\chapter{Equazioni di primo grado fratte e letterali}
\label{cap:AA-016}

\citazioneinizio{L'algebra è generosa: spesso dà più di quanto le si chieda.}{Jean-Baptiste le Rond d'Alembert}

\section*{Perché questo capitolo}\label{sec:aa-016-01-perche-questo-capitolo}

Nel capitolo precedente abbiamo imparato a risolvere equazioni di primo grado intere: l'incognita $x$ compariva solo in espressioni polinomiali e i due principi di equivalenza ci permettevano di isolarla. Ora facciamo due passi avanti, uno per ciascuna direzione.

\begin{itemize}
  \item Le \textbf{equazioni fratte} contengono l'incognita anche al denominatore di qualche frazione. Una frazione perde di significato quando il suo denominatore si annulla: dovremo dunque \emph{escludere a priori} i valori di $x$ che renderebbero nullo un denominatore. È la prima volta che incontriamo l'idea, fondamentale, di \emph{condizione di esistenza} (C.E.).
  \item Le \textbf{equazioni letterali} (o \emph{parametriche}) contengono, oltre all'incognita $x$, una o più lettere — i \emph{parametri} — il cui valore non è fissato. Risolverle significa rispondere alla domanda: «come cambia la soluzione al variare del parametro?». La risposta non è un numero, ma una \emph{discussione}.
\end{itemize}

L'abitudine a \emph{discutere tutti i casi possibili}, anziché ragionare su un singolo esempio numerico, è uno dei tratti distintivi del pensiero matematico maturo: vale la pena costruirla con cura fin dall'inizio.

% =====================================================================
\section{Equazioni fratte: condizioni di esistenza}
\label{sec:AA-016-01-equazioni-fratte-condizioni}
% =====================================================================

\subsection{Che cos'è un'equazione fratta}
\label{sub:AA-016-01-cose-equazione-fratta}

\begin{definizione}
Un'equazione si dice \emph{fratta} (o \emph{frazionaria}) se l'incognita compare almeno una volta al denominatore di una frazione.
\end{definizione}

Sono equazioni fratte, ad esempio,
\[
\frac{x+1}{x-2} = 3, \qquad
\frac{2}{x} - \frac{x}{x+1} = 1, \qquad
\frac{x-1}{x^{2}-4} = \frac{1}{x+2}.
\]

\emph{Non} è invece fratta — pur contenendo frazioni — l'equazione
\[
\frac{x+1}{3} \,-\, \frac{x}{2} \,=\, 5,
\]
perché i denominatori sono numeri: si tratta di un'equazione intera con coefficienti razionali, già nel raggio del capitolo precedente.

\subsection{Quando una frazione perde di significato}
\label{sub:AA-016-01-quando-perde-significato}

Una frazione $\dfrac{A}{B}$ ha senso solo se $B \neq 0$: la divisione per zero non è definita. Quindi, prima ancora di iniziare a risolvere un'equazione fratta, dobbiamo individuare quali valori dell'incognita renderebbero nullo qualche denominatore: tali valori vanno \emph{esclusi dal dominio} dell'incognita.

\begin{definizione}
Si chiamano \emph{condizioni di esistenza} (C.E.) di un'equazione fratta le disequazioni che impongono a ciascun denominatore contenente l'incognita di essere diverso da zero.
\end{definizione}

\begin{esempio}
Determinare le C.E. delle seguenti equazioni.
\begin{enumerate}
  \item $\dfrac{x+1}{x-2} = 3$ \quad $\Longrightarrow$ \quad C.E.: $x - 2 \neq 0$, cioè $x \neq 2$.
  \item $\dfrac{2}{x} - \dfrac{x}{x+1} = 1$ \quad $\Longrightarrow$ \quad C.E.: $x \neq 0$ \emph{e} $x + 1 \neq 0$, cioè $x \neq 0$ e $x \neq -1$.
  \item $\dfrac{x-1}{x^{2}-4} = \dfrac{1}{x+2}$.\\
        Scomponiamo $x^{2}-4 = (x-2)(x+2)$. I denominatori si annullano per $x = 2$, $x = -2$.\\
        C.E.: $x \neq 2$ e $x \neq -2$.
\end{enumerate}
\end{esempio}

\begin{nota}[Osservazione]
Le condizioni di esistenza si determinano \textbf{prima} di iniziare a risolvere l'equazione, e si tengono presenti fino alla fine: ogni soluzione che troveremo dovrà essere confrontata con le C.E. e, se le viola, andrà scartata.
\end{nota}

