\chapter{Sistemi lineari di tre o più equazioni}\label{cap:AA-021}

\citazioneinizio{%
  L'arte di risolvere un sistema lineare consiste nel ridurlo, riga dopo riga, finché non resta che una sola equazione semplice.%
}{adattamento da Carl Friedrich Gauss, \emph{Theoria motus corporum coelestium} (1809)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-021-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo \ref{cap:AA-020} abbiamo studiato i sistemi lineari di due equazioni in due incognite, con i tre metodi classici di sostituzione, riduzione e confronto, e con la regola di Cramer per $2\times 2$.

I problemi reali, però, raramente si esprimono con due sole equazioni: in cinetica chimica i bilanci di massa di una reazione coinvolgono spesso \emph{quattro o cinque} specie; in statica un'asta in equilibrio dà \emph{tre} equazioni (somma delle forze in $x$, in $y$ e dei momenti); nell'ingegneria elettrica le leggi di Kirchhoff producono sistemi con tante incognite quanti sono i lati indipendenti del circuito. La generalizzazione naturale è dunque un \emph{sistema di $n$ equazioni in $n$ incognite}.

In questo capitolo studiamo i sistemi lineari $3\times 3$: i metodi di sostituzione e riduzione (eliminazione gaussiana), il calcolo del \emph{determinante} di una matrice $3\times 3$ con la regola di Sarrus, e la \emph{regola di Cramer} generalizzata. Daremo poi un cenno a sistemi più grandi e al concetto di \emph{matrice associata}, che approfondiremo in geometria analitica nel capitolo \ref{cap:GS-008}.

