\chapter{Sistemi di disequazioni di primo grado}\label{cap:AA-018}

\citazioneinizio{Condurre per ordine i miei pensieri, cominciando dagli oggetti più semplici e più facili a conoscere, per salire a poco a poco, come per gradi, fino alla conoscenza dei più composti.}{René Descartes, Discorso sul metodo}

\noindent
In molti problemi reali, una sola disequazione non è sufficiente a descrivere le condizioni richieste: occorre soddisfare \emph{più vincoli contemporaneamente}. Pensiamo a un terreno rettangolare di area minima $\SI{200}{\meter\squared}$ e perimetro massimo $\SI{80}{\meter}$, o al budget di una scuola che deve coprire più tipi di spesa, o ancora ai parametri di un farmaco la cui dose va tenuta sopra una soglia di efficacia ma sotto una soglia di tossicità. In tutti questi casi, le condizioni del problema si traducono in un \emph{sistema di disequazioni}, e la soluzione del problema è l'insieme dei valori che soddisfano \emph{tutte} le disequazioni del sistema.

In questo capitolo definiamo i sistemi di disequazioni di primo grado, presentiamo la procedura risolutiva (basata sull'\emph{intersezione} delle soluzioni delle singole disequazioni) e introduciamo le \emph{doppie disequazioni}, che sono il caso particolare in cui la stessa espressione è confrontata simultaneamente con due valori.

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\section{Sistemi di disequazioni}\label{sec:AA-018-01}

Nel \autoref{cap:AA-017} abbiamo imparato a risolvere una singola disequazione di primo grado in una incognita: il risultato è un sottoinsieme di $\R$, tipicamente una semiretta o un intervallo. Quando le disequazioni sono più di una, e devono essere soddisfatte \emph{tutte contemporaneamente}, parliamo di \emph{sistema}.

\begin{definizione}[Sistema di disequazioni]
Un \textbf{sistema di disequazioni} in una incognita $x$ è l'insieme di due o più disequazioni di cui si cercano le soluzioni \emph{comuni}, cioè i valori di $x$ che soddisfano \emph{tutte} le disequazioni simultaneamente. Si scrive racchiudendo le disequazioni in una graffa:
\[
\begin{cases}
    a_1 x + b_1 \gtrless 0 \\
    a_2 x + b_2 \gtrless 0 \\
    \;\;\vdots
\end{cases}
\]
La \textbf{soluzione del sistema} è l'\emph{intersezione} degli insiemi soluzione delle singole disequazioni:
\[ S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n , \]
dove $S_i$ è l'insieme delle soluzioni della $i$-esima disequazione.
\end{definizione}

\noindent
La parola chiave è \emph{intersezione}: un valore $x$ è soluzione del sistema se e solo se è soluzione di \emph{ogni} disequazione. Se anche una sola disequazione non è soddisfatta, $x$ è escluso.

\begin{attenzione}
\textbf{Sistema di disequazioni $\neq$ unione di disequazioni.} L'intersezione corrisponde al ``e'' logico (\emph{tutte} le condizioni devono valere). L'unione, che corrisponderebbe al ``oppure'' logico (\emph{almeno una} delle condizioni deve valere), non si esprime con un sistema ma scrivendo le condizioni separate da ``oppure'' o usando i collegamenti logici. Un sistema impone sempre la richiesta \emph{simultanea} di tutte le sue righe.
\end{attenzione}

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\section{Risoluzione e rappresentazione grafica}\label{sec:AA-018-02}

La procedura risolutiva di un sistema di disequazioni segue dalla definizione: si risolve ciascuna disequazione separatamente, e poi si intersecano gli insiemi soluzione.