% =====================================================================
\section{Risoluzione di equazioni fratte}
\label{sec:AA-016-02-risoluzione-fratte}
% =====================================================================

\subsection{Il procedimento standard}
\label{sub:AA-016-02-procedimento}

Sia data un'equazione fratta. Per risolverla si segue questo schema:

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Scomporre} ogni denominatore in fattori (quando possibile).
  \item Determinare le \textbf{condizioni di esistenza}.
  \item Calcolare il \textbf{mcm} dei denominatori e ridurre entrambi i membri allo stesso denominatore.
  \item Sotto le C.E. il mcm è diverso da zero: si possono allora \textbf{cancellare i denominatori} e ottenere un'equazione \emph{intera} equivalente.
  \item Risolvere l'equazione intera.
  \item \textbf{Verificare} che le soluzioni trovate rispettino le C.E.: quelle che le violano sono \emph{non accettabili} e vanno scartate.
\end{enumerate}

Il procedimento è sintetizzato nel diagramma di flusso di figura~\ref{fig:AA-016-flusso-fratte}.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    node distance=10mm and 5mm,
    >=stealth,
    every node/.style={font=\small},
    blocco/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=BLU, very thick,
        fill=BLU!10, align=center,
        minimum width=58mm, minimum height=8mm,
        inner sep=2mm
    },
    decisione/.style={
        diamond, draw=ARANCIO, very thick,
        fill=ARANCIO!15, align=center,
        aspect=2, inner sep=1mm
    },
    finale/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=VERDE, very thick,
        fill=VERDE!15, align=center,
        minimum width=42mm, minimum height=8mm
    },
    scarto/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=ROSSO, very thick,
        fill=ROSSO!15, align=center,
        minimum width=42mm, minimum height=8mm
    },
    freccia/.style={->, thick, BLU!70!black}
]
% blocchi principali
\node[blocco] (start)  {Equazione fratta};
\node[blocco, below=of start]   (ce)   {Determinare le C.E.\\(denominatori $\neq 0$)};
\node[blocco, below=of ce]      (mcm)  {Calcolare il mcm\\dei denominatori};
\node[blocco, below=of mcm]     (int)  {Ottenere l'equazione intera\\equivalente sotto le C.E.};
\node[blocco, below=of int]     (ris)  {Risolvere: si trova $x = x_{0}$};
\node[decisione, below=of ris]  (ver)  {$x_{0}$ rispetta\\le C.E.?};
% esiti
\node[finale, below left=10mm and -10mm of ver] (acc) {Soluzione accettabile};
\node[scarto, below right=10mm and -10mm of ver] (no)  {Soluzione non accettabile};

% frecce
\draw[freccia] (start) -- (ce);
\draw[freccia] (ce)    -- (mcm);
\draw[freccia] (mcm)   -- (int);
\draw[freccia] (int)   -- (ris);
\draw[freccia] (ris)   -- (ver);
\draw[freccia] (ver) -- node[left, font=\small\bfseries, text=VERDE!50!black] {sì} (acc);
\draw[freccia] (ver) -- node[right, font=\small\bfseries, text=ROSSO!70!black] {no} (no);
\end{tikzpicture}
\caption{Schema di risoluzione di un'equazione fratta di primo grado.}
\label{fig:AA-016-flusso-fratte}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\textbf{Idea-chiave.} \quad Sotto le condizioni di esistenza, moltiplicare per il mcm dei denominatori è un'operazione lecita (moltiplico per una quantità non nulla): trasforma l'equazione fratta in un'equazione intera equivalente.
\end{formulabox}

\subsection{Esempi svolti}
\label{sub:AA-016-02-esempi-svolti}

\begin{esempio}[soluzione accettabile]
Risolvere $\dfrac{x+1}{x-2} = 3$.

\smallskip
\textbf{C.E.:} $x \neq 2$.

