\chapter{Sistemi lineari: sostituzione, riduzione, Cramer}\label{cap:AA-020}

\citazioneinizio{%
  Quando due condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente, e ognuna riguarda due quantità sconosciute, si pone un sistema: si cerca la coppia di valori che le rende vere entrambe.%
}{adattamento didattico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-020-01-introduzione-motivazionale}
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Un \textbf{sistema di equazioni} compare ogni volta che dobbiamo determinare due o più grandezze contemporaneamente, sapendo che soddisfano simultaneamente più condizioni. ``Due numeri di somma $10$ e prodotto $24$'', ``il prezzo di una mela e di una pera sapendo il costo di due acquisti diversi'', ``intersezione di due rette nel piano cartesiano'': tutti questi problemi si traducono in un sistema.

Per le equazioni di \emph{primo grado}, il caso più semplice e fondamentale è il \emph{sistema lineare di due equazioni in due incognite}: due equazioni del tipo $ax+by=c$, di cui cerchiamo i valori di $x$ e $y$ che le verificano entrambe. Esistono diverse strategie: \emph{sostituzione}, \emph{confronto}, \emph{riduzione} (eliminazione), e la regola di \emph{Cramer} con i determinanti. Tutti i metodi danno lo stesso risultato; la scelta dipende dal sistema specifico e dalla comodità.

In questo capitolo presentiamo tutti e quattro i metodi, classifichiamo i sistemi in base al numero di soluzioni (determinato/impossibile/indeterminato) e ne discutiamo l'interpretazione \emph{geometrica}: ogni equazione di primo grado in due variabili rappresenta una retta nel piano cartesiano, e risolvere il sistema equivale a trovare l'intersezione delle due rette.

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\section{Sistemi di due equazioni in due incognite}\label{sec:aa-020-01-sistemi-di-due-equazioni-in-due-incognite}
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\begin{definizione}[Sistema lineare $2\times 2$]
Un \textbf{sistema lineare di due equazioni in due incognite} ha la forma
\[
  \begin{cases}
    a_{11}\,x + a_{12}\,y = b_1 \\
    a_{21}\,x + a_{22}\,y = b_2
  \end{cases}
\]
dove $a_{ij}, b_i\in\R$ sono i coefficienti e $x, y$ sono le incognite. Una \textbf{soluzione} è una coppia ordinata $(x_0, y_0)$ che soddisfa entrambe le equazioni.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Classificazione]
Un sistema lineare può essere:
\begin{itemize}
  \item \textbf{determinato}: ha esattamente una soluzione;
  \item \textbf{impossibile} (o \emph{incompatibile}): non ha soluzioni;
  \item \textbf{indeterminato}: ha infinite soluzioni.
\end{itemize}
\end{definizione}

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\section{Metodo di sostituzione}\label{sec:aa-020-02-metodo-di-sostituzione}
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\begin{procedura}[Metodo di sostituzione]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si ricava una delle due incognite (per esempio $y$) da una delle due equazioni.
  \item Si \emph{sostituisce} l'espressione trovata nell'altra equazione, ottenendo un'equazione in una sola incognita.
  \item Si risolve l'equazione e si ottiene il valore della prima incognita.
  \item Si sostituisce il valore trovato nell'espressione ricavata al punto 1, ottenendo l'altra incognita.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Risolvere $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} Dalla prima: $x = 7 - 2y$. Sostituisco nella seconda: $3(7-2y) - y = 7 \Rightarrow 21 - 6y - y = 7 \Rightarrow -7y = -14 \Rightarrow y = 2$. Allora $x = 7 - 4 = 3$.

Soluzione: $(x, y) = (3, 2)$. Verifica: $3+4=7$\checkmark; $9-2=7$\checkmark.
\end{esempio}

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\section{Metodo di confronto}\label{sec:aa-020-03-metodo-di-confronto}
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\begin{procedura}[Metodo di confronto]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si ricava la stessa incognita (es. $y$) da entrambe le equazioni.
  \item Si confrontano le due espressioni: il valore comune dà un'equazione nell'altra incognita.
  \item Si risolve e si determina $x$, poi $y$ sostituendo.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Risolvere lo stesso sistema $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ con il metodo di confronto.