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\section{Sistemi di tre equazioni in tre incognite}\label{sec:aa-021-01-sistemi-di-tre-equazioni-in-tre-incognite}
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\begin{definizione}[Sistema lineare $3\times 3$]
Un \textbf{sistema lineare di tre equazioni in tre incognite} ha la forma
\[
  \begin{cases}
    a_{11}\,x + a_{12}\,y + a_{13}\,z = b_1 \\
    a_{21}\,x + a_{22}\,y + a_{23}\,z = b_2 \\
    a_{31}\,x + a_{32}\,y + a_{33}\,z = b_3
  \end{cases}
\]
dove $a_{ij}, b_i\in\R$ sono i \emph{coefficienti} e $x,y,z$ sono le incognite. Una \textbf{soluzione} del sistema è una terna ordinata $(x_0, y_0, z_0)$ che soddisfa \emph{tutte e tre} le equazioni simultaneamente.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Classificazione]
Come per i sistemi $2\times 2$, un sistema lineare può essere:
\begin{itemize}
  \item \textbf{determinato}: ha esattamente una soluzione;
  \item \textbf{impossibile} (o \emph{incompatibile}): non ha soluzioni;
  \item \textbf{indeterminato}: ha infinite soluzioni (di solito un'intera retta o un piano di soluzioni).
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{nota}[Lettura geometrica]
Ogni equazione lineare in tre variabili rappresenta un \emph{piano} nello spazio (lo vedremo nel capitolo \ref{cap:GS-009}). Risolvere un sistema $3\times 3$ equivale a cercare l'\emph{intersezione} di tre piani:
\begin{itemize}
  \item i tre piani si incontrano in un singolo punto $\Rightarrow$ determinato;
  \item due piani sono paralleli, o i tre non hanno punti comuni $\Rightarrow$ impossibile;
  \item i tre piani hanno una retta in comune o coincidono $\Rightarrow$ indeterminato.
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.7, every node/.style={font=\small}]
  % Caso 1: tre piani che si intersecano in un punto
  \begin{scope}
    \draw[BLU, fill=BLU!10, opacity=0.7] (0,0) -- (3,0.5) -- (3.5, 2) -- (0.5, 1.5) -- cycle;
    \draw[VERDE, fill=VERDE!15, opacity=0.7] (0.5, 0) -- (3.5, 0.5) -- (2, 2.5) -- (-1, 2) -- cycle;
    \draw[ROSSO, fill=ROSSO!15, opacity=0.7] (-0.5, 0.5) -- (3, 1.5) -- (2.5, 2.5) -- (-1, 1.5) -- cycle;
    \fill[black] (1.2, 1.3) circle (3pt);
    \node[below] at (1.5, -0.3) {(a) determinato: un punto};
  \end{scope}
  % Caso 2: due piani paralleli, intersezione vuota
  \begin{scope}[shift={(6, 0)}]
    \draw[BLU, fill=BLU!10, opacity=0.7] (0, 0) -- (3, 0) -- (3.5, 1.5) -- (0.5, 1.5) -- cycle;
    \draw[VERDE, fill=VERDE!15, opacity=0.7] (0.5, 0.7) -- (3.5, 0.7) -- (4, 2.2) -- (1, 2.2) -- cycle;
    \draw[ROSSO, fill=ROSSO!15, opacity=0.7] (-0.5, 0.3) -- (3, 1.3) -- (2.5, 2.6) -- (-1, 1.6) -- cycle;
    \node[below] at (1.5, -0.3) {(b) impossibile: piani paralleli};
  \end{scope}
  % Caso 3: tre piani con una retta comune
  \begin{scope}[shift={(12, 0)}]
    \draw[BLU, fill=BLU!10, opacity=0.7] (0, 0) -- (3, 0.5) -- (3.5, 2) -- (0.5, 1.5) -- cycle;
    \draw[VERDE, fill=VERDE!15, opacity=0.7] (0.3, 0.2) -- (3.2, 0.7) -- (3.0, 2.0) -- (0.1, 1.5) -- cycle;
    \draw[ROSSO, fill=ROSSO!15, opacity=0.7] (-0.3, 0.5) -- (2.8, 1.2) -- (3.3, 1.8) -- (0.0, 1.2) -- cycle;
    \draw[thick, black, dashed] (0.5, 0.9) -- (3.0, 1.4);
    \node[below] at (1.5, -0.3) {(c) indeterminato: una retta};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Lettura geometrica di un sistema $3\times 3$: tre piani nello spazio. Tre casi tipici: (a) i piani si intersecano in un solo punto (soluzione unica); (b) due piani paralleli rendono impossibile l'intersezione comune; (c) i tre piani condividono una retta (infinite soluzioni, una per ogni punto della retta).}
\label{fig:aa-021-tre-piani}
\end{figure}

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\section{Metodo di sostituzione}\label{sec:aa-021-02-metodo-di-sostituzione}
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L'idea è la stessa del caso $2\times 2$: si ricava un'incognita da un'equazione e la si sostituisce nelle altre, riducendo passo dopo passo il numero di incognite.

\begin{procedura}[Metodo di sostituzione per $3\times 3$]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Da una delle equazioni si ricava un'incognita (per esempio $x$) in funzione delle altre due.
  \item Si sostituisce nell'espressione delle altre due equazioni, ottenendo un sistema $2\times 2$ nelle incognite rimanenti ($y, z$).
  \item Si risolve il sistema $2\times 2$ (con qualunque dei metodi del capitolo \ref{cap:AA-020}).
  \item Si sostituiscono i valori trovati nell'espressione di $x$ per chiudere il calcolo.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Sostituzione passo passo]
Risolvere $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} Dalla prima equazione: $x = 6 - y - z$. Sostituiamo nelle altre due:
\[
  \begin{cases}
    (6-y-z) - y + 2z = 5 \\
    2(6-y-z) + y - z = 1
  \end{cases}
  \iff
  \begin{cases}
    -2y + z = -1 \\
    -y - 3z = -11
  \end{cases}
\]
È un sistema $2\times 2$ in $y, z$. Per sostituzione: dalla prima $z = 2y - 1$. Sostituendo nella seconda:
\[
  -y - 3(2y - 1) = -11 \iff -y - 6y + 3 = -11 \iff -7y = -14 \iff y = 2.
\]
Allora $z = 2(2) - 1 = 3$ e $x = 6 - 2 - 3 = 1$.