\smallskip
\textbf{Risoluzione.} Moltiplichiamo entrambi i membri per $(x-2) \neq 0$:
\[
x + 1 \;=\; 3\,(x-2)
\;\Longleftrightarrow\;
x + 1 \;=\; 3x - 6
\;\Longleftrightarrow\;
2x = 7
\;\Longleftrightarrow\;
x = \tfrac{7}{2}.
\]

\smallskip
\textbf{Verifica delle C.E.:} $\tfrac{7}{2} \neq 2$. La soluzione è accettabile: $\boxed{x = \tfrac{7}{2}}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[soluzione \emph{non} accettabile]
Risolvere
\[
\frac{2}{x-1} \,-\, \frac{1}{x+1} \;=\; \frac{4}{x^{2}-1}.
\]

\smallskip
\textbf{Scomposizione e C.E.} \quad
$x^{2}-1 = (x-1)(x+1)$. \quad C.E.: $x \neq 1$ e $x \neq -1$.

\smallskip
\textbf{mcm dei denominatori:} $(x-1)(x+1)$. Riduciamo entrambi i membri:
\[
\frac{2(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)} \;=\; \frac{4}{(x-1)(x+1)}.
\]
Sotto le C.E. il denominatore è non nullo, quindi possiamo cancellarlo:
\[
2(x+1) - (x-1) \;=\; 4
\;\Longleftrightarrow\;
2x + 2 - x + 1 \;=\; 4
\;\Longleftrightarrow\;
x + 3 \;=\; 4
\;\Longleftrightarrow\;
x = 1.
\]

\smallskip
\textbf{Verifica delle C.E.:} $x = 1$ \emph{viola} la condizione $x \neq 1$. La soluzione \textbf{non è accettabile}.

\smallskip
\textbf{Conclusione:} l'equazione è \emph{impossibile}: $S = \varnothing$.
\end{esempio}

\begin{nota}[Osservazione]
L'esempio precedente mostra una situazione tipica: la manipolazione algebrica produce un valore di $x$ che però \emph{annulla un denominatore} dell'equazione di partenza. È esattamente il caso che le C.E. servono a intercettare. Senza la verifica finale, avremmo rischiato di accettare come soluzione un valore privo di senso.
\end{nota}

\begin{esempio}[con due frazioni e un termine intero]
Risolvere
\[
\frac{x}{x+2} \,+\, \frac{1}{x} \;=\; 1.
\]

\smallskip
\textbf{C.E.:} $x \neq 0$ e $x \neq -2$.

\smallskip
\textbf{mcm:} $x\,(x+2)$.
\[
\frac{x \cdot x \,+\, (x+2)}{x\,(x+2)} \;=\; \frac{x\,(x+2)}{x\,(x+2)}
\]
da cui, cancellando il denominatore (lecito sotto le C.E.),
\[
x^{2} + x + 2 \;=\; x^{2} + 2x
\;\Longleftrightarrow\;
2 \;=\; x.
\]

\smallskip
\textbf{Verifica:} $x = 2$ rispetta entrambe le C.E. \quad $\boxed{x = 2}$.
\end{esempio}

% =====================================================================
\section{Equazioni letterali: discussione del parametro}
\label{sec:AA-016-03-equazioni-letterali}
% =====================================================================

\subsection{Che cos'è un'equazione letterale}
\label{sub:AA-016-03-cose-equazione-letterale}

\begin{definizione}
Un'equazione si dice \emph{letterale} (o \emph{parametrica}) se contiene, oltre all'incognita $x$, una o più altre lettere — dette \emph{parametri} — il cui valore non è fissato.
\end{definizione}

Per convenzione, in questo capitolo l'incognita è sempre $x$, mentre useremo lettere come $k, a, m$ per indicare i parametri.

\begin{esempio}
Sono equazioni letterali, con parametro $k$:
\[
k\,x + 2 = x - k, \qquad
(k-1)\,x = k^{2} - 1, \qquad
\frac{x}{k} + 1 = \frac{x-2}{k+1}.
\]
\end{esempio}

Risolvere un'equazione letterale non significa trovare un singolo valore numerico di $x$: significa stabilire, \emph{per ogni possibile valore del parametro}, se l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile, e nel primo caso esprimere la soluzione in funzione del parametro stesso.