\textit{Soluzione.} Dalla prima: $y = \tfrac{7-x}{2}$. Dalla seconda: $y = 3x - 7$. Confrontando: $\tfrac{7-x}{2} = 3x - 7 \Rightarrow 7 - x = 6x - 14 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x = 3$. Allora $y = 3\cdot 3 - 7 = 2$. Soluzione: $(3, 2)$.
\end{esempio}

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\section{Metodo di riduzione}\label{sec:aa-020-04-metodo-di-riduzione}
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\begin{procedura}[Metodo di riduzione (eliminazione)]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si moltiplica una delle due equazioni (o entrambe) per opportuni numeri, in modo che i coefficienti di una stessa incognita risultino \emph{opposti}.
  \item Si \emph{sommano} le due equazioni: l'incognita scelta scompare, e si ottiene un'equazione nell'altra incognita.
  \item Si risolve, poi si sostituisce per trovare la seconda incognita.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Risolvere $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 5x - 2y = 11 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} Moltiplico la prima per $2$ e la seconda per $3$:
\[
  \begin{cases} 4x + 6y = 24 \\ 15x - 6y = 33 \end{cases}
\]
Sommando: $19x = 57 \Rightarrow x = 3$. Sostituendo nella prima: $6 + 3y = 12 \Rightarrow y = 2$. Soluzione: $(3, 2)$.
\end{esempio}

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\section{Metodo di Cramer}\label{sec:aa-020-05-metodo-di-cramer}
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\begin{definizione}[Determinante $2\times 2$]
Il \textbf{determinante} della matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ è
\[
  \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc.
\]
\end{definizione}

\begin{teorema}[Regola di Cramer per sistemi $2\times 2$]
Dato il sistema $\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{cases}$, si calcolano i tre determinanti:
\[
  D = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}, \quad
  D_x = b_1 a_{22} - a_{12} b_2, \quad
  D_y = a_{11} b_2 - b_1 a_{21}.
\]
\begin{itemize}
  \item Se $D\neq 0$: sistema determinato con unica soluzione $x = \dfrac{D_x}{D}$, $y = \dfrac{D_y}{D}$.
  \item Se $D=0$ e $D_x = D_y = 0$: sistema indeterminato (infinite soluzioni).
  \item Se $D=0$ e almeno uno tra $D_x, D_y$ è non nullo: sistema impossibile.
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  x = \dfrac{D_x}{D},\qquad y = \dfrac{D_y}{D} \qquad (D\neq 0).
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}
Risolvere $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 5x - 2y = 11 \end{cases}$ con Cramer.

\textit{Soluzione.}
$D = 2\cdot(-2) - 3\cdot 5 = -4 - 15 = -19$.
$D_x = 12\cdot(-2) - 3\cdot 11 = -24 - 33 = -57$.
$D_y = 2\cdot 11 - 12\cdot 5 = 22 - 60 = -38$.

$x = \tfrac{-57}{-19} = 3$, $y = \tfrac{-38}{-19} = 2$. Soluzione: $(3, 2)$.
\end{esempio}

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\section{Sistemi determinati, indeterminati, impossibili}\label{sec:aa-020-06-sistemi-determinati-indeterminati-impossibili}
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\begin{nota}[Classificazione operativa]
Per un sistema $2\times 2$:
\begin{itemize}
  \item $D \neq 0$: \emph{determinato}. Esiste un'unica soluzione.
  \item $D = 0$, $D_x = 0$, $D_y = 0$: \emph{indeterminato}. Le due equazioni sono ``proporzionali'', infinite soluzioni.
  \item $D = 0$, ma $D_x \neq 0$ o $D_y \neq 0$: \emph{impossibile}. Le due rette sono parallele.
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{esempio}[Sistema indeterminato]
$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$: la seconda equazione è il doppio della prima (anche i termini noti). $D = 4 - 4 = 0$, $D_x = 16 - 16 = 0$, $D_y = 8 - 8 = 0$: indeterminato. Soluzioni: tutte le coppie $(x, y)$ con $x + 2y = 4$, ovvero $y = \tfrac{4-x}{2}$ con $x$ libero.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema impossibile]
$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 2x + 4y = 10 \end{cases}$: la seconda ha gli stessi coefficienti, ma termine noto $10$ invece di $8$. $D = 0$ ma $D_x \neq 0$: impossibile.
\end{esempio}

