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\section{Principi di equivalenza}
\label{sec:AA-015-02-principi-equivalenza}
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\subsection{Equazioni equivalenti}
\label{sub:AA-015-02-equivalenza}

\begin{definizione}[Equazioni equivalenti]
Due equazioni si dicono \textbf{equivalenti} se hanno lo stesso insieme delle soluzioni $S$.
\end{definizione}

\medskip

L'idea della risoluzione è: partire dall'equazione data e \emph{trasformarla in una equivalente più semplice}, fino ad ottenerne una di forma elementare $x = c$ il cui $S$ è immediatamente leggibile.

\medskip

Le trasformazioni che preservano $S$ — cioè che producono equazioni equivalenti — sono codificate da due principi.

\subsection{Primo principio di equivalenza}
\label{sub:AA-015-02-primo-principio}

\begin{legge}[Primo principio di equivalenza]
Aggiungendo (o sottraendo) ai due membri di un'equazione una stessa espressione (definita per ogni valore di $x$), si ottiene un'equazione equivalente. In simboli:
\[
A(x) = B(x) \;\Longleftrightarrow\; A(x) + C(x) = B(x) + C(x).
\]
\end{legge}

\medskip

\textit{Dimostrazione.} Sia $S$ l'insieme delle soluzioni della prima equazione e $S'$ quello della seconda. Se $x_0 \in S$, allora $A(x_0) = B(x_0)$; sommando $C(x_0)$ ad entrambi i membri di un'uguaglianza numerica vera si ottiene un'uguaglianza ancora vera, dunque $x_0 \in S'$. Viceversa, se $x_0 \in S'$, allora $A(x_0) + C(x_0) = B(x_0) + C(x_0)$; sottraendo $C(x_0)$ da entrambi i membri si ricava $A(x_0) = B(x_0)$, cioè $x_0 \in S$. Quindi $S = S'$.

\medskip

L'idea geometrica del primo principio è quella di una \textbf{bilancia in equilibrio}: se i due piatti sono in equilibrio e si aggiunge (o si toglie) lo stesso peso da entrambi, l'equilibrio si conserva. La figura~\ref{fig:AA-015-bilancia} la rende esplicita.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={font=\small}]

  % --- Bilancia di sinistra (originale) ---
  % Asta orizzontale
  \draw[line width=1.2pt, BLU] (-1.4,2) -- (1.4,2);
  % Sostegno verticale
  \draw[line width=1.2pt, BLU] (0,2) -- (0,0.3);
  % Base
  \draw[line width=1.2pt, BLU] (-0.8,0.3) -- (0.8,0.3);
  % Piatto sinistro
  \draw[line width=1pt, BLU] (-1.4,2) -- (-1.7,1.6) -- (-1.1,1.6) -- cycle;
  % Piatto destro
  \draw[line width=1pt, BLU] (1.4,2) -- (1.1,1.6) -- (1.7,1.6) -- cycle;
  % Pesi
  \node[draw=BLU, fill=CELESTE, rounded corners=2pt, minimum width=8mm, minimum height=6mm] at (-1.4,1.85) {$A$};
  \node[draw=BLU, fill=CELESTE, rounded corners=2pt, minimum width=8mm, minimum height=6mm] at (1.4,1.85) {$B$};
  % Etichetta
  \node[BLU] at (0,-0.15) {$A = B$};

  % --- Freccia di trasformazione ---
  \draw[->, line width=1.5pt, ARANCIO] (2.4,1.2) -- (3.6,1.2)
        node[midway, above, ARANCIO, align=center] {aggiungo $C$\\a entrambi};