Soluzione: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$. Verifica: $1+2+3=6$ \checkmark; $1-2+6=5$ \checkmark; $2+2-3=1$ \checkmark.
\end{esempio}

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\section{Metodo di riduzione}\label{sec:aa-021-03-metodo-di-riduzione}
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Il \emph{metodo di riduzione} (o \emph{eliminazione gaussiana}) procede combinando linearmente le equazioni per \emph{eliminare} via via le incognite. È sistematico e si presta bene a sistemi più grandi.

\begin{procedura}[Eliminazione gaussiana]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si scrive il sistema in forma ordinata.
  \item Si elimina una incognita (di solito $x$) dalle equazioni 2 e 3, sommando o sottraendo multipli dell'equazione 1.
  \item Si ottiene un sistema $2\times 2$ in $y$ e $z$ (le equazioni 2 e 3 modificate). Si elimina $y$ dalla terza equazione, sommando o sottraendo un multiplo della seconda.
  \item Si ottiene un'equazione in una sola incognita ($z$), si risolve, e si torna indietro: $y$ dalla seconda, poi $x$ dalla prima. È il cosiddetto ``ritorno all'indietro'' (\emph{back substitution}).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Riduzione passo passo]
Risolvere $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$ (lo stesso di prima).

\textit{Soluzione.} \emph{Passo 1}: eliminiamo $x$ dalle equazioni 2 e 3.
\begin{itemize}
  \item Equazione 2 $-$ equazione 1: $-2y + z = -1$.
  \item Equazione 3 $-\,2\cdot$ equazione 1: $-y - 3z = -11$.
\end{itemize}
Il sistema diventa
\[
  \begin{cases}
    x + y + z = 6 \\
    -2y + z = -1 \\
    -y - 3z = -11
  \end{cases}
\]
\emph{Passo 2}: eliminiamo $y$ dalla terza equazione. Moltiplichiamo la terza per $-2$ e sottraiamo (o equivalentemente: terza $\cdot 2$ $-$ seconda):
\[
  \text{terza}\cdot 2 - \text{seconda}: \quad (-2y - 6z) - (-2y + z) = -22 - (-1)
  \iff -7z = -21 \iff z = 3.
\]
\emph{Passo 3 (ritorno all'indietro)}: da $-2y+z=-1$ con $z=3$: $-2y=-4 \Rightarrow y=2$. Da $x+y+z=6$ con $y=2, z=3$: $x = 1$.

Soluzione: $(1, 2, 3)$ — coerente con il metodo precedente.
\end{esempio}

\begin{nota}[Forma a scala]
L'obiettivo dell'eliminazione è ridurre la matrice dei coefficienti a una forma ``a scala'' triangolare:
\[
  \begin{pmatrix}
    \boxed{*} & * & * & \mid * \\
    0 & \boxed{*} & * & \mid * \\
    0 & 0 & \boxed{*} & \mid *
  \end{pmatrix},
\]
dove i \emph{pivot} (gli elementi nei riquadri) sono non nulli. La fase ``in avanti'' produce la forma a scala; la fase ``all'indietro'' risolve per ciascuna incognita partendo dall'ultima. Questo metodo si generalizza a sistemi $n\times n$ ed è la base di tutti gli algoritmi numerici per risolvere sistemi lineari su computer.
\end{nota}

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\section{Determinanti di matrici 3×3}\label{sec:aa-021-04-determinanti-di-matrici-3-3-cenni}
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Per estendere la regola di Cramer ai sistemi $3\times 3$ ci serve il \emph{determinante} di una matrice $3\times 3$. Nel capitolo \ref{cap:AA-020} abbiamo visto quello $2\times 2$:
\[
  \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc.
\]
Per le matrici $3\times 3$ c'è una formula altrettanto compatta, nota come \emph{regola di Sarrus}.

