\chapter{Equazioni e disequazioni con valore assoluto}\label{cap:AA-019}

\citazioneinizio{%
  Il valore assoluto è la distanza, e la distanza non ha mai segno: è ciò che resta delle relazioni quando si dimentica la direzione.%
}{adattamento da un manuale di calcolo classico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-019-01-introduzione-motivazionale}
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Il valore assoluto $|x|$ — che abbiamo incontrato nei capitoli \ref{cap:AA-001} e \ref{cap:AA-009} — è la \emph{distanza} di un numero da zero sulla retta reale. È una grandezza sempre non negativa, e questa proprietà semplice ma fondamentale rende le equazioni e le disequazioni che lo contengono \emph{più delicate} di quanto suggerisca l'apparenza: l'equazione $|x|=5$ non ha una soluzione, ne ha \emph{due}; la disequazione $|x|<3$ non descrive una semiretta, ma una \emph{striscia}.

In questo capitolo studiamo sistematicamente le equazioni e disequazioni della forma $|f(x)|=k$, $|f(x)|<k$, $|f(x)|>k$, e poi quelle più generali con $g(x)$ al secondo membro o con \emph{più moduli} insieme. Per ognuna vedremo due strategie equivalenti:
\begin{itemize}
  \item la \emph{lettura come distanza}, geometricamente intuitiva;
  \item il \emph{metodo per casi}, basato sulla definizione di valore assoluto.
\end{itemize}

Le competenze qui apprese saranno utilissime quando incontreremo errori sperimentali in fisica, intorni in analisi (capitolo \ref{cap:AN-001}), e la continuità di una funzione (capitolo \ref{cap:AN-005}).

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\section{Definizione di valore assoluto e proprietà}\label{sec:aa-019-01-definizione-di-valore-assoluto-e-proprieta}
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\begin{definizione}[Valore assoluto]
Per ogni $x\in\R$, il \textbf{valore assoluto} di $x$ è
\[
  |x| =
  \begin{cases}
    x  & \text{se } x\ge 0,\\
    -x & \text{se } x<0.
  \end{cases}
\]
Geometricamente, $|x|$ è la distanza del punto $x$ dall'origine sulla retta reale.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Proprietà del valore assoluto]
Per ogni $x,y\in\R$:
\begin{itemize}
  \item $|x|\ge 0$, con $|x|=0\Leftrightarrow x=0$;
  \item $|x|=|-x|$;
  \item $|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$;
  \item $\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}$ per $y\neq 0$;
  \item \emph{disuguaglianza triangolare}: $|x+y|\le |x| + |y|$;
  \item \emph{disuguaglianza triangolare inversa}: $\bigl||x|-|y|\bigr| \le |x-y|$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea).} Tutte si verificano analizzando i due casi $x\ge 0$ e $x<0$ (o le quattro combinazioni di segno per le formule con due variabili). La disuguaglianza triangolare segue dalla definizione e da $-|x|\le x\le |x|$.

\begin{nota}[Lettura come distanza]
Più in generale, $|a-b|$ è la \emph{distanza tra i punti $a$ e $b$} sulla retta reale: $|3-7|=|{-4}|=4$, distanza fra $3$ e $7$.
\end{nota}

\begin{formulabox}
\[
  |x-x_0| = \text{distanza tra } x \text{ e } x_0.
\]
\end{formulabox}

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\section{Equazioni con un valore assoluto}\label{sec:aa-019-02-equazioni-con-un-valore-assoluto}
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\subsection*{Forma $|f(x)| = k$ con $k$ costante}

\begin{teorema}
Sia $k\in\R$. L'equazione $|f(x)|=k$:
\begin{itemize}
  \item se $k<0$, è \emph{impossibile} (un valore assoluto non può essere negativo);
  \item se $k=0$, equivale a $f(x)=0$;
  \item se $k>0$, equivale a $f(x)=k\ \lor\ f(x)=-k$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Per definizione $|f(x)|=k$ con $k\ge 0$ significa che la distanza $|f(x)|$ è $k$, ossia $f(x)$ è uno dei due numeri a distanza $k$ dallo $0$: $+k$ oppure $-k$.

\begin{esempio}
$|x-2|=5$.