  % --- Bilancia di destra (dopo la trasformazione) ---
  % Asta
  \draw[line width=1.2pt, BLU] (4.6,2) -- (7.4,2);
  \draw[line width=1.2pt, BLU] (6,2) -- (6,0.3);
  \draw[line width=1.2pt, BLU] (5.2,0.3) -- (6.8,0.3);
  % Piatti
  \draw[line width=1pt, BLU] (4.6,2) -- (4.3,1.6) -- (4.9,1.6) -- cycle;
  \draw[line width=1pt, BLU] (7.4,2) -- (7.1,1.6) -- (7.7,1.6) -- cycle;
  % Pesi originali
  \node[draw=BLU, fill=CELESTE, rounded corners=2pt, minimum width=8mm, minimum height=6mm] at (4.6,1.85) {$A$};
  \node[draw=BLU, fill=CELESTE, rounded corners=2pt, minimum width=8mm, minimum height=6mm] at (7.4,1.85) {$B$};
  % Pesi aggiunti
  \node[draw=ARANCIO, fill=GIALLO, rounded corners=2pt, minimum width=8mm, minimum height=6mm] at (4.6,2.55) {$C$};
  \node[draw=ARANCIO, fill=GIALLO, rounded corners=2pt, minimum width=8mm, minimum height=6mm] at (7.4,2.55) {$C$};
  % Etichetta
  \node[BLU] at (6,-0.15) {$A + C = B + C$};

\end{tikzpicture}
\caption{Il primo principio di equivalenza visto come «bilancia in equilibrio»: aggiungere la stessa quantità a entrambi i membri non altera l'equilibrio, cioè non cambia l'insieme delle soluzioni.}
\label{fig:AA-015-bilancia}
\end{figure}

\medskip

Dal primo principio discende immediatamente la \textbf{regola del trasporto}, che è il modo pratico in cui lo si usa quasi sempre.

\begin{legge}[Regola del trasporto]
Un termine può essere spostato da un membro all'altro di un'equazione \emph{cambiandolo di segno}, senza alterare l'insieme delle soluzioni:
\[
A(x) + C = B(x) \;\Longleftrightarrow\; A(x) = B(x) - C.
\]
\end{legge}

\medskip

\textit{Dimostrazione.} Basta sottrarre $C$ ad entrambi i membri della prima, applicando il primo principio: $A(x) + C - C = B(x) - C$, cioè $A(x) = B(x) - C$.

\subsection{Secondo principio di equivalenza}
\label{sub:AA-015-02-secondo-principio}

\begin{legge}[Secondo principio di equivalenza]
Moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri di un'equazione per una stessa quantità non nulla (e definita su tutto il dominio dell'equazione), si ottiene un'equazione equivalente. In simboli, per ogni $k \in \R$ con $k \neq 0$:
\[
A(x) = B(x) \;\Longleftrightarrow\; k \cdot A(x) = k \cdot B(x).
\]
\end{legge}

\medskip

\textit{Dimostrazione.} Sia $S$ l'insieme delle soluzioni della prima equazione e $S'$ quello della seconda. Se $x_0 \in S$, allora $A(x_0) = B(x_0)$; moltiplicando per $k$ entrambi i membri si ottiene $k\,A(x_0) = k\,B(x_0)$, cioè $x_0 \in S'$. Viceversa, se $x_0 \in S'$, allora $k\,A(x_0) = k\,B(x_0)$; poiché $k \neq 0$ possiamo dividere per $k$, ottenendo $A(x_0) = B(x_0)$, cioè $x_0 \in S$. Quindi $S = S'$.

\medskip

\begin{attenzione}[Perché $k \neq 0$ è essenziale]
Se moltiplicassimo per $k = 0$ entrambi i membri di un'equazione, otterremmo $0 = 0$: un'identità banalmente vera per ogni $x$. Avremmo perso ogni informazione: l'insieme delle soluzioni è cambiato, $S' = \R$ in generale diverso da $S$.

L'\emph{equazione di partenza} e l'\emph{equazione moltiplicata per zero} non sono equivalenti.
\end{attenzione}

\medskip

Anche il secondo principio ha una conseguenza pratica fondamentale: se in un'equazione tutti i termini hanno un fattore comune, lo si può semplificare; e se l'equazione contiene frazioni numeriche, si possono \emph{eliminare i denominatori} moltiplicando tutto per il loro minimo comune multiplo.