\begin{definizione}[Determinante $3\times 3$, regola di Sarrus]
Data la matrice
\[
  A = \begin{pmatrix}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33}
  \end{pmatrix},
\]
il suo \textbf{determinante} è
\begin{align*}
  \det A = \;& a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \\
           & - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}.
\end{align*}
\end{definizione}

\begin{procedura}[Regola di Sarrus in pratica]
Si scrivono le prime due colonne della matrice di nuovo a destra:
\[
  \begin{array}{|ccc|cc}
    a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{11} & a_{12} \\
    a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{21} & a_{22} \\
    a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{31} & a_{32}
  \end{array}
\]
Si sommano i prodotti delle tre diagonali ``discendenti'' ($a_{11}a_{22}a_{33}$, $a_{12}a_{23}a_{31}$, $a_{13}a_{21}a_{32}$) e si sottraggono i prodotti delle tre diagonali ``ascendenti'' ($a_{13}a_{22}a_{31}$, $a_{11}a_{23}a_{32}$, $a_{12}a_{21}a_{33}$).
\end{procedura}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9, every node/.style={font=\small}]
  % Tabella 3 x 5 (3x3 + due colonne ripetute)
  \foreach \i in {0,1,2} {
    \foreach \j in {0,1,2,3,4} {
      \draw[GRIGIO] ({\j*1.2}, {-\i*0.9}) rectangle ({\j*1.2+1.2}, {-\i*0.9-0.9});
    }
  }
  % Etichette
  \foreach \i/\ir in {0/1, 1/2, 2/3} {
    \foreach \j/\jc in {0/1, 1/2, 2/3, 3/1, 4/2} {
      \node at ({\j*1.2+0.6}, {-\i*0.9-0.45}) {$a_{\ir\jc}$};
    }
  }
  % Linea verticale di separazione
  \draw[thick] (3.6, 0.1) -- (3.6, -2.8);
  % Diagonali discendenti (in BLU)
  \draw[->, BLU, thick] (0.2, -0.2) -- (3.4, -2.6);
  \draw[->, BLU, thick] (1.4, -0.2) -- (4.6, -2.6);
  \draw[->, BLU, thick] (2.6, -0.2) -- (5.8, -2.6);
  % Diagonali ascendenti (in ROSSO)
  \draw[->, ROSSO, thick] (0.2, -2.6) -- (3.4, -0.2);
  \draw[->, ROSSO, thick] (1.4, -2.6) -- (4.6, -0.2);
  \draw[->, ROSSO, thick] (2.6, -2.6) -- (5.8, -0.2);
  % Legenda
  \node[BLU, right] at (7, -0.5) {$+\,$ diagonali discendenti};
  \node[ROSSO, right] at (7, -1.5) {$-\,$ diagonali ascendenti};
\end{tikzpicture}
\caption{Regola di Sarrus per il determinante $3\times 3$. Si ripetono le prime due colonne a destra; si \emph{sommano} i prodotti delle tre diagonali discendenti (in blu) e si \emph{sottraggono} i prodotti delle tre diagonali ascendenti (in rosso).}
\label{fig:aa-021-sarrus}
\end{figure}

\begin{attenzione}[Solo per $3\times 3$]
La regola di Sarrus funziona \emph{esclusivamente} per matrici $3\times 3$. Per matrici più grandi si usano metodi diversi (sviluppo di Laplace, eliminazione gaussiana modificata) che vedremo in eventuale corso superiore.
\end{attenzione}

\begin{esempio}[Calcolo di un determinante]
Calcolare $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Diagonali discendenti: $1\cdot 1\cdot 0 + 2\cdot 4\cdot 5 + 3\cdot 0\cdot 6 = 0 + 40 + 0 = 40$.
  \item Diagonali ascendenti: $3\cdot 1\cdot 5 + 1\cdot 4\cdot 6 + 2\cdot 0\cdot 0 = 15 + 24 + 0 = 39$.
\end{itemize}
$\det = 40 - 39 = 1$.
\end{esempio}