\subsection{La forma canonica A x = B}
\label{sub:AA-016-03-forma-canonica}

Ogni equazione letterale di primo grado in $x$ può essere ricondotta, con i soliti passaggi (sviluppo dei prodotti, trasporto di termini, riduzione), alla forma
\[
A\,x \;=\; B,
\]
dove $A$ e $B$ sono espressioni che dipendono \emph{solo dal parametro}.

A questo punto sembrerebbe naturale dividere per $A$ e scrivere $x = B/A$. Ma attenzione: \textbf{non sappiamo se $A$ è diverso da zero}. La risposta dipende dal parametro. Dobbiamo dunque distinguere i casi.

\begin{formulabox}
\textbf{Discussione di $\,A\,x = B\,$.}
\[
\begin{cases}
A \neq 0 & \Longrightarrow \quad x = \dfrac{B}{A} \quad \text{(equazione \emph{determinata})}\\[1ex]
A = 0 \;\text{e}\; B = 0 & \Longrightarrow \quad \text{ogni $x$ è soluzione (equazione \emph{indeterminata})}\\[1ex]
A = 0 \;\text{e}\; B \neq 0 & \Longrightarrow \quad \text{nessuna soluzione (equazione \emph{impossibile})}
\end{cases}
\]
\end{formulabox}

L'albero decisionale di figura~\ref{fig:AA-016-albero-discussione} riassume graficamente i tre casi.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[
    >=stealth,
    every node/.style={font=\small},
    radice/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=BLU, very thick,
        fill=BLU!10, align=center,
        minimum width=30mm, minimum height=8mm
    },
    domanda/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=ARANCIO, very thick,
        fill=ARANCIO!15, align=center,
        minimum width=28mm, minimum height=8mm
    },
    determinata/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=VERDE, very thick,
        fill=VERDE!15, align=center,
        minimum width=36mm, minimum height=10mm
    },
    indeterminata/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=VIOLA, very thick,
        fill=VIOLA!15, align=center,
        minimum width=36mm, minimum height=10mm
    },
    impossibile/.style={
        rectangle, rounded corners, draw=ROSSO, very thick,
        fill=ROSSO!15, align=center,
        minimum width=36mm, minimum height=10mm
    },
    ramo/.style={->, thick, BLU!70!black},
    etichetta/.style={font=\small\bfseries, midway}
]
% radice
\node[radice] (root) {$A\,x = B$};
% primo bivio: A = 0 ?
\node[domanda, below=12mm of root] (Aq) {È $A = 0$?};
\draw[ramo] (root) -- (Aq);

% ramo "no" (A != 0): determinata
\node[determinata, below left=14mm and 14mm of Aq] (det)
    {Determinata\\$x = \dfrac{B}{A}$};
\draw[ramo] (Aq) -- node[etichetta, above left, text=VERDE!50!black] {NO} (det);

% ramo "sì" (A = 0): seconda domanda su B
\node[domanda, below right=14mm and 14mm of Aq] (Bq) {È $B = 0$?};
\draw[ramo] (Aq) -- node[etichetta, above right, text=ROSSO!70!black] {SÌ} (Bq);

% B = 0 -> indeterminata
\node[indeterminata, below left=14mm and -10mm of Bq] (ind)
    {Indeterminata\\($\forall x \in \mathbb{R}$)};
\draw[ramo] (Bq) -- node[etichetta, above left, text=VIOLA!50!black] {SÌ} (ind);

% B != 0 -> impossibile
\node[impossibile, below right=14mm and -10mm of Bq] (imp)
    {Impossibile\\($S = \varnothing$)};
\draw[ramo] (Bq) -- node[etichetta, above right, text=ROSSO!70!black] {NO} (imp);
\end{tikzpicture}
\caption{Albero decisionale per la discussione di un'equazione letterale ridotta in forma $A\,x = B$.}
\label{fig:AA-016-albero-discussione}
\end{figure}

\subsection{Un primo esempio guidato}
\label{sub:AA-016-03-esempio-guidato}

\begin{esempio}
Discutere e risolvere, al variare del parametro $k$, l'equazione
\[
k\,x + 2 \;=\; x - k.
\]

\textbf{Riduzione alla forma canonica.}
Trasportiamo i termini in $x$ a sinistra e i termini noti a destra:
\[
k\,x - x \;=\; -\,k - 2
\;\Longleftrightarrow\;
(k - 1)\,x \;=\; -(k+2).
\]
Quindi $A = k-1$, $B = -(k+2)$.