\textit{Soluzione.} Il secondo membro è $5>0$. Allora $x-2=5\ \lor\ x-2=-5$, da cui $x=7\ \lor\ x=-3$. Le soluzioni sono $\{-3,\,7\}$.

Lettura geometrica: i due numeri a distanza $5$ da $2$ sono proprio $7$ e $-3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}
$|3x+1|=-2$.

\textit{Soluzione.} Il secondo membro è negativo. \emph{Impossibile}: nessuna soluzione.
\end{esempio}

\subsection*{Forma $|f(x)| = |g(x)|$}

\begin{teorema}
$|f(x)|=|g(x)| \iff f(x)=g(x)\ \lor\ f(x)=-g(x)$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} I due valori assoluti sono uguali se e solo se le quantità sotto modulo sono uguali \emph{o opposte}. Equivalentemente: $f^2(x) = g^2(x)$, che si fattorizza come $(f(x)-g(x))(f(x)+g(x))=0$, da cui $f(x)=g(x)$ oppure $f(x)=-g(x)$.

\begin{esempio}
$|x-1|=|2x+3|$.

\textit{Soluzione.} Due possibilità:
\begin{itemize}
  \item $x-1 = 2x+3 \Rightarrow x = -4$.
  \item $x-1 = -(2x+3) = -2x-3 \Rightarrow 3x = -2 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}$.
\end{itemize}
Soluzioni: $\{-4,\ -\tfrac{2}{3}\}$.
\end{esempio}

\subsection*{Forma $|f(x)| = g(x)$ con $g$ espressione variabile}

\begin{teorema}
$|f(x)|=g(x)$ equivale al sistema
\[
  g(x)\ge 0 \quad \land \quad \bigl(f(x)=g(x)\ \lor\ f(x)=-g(x)\bigr).
\]
\end{teorema}

In pratica: prima si impone $g(x)\ge 0$ (perché $|f(x)|\ge 0$), poi si risolvono le due equazioni e si tengono solo le soluzioni accettate dalla condizione di compatibilità.

\begin{esempio}
$|x-3|=2x$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Condizione di accettabilità: $2x\ge 0 \Rightarrow x\ge 0$.
  \item Caso $x-3 = 2x \Rightarrow x = -3$. Non accettabile ($-3 < 0$).
  \item Caso $x-3 = -2x \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x = 1$. Accettabile.
\end{itemize}
Soluzione: $\{1\}$.
\end{esempio}

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\section{Disequazioni con un valore assoluto}\label{sec:aa-019-03-disequazioni-con-un-valore-assoluto}
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\subsection*{Forma $|f(x)| < k$ con $k$ costante}

\begin{teorema}
Sia $k\in\R$. La disequazione $|f(x)|<k$:
\begin{itemize}
  \item se $k\le 0$, è \emph{impossibile} ($|f(x)|\ge 0$ non può essere $<0$);
  \item se $k>0$, equivale a $-k < f(x) < k$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} $|f(x)|<k$ significa che la distanza di $f(x)$ da $0$ è minore di $k$, cioè $f(x)$ giace nell'intervallo aperto $(-k, k)$.

\begin{esempio}
$|x-2|<5$.

\textit{Soluzione.} $-5 < x-2 < 5 \iff -3 < x < 7$. Soluzione: $(-3, 7)$.

Lettura geometrica: $x$ è a distanza minore di $5$ da $2$, cioè nell'intervallo centrato in $2$ di raggio $5$.
\end{esempio}

\subsection*{Forma $|f(x)| > k$ con $k$ costante}

\begin{teorema}
Sia $k\in\R$. La disequazione $|f(x)|>k$:
\begin{itemize}
  \item se $k<0$, è \emph{sempre vera} (ogni reale ha valore assoluto $\ge 0 > k$);
  \item se $k=0$, equivale a $f(x)\neq 0$;
  \item se $k>0$, equivale a $f(x)<-k\ \lor\ f(x)>k$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} $|f(x)|>k>0$ significa che $f(x)$ è \emph{fuori} dall'intervallo chiuso $[-k,k]$, cioè $f(x)<-k$ oppure $f(x)>k$.

\begin{esempio}
$|x-2|\ge 5$.