\begin{procedura}[Risoluzione di un sistema di disequazioni]
\begin{enumerate}
    \item \textbf{Risolvi ciascuna disequazione} del sistema \emph{separatamente}, ottenendo gli insiemi soluzione $S_1, S_2, \dots, S_n$.
    \item \textbf{Rappresenta ogni $S_i$ su una retta numerica} dedicata, segnando con tratto continuo (o con campitura) la zona delle soluzioni.
    \item \textbf{Affianca le rette numeriche} (una sopra all'altra, con gli zeri allineati) per visualizzare graficamente l'intersezione.
    \item \textbf{Determina la zona di intersezione}: è la regione in cui \emph{tutte} le rette numeriche segnano simultaneamente la presenza delle soluzioni.
    \item \textbf{Scrivi l'insieme soluzione} $S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n$ usando la notazione algebrica (intervallo, semiretta, oppure $S = \varnothing$ se non esiste alcuna soluzione comune).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\subsection*{Casi particolari nel risultato}

Il risultato di un sistema può assumere tre forme.

\begin{itemize}
    \item \textbf{Soluzione non vuota}: l'intersezione è un intervallo (limitato o illimitato), una semiretta, oppure tutto $\R$. È il caso tipico.
    \item \textbf{Soluzione vuota}: $S = \varnothing$. Le condizioni del sistema sono incompatibili fra loro: non esiste alcun valore di $x$ che le soddisfi tutte. Si dice che il sistema è \emph{impossibile}.
    \item \textbf{Soluzione totale}: $S = \R$. Ogni numero reale soddisfa tutte le disequazioni. Si dice che il sistema è \emph{indeterminato} (o \emph{soddisfatto da ogni $x \in \R$}). È un caso meno comune ma possibile.
\end{itemize}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
    % --- Esempio: sistema risolto a intervallo limitato ---
    % S1: x > 1
    \draw[BLU, thick] (-3, 2) -- (5, 2);
    \foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4} {
        \draw[BLU, thin] (\x, 1.9) -- (\x, 2.1);
        \node[font=\scriptsize, below] at (\x, 1.9) {$\x$};
    }
    % Cerchio aperto in 1, freccia a destra
    \draw[VERDE, very thick] (1, 2) -- (5, 2);
    \draw[VERDE, fill=white, thick] (1, 2) circle (3pt);
    \node[anchor=west, font=\small] at (5.2, 2) {$S_1: x > 1$};

    % S2: x < 4
    \draw[BLU, thick] (-3, 0.5) -- (5, 0.5);
    \foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4} {
        \draw[BLU, thin] (\x, 0.4) -- (\x, 0.6);
        \node[font=\scriptsize, below] at (\x, 0.4) {$\x$};
    }
    \draw[VERDE, very thick] (-3, 0.5) -- (4, 0.5);
    \draw[VERDE, fill=white, thick] (4, 0.5) circle (3pt);
    \node[anchor=west, font=\small] at (5.2, 0.5) {$S_2: x < 4$};

    % Intersezione
    \draw[BLU, thick] (-3, -1) -- (5, -1);
    \foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4} {
        \draw[BLU, thin] (\x, -1.1) -- (\x, -0.9);
        \node[font=\scriptsize, below] at (\x, -1.1) {$\x$};
    }
    \draw[ROSSO, very thick] (1, -1) -- (4, -1);
    \draw[ROSSO, fill=white, thick] (1, -1) circle (3pt);
    \draw[ROSSO, fill=white, thick] (4, -1) circle (3pt);
    \node[anchor=west, font=\small] at (5.2, -1) {$S = S_1 \cap S_2$};
    \node[anchor=west, font=\small] at (5.2, -1.5) {$1 < x < 4$};

    % Riga separatrice
    \draw[GRIGIO!50, thin] (-3.2, -0.25) -- (5.2, -0.25);
\end{tikzpicture}
\caption{Rappresentazione grafica della risoluzione di un sistema di due disequazioni. La prima ha come insieme soluzione $S_1: x > 1$, la seconda $S_2: x < 4$. L'intersezione $S = S_1 \cap S_2$ è l'intervallo aperto $1 < x < 4$, segnato dal tratto rosso sotto la riga separatrice.}
\label{fig:AA-018-grafica-base}
\end{figure}