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\section{Interpretazione grafica}\label{sec:aa-020-07-interpretazione-grafica}
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Ogni equazione $ax+by=c$ rappresenta una \emph{retta} nel piano cartesiano (capitolo \ref{cap:GA-002}). Risolvere il sistema equivale a trovare l'intersezione delle due rette:
\begin{itemize}
  \item \emph{Determinato}: le rette si intersecano in un solo punto (soluzione unica).
  \item \emph{Indeterminato}: le rette coincidono (infiniti punti in comune).
  \item \emph{Impossibile}: le rette sono parallele e distinte (nessun punto comune).
\end{itemize}

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\section{Problemi risolvibili con sistemi}\label{sec:aa-020-08-problemi-risolvibili-con-sistemi}
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\begin{procedura}[Impostare un problema]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Identifica due grandezze sconosciute $x$ e $y$.
  \item Traduci le condizioni del problema in due equazioni lineari.
  \item Risolvi il sistema con uno dei metodi.
  \item Verifica le soluzioni nel contesto (es. valori positivi se sono lunghezze).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Problema con due acquisti]
Anna compra $3$ mele e $2$ pere e spende $\num{4{,}30}$\,€. Bruno compra $5$ mele e $1$ pera e spende $\num{5{,}40}$\,€. Quanto costa una mela e una pera?

\textit{Soluzione.} Sia $x$ il prezzo della mela, $y$ il prezzo della pera. Sistema:
\[
  \begin{cases} 3x + 2y = 4{,}30 \\ 5x + y = 5{,}40 \end{cases}
\]
Dalla seconda: $y = 5{,}40 - 5x$. Sostituendo: $3x + 2(5{,}40 - 5x) = 4{,}30 \Rightarrow 3x + 10{,}80 - 10x = 4{,}30 \Rightarrow -7x = -6{,}50 \Rightarrow x \approx 0{,}93$. Allora $y \approx 5{,}40 - 4{,}64 = 0{,}76$.

Mela $\approx 0{,}93$\,€, pera $\approx 0{,}76$\,€.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-020-10-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Sostituzione semplice]
$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = 4 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} Sommando le due (riduzione): $3x = 9 \Rightarrow x = 3$. Dalla seconda: $y = 1$. Soluzione: $(3, 1)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riduzione con moltiplicazione]
$\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} Moltiplico la seconda per $2$: $10x - 4y = 16$. Sommo con la prima: $13x = 26 \Rightarrow x = 2$. Sostituendo: $6 + 4y = 10 \Rightarrow y = 1$. Soluzione: $(2, 1)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Cramer]
$\begin{cases} 4x + 5y = 23 \\ 7x - 3y = 1 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.}
$D = 4\cdot(-3) - 5\cdot 7 = -12 - 35 = -47$. $D_x = 23\cdot(-3) - 5\cdot 1 = -69 - 5 = -74$. $D_y = 4\cdot 1 - 23\cdot 7 = 4 - 161 = -157$.

$x = \tfrac{-74}{-47} = \tfrac{74}{47}\approx 1{,}57$, $y = \tfrac{-157}{-47}\approx 3{,}34$.

(Il sistema non ha soluzione intera; Cramer è particolarmente comodo nei casi parametrici.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema dell'età]
Un padre ha il triplo dell'età del figlio. Tra $\num{10}$ anni la sua età sarà il doppio di quella del figlio. Quanti anni hanno oggi?

\textit{Soluzione.} Sia $p$ età padre, $f$ età figlio.
\[
  \begin{cases} p = 3f \\ p + 10 = 2(f + 10) \end{cases}
\]
Sostituendo: $3f + 10 = 2f + 20 \Rightarrow f = 10$. Allora $p = 30$.