\textit{Soluzione.} $x-2\le -5\ \lor\ x-2\ge 5$, cioè $x\le -3\ \lor\ x\ge 7$. Soluzione: $(-\infty,-3]\cup[7,+\infty)$.

Lettura geometrica: $x$ è a distanza \emph{almeno} $5$ da $2$, cioè è esterno (o sul bordo) all'intervallo $[-3,7]$.
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Caso |x-2| < 5: intervallo (-3, 7) evidenziato
  \begin{scope}
    \draw[GRIGIO] (-5, 0) -- (9, 0);
    \draw[thick, BLU, ultra thick] (-3, 0) -- (7, 0);
    \draw[BLU, fill=white, thick] (-3, 0) circle (3pt);
    \draw[BLU, fill=white, thick] ( 7, 0) circle (3pt);
    \fill[BLU] (2, 0) circle (3pt);
    \foreach \x in {-5,-3,0,2,5,7,9} {
      \draw[GRIGIO] (\x, -0.1) -- (\x, 0.1);
      \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.15) {\scriptsize$\x$};
    }
    \node[BLU, above] at (2, 0.2) {\small$x_0=2$};
    \node[BLU, align=center] at (4, 1.0) {\small$|x-2|<5$\\\scriptsize\emph{tutto entro $5$ da $2$}};
    \draw[<->, BLU] (-2.7, 0.4) -- (6.7, 0.4) node[midway, above] {\scriptsize raggio $5$};
  \end{scope}
  % Caso |x-2| > 5: due semirette
  \begin{scope}[yshift=-2.5cm]
    \draw[GRIGIO] (-5, 0) -- (9, 0);
    \draw[thick, ROSSO, ultra thick] (-5.5, 0) -- (-3, 0);
    \draw[thick, ROSSO, ultra thick] (7, 0) -- (9.5, 0);
    \draw[ROSSO, fill=white, thick] (-3, 0) circle (3pt);
    \draw[ROSSO, fill=white, thick] ( 7, 0) circle (3pt);
    \fill[ROSSO] (2, 0) circle (3pt);
    \foreach \x in {-5,-3,0,2,5,7,9} {
      \draw[GRIGIO] (\x, -0.1) -- (\x, 0.1);
      \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.15) {\scriptsize$\x$};
    }
    \node[ROSSO, above] at (2, 0.2) {\small$x_0=2$};
    \node[ROSSO, align=center] at (4, 1.0) {\small$|x-2|>5$\\\scriptsize\emph{fuori da $5$ da $2$}};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Lettura geometrica delle disequazioni con valore assoluto. Sopra: $|x-2|<5$ dà la striscia aperta $(-3,7)$ di raggio $5$ centrata in $2$. Sotto: $|x-2|>5$ dà le due semirette esterne, $(-\infty,-3)\cup(7,+\infty)$. Pallino vuoto = estremo escluso.}
\label{fig:aa-019-disequazioni}
\end{figure}

\begin{nota}[Sintesi visiva]
Le due forme si riassumono visivamente come ``\emph{striscia interna}'' ($<$) o ``\emph{due semirette esterne}'' ($>$) rispetto al punto centrale e al raggio dato:
\[
  |x-x_0|<r \iff x\in(x_0-r,\,x_0+r),\quad
  |x-x_0|>r \iff x\in(-\infty,x_0-r)\cup(x_0+r,+\infty).
\]
\end{nota}

\subsection*{Forme $|f(x)| < g(x)$ e $|f(x)| > g(x)$}

\begin{teorema}
Per ogni $f,g$:
\[
  |f(x)| < g(x) \iff g(x)>0 \ \land\ -g(x) < f(x) < g(x),
\]
\[
  |f(x)| > g(x) \iff g(x)<0 \ \lor\ \bigl(g(x)\ge 0\ \land\ (f(x)<-g(x)\ \lor\ f(x)>g(x))\bigr).
\]
\end{teorema}

In pratica: per $|f|<g$ si impone simultaneamente $g>0$ e la doppia disequazione; per $|f|>g$ si distinguono i due casi sul segno di $g$.