\medskip

\begin{nota}[Riassunto operativo]
\begin{itemize}
  \item Per \emph{eliminare un addendo} da un membro: si applica il primo principio (o, equivalentemente, la regola del trasporto).
  \item Per \emph{eliminare un fattore} (un coefficiente, un denominatore): si applica il secondo principio, dividendo o moltiplicando per quel fattore — sempre verificando che sia diverso da zero.
\end{itemize}
\end{nota}

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\section{Equazioni determinate, indeterminate, impossibili}
\label{sec:AA-015-03-classificazione}
% =====================================================================

Applicando i due principi a un'equazione di primo grado riusciamo sempre a portarla nella forma
\[
ax = b, \qquad a, b \in \R.
\]
A questo punto, l'esito dipende dai valori di $a$ e $b$. Si presentano \emph{tre soli casi}, riassunti nella figura~\ref{fig:AA-015-classificazione}.

\medskip

\textbf{Caso 1: $a \neq 0$.} Possiamo applicare il secondo principio dividendo per $a$:
\[
x = \frac{b}{a}.
\]
L'equazione ha una sola soluzione e si dice \textbf{determinata}: $S = \left\{\dfrac{b}{a}\right\}$.

\medskip

\textbf{Caso 2: $a = 0$ e $b = 0$.} L'equazione diventa $0 = 0$: un'uguaglianza vera \emph{qualunque} sia il valore di $x$. Ogni numero reale è soluzione, e l'equazione si dice \textbf{indeterminata}: $S = \R$.

\medskip

\textbf{Caso 3: $a = 0$ e $b \neq 0$.} L'equazione diventa $0 = b$ con $b \neq 0$: un'uguaglianza \emph{falsa} qualunque sia il valore di $x$. Nessun numero reale è soluzione, e l'equazione si dice \textbf{impossibile}: $S = \varnothing$.

\medskip

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    >=Stealth,
    every node/.style={font=\small},
    box/.style={draw, rounded corners=3pt, minimum height=8mm, align=center, inner sep=4pt},
    rad/.style={box, fill=CELESTE, draw=BLU, text=BLU},
    sì/.style={box, fill=GIALLO!50, draw=ARANCIO},
    det/.style={box, fill=VERDE!20, draw=VERDE, text=VERDE!50!black},
    ind/.style={box, fill=VIOLA!20, draw=VIOLA, text=VIOLA!60!black},
    imp/.style={box, fill=ROSSO!20, draw=ROSSO, text=ROSSO!70!black},
    edge/.style={->, thick}
  ]
  % radice
  \node[rad] (root) at (0,0) {$ax = b$};

  % primo bivio: a ?
  \node[sì] (anonzero) at (-3.5,-1.6) {$a \neq 0$};
  \node[sì] (azero)    at ( 3.5,-1.6) {$a = 0$};

  \draw[edge] (root) -- (anonzero);
  \draw[edge] (root) -- (azero);

  % esito a non zero
  \node[det] (det) at (-3.5,-3.6) {determinata\\[2pt]$\displaystyle x = \frac{b}{a}$};
  \draw[edge] (anonzero) -- (det);

  % secondo bivio: b ?
  \node[sì] (bzero)    at ( 1.4,-3.4) {$b = 0$};
  \node[sì] (bnonzero) at ( 5.6,-3.4) {$b \neq 0$};
  \draw[edge] (azero) -- (bzero);
  \draw[edge] (azero) -- (bnonzero);

  % esiti finali
  \node[ind] (ind) at ( 1.4,-5.4) {indeterminata\\[2pt]$S = \R$};
  \node[imp] (imp) at ( 5.6,-5.4) {impossibile\\[2pt]$S = \varnothing$};
  \draw[edge] (bzero)    -- (ind);
  \draw[edge] (bnonzero) -- (imp);

\end{tikzpicture}
\caption{Albero decisionale per la classificazione di un'equazione di primo grado in forma $ax = b$. Una volta ridotta l'equazione a questa forma, il tipo di soluzione dipende interamente dai valori di $a$ e $b$.}
\label{fig:AA-015-classificazione}
\end{figure}

\medskip

\begin{formulabox}
\[
ax = b \;\Longrightarrow\;
\begin{cases}
\displaystyle S = \left\{\tfrac{b}{a}\right\} & \text{se } a \neq 0 \quad \text{(determinata)},\\[6pt]
S = \R                                          & \text{se } a = 0 \text{ e } b = 0 \quad \text{(indeterminata)},\\[6pt]
S = \varnothing                                  & \text{se } a = 0 \text{ e } b \neq 0 \quad \text{(impossibile)}.
\end{cases}
\]
\end{formulabox}