Padre $30$ anni, figlio $10$ anni. Verifica: tra $10$ anni, $40$ e $20$, e $40 = 2\cdot 20$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema parametrico]
Discutere il sistema $\begin{cases} x + ky = 2 \\ 2x + 4y = k \end{cases}$ al variare di $k$.

\textit{Soluzione.} $D = 4 - 2k$. $D_x = 4 - k^2$. $D_y = k - 4$.
\begin{itemize}
  \item $D\neq 0$, cioè $k\neq 2$: determinato. $x = \tfrac{4-k^2}{4-2k} = \tfrac{(2-k)(2+k)}{2(2-k)} = \tfrac{2+k}{2}$, $y = \tfrac{k-4}{4-2k} = -\tfrac{1}{2}$.
  \item $k = 2$: $D = 0$, $D_x = 0$, $D_y = -2\neq 0$: \emph{impossibile} (sistema $\{x + 2y = 2,\ 2x + 4y = 2\}$ è incoerente).
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-020-11-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvi con il metodo di sostituzione:\quad
        (a) $\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} 3x - 2y = 11 \\ x + y = 3 \end{cases}$.
  \item Risolvi con il metodo di confronto:\quad
        (a) $\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} x + 3y = 10 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$.
  \item Risolvi con il metodo di riduzione:\quad
        (a) $\begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} 4x - 3y = 11 \\ 3x + 2y = 9 \end{cases}$.
  \item Risolvi con Cramer:\quad
        (a) $\begin{cases} 7x + 2y = 30 \\ 3x - 5y = 7 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases}$.
  \item Classifica e (se possibile) risolvi:\quad
        (a) $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x - 2y = 5 \end{cases}$;\quad
        (c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$.
  \item Problemi:\quad
        (a) La somma di due numeri è $\num{25}$ e la loro differenza è $\num{7}$. Trovali.\quad
        (b) Due numeri sono in rapporto $3:5$ e la loro somma è $\num{40}$. Quali sono?\quad
        (c) Un'auto e una moto percorrono insieme $\SI{350}{\kilo\meter}$ in $\num{5}$ ore. Sapendo che la velocità dell'auto è il doppio di quella della moto, calcola le due velocità.
  \item Discuti il sistema $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = k \end{cases}$ al variare di $k\in\R$.
  \item (Discussione.) Interpreta graficamente i tre casi (determinato/impossibile/indeterminato) di un sistema lineare $2\times 2$. Disegna un esempio per ciascuno.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-020-12-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un sistema lineare $2\times 2$ è $\{a_{11}x+a_{12}y=b_1,\ a_{21}x+a_{22}y=b_2\}$. Una soluzione è una coppia $(x_0, y_0)$ che soddisfa entrambe.
  \item \emph{4 metodi risolutivi}:
        \begin{itemize}
          \item \textbf{Sostituzione}: ricava una incognita, sostituiscila;
          \item \textbf{Confronto}: ricava la stessa incognita da entrambe, uguagliale;
          \item \textbf{Riduzione}: combina linearmente per eliminare un'incognita;
          \item \textbf{Cramer}: usa i determinanti $D$, $D_x$, $D_y$.
        \end{itemize}
  \item \emph{Cramer}: $x = D_x/D$, $y = D_y/D$. Vale se $D\neq 0$.
  \item \emph{Classificazione}: $D\neq 0$ determinato; $D=0$ con $D_x = D_y = 0$ indeterminato; $D=0$ ma $D_x$ o $D_y \neq 0$ impossibile.
  \item \emph{Interpretazione grafica}: ogni equazione è una retta, soluzione = intersezione. Determinato = incidenti; indeterminato = coincidenti; impossibile = parallele.
  \item \emph{Applicazioni}: problemi con due incognite (acquisti, età, miscele, miscelazioni, intersezioni geometriche). Generalizzazione a $3\times 3$ nel capitolo \ref{cap:AA-021}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}