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\section{Casi con più moduli}\label{sec:aa-019-04-casi-con-piu-moduli}
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Quando in un'equazione (o disequazione) compaiono \emph{più} valori assoluti, l'approccio sistematico è il \emph{metodo per casi}: si divide la retta reale in intervalli su cui ciascun valore assoluto ha un segno noto, e in ogni intervallo si scrive l'espressione \emph{senza} valori assoluti.

\begin{procedura}[Metodo per casi]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Per ogni valore assoluto $|h_i(x)|$ presente, si trovano i \emph{punti di cambio segno}: le soluzioni di $h_i(x)=0$.
  \item Si suddivide $\R$ negli intervalli delimitati da questi punti.
  \item In ciascun intervallo si scrive ogni $h_i(x)$ con il proprio segno (sapendolo per costruzione): $|h_i(x)|=h_i(x)$ se positivo, $|h_i(x)|=-h_i(x)$ se negativo.
  \item Si risolve l'equazione (o disequazione) ottenuta in ogni intervallo, e si tengono solo le soluzioni appartenenti a quell'intervallo.
  \item Si uniscono le soluzioni dei vari casi.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Due moduli]
Risolvere $|x-1| + |x+2| = 5$.

\textit{Soluzione.} I punti di cambio segno sono $x=1$ (per $|x-1|$) e $x=-2$ (per $|x+2|$). Tre intervalli: $(-\infty,-2)$, $[-2,1)$, $[1,+\infty)$.

\emph{Caso 1: $x<-2$.} $|x-1|=-(x-1)=1-x$; $|x+2|=-(x+2)=-x-2$. L'equazione diventa
\[
  (1-x) + (-x-2) = 5 \iff -2x -1 = 5 \iff x = -3.
\]
$-3 < -2$: accettabile.

\emph{Caso 2: $-2 \le x < 1$.} $|x-1| = 1-x$; $|x+2|=x+2$. L'equazione:
\[
  (1-x) + (x+2) = 5 \iff 3 = 5,
\]
falsa: nessuna soluzione in questo intervallo.

\emph{Caso 3: $x\ge 1$.} $|x-1|=x-1$; $|x+2|=x+2$. L'equazione:
\[
  (x-1) + (x+2) = 5 \iff 2x + 1 = 5 \iff x = 2.
\]
$2\ge 1$: accettabile.

Soluzioni: $\{-3,\, 2\}$. Lettura geometrica: i punti la cui somma delle distanze da $1$ e da $-2$ è $5$.
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  % Retta reale con i punti di cambio segno e i tre intervalli colorati
  \draw[->, GRIGIO] (-5, 0) -- (5, 0);
  % Tacche
  \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} {
    \draw[GRIGIO] (\x, -0.08) -- (\x, 0.08);
    \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.1) {\scriptsize$\x$};
  }
  % Punti di cambio segno
  \fill[ROSSO] (-2, 0) circle (3pt);
  \fill[ROSSO] ( 1, 0) circle (3pt);
  \node[ROSSO, above] at (-2, 0.25) {\small$-2$};
  \node[ROSSO, above] at ( 1, 0.25) {\small$1$};
  % Box che etichettano i tre casi
  \draw[BLU,   thick] (-5, -1.2) -- (-2, -1.2);
  \draw[VERDE, thick] (-2, -1.2) -- ( 1, -1.2);
  \draw[VIOLA, thick] ( 1, -1.2) -- ( 5, -1.2);
  \draw[BLU,   fill=white, thick] (-2, -1.2) circle (2.5pt);
  \draw[VERDE, fill=VERDE] (-2, -1.2) circle (2pt);
  \draw[VERDE, fill=white, thick] ( 1, -1.2) circle (2.5pt);
  \draw[VIOLA, fill=VIOLA] ( 1, -1.2) circle (2pt);
  \node[BLU, align=center]   at (-3.5, -1.7) {\scriptsize caso 1\\\scriptsize $|x-1|=1-x$\\\scriptsize $|x+2|=-x-2$};
  \node[VERDE!60!black, align=center] at (-0.5, -1.7) {\scriptsize caso 2\\\scriptsize $|x-1|=1-x$\\\scriptsize $|x+2|=x+2$};
  \node[VIOLA, align=center] at ( 3, -1.7) {\scriptsize caso 3\\\scriptsize $|x-1|=x-1$\\\scriptsize $|x+2|=x+2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Metodo per casi con due valori assoluti. I punti $x=-2$ (cambio segno di $x+2$) e $x=1$ (cambio segno di $x-1$) suddividono la retta in tre intervalli; in ognuno i valori assoluti si scrivono in modo univoco e si risolve la corrispondente equazione/disequazione \emph{senza moduli}.}
\label{fig:aa-019-metodo-casi}
\end{figure}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-019-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Equazione modulo costante]
Risolvere $|2x+1|=7$.