\medskip

\begin{esempio}[Tre equazioni, tre esiti]
\begin{enumerate}
  \item $3x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; 3x = 6 \;\Rightarrow\; x = 2$. \emph{Determinata}: $S = \{2\}$.
  \item $2(x+1) = 2x + 2 \;\Rightarrow\; 2x + 2 = 2x + 2 \;\Rightarrow\; 0 = 0$. \emph{Indeterminata}: $S = \R$. Notiamo che in realtà l'uguaglianza di partenza era un'identità (quadrato in più con segno opposto), e la procedura algebrica lo ha messo in evidenza.
  \item $5x + 1 = 5x + 4 \;\Rightarrow\; 1 = 4$. \emph{Impossibile}: $S = \varnothing$. Una scrittura di questo genere ci sta dicendo che l'equazione di partenza pretendeva un'uguaglianza che non può sussistere per alcun $x$.
\end{enumerate}
\end{esempio}

\medskip

\begin{nota}[Quando «$x$ scompare»]
Negli esempi 2 e 3 abbiamo visto che, durante la risoluzione, l'incognita $x$ può «sparire» dall'equazione. Non è un errore di calcolo: significa che l'equazione, una volta semplificata, è degenere — cioè $a = 0$. A quel punto basta guardare il termine noto residuo per concludere: $0 = 0$ è indeterminata, $0 = b$ con $b \neq 0$ è impossibile.
\end{nota}

% =====================================================================
\section{Risoluzione e verifica}
\label{sec:AA-015-04-risoluzione-verifica}
% =====================================================================

\subsection{Procedura standard}
\label{sub:AA-015-04-procedura}

Per risolvere un'equazione di primo grado intera (cioè senza incognita ai denominatori) si segue una sequenza ormai standardizzata di passi. Ogni passaggio applica uno dei due principi di equivalenza, oppure produce semplicemente una scrittura più compatta della stessa equazione.

\begin{procedura}[Risoluzione di un'equazione di primo grado intera]
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Eliminare i denominatori numerici} moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori (secondo principio).
  \item \textbf{Sciogliere le parentesi} eseguendo le moltiplicazioni indicate.
  \item \textbf{Trasportare} tutti i termini con $x$ al primo membro e tutti i termini noti al secondo (primo principio o regola del trasporto).
  \item \textbf{Sommare i termini simili} a ciascun membro, ottenendo la forma $ax = b$.
  \item \textbf{Concludere} secondo i tre casi:
    \begin{itemize}
      \item se $a \neq 0$, dividere per $a$: $x = b/a$;
      \item se $a = 0$ e $b = 0$, scrivere $S = \R$ (indeterminata);
      \item se $a = 0$ e $b \neq 0$, scrivere $S = \varnothing$ (impossibile).
    \end{itemize}
  \item \textbf{Verificare} la soluzione (quando esiste) sostituendola nell'equazione \emph{originale}.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\medskip

\begin{nota}[Perché verificare nell'equazione originale]
La verifica si fa sempre nell'equazione di partenza, non in una delle equazioni equivalenti intermedie. Se durante la risoluzione abbiamo commesso un errore di calcolo, la verifica in un passaggio intermedio potrebbe «funzionare» anche se la soluzione è sbagliata: solo l'equazione originale è il banco di prova affidabile.
\end{nota}

\subsection{Esempi svolti}
\label{sub:AA-015-04-esempi}

\begin{esempio}[Caso base]
Risolvere $3x + 5 = 14$.

\medskip

Trasporto $5$ al secondo membro:
\[
3x = 14 - 5 = 9.
\]
Divido per $3$:
\[
x = \frac{9}{3} = 3.
\]
\textbf{Verifica.} Sostituendo nell'equazione originale: $3 \cdot 3 + 5 = 9 + 5 = 14$. \checkmark

\smallskip
$S = \{3\}$.
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Con parentesi e trasporti su entrambi i membri]
Risolvere $5(x - 2) - 3 = 2(x + 4) - 5$.