\subsection*{Insiemi di soluzione: notazione}

L'insieme delle soluzioni può essere scritto in più forme equivalenti. Per un sistema con soluzione $1 < x < 4$:
\begin{itemize}
    \item \textbf{forma con disuguaglianze}: $1 < x < 4$;
    \item \textbf{forma insiemistica}: $S = \{x \in \R : 1 < x < 4\}$;
    \item \textbf{forma a intervallo}: $S = (1, 4)$ (intervallo aperto da $1$ a $4$).
\end{itemize}
Le parentesi tonde indicano estremi \emph{esclusi}; le quadre indicano estremi \emph{inclusi}. Quindi $(1, 4]$ corrisponde a $1 < x \leq 4$, e $[1, 4]$ corrisponde a $1 \leq x \leq 4$.

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\section{Doppie disequazioni}\label{sec:AA-018-03}

Un caso molto frequente di sistema, che merita un nome proprio, è quello in cui una stessa espressione è confrontata simultaneamente con due valori.

\begin{definizione}[Doppia disequazione]
Una \textbf{doppia disequazione} è una scrittura della forma
\[ a \lessgtr f(x) \lessgtr b , \]
dove $a$ e $b$ sono numeri reali (di solito $a < b$) e $f(x)$ è un'espressione che dipende da $x$. Una doppia disequazione è \emph{equivalente} al sistema
\[
\begin{cases}
    f(x) \lessgtr a \\
    f(x) \lessgtr b
\end{cases}
\]
(con i due segni $\lessgtr$ coerenti con la scrittura originale).
\end{definizione}

\noindent
Ad esempio:
\[ 2 < 3x - 1 < 8 \iff \begin{cases} 3x - 1 > 2 \\ 3x - 1 < 8 \end{cases} \]

\subsection*{Risoluzione con e senza ridursi al sistema}

Per le doppie disequazioni esiste una scorciatoia: si possono operare le \emph{stesse trasformazioni su tutti e tre i membri} simultaneamente, finché si arriva a isolare $x$ al centro. Le regole sono le stesse del \autoref{cap:AA-017}:
\begin{itemize}
    \item si può sommare (o sottrarre) lo stesso numero a tutti e tre i membri;
    \item si può moltiplicare (o dividere) tutti e tre i membri per uno stesso numero \emph{positivo} senza cambiare i versi;
    \item se si moltiplica (o si divide) per un numero \emph{negativo}, si invertono \emph{entrambi} i versi delle disuguaglianze.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Risoluzione diretta di una doppia disequazione]
Risolviamo la doppia disequazione $2 < 3x - 1 < 8$.

\smallskip
\noindent\textbf{Trasformazione su tutti e tre i membri.} Aggiungiamo $1$:
\[ 2 + 1 < 3x - 1 + 1 < 8 + 1 , \qquad 3 < 3x < 9 . \]
Dividiamo per $3$ (positivo, i versi restano invariati):
\[ \frac{3}{3} < \frac{3x}{3} < \frac{9}{3} , \qquad 1 < x < 3 . \]

\noindent\textbf{Insieme soluzione.} $S = (1, 3) = \{x \in \R : 1 < x < 3\}$.
\end{esempio}

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\section*{Esempi svolti}\label{sec:aa-018-04-esempi-svolti}

\begin{esempio}[Sistema di due disequazioni]
Risolviamo il sistema
\[
\begin{cases}
    2x + 5 > 3 \\
    -x + 4 \geq 0
\end{cases}
\]

\smallskip
\noindent\textbf{Risoluzione di ciascuna disequazione.}

\smallskip
\noindent\emph{Prima disequazione.}
\[ 2x + 5 > 3 \iff 2x > -2 \iff x > -1 . \]
Quindi $S_1 = \{x \in \R : x > -1\} = (-1, +\infty)$.