\textit{Soluzione.} $7>0$: due casi.
\begin{itemize}
  \item $2x+1 = 7 \Rightarrow x = 3$.
  \item $2x+1 = -7 \Rightarrow x = -4$.
\end{itemize}
Soluzioni: $\{-4,\, 3\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modulo = modulo]
Risolvere $|x^2 - 4| = |2x - 1|$.

\textit{Soluzione.} Due casi: $x^2-4 = 2x-1$ oppure $x^2-4=-(2x-1)$.
\begin{itemize}
  \item Caso 1: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3$ o $x=-1$.
  \item Caso 2: $x^2 + 2x - 5 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{-2\pm\sqrt{4+20}}{2} = -1\pm\sqrt{6}$.
\end{itemize}
Soluzioni: $\{-1,\,3,\,-1+\sqrt{6},\,-1-\sqrt{6}\}$. (Le equazioni di secondo grado le studieremo a fondo nel capitolo \ref{cap:AA-025}.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modulo $=$ espressione variabile]
Risolvere $|x-2| = x + 3$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Compatibilità: $x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3$.
  \item Caso 1: $x-2 = x+3 \Rightarrow -2=3$, impossibile.
  \item Caso 2: $x-2 = -(x+3) = -x-3 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\tfrac{1}{2}$. Accettabile ($-\tfrac{1}{2}\ge -3$).
\end{itemize}
Soluzione: $\{-\tfrac{1}{2}\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione modulo $<$ costante]
Risolvere $|3x-1|<5$.

\textit{Soluzione.} $-5 < 3x-1 < 5 \iff -4 < 3x < 6 \iff -\tfrac{4}{3} < x < 2$. Soluzione: $\left(-\tfrac{4}{3},\ 2\right)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione modulo $\ge$ costante]
Risolvere $|2x+3|\ge 1$.

\textit{Soluzione.} $2x+3\le -1\ \lor\ 2x+3\ge 1$, cioè $x\le -2\ \lor\ x\ge -1$. Soluzione: $(-\infty,\,-2]\cup[-1,\,+\infty)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Due moduli: somma di distanze]
Trovare tutti i punti $x$ tali che la somma delle distanze da $-3$ e da $5$ sia minore di $10$.

\textit{Soluzione.} Si traduce in $|x+3|+|x-5|<10$. Punti di cambio: $x=-3$ e $x=5$.

\emph{Caso $x<-3$}: $-(x+3) -(x-5) < 10 \Rightarrow -2x+2 < 10 \Rightarrow x>-4$. Intersezione: $-4 < x < -3$.

\emph{Caso $-3\le x\le 5$}: $(x+3) -(x-5) = 8 < 10$, sempre vera. Tutto l'intervallo.

\emph{Caso $x>5$}: $(x+3) + (x-5) < 10 \Rightarrow 2x-2 < 10 \Rightarrow x<6$. Intersezione: $5<x<6$.