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\section{Cramer per sistemi 3×3}\label{sec:aa-021-05-cramer-per-sistemi-3-3}
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La regola di Cramer si generalizza al caso $3\times 3$ con la stessa idea: sostituire la colonna dei coefficienti dell'incognita cercata con la colonna dei termini noti.

\begin{teorema}[Regola di Cramer per sistemi $3\times 3$]
Dato il sistema
\[
  \begin{cases}
    a_{11}\,x + a_{12}\,y + a_{13}\,z = b_1 \\
    a_{21}\,x + a_{22}\,y + a_{23}\,z = b_2 \\
    a_{31}\,x + a_{32}\,y + a_{33}\,z = b_3
  \end{cases}
\]
con matrice dei coefficienti $A = (a_{ij})$, sia $D=\det A$.
\begin{itemize}
  \item Se $D\neq 0$, il sistema è \emph{determinato} con unica soluzione
        \[
          x = \dfrac{D_x}{D},\qquad y = \dfrac{D_y}{D},\qquad z = \dfrac{D_z}{D},
        \]
        dove $D_x$, $D_y$, $D_z$ sono i determinanti delle matrici ottenute da $A$ sostituendo la colonna $x$, $y$, $z$ rispettivamente con la colonna dei termini noti.
  \item Se $D=0$ e tutti $D_x, D_y, D_z$ sono nulli, il sistema può essere \emph{indeterminato}.
  \item Se $D=0$ e almeno uno di $D_x, D_y, D_z$ è non nullo, il sistema è \emph{impossibile}.
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  x = \dfrac{D_x}{D},\quad y = \dfrac{D_y}{D},\quad z = \dfrac{D_z}{D} \qquad (D\neq 0).
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Cramer su un esempio]
Risolvere con Cramer $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + 2z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item $D = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Diagonali discendenti: $1\cdot(-1)\cdot(-1) + 1\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1 = 1 + 4 + 1 = 6$. Ascendenti: $1\cdot(-1)\cdot 2 + 1\cdot 2\cdot 1 + 1\cdot 1\cdot(-1) = -2 + 2 - 1 = -1$. $D = 6 - (-1) = 7$.
  \item $D_x = \det\begin{pmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Discendenti: $6+2+5=13$. Ascendenti: $-1+12+(-5)=6$. $D_x = 13 - 6 = 7$.
  \item $D_y = \det\begin{pmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Calcolo simile: $D_y = 14$.
  \item $D_z = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. $D_z = 21$.
\end{itemize}
Da cui $x = \tfrac{7}{7}=1$, $y = \tfrac{14}{7}=2$, $z = \tfrac{21}{7}=3$. Risultato: $(1, 2, 3)$ — coerente con i metodi precedenti.
\end{esempio}

\begin{nota}[Quando conviene Cramer]
Cramer è elegante e dà la soluzione in forma ``chiusa'', ma richiede di calcolare \emph{quattro} determinanti $3\times 3$. Per i conti manuali è spesso più rapido il metodo di riduzione, che richiede meno operazioni. Cramer rimane utilissimo per studiare \emph{quando} un sistema è risolvibile in funzione di parametri (analisi parametrica).
\end{nota}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-021-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Sistema determinato]
Risolvere $\begin{cases} 2x + y - z = 4 \\ x - y + z = 1 \\ x + 2y + z = 7 \end{cases}$ con il metodo di riduzione.

\textit{Soluzione.} Sommiamo le prime due: $(2x+y-z)+(x-y+z) = 4+1 \Rightarrow 3x = 5 \Rightarrow x = \tfrac{5}{3}$.