\medskip

Sciolgo le parentesi:
\[
5x - 10 - 3 = 2x + 8 - 5,
\]
e riduco i termini simili a ciascun membro:
\[
5x - 13 = 2x + 3.
\]
Trasporto $2x$ a sinistra e $-13$ a destra:
\[
5x - 2x = 3 + 13 \;\Rightarrow\; 3x = 16.
\]
Divido per $3$:
\[
x = \frac{16}{3}.
\]
\textbf{Verifica.} Primo membro: $5\bigl(\tfrac{16}{3} - 2\bigr) - 3 = 5 \cdot \tfrac{10}{3} - 3 = \tfrac{50}{3} - \tfrac{9}{3} = \tfrac{41}{3}$. Secondo membro: $2\bigl(\tfrac{16}{3} + 4\bigr) - 5 = 2 \cdot \tfrac{28}{3} - 5 = \tfrac{56}{3} - \tfrac{15}{3} = \tfrac{41}{3}$. \checkmark

\smallskip
$S = \left\{\tfrac{16}{3}\right\}$.
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Con denominatori numerici]
Risolvere
\[
\frac{x-1}{2} + \frac{x+3}{4} = \frac{x}{3} + 1.
\]

\medskip

Il minimo comune multiplo dei denominatori ($2, 4, 3$) è $12$. Moltiplico entrambi i membri per $12$:
\[
12 \cdot \frac{x-1}{2} + 12 \cdot \frac{x+3}{4} = 12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot 1,
\]
cioè
\[
6(x-1) + 3(x+3) = 4x + 12.
\]
Sciolgo:
\[
6x - 6 + 3x + 9 = 4x + 12 \;\Rightarrow\; 9x + 3 = 4x + 12.
\]
Trasporto:
\[
9x - 4x = 12 - 3 \;\Rightarrow\; 5x = 9 \;\Rightarrow\; x = \frac{9}{5}.
\]
\textbf{Verifica.} Primo membro: $\tfrac{9/5 - 1}{2} + \tfrac{9/5 + 3}{4} = \tfrac{4/5}{2} + \tfrac{24/5}{4} = \tfrac{2}{5} + \tfrac{6}{5} = \tfrac{8}{5}$. Secondo membro: $\tfrac{9/5}{3} + 1 = \tfrac{3}{5} + 1 = \tfrac{8}{5}$. \checkmark

\smallskip
$S = \left\{\tfrac{9}{5}\right\}$.
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Caso degenere: indeterminata]
Risolvere $2(x+1) - 3 = 2x - 1$.

\medskip

Sciolgo: $2x + 2 - 3 = 2x - 1 \;\Rightarrow\; 2x - 1 = 2x - 1$. Trasporto: $2x - 2x = -1 + 1 \;\Rightarrow\; 0 = 0$. L'incognita è scomparsa e il termine noto residuo è zero: l'equazione è \emph{indeterminata}.

\smallskip
$S = \R$.
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Caso degenere: impossibile]
Risolvere $4(x - 1) + 2 = 4x - 1$.

\medskip

Sciolgo: $4x - 4 + 2 = 4x - 1 \;\Rightarrow\; 4x - 2 = 4x - 1$. Trasporto: $4x - 4x = -1 + 2 \;\Rightarrow\; 0 = 1$. L'incognita è scomparsa e il termine noto residuo è diverso da zero: l'equazione è \emph{impossibile}.

\smallskip
$S = \varnothing$.
\end{esempio}

% =====================================================================
\section{Problemi risolvibili con equazioni di primo grado}
\label{sec:AA-015-05-problemi}
% =====================================================================

\subsection{Lo schema di modellizzazione}
\label{sub:AA-015-05-schema}

Risolvere un problema con un'equazione richiede un percorso più lungo del semplice calcolo: bisogna prima \emph{tradurre} il problema dal linguaggio comune a quello algebrico. È in questa traduzione che si gioca la parte difficile e formativa del lavoro.