\smallskip
\noindent\emph{Seconda disequazione.}
\[ -x + 4 \geq 0 \iff -x \geq -4 \iff x \leq 4 \]
(dividendo per $-1$ si invertono il verso). Quindi $S_2 = \{x \in \R : x \leq 4\} = (-\infty, 4]$.

\smallskip
\noindent\textbf{Intersezione.} Affianchiamo le due soluzioni su rette numeriche e cerchiamo la zona in comune:
\[ S = S_1 \cap S_2 = \{x \in \R : -1 < x \leq 4\} = (-1, 4] . \]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema di tre disequazioni]
Risolviamo il sistema
\[
\begin{cases}
    3(x-1) \leq 2x + 5 \\
    x + 7 > 2x - 3 \\
    \dfrac{x}{2} + 1 \geq 0
\end{cases}
\]

\smallskip
\noindent\textbf{Risoluzione delle tre disequazioni.}

\smallskip
\noindent\emph{Prima.}
\[ 3x - 3 \leq 2x + 5 \iff x \leq 8 , \qquad S_1 = (-\infty, 8] . \]

\smallskip
\noindent\emph{Seconda.}
\[ x + 7 > 2x - 3 \iff -x > -10 \iff x < 10 , \qquad S_2 = (-\infty, 10) . \]

\smallskip
\noindent\emph{Terza.}
\[ \frac{x}{2} + 1 \geq 0 \iff \frac{x}{2} \geq -1 \iff x \geq -2 , \qquad S_3 = [-2, +\infty) . \]

\smallskip
\noindent\textbf{Intersezione.} La soluzione comune è l'insieme dei valori che soddisfano tutte e tre le condizioni: $x \leq 8$, $x < 10$, $x \geq -2$. La condizione $x < 10$ è implicata da $x \leq 8$ (un numero minore o uguale a $8$ è automaticamente minore di $10$): non aggiunge restrizioni. Restano $x \geq -2$ e $x \leq 8$:
\[ S = S_1 \cap S_2 \cap S_3 = \{x \in \R : -2 \leq x \leq 8\} = [-2, 8] . \]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema impossibile]
Risolviamo il sistema
\[
\begin{cases}
    x - 3 > 5 \\
    2x + 1 < 9
\end{cases}
\]

\smallskip
\noindent\textbf{Risoluzione.}
\[ x - 3 > 5 \iff x > 8 , \qquad S_1 = (8, +\infty) , \]
\[ 2x + 1 < 9 \iff 2x < 8 \iff x < 4 , \qquad S_2 = (-\infty, 4) . \]

\smallskip
\noindent\textbf{Intersezione.} Cerchiamo i valori $x$ con $x > 8$ \emph{e} $x < 4$. Non esiste alcun numero reale che sia simultaneamente maggiore di $8$ e minore di $4$:
\[ S = S_1 \cap S_2 = \varnothing . \]

\smallskip
Il sistema è \emph{impossibile}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema soddisfatto da ogni $x \in \R$]
Risolviamo il sistema
\[
\begin{cases}
    2(x+1) > 2x - 3 \\
    -3x + 5 \leq 5 - 3x + 2
\end{cases}
\]

\smallskip
\noindent\textbf{Prima disequazione.}
\[ 2x + 2 > 2x - 3 \iff 2 > -3 . \]
È sempre vera, indipendentemente da $x$: $S_1 = \R$.

\smallskip
\noindent\textbf{Seconda disequazione.}
\[ -3x + 5 \leq 7 - 3x \iff 5 \leq 7 . \]
Anch'essa sempre vera: $S_2 = \R$.

\smallskip
\noindent\textbf{Intersezione.}
\[ S = S_1 \cap S_2 = \R \cap \R = \R . \]
Il sistema è soddisfatto da \emph{ogni} numero reale.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Doppia disequazione risolvibile in più modi]
Risolviamo la doppia disequazione $-4 \leq 2 - 3x < 5$, sia ``direttamente'' sui tre membri, sia trasformandola in un sistema.