\smallskip
\textbf{Discussione.}

\smallskip
\noindent\textit{Caso 1:} $A \neq 0$, cioè $k \neq 1$. L'equazione è determinata e
\[
x \;=\; \frac{-(k+2)}{k-1} \;=\; \frac{k+2}{1-k}.
\]

\noindent\textit{Caso 2:} $A = 0$, cioè $k = 1$. Sostituendo, $B = -(1+2) = -3 \neq 0$. L'equazione diventa $0 \cdot x = -3$, che non ammette soluzione: \emph{impossibile}.

\smallskip
\textbf{Riepilogo.}
\[
\begin{cases}
k \neq 1 : & x = \dfrac{k+2}{1-k} \quad \text{(determinata)}\\[1.2ex]
k = 1   : & \text{impossibile}
\end{cases}
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[con caso indeterminato]
Discutere
\[
(k-2)\,x \;=\; k^{2} - 4.
\]

\textbf{Discussione.}

\smallskip
\noindent\textit{Caso 1:} $k - 2 \neq 0$, cioè $k \neq 2$. Allora
\[
x \;=\; \frac{k^{2}-4}{k-2} \;=\; \frac{(k-2)(k+2)}{k-2} \;=\; k+2.
\]

\noindent\textit{Caso 2:} $k - 2 = 0$, cioè $k = 2$. Allora $B = k^{2} - 4 = 0$. L'equazione diventa $0 \cdot x = 0$, soddisfatta da \emph{qualunque} $x \in \mathbb{R}$: \emph{indeterminata}.

\smallskip
\textbf{Riepilogo.}
\[
\begin{cases}
k \neq 2 : & x = k+2 \quad \text{(determinata)}\\[1ex]
k = 2   : & \text{indeterminata}
\end{cases}
\]
\end{esempio}

\begin{nota}[Osservazione]
Nei due esempi precedenti il valore $k_{0}$ che annulla il coefficiente $A$ è cruciale: si tratta del valore \emph{critico} del parametro. La discussione consiste essenzialmente nel separare il caso generico ($k \neq k_{0}$) dal caso critico ($k = k_{0}$), e in quest'ultimo guardare il valore di $B$ per decidere fra impossibile e indeterminata.
\end{nota}

% =====================================================================
\section{Casi particolari nell'equazione parametrica}
\label{sec:AA-016-04-casi-particolari}
% =====================================================================

Le situazioni più ricche — e più interessanti — nascono quando il parametro entra in gioco in più punti dell'equazione: ai denominatori, in coefficienti che si annullano per più valori, oppure simultaneamente all'incognita e al parametro al denominatore. In questi casi le \emph{condizioni di esistenza riguardano sia $x$ sia il parametro}, e la verifica finale può scartare ulteriori valori del parametro.

\subsection{Parametro al denominatore}
\label{sub:AA-016-04-parametro-denominatore}

Quando il parametro compare al denominatore, oltre alle C.E. sull'incognita dobbiamo imporre che il denominatore non si annulli \emph{come funzione del parametro}.

\begin{esempio}
Discutere
\[
\frac{x}{k} + 1 \;=\; \frac{x - 2}{k+1}.
\]

\textbf{C.E.:} $k \neq 0$ \emph{e} $k+1 \neq 0$, cioè $k \neq 0$ e $k \neq -1$. (Per questi valori l'equazione perde di senso.)

\smallskip
\textbf{mcm dei denominatori:} $k\,(k+1)$. Riducendo allo stesso denominatore:
\[
\frac{x\,(k+1) + k\,(k+1)}{k\,(k+1)} \;=\; \frac{k\,(x-2)}{k\,(k+1)}.
\]
Sotto le C.E. il denominatore non è nullo, quindi
\[
x\,(k+1) + k\,(k+1) \;=\; k\,(x-2).
\]
Sviluppando e raccogliendo $x$:
\[
k\,x + x + k^{2} + k \;=\; k\,x - 2k
\;\Longleftrightarrow\;
x \;=\; -k^{2} - 3k \;=\; -k\,(k+3).
\]