Sommiamo equazione 2 ed equazione 3: $(x-y+z)+(x+2y+z) = 1+7 \Rightarrow 2x + y + 2z = 8$. Sostituendo $x=\tfrac{5}{3}$: $\tfrac{10}{3} + y + 2z = 8 \Rightarrow y + 2z = \tfrac{14}{3}$.

Sottraiamo equazione 2 da equazione 3: $(x+2y+z) - (x-y+z) = 7-1 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2$.

Da $y + 2z = \tfrac{14}{3}$: $2z = \tfrac{14}{3} - 2 = \tfrac{8}{3} \Rightarrow z = \tfrac{4}{3}$.

Soluzione: $\left(\tfrac{5}{3}, 2, \tfrac{4}{3}\right)$. Verifica nella prima equazione: $2\cdot\tfrac{5}{3} + 2 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{10}{3} + 2 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{10-4}{3} + 2 = 2 + 2 = 4$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema impossibile]
Risolvere $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 5 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} La seconda equazione è il \emph{doppio} della prima nei coefficienti: ma il termine noto non lo è ($2\cdot 1 = 2 \neq 5$). Quindi prima e seconda equazione sono incompatibili: se $x+y+z=1$, allora $2(x+y+z)=2\neq 5$. Sistema \emph{impossibile}, nessuna soluzione.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema indeterminato]
Risolvere $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ 3x + 0y + 2z = 5 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.} Notiamo che la terza equazione è la \emph{somma} delle prime due: $(x+y+z)+(2x-y+z) = 3x+2z = 3+2 = 5$. \checkmark Quindi la terza non porta informazione nuova: il sistema ha \emph{due} equazioni indipendenti in \emph{tre} incognite, e quindi infinite soluzioni dipendenti da un parametro.

Parametrizziamo: poniamo $z = t$ (parametro libero). Dalle prime due:
\[
  \begin{cases} x + y = 3 - t \\ 2x - y = 2 - t \end{cases}
\]
Sommando: $3x = 5 - 2t \Rightarrow x = \tfrac{5-2t}{3}$. Da cui $y = 3 - t - x = 3 - t - \tfrac{5-2t}{3} = \tfrac{9 - 3t - 5 + 2t}{3} = \tfrac{4 - t}{3}$.

Soluzioni: $\left(\tfrac{5-2t}{3},\ \tfrac{4-t}{3},\ t\right)$ per ogni $t\in\R$. Una intera retta nello spazio.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Cramer con determinante zero]
Considera il sistema $\begin{cases} x + 2y + 3z = 1 \\ 2x + 4y + 6z = 2 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$. Verificare con Cramer che è indeterminato.

\textit{Soluzione.} Le prime due righe sono proporzionali (la seconda è il doppio della prima), e i termini noti pure ($1$ e $2$): l'equazione 2 non porta informazione. $D=0$ (due righe proporzionali implicano determinante nullo).
\[
  D_x = \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 0
\]
(stesse due righe proporzionali). Idem $D_y, D_z = 0$. Sistema indeterminato. (Per descrivere le soluzioni si parametrizza, come nell'esempio precedente.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema applicativo]
Tre fratelli hanno in totale $\num{84}$ figurine. Anna ha il doppio di Bruno; Carla ne ha $\num{12}$ più di Bruno. Quante figurine ha ciascuno?