\smallskip
\noindent\textbf{Metodo 1: risoluzione diretta.}

\smallskip
Sottraiamo $2$ a tutti e tre i membri:
\[ -4 - 2 \leq 2 - 3x - 2 < 5 - 2 , \qquad -6 \leq -3x < 3 . \]

Dividiamo per $-3$ (negativo): si invertono \emph{entrambi} i versi:
\[ \frac{-6}{-3} \geq \frac{-3x}{-3} > \frac{3}{-3} , \qquad 2 \geq x > -1 , \]
che equivale a $-1 < x \leq 2$. Quindi $S = (-1, 2]$.

\smallskip
\noindent\textbf{Metodo 2: come sistema.}
\[ -4 \leq 2 - 3x < 5 \iff \begin{cases} 2 - 3x \geq -4 \\ 2 - 3x < 5 \end{cases} \]

\smallskip
\emph{Prima.}
\[ 2 - 3x \geq -4 \iff -3x \geq -6 \iff x \leq 2 . \]

\emph{Seconda.}
\[ 2 - 3x < 5 \iff -3x < 3 \iff x > -1 . \]

\smallskip
Intersecando: $S = \{x \in \R : -1 < x \leq 2\} = (-1, 2]$.

\smallskip
I due metodi sono equivalenti; il primo è più rapido, il secondo è più sistematico e robusto (specialmente se la doppia disequazione è complicata o coinvolge moltiplicazioni per quantità di segno non noto).
\end{esempio}

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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
    \item Risolvi i seguenti sistemi di due disequazioni, rappresentando graficamente le soluzioni.
        \begin{enumerate}
            \item $\begin{cases} 3x - 2 > 4 \\ -x + 7 \geq 0 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} 2x + 1 \leq 5 \\ x - 3 > -1 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} -2x + 4 \geq 0 \\ x + 5 < 8 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} 4x - 1 \geq 7 \\ -3x \leq -6 \end{cases}$
        \end{enumerate}
    \item Risolvi i seguenti sistemi di tre disequazioni.
        \begin{enumerate}
            \item $\begin{cases} x + 2 > 0 \\ 2x - 3 \leq 5 \\ 1 - x < 4 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} 3x - 1 \geq -7 \\ x + 6 < 10 \\ -2x + 5 \leq 9 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} 2(x-1) > x - 3 \\ \dfrac{x}{2} \leq 4 \\ x + 1 \geq -2 \end{cases}$
        \end{enumerate}
    \item Stabilisci se ciascuno dei seguenti sistemi è impossibile, indeterminato o ha soluzione non banale; nei casi non banali, scrivi l'insieme soluzione.
        \begin{enumerate}
            \item $\begin{cases} x + 3 > 5 \\ x - 1 < 0 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} 2x \geq 6 \\ x - 1 < 8 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} 3(x+1) > 3x \\ 2 - x \leq 2 - x + 1 \end{cases}$
            \item $\begin{cases} x + 4 \leq 4 \\ -x + 2 \leq 2 \end{cases}$
        \end{enumerate}
    \item Risolvi le seguenti doppie disequazioni, usando il metodo che preferisci.
        \begin{enumerate}
            \item $-3 < x + 2 < 7$;
            \item $1 \leq 2x - 5 \leq 9$;
            \item $-6 < 3 - 2x \leq 5$;
            \item $0 \leq \dfrac{x-1}{4} < 2$.
        \end{enumerate}
    \item Per ciascuna doppia disequazione del precedente esercizio, scrivi il sistema equivalente e verifica che produce lo stesso insieme soluzione.
    \item Determina i valori di $x$ per cui il numero $2x - 3$ è simultaneamente positivo e minore di $11$.
    \item Un terreno rettangolare ha base $\SI{30}{\meter}$ e altezza incognita $x$ (in metri). Si vogliono determinare i valori di $x$ per cui l'area è compresa fra $\SI{300}{\meter\squared}$ e $\SI{600}{\meter\squared}$ (estremi inclusi).
        \begin{enumerate}
            \item Scrivi il sistema di disequazioni che modella la condizione.
            \item Risolvi il sistema e interpreta il risultato.
        \end{enumerate}
    \item Un commerciante vuole acquistare un certo numero di articoli a $\num{15}~€$ l'uno, spendendo non meno di $\num{120}~€$ e non più di $\num{300}~€$.
        \begin{enumerate}
            \item Scrivi il sistema (o doppia disequazione) che modella la condizione, detta $n$ la quantità incognita.
            \item Quanti articoli può acquistare?
        \end{enumerate}
    \item Vero o falso? Motiva la risposta.
        \begin{enumerate}
            \item Un sistema di tre disequazioni può avere come soluzione un singolo punto.
            \item Un sistema con tutte le disequazioni soddisfatte da ogni $x \in \R$ è indeterminato.
            \item Se l'insieme soluzione di una delle disequazioni è $\varnothing$, allora anche il sistema è impossibile.
            \item Una doppia disequazione del tipo $a \leq f(x) < b$ ha sempre come soluzione un intervallo del tipo $[c, d)$.
        \end{enumerate}
    \item Per quali valori di $k \in \R$ il sistema
        \[ \begin{cases} x > 3 \\ x < k \end{cases} \]
        ammette soluzioni? In tal caso, qual è l'insieme soluzione in funzione di $k$?
    \item Determina i valori di $x \in \R$ per cui il numero $\dfrac{2x + 1}{3}$ appartiene all'intervallo $\left[ -1, 5 \right)$.
    \item Sia $f(x) = 2x - 5$. Determina gli $x$ per cui $|f(x)| < 7$. (Suggerimento: anticipa il \autoref{cap:AA-019}, ricordando che $|y| < c$ equivale alla doppia disequazione $-c < y < c$.)
    \item Risolvi il seguente sistema misto con parametro:
        \[ \begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + a \leq 5 \end{cases} \]
        in funzione del parametro $a \in \R$.
\end{enumerate}