\smallskip
\textbf{Discussione.} Per ogni $k \neq 0, -1$ l'equazione è determinata e $x = -k(k+3)$. Per $k = 0$ o $k = -1$ l'equazione \emph{non ha senso}: vanno semplicemente esclusi dal discorso.
\end{esempio}

\begin{nota}[Osservazione]
Quando il parametro è al denominatore, i valori «cattivi» del parametro — quelli che lo annullano — non si dichiarano «impossibili»: per essi l'equazione \emph{nemmeno esiste}. È una distinzione sottile ma importante, da rendere esplicita nella discussione.
\end{nota}

\subsection{Equazioni letterali fratte parametro e incognita al denominatore}
\label{sub:AA-016-04-letterali-fratte}

È il caso più completo: dobbiamo combinare quanto imparato per le fratte (C.E.\ sull'incognita) con la discussione del parametro. Il procedimento generale è:

\begin{enumerate}
  \item determinare le \textbf{C.E.\ sull'incognita} $x$ (in funzione del parametro);
  \item determinare gli eventuali \textbf{valori esclusi del parametro};
  \item ridurre allo stesso denominatore e cancellarlo (lecito sotto le C.E.);
  \item ridurre alla forma canonica $A\,x = B$;
  \item discutere $A$ e $B$ come parametrica;
  \item per ogni soluzione trovata, \textbf{verificare che rispetti le C.E.\ sull'incognita}: i valori del parametro per cui la soluzione cadrebbe nel dominio escluso producono un'equazione \emph{impossibile}.
\end{enumerate}

\begin{esempio}
Discutere e risolvere
\[
\frac{x + a}{x - 1} \;=\; \frac{2}{a}.
\]

\textbf{C.E.\ sull'incognita:} $x \neq 1$.\\
\textbf{Valori esclusi del parametro:} $a \neq 0$.

\smallskip
\textbf{Cancellazione dei denominatori.} Sotto le C.E., $a\,(x-1) \neq 0$, dunque possiamo moltiplicare «in croce»:
\[
a\,(x + a) \;=\; 2\,(x - 1)
\;\Longleftrightarrow\;
a\,x + a^{2} \;=\; 2x - 2
\;\Longleftrightarrow\;
(a - 2)\,x \;=\; -\,(a^{2} + 2).
\]
Quindi $A = a-2$, $B = -(a^{2}+2)$.

\smallskip
\textbf{Discussione.}

\smallskip
\noindent\textit{Caso 1:} $a-2 \neq 0$, cioè $a \neq 2$ (e già $a \neq 0$). L'equazione è determinata:
\[
x \;=\; \frac{-(a^{2}+2)}{a-2} \;=\; \frac{a^{2}+2}{2-a}.
\]

\noindent\textit{Caso 2:} $a = 2$. Allora $B = -(4+2) = -6 \neq 0$: equazione \emph{impossibile}.

\smallskip
\textbf{Verifica delle C.E.\ sull'incognita.} Imponiamo $x \neq 1$ alla soluzione del Caso 1:
\[
\frac{a^{2}+2}{2-a} \;\neq\; 1
\;\Longleftrightarrow\;
a^{2}+2 \;\neq\; 2 - a
\;\Longleftrightarrow\;
a^{2} + a \;\neq\; 0
\;\Longleftrightarrow\;
a\,(a+1) \;\neq\; 0,
\]
cioè $a \neq 0$ \emph{e} $a \neq -1$. Il valore $a = 0$ era già escluso; il nuovo valore $a = -1$ produce $x = 1$, che \emph{viola la C.E.\ sull'incognita}: per $a = -1$ l'equazione è dunque \emph{impossibile}.

\smallskip
\textbf{Riepilogo finale.}
\[
\begin{cases}
a = 0   : & \text{equazione priva di senso}\\[0.4ex]
a = 2   : & \text{impossibile}\\[0.4ex]
a = -1  : & \text{impossibile (la soluzione formale viola la C.E.)}\\[0.4ex]
a \neq 0,\ 2,\ -1 : & x = \dfrac{a^{2}+2}{2-a}\quad \text{(determinata)}
\end{cases}
\]
\end{esempio}

\begin{nota}[Osservazione]
Il valore $a = -1$ è particolarmente istruttivo: dal solo bilancio $A,\,B$ avremmo concluso «equazione determinata», e solo la verifica delle C.E.\ sull'incognita rivela che la soluzione formale non è accettabile. È la stessa logica già incontrata nelle equazioni fratte numeriche: la discussione algebrica non basta, il dominio va sempre rispettato.
\end{nota}

