\chapter{Numeri irrazionali e radicali}\label{cap:AA-022}

\citazioneinizio{%
  L'estrazione di radice è l'operazione inversa dell'elevamento a potenza: per restituirla al campo dei numeri abbiamo dovuto inventare nuovi numeri.%
}{adattamento da Richard Dedekind, \emph{Stetigkeit und irrationale Zahlen} (1872)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-022-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo \ref{cap:AA-009} abbiamo incontrato i \emph{numeri irrazionali}: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$, $e$, $\ldots$ Sono nati dall'impossibilità di trovare in $\Q$ un numero il cui quadrato sia $2$, e abbiamo visto che ``riempiono'' la retta reale insieme ai razionali, dando vita all'insieme $\R$.

Ora studiamo a fondo l'operazione che genera (la maggior parte di) gli irrazionali \emph{algebrici}: l'\emph{estrazione di radice}. È l'operazione inversa dell'elevamento a potenza, e va trattata con cura perché non sempre è ``ben definita'': $\sqrt{-4}$ non esiste in $\R$ (lo vedremo solo in $\C$, capitolo \ref{cap:NC-001}); $\sqrt{a^2}$ non è $a$, ma $|a|$; $\sqrt[3]{-8}$ esiste ed è $-2$, mentre $\sqrt[4]{-8}$ no.

In questo capitolo formalizziamo il \emph{radicale} $\sqrt[n]{a}$, le sue \emph{condizioni di esistenza} (perché distinguere indici pari/dispari), la \emph{proprietà invariantiva} che permette di semplificare radici, e le tecniche di \emph{trasporto fuori e dentro la radice}. Le operazioni (somma, prodotto, quoziente, razionalizzazione) saranno nel capitolo successivo \ref{cap:AA-023}, e le potenze a esponente razionale ed irrazionale nel capitolo \ref{cap:AA-024}. Per chi guarderà avanti, tutto questo è il preludio alla funzione esponenziale e al logaritmo (capitoli \ref{cap:EL-001}--\ref{cap:EL-004}).

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\section{Necessità del numero irrazionale}\label{sec:aa-022-01-necessita-del-numero-irrazionale}
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Riprendiamo il ragionamento del capitolo \ref{cap:AA-009}. Consideriamo l'equazione semplicissima
\[
  x^2 = 2.
\]
Vorremmo trovare un numero $x$ il cui quadrato sia esattamente $2$. Per il teorema dimostrato a suo tempo (per assurdo, supponendo $x=a/b$ ridotta), \emph{non esiste alcun razionale} che la soddisfi. Ma esiste un punto sulla retta reale che la soddisfa: la diagonale del quadrato di lato $1$. Lo chiamiamo $\sqrt{2}$.

Allargando l'idea: per ogni $a\ge 0$ vorremmo poter definire ``la lunghezza il cui quadrato è $a$''. Lo possiamo fare in $\R$ proprio perché $\R$ è \emph{completo} (capitolo \ref{cap:AA-009}). La completezza non solo garantisce l'esistenza di $\sqrt{2}$, ma anche di $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{1000}$, $\sqrt[3]{17}$, $\sqrt[5]{2}$: l'estrazione di radice è un'operazione che lavora dentro $\R$, anche se gran parte del tempo produce risultati irrazionali.

\begin{nota}[Estensione naturale]
Estrarre $\sqrt[n]{a}$ è l'inverso di elevare a $n$: se $a = b^n$, allora $\sqrt[n]{a} = b$. Vogliamo dunque definire un'operazione che ``annulli'' l'elevamento a potenza. Per renderla \emph{una funzione} (univoca), dovremo fare scelte di convenzione, specie per le radici di indice pari.
\end{nota}

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\section{Definizione di radicale}\label{sec:aa-022-02-definizione-di-radicale}
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\begin{definizione}[Radicale di indice $n$]
Siano $n\in\N$ con $n\ge 2$ e $a\in\R$. Si chiama \textbf{radicale} (o \emph{radice $n$-esima}) di $a$ il numero $b\in\R$ tale che $b^n = a$, con le seguenti convenzioni:
\begin{itemize}
  \item se $n$ è \emph{dispari}: $\sqrt[n]{a}$ è definito per ogni $a\in\R$, ed è l'unico $b\in\R$ con $b^n=a$;
  \item se $n$ è \emph{pari}: $\sqrt[n]{a}$ è definito solo per $a\ge 0$, ed è per convenzione l'unico $b\ge 0$ con $b^n=a$ (\emph{radice aritmetica}).
\end{itemize}
Il numero $a$ si chiama \emph{radicando}, $n$ si chiama \emph{indice} del radicale.
\end{definizione}

\begin{nota}[Notazione]
$\sqrt[2]{a}$ si scrive di solito $\sqrt{a}$, senza scrivere l'indice $2$. La radice cubica $\sqrt[3]{a}$ si scrive con l'indice.
\end{nota}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\sqrt{9} = 3$ (non $\pm 3$: la radice aritmetica è solo quella positiva).
  \item $\sqrt[3]{8} = 2$, $\sqrt[3]{-8} = -2$ (radici cubiche di numeri opposti sono opposte).
  \item $\sqrt[4]{16} = 2$.
  \item $\sqrt[5]{32} = 2$, $\sqrt[5]{-32} = -2$.
  \item $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ (irrazionale).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{attenzione}[Equazione $x^n=a$ vs radicale]
Per $n$ pari, l'\emph{equazione} $x^n=a$ con $a>0$ ha \emph{due} soluzioni reali, $\pm\sqrt[n]{a}$. Il \emph{radicale} $\sqrt[n]{a}$, per convenzione, indica solo la radice \emph{positiva}.