Unione: $(-4,\, 6)$. Lettura geometrica: i punti la cui somma delle distanze dai due ``fuochi'' $-3$ e $5$ è $<10$ formano un intervallo simmetrico rispetto al loro punto medio $1$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-019-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvi le equazioni con modulo costante:\quad
        (a) $|x-3|=7$;\quad
        (b) $|2x+1|=5$;\quad
        (c) $|3x-4|=0$;\quad
        (d) $|x+2|=-1$.
  \item Risolvi:\quad
        (a) $|2x-1|=|x+3|$;\quad
        (b) $|x^2-1|=|x-1|$;\quad
        (c) $|3x|=|x+4|$.
  \item Risolvi (con condizione di compatibilità):\quad
        (a) $|x-1| = 2x$;\quad
        (b) $|2x+3| = x+1$;\quad
        (c) $|x^2-4| = x$.
  \item Risolvi le disequazioni $|f|<k$:\quad
        (a) $|x|<4$;\quad
        (b) $|x-2|<3$;\quad
        (c) $|2x+1|\le 5$;\quad
        (d) $|3-x|<7$.
  \item Risolvi le disequazioni $|f|>k$:\quad
        (a) $|x|>2$;\quad
        (b) $|x+1|\ge 4$;\quad
        (c) $|2x-3|>5$;\quad
        (d) $|x-5|\ge 0$.
  \item Risolvi con il metodo per casi:\quad
        (a) $|x-1|+|x+3|=6$;\quad
        (b) $|x|-|x-2|=1$;\quad
        (c) $|x+1|+|x-2|<5$;\quad
        (d) $|x|+|x-1|>3$.
  \item Risolvi (modulo $<$ espressione variabile):\quad
        (a) $|x-2|<x$;\quad
        (b) $|2x+1|<x+4$.
  \item Esprimi geometricamente:\quad
        (a) tutti i punti $x$ a distanza minore di $4$ da $-3$;\quad
        (b) tutti i punti a distanza maggiore o uguale di $2$ da $7$;\quad
        (c) tutti i punti $x$ tali che $|x-1|+|x+2|=3$ (suggerimento: è l'intero segmento $[-2,1]$, riconoscibile geometricamente).
  \item (Discussione.) Un compagno scrive: ``$|x-3|<5 \Rightarrow x-3<5$''. Spiega perché è solo \emph{metà} della soluzione completa, e indica cosa manca.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-019-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item $|x|=x$ se $x\ge 0$, $|x|=-x$ se $x<0$. Geometricamente: $|x|$ è la distanza di $x$ da $0$; $|x-x_0|$ è la distanza di $x$ da $x_0$.
  \item \emph{Equazione $|f|=k$ con $k$ costante}: impossibile se $k<0$; $f=0$ se $k=0$; $f=k\lor f=-k$ se $k>0$.
  \item \emph{Equazione $|f|=|g|$}: $f=g\lor f=-g$.
  \item \emph{Equazione $|f|=g(x)$}: imporre $g\ge 0$ e risolvere $f=\pm g$ tenendo solo le soluzioni compatibili.
  \item \emph{Disequazione $|f|<k$ con $k>0$}: $-k<f<k$ (\emph{striscia interna}); impossibile se $k\le 0$.
  \item \emph{Disequazione $|f|>k$ con $k>0$}: $f<-k\lor f>k$ (\emph{due semirette esterne}); sempre vera se $k<0$.
  \item Per disequazioni $|f|<g(x)$ e $|f|>g(x)$ si studia il segno di $g$ e si riconducono ai casi base.
  \item \emph{Con più moduli}: \textbf{metodo per casi}. Si individuano i punti di cambio segno di ogni modulo, si suddivide $\R$ in intervalli, in ognuno si scrive l'espressione senza moduli e si risolve.
  \item Tutte le tecniche hanno una lettura geometrica naturale come ``distanza da un punto'' e si visualizzano sulla retta reale.
\end{itemize}
\end{riepilogo}