\begin{procedura}[Risoluzione di un problema mediante equazione]
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Comprendere il testo}: rileggere il problema, individuare i dati, le incognite richieste, le relazioni che li legano.
  \item \textbf{Scegliere l'incognita}: assegnare a una grandezza incognita il simbolo $x$. Se i problemi richiede più grandezze, esprimere le altre in funzione di $x$ usando le relazioni del testo.
  \item \textbf{Tradurre in equazione}: scrivere un'uguaglianza che traduca un vincolo del problema (un'uguaglianza tra grandezze, una somma totale, una differenza nota, ecc.).
  \item \textbf{Risolvere} l'equazione con la procedura standard.
  \item \textbf{Interpretare} la soluzione nel contesto del problema: la soluzione dell'equazione è anche soluzione del problema? Ha senso fisico/geometrico? Soddisfa eventuali vincoli (positività, interezza, ecc.)?
\end{enumerate}
\end{procedura}

\medskip

\begin{attenzione}[Soluzione dell'equazione vs.\ soluzione del problema]
Una soluzione algebrica corretta non è necessariamente una soluzione \emph{sensata} del problema. Se $x$ rappresenta un numero di persone, una soluzione $x = -3$ o $x = 4.7$ va scartata. Se rappresenta una lunghezza, va scartata $x \leq 0$. La verifica nel contesto è parte integrante della risoluzione.
\end{attenzione}

\subsection{Esempi svolti}
\label{sub:AA-015-05-esempi}

\begin{esempio}[Problema numerico]
La somma di tre numeri naturali consecutivi è $\num{42}$. Quali sono i tre numeri?

\medskip

\textit{Scelta dell'incognita.} Sia $x$ il primo dei tre numeri. Allora i tre numeri sono $x$, $x+1$, $x+2$.

\textit{Equazione.} La condizione del problema si traduce in
\[
x + (x+1) + (x+2) = 42.
\]
\textit{Risoluzione.}
\[
3x + 3 = 42 \;\Rightarrow\; 3x = 39 \;\Rightarrow\; x = 13.
\]
\textit{Interpretazione.} $x = 13$ è un numero naturale: la soluzione è accettabile. I tre numeri richiesti sono $\num{13}$, $\num{14}$, $\num{15}$.

\textit{Verifica nel contesto.} $13 + 14 + 15 = 42$. \checkmark
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Problema geometrico]
In un rettangolo, la base supera l'altezza di $\SI{4}{\centi\meter}$. Sapendo che il perimetro misura $\SI{36}{\centi\meter}$, determinare le dimensioni del rettangolo.

\medskip

\textit{Scelta dell'incognita.} Sia $x$ la misura dell'altezza, in centimetri. Allora la base è $x + 4$.

\textit{Equazione.} Il perimetro del rettangolo è $2 \cdot (\text{base}) + 2 \cdot (\text{altezza})$, dunque
\[
2(x + 4) + 2x = 36.
\]
\textit{Risoluzione.}
\[
2x + 8 + 2x = 36 \;\Rightarrow\; 4x = 28 \;\Rightarrow\; x = 7.
\]
\textit{Interpretazione.} $x = 7$ è positivo: accettabile come misura di una lunghezza. L'altezza è $\SI{7}{\centi\meter}$, la base è $\SI{11}{\centi\meter}$.

\textit{Verifica nel contesto.} Perimetro $= 2 \cdot 11 + 2 \cdot 7 = 22 + 14 = \SI{36}{\centi\meter}$. \checkmark
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Problema sulle età]
Marco ha oggi $\num{30}$ anni e suo figlio Luca ne ha $\num{6}$. Tra quanti anni l'età di Marco sarà il triplo di quella di Luca?

\medskip

\textit{Scelta dell'incognita.} Sia $x$ il numero di anni che dovranno trascorrere. Allora, tra $x$ anni, Marco avrà $30 + x$ anni e Luca ne avrà $6 + x$.

\textit{Equazione.} La condizione richiede
\[
30 + x = 3 \,(6 + x).
\]
\textit{Risoluzione.}
\[
30 + x = 18 + 3x \;\Rightarrow\; 30 - 18 = 3x - x \;\Rightarrow\; 12 = 2x \;\Rightarrow\; x = 6.
\]
\textit{Interpretazione.} $x = 6$ è un numero di anni positivo: accettabile. Tra $\num{6}$ anni Marco avrà $\num{36}$ anni e Luca ne avrà $\num{12}$.