\textit{Soluzione.} Siano $a, b, c$ le figurine di Anna, Bruno, Carla. Il sistema è
\[
  \begin{cases}
    a + b + c = 84 \\
    a = 2b \\
    c = b + 12
  \end{cases}
\]
Sostituendo nella prima: $2b + b + (b+12) = 84 \Rightarrow 4b = 72 \Rightarrow b = 18$. Allora $a = 36$, $c = 30$. Verifica: $36+18+30=84$. \checkmark
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-021-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola con la regola di Sarrus:\quad
        (a) $\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$;\quad
        (b) $\det\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$;\quad
        (c) $\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ in funzione di $a,b,c$.
  \item Risolvi con il metodo di sostituzione:\quad
        (a) $\begin{cases} x + y - z = 2 \\ 2x - y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 11 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - 2y + z = -3 \\ 2x + y - 3z = 5 \end{cases}$.
  \item Risolvi con il metodo di riduzione:\quad
        (a) $\begin{cases} x + 2y + z = 6 \\ 2x - y + 3z = 9 \\ -x + y - z = -2 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ x + 2y - z = 0 \\ 2x + y + z = 5 \end{cases}$.
  \item Risolvi con Cramer:\quad
        (a) $\begin{cases} x + y + z = 4 \\ 2x - y + z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - z = -1 \\ y + 2z = 5 \end{cases}$ (occhio alle equazioni con coefficienti nulli).
  \item Studia il tipo del sistema (determinato/impossibile/indeterminato):\quad
        (a) $\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 6 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} x + y - z = 1 \\ 2x + 2y - 2z = 0 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$.
  \item Problemi:\quad
        (a) La somma di tre numeri è $20$. Il primo è il triplo del secondo, e il terzo è la differenza del primo meno il secondo. Trovali.\quad
        (b) Un'auto, una moto e una bicicletta percorrono insieme $\num{150}$ km in un'ora; l'auto fa il triplo della moto, la moto fa il doppio della bicicletta. Quanto fa ciascun mezzo?
  \item (Discussione.) Mostra, in generale, che un sistema lineare $n\times n$ con due equazioni proporzionali nei coefficienti (e con termini noti coerenti) è indeterminato; se i termini noti \emph{non} sono coerenti, è impossibile.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-021-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un sistema lineare $3\times 3$ ha la forma standard $\{a_{i1}x + a_{i2}y + a_{i3}z = b_i\}_{i=1,2,3}$. Una soluzione è una terna ordinata $(x_0, y_0, z_0)$ che soddisfa simultaneamente le tre equazioni.
  \item Classificazione: \emph{determinato} (una soluzione), \emph{impossibile} (nessuna), \emph{indeterminato} (infinite, dipendenti da uno o più parametri).
  \item Lettura geometrica: ogni equazione è un piano in $\R^3$. Il sistema è determinato se i tre piani si intersecano in un solo punto; impossibile se non hanno punti comuni; indeterminato se ne condividono infinitamente (retta o piano).
  \item \emph{Metodo di sostituzione}: si ricava un'incognita da un'equazione e la si inserisce nelle altre due, ottenendo un sistema $2\times 2$.
  \item \emph{Metodo di riduzione} (eliminazione gaussiana): si combinano linearmente le equazioni per ridurre il sistema a forma triangolare ``a scala''; poi si risolve dall'ultima incognita all'indietro.
  \item \emph{Determinante $3\times 3$} via regola di Sarrus: somma dei prodotti delle tre diagonali discendenti, meno somma dei prodotti delle tre diagonali ascendenti.
  \item \emph{Regola di Cramer} per $3\times 3$: $x = \tfrac{D_x}{D}$, $y = \tfrac{D_y}{D}$, $z = \tfrac{D_z}{D}$, con $D$ il determinante della matrice dei coefficienti e $D_x, D_y, D_z$ ottenuti sostituendo la colonna corrispondente con i termini noti. Vale se $D\neq 0$.
  \item Se $D=0$: il sistema è impossibile (se almeno un $D_x, D_y, D_z$ non è $0$) o indeterminato (se tutti sono $0$).
  \item L'eliminazione gaussiana si generalizza naturalmente a sistemi $n\times n$ ed è il fondamento dei metodi numerici per risolvere grandi sistemi su computer.
\end{itemize}
\end{riepilogo}