Quindi:
\[
  x^2 = 9 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \pm\sqrt{9} = \pm 3.
\]
Mentre:
\[
  \sqrt{9} = 3 \quad\text{(solo il valore positivo)}.
\]
Per $n$ dispari il problema non si pone: $x^n=a$ ha una sola soluzione reale $\sqrt[n]{a}$ (che ha lo stesso segno di $a$).
\end{attenzione}

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\section{Condizioni di esistenza}\label{sec:aa-022-03-condizioni-di-esistenza}
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Riassumiamo nella tabella seguente la condizione di esistenza del radicale, in funzione di indice e segno del radicando.

\begin{nota}[Tabella delle condizioni]
\[
  \begin{array}{|c|c|c|}
  \hline
  \text{indice } n & \text{radicando } a & \text{esiste in } \R? \\
  \hline
  \text{pari} & a>0 & \sqrt[n]{a} > 0\\
  \text{pari} & a=0 & \sqrt[n]{0} = 0\\
  \text{pari} & a<0 & \emph{non esiste} \\
  \hline
  \text{dispari} & a>0 & \sqrt[n]{a} > 0 \\
  \text{dispari} & a=0 & \sqrt[n]{0} = 0\\
  \text{dispari} & a<0 & \sqrt[n]{a} < 0 \\
  \hline
  \end{array}
\]
\end{nota}

\begin{esempio}[Esistenza di radicali letterali]
Determinare per quali $x\in\R$ esistono in $\R$:
\begin{itemize}
  \item $\sqrt{x-3}$: indice pari $2$, richiede $x-3\ge 0$, cioè $x\ge 3$;
  \item $\sqrt[3]{x-3}$: indice dispari, esiste per ogni $x\in\R$;
  \item $\sqrt{2-x^2}$: richiede $2-x^2\ge 0$, cioè $-\sqrt{2}\le x\le\sqrt{2}$;
  \item $\sqrt[4]{x^2+1}$: $x^2+1\ge 1>0$ sempre, dunque esiste per ogni $x\in\R$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{teorema}[Identità della radice $n$-esima di una potenza $n$-esima]
Per ogni $a\in\R$ e ogni $n\ge 2$:
\begin{itemize}
  \item se $n$ è \emph{pari}: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$;
  \item se $n$ è \emph{dispari}: $\sqrt[n]{a^n} = a$.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (idea).} Per $n$ pari, $a^n\ge 0$ sempre, e il suo radicale è per convenzione il valore non negativo: dunque $\sqrt[n]{a^n} = |a|$, non $a$ (per esempio, $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$, non $-3$). Per $n$ dispari, $a^n$ ha lo stesso segno di $a$, e la radice $n$-esima conserva il segno, quindi $\sqrt[n]{a^n}=a$.

\begin{attenzione}[$\sqrt{a^2}\ne a$ in generale]
È uno degli errori più comuni: \textbf{$\sqrt{x^2}=|x|$}, non $x$. La formula corretta dà $\sqrt{4}=2$ per $x=2$, ma anche $\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|$ per $x=-3$. Senza il valore assoluto, si farebbe l'errore $\sqrt{(-3)^2}=-3$, che è falso (il radicale dev'essere $\ge 0$).
\end{attenzione}

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\section{Proprietà invariantiva}\label{sec:aa-022-04-proprieta-invariantiva}
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\begin{teorema}[Proprietà invariantiva dei radicali]
Per ogni $a\ge 0$, ogni $n\ge 2$ e ogni $k\in\N^*$:
\[
  \sqrt[n]{a} = \sqrt[k\cdot n]{a^k}.
\]
Moltiplicare (o dividere) indice ed esponente del radicando per uno stesso intero positivo non cambia il valore del radicale.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $b = \sqrt[n]{a}$, cioè $b^n = a$, $b\ge 0$. Allora $(b^1)^{k\cdot n} = b^{kn} = (b^n)^k = a^k$, dunque $b = \sqrt[kn]{a^k}$, perché $b\ge 0$.

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} = \sqrt[6]{8} = \sqrt[8]{16} = \ldots$ (moltiplicando indice ed esponente per $2, 3, 4, \ldots$).
  \item $\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt{2}$ (semplificando dividendo per $3$).
  \item $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}$ (per $a\ge 0$; semplificando dividendo per $2$).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{nota}[Cautela sul segno del radicando]
La proprietà invariantiva, così formulata, vale solo per $a\ge 0$. Quando si lavora con radicandi che contengono lettere, di solito si assume tacitamente che il radicale esista (cioè per indice pari il radicando $\ge 0$). Per radicali a indice dispari su radicando negativo bisogna fare attenzione: $\sqrt[3]{-8} = -2$ ma $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2 \neq -2$. La proprietà invariantiva fallisce: il segno è andato perso elevando al quadrato.
\end{nota}

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\section{Semplificazione di radicali}\label{sec:aa-022-05-semplificazione-di-radicali}
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\subsection*{Semplificazione dell'indice e dell'esponente}

\begin{procedura}[Semplificare il radicale]
Per semplificare un radicale $\sqrt[n]{a^m}$ (con $a\ge 0$):
\begin{enumerate}
  \item Si calcola $d = \mcd(n, m)$.
  \item Si divide indice ed esponente per $d$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\sqrt[6]{a^4}$: $\mcd(6,4)=2$, dividendo per $2$ otteniamo $\sqrt[3]{a^2}$.
  \item $\sqrt[12]{a^8}$: $\mcd(12,8)=4$, dividendo per $4$ otteniamo $\sqrt[3]{a^2}$.
  \item $\sqrt[10]{x^4 y^6}$: $\mcd(10,4,