\textit{Verifica nel contesto.} $36 = 3 \cdot 12$. \checkmark
\end{esempio}

\medskip

\begin{esempio}[Problema di moto: incontro di due treni]
Due treni partono nello stesso istante da due stazioni distanti $\SI{300}{\kilo\meter}$, viaggiando uno verso l'altro. Il primo procede a $\SI{80}{\kilo\meter\per\hour}$, il secondo a $\SI{120}{\kilo\meter\per\hour}$. Dopo quanto tempo si incontrano? A che distanza dalla stazione di partenza del primo treno?

\medskip

\textit{Scelta dell'incognita.} Sia $t$ il tempo, misurato in ore, che trascorre dalla partenza all'incontro.

\textit{Modello.} Nello stesso intervallo $t$ il primo treno percorre $\SI{80}{\kilo\meter\per\hour} \cdot t$, il secondo $\SI{120}{\kilo\meter\per\hour} \cdot t$. La somma delle due distanze percorse, all'istante dell'incontro, deve essere uguale alla distanza iniziale tra le stazioni.

\textit{Equazione.}
\[
80\,t + 120\,t = 300.
\]
\textit{Risoluzione.}
\[
200\,t = 300 \;\Rightarrow\; t = \frac{300}{200} = \num{1.5}.
\]
\textit{Interpretazione.} $t = \SI{1.5}{\hour}$, ovvero un'ora e mezza. La distanza percorsa dal primo treno è $80 \cdot 1.5 = \SI{120}{\kilo\meter}$.

\textit{Verifica nel contesto.} Distanza del secondo treno: $120 \cdot 1.5 = \SI{180}{\kilo\meter}$. Somma: $120 + 180 = \SI{300}{\kilo\meter}$. \checkmark
\end{esempio}

\medskip

\begin{nota}[Una buona abitudine: definire $x$ in modo esplicito]
La frase «sia $x$ il \emph{numero di anni che trascorrono}» o «sia $x$ \emph{l'altezza, in centimetri}» non è una formalità: è il momento in cui si fissa il \emph{significato} del simbolo. Saltare questo passaggio è la causa principale degli errori di traduzione (e di interpretazione finale) nei problemi parametrici.
\end{nota}

% =====================================================================
\section*{Esercizi proposti}\label{sec:aa-015-07-esercizi-proposti}
% =====================================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}

% --- equazioni base ---
\item Risolvere $7x - 3 = 4x + 12$.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $x = 5$.

\item Risolvere $2(x - 3) + 5 = 3 - x$.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $x = \frac{4}{3}$.

\item Risolvere $4(x + 1) - 2(x - 3) = 3x + 5$.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $x = 5$.

% --- equazioni con denominatori ---
\item Risolvere $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = \num{10}$.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $x = 12$.

\item Risolvere $\dfrac{x - 2}{3} - \dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{1}{6}$.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $x = 13$.

\item Risolvere $\dfrac{2x + 1}{5} - \dfrac{x - 3}{2} = 1 - \dfrac{x}{10}$.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $x = -1$.

% --- casi degeneri ---
\item Stabilire se l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile, motivando la risposta:
\[
3(x - 2) - 2(x + 1) = x - 8.
\]
\textit{Risultato:} $0 = 0$, indeterminata, $S = \R$.

\item Stabilire se l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile:
\[
2(x + 5) - 4 = 2x + 7.
\]
\textit{Risultato:} $0 = 1$, impossibile, $S = \varnothing$.

% --- problemi numerici ---
\item La somma di due numeri naturali consecutivi è $\num{47}$. Determinarli.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $\num{23}$ e $\num{24}$.

\item Un numero, aumentato dei suoi tre quarti, dà $\num{56}$. Trovare il numero.
\\[2pt]\textit{Risultato:} $\num{32}$.