\smallskip
\hrule
\smallskip
\noindent\textbf{$\blacktriangleright$~Soluzioni svolte (esercizi 1--13):} \href{run:soluzioni-AA-018.pdf}{soluzioni-AA-018.pdf} (PDF allegato).
\end{eserciziobox}

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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
    \item Un \textbf{sistema di disequazioni} è una raccolta di due o più disequazioni di cui si cercano le soluzioni \emph{comuni}: la soluzione del sistema è l'\emph{intersezione} $S = S_1 \cap S_2 \cap \dots \cap S_n$ degli insiemi soluzione delle singole disequazioni.
    \item La \textbf{procedura risolutiva} consiste nel risolvere ciascuna disequazione separatamente e poi intersecare gli insiemi soluzione, tipicamente con l'aiuto di una rappresentazione grafica con rette numeriche affiancate.
    \item Tre casi possibili per il risultato:
        \begin{itemize}
            \item soluzione \emph{non vuota} (intervallo, semiretta, o $\R$);
            \item soluzione \emph{vuota} ($S = \varnothing$): il sistema è \textbf{impossibile};
            \item soluzione totale ($S = \R$): il sistema è \textbf{indeterminato}.
        \end{itemize}
    \item Una \textbf{doppia disequazione} $a \lessgtr f(x) \lessgtr b$ è equivalente al sistema delle due disequazioni $f(x) \lessgtr a$ e $f(x) \lessgtr b$. Si può risolvere:
        \begin{itemize}
            \item \emph{direttamente}: operando le stesse trasformazioni su tutti e tre i membri (attenzione all'inversione dei versi quando si moltiplica per un numero negativo);
            \item \emph{come sistema}: trasformandola in due disequazioni e procedendo per intersezione.
        \end{itemize}
    \item Notazione degli intervalli: parentesi tonde per estremi \emph{esclusi}, quadre per estremi \emph{inclusi}; $\R = (-\infty, +\infty)$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}