% =====================================================================
\section*{Esercizi proposti}
\label{sec:AA-016-esercizi}
% =====================================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}

  \item Determinare le condizioni di esistenza e risolvere:
  \[
  \text{(a)}\ \frac{x-3}{x+4} = 2; \qquad
  \text{(b)}\ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x+2} = 0; \qquad
  \text{(c)}\ \frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^{2}-4} = \frac{1}{x+2}.
  \]

  \item Stabilire se le seguenti soluzioni sono accettabili e concludere:
  \[
  \text{(a)}\ \frac{x+1}{x-3} = \frac{4}{x-3}; \qquad
  \text{(b)}\ \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x-1}{x(x-1)}.
  \]

  \item Discutere, al variare del parametro $k$, l'equazione $(k+3)\,x = k^{2}-9$.

  \item Discutere, al variare del parametro $m$, l'equazione $m^{2}\,x - 1 = m\,x + m$.

  \item Discutere, al variare del parametro $h$, l'equazione $h\,(x-1) = x + h^{2}$.

  \item Discutere, al variare del parametro $k$, l'equazione
  \[
  \frac{x-1}{k} = \frac{x+1}{k-2}.
  \]

  \item Discutere e risolvere, al variare del parametro $a$,
  \[
  \frac{x}{x - a} = \frac{a+1}{a}.
  \]

  \item Determinare per quali valori del parametro $k$ l'equazione
  $(k^{2}-1)\,x = k - 1$ è (a) determinata, (b) indeterminata, (c) impossibile.

  \item Per quali valori del parametro $a$ l'equazione $(a-1)\,x + 2 = a\,x - 3$ ammette come soluzione $x = 5$?

  \item \textit{(Sintesi)} Discutere, al variare del parametro $k$,
  \[
  \frac{2}{x+k} \;=\; \frac{1}{x-1}.
  \]
  Indicare esplicitamente i valori del parametro per cui l'equazione è priva di senso, impossibile, determinata, e in quest'ultimo caso scrivere la soluzione.

\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}

\textbf{Equazioni fratte.}
Un'equazione è \emph{fratta} se l'incognita compare almeno una volta al denominatore. Prima di risolverla si determinano le \emph{condizioni di esistenza} (C.E.), imponendo a ciascun denominatore di essere diverso da zero. Si riduce poi tutto allo stesso denominatore, lo si cancella (lecito sotto le C.E.) e si risolve l'equazione intera ottenuta. Ogni soluzione trovata va confrontata con le C.E.: se le viola, è \emph{non accettabile}.

\medskip
\textbf{Equazioni letterali.}
Un'equazione è \emph{letterale} se contiene, oltre all'incognita, uno o più \emph{parametri}. Riducendola alla forma canonica
\[
A\,x = B,
\]
con $A, B$ funzioni del parametro, la discussione dà tre casi:
\[
\begin{cases}
A \neq 0           & \Longrightarrow\quad x = B/A \quad \text{(determinata)}\\
A = 0,\ B = 0      & \Longrightarrow\quad \text{indeterminata}\\
A = 0,\ B \neq 0   & \Longrightarrow\quad \text{impossibile}
\end{cases}
\]

\medskip
\textbf{Casi particolari.}
\begin{itemize}
  \item Se il parametro compare al denominatore, i suoi valori che lo annullano vanno esclusi: per essi l'equazione \emph{non ha senso}.
  \item Nelle equazioni letterali fratte, alle C.E.\ sull'incognita si aggiungono i valori esclusi del parametro. La soluzione formale va sempre verificata contro le C.E.\ sull'incognita: i valori del parametro per cui la soluzione cadrebbe nel dominio escluso producono \emph{impossibilità}.
\end{itemize}

\medskip
\textbf{Tre tipi di «niente soluzione» da non confondere}: equazione \emph{priva di senso} (parametro fuori dominio), equazione \emph{impossibile} ($S = \varnothing$), soluzione \emph{non accettabile} (esiste ma viola le C.E.).

\end{riepilogo}