% --- problemi geometrici ---
\item In un rettangolo, la base è il doppio dell'altezza. Sapendo che il perimetro è $\SI{60}{\centi\meter}$, determinare le dimensioni.
\\[2pt]\textit{Risultato:} altezza $\SI{10}{\centi\meter}$, base $\SI{20}{\centi\meter}$.

\item Un triangolo isoscele ha il perimetro di $\SI{42}{\centi\meter}$ e la base che misura $\SI{4}{\centi\meter}$ in meno di ciascuno dei due lati obliqui uguali. Determinare le misure dei tre lati.
\\[2pt]\textit{Risultato:} lati obliqui $\SI{15.33}{\centi\meter}$ ciascuno, base $\SI{11.33}{\centi\meter}$ (cioè $\frac{46}{3}$ e $\frac{34}{3}$ centimetri).

% --- problemi sulle età ---
\item Anna ha oggi il triplo dell'età della figlia Sara. Fra $\num{12}$ anni Anna avrà il doppio dell'età di Sara. Quanti anni hanno oggi?
\\[2pt]\textit{Risultato:} Anna $\num{36}$ anni, Sara $\num{12}$ anni.

% --- problema applicativo (modellizzazione) ---
\item Un libraio acquista una partita di libri spendendo $\num{640}$~€. Vendendoli al prezzo di $\num{18}$~€ ciascuno guadagnerebbe $\num{200}$~€ in totale. Quanti libri ha acquistato il libraio?
\\[2pt]\textit{Risultato:} $\num{60}$ libri (a un prezzo di acquisto di $\num{14}$~€ l'uno: $14 \cdot 60 = 840 - 200 = 640$).

% --- esercizio concettuale ---
\item Senza fare calcoli, spiegare perché ciascuna delle seguenti scritture corrisponde a un'\emph{identità}, e \emph{non} a un'equazione propriamente detta:
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
  \item $(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$;
  \item $2(x + 3) = 2x + 6$;
  \item $\dfrac{2x}{2} = x$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% =====================================================================
\begin{riepilogo}

\textbf{Equazione, identità, uguaglianza numerica.} Tre tipi di scritture «$A = B$»: l'\emph{uguaglianza numerica} è vera o falsa, l'\emph{identità} è vera per ogni valore dell'incognita, l'\emph{equazione} è vera solo per certi valori. Risolvere un'equazione significa determinarne l'insieme delle soluzioni $S$.

\medskip

\textbf{Forma normale.} Ogni equazione di primo grado nell'incognita $x$ può essere portata alla forma $ax + b = 0$ (o, equivalentemente, $ax = b$).

\medskip

\textbf{Principi di equivalenza.} Producono equazioni con lo stesso $S$.
\begin{itemize}
  \item \emph{Primo principio}: si può aggiungere o sottrarre la stessa quantità a entrambi i membri. Conseguenza pratica: la regola del trasporto.
  \item \emph{Secondo principio}: si possono moltiplicare o dividere entrambi i membri per una stessa quantità \emph{non nulla}. Conseguenza pratica: si possono eliminare i denominatori numerici e i fattori comuni.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Classificazione.} Ricondotta l'equazione alla forma $ax = b$, si presentano tre soli casi:
\[
\begin{cases}
S = \{b/a\} & \text{se } a \neq 0 \quad \text{(determinata)},\\
S = \R       & \text{se } a = 0,\ b = 0 \quad \text{(indeterminata)},\\
S = \varnothing & \text{se } a = 0,\ b \neq 0 \quad \text{(impossibile)}.
\end{cases}
\]
Quando «$x$ scompare» durante la risoluzione, ci si trova in uno dei due casi degeneri: basta esaminare il termine noto residuo per concludere.

\medskip

\textbf{Procedura standard.} Eliminare denominatori, sciogliere parentesi, trasportare, ridurre, dividere per il coefficiente di $x$, verificare nell'equazione \emph{originale}.

\medskip

\textbf{Problemi.} La parte difficile non è risolvere l'equazione, ma scrivere quella giusta: leggere, scegliere l'incognita, tradurre i vincoli in un'uguaglianza, controllare \emph{a posteriori} che la soluzione algebrica abbia senso anche nel contesto del problema (positività, interezza, plausibilità).

\end{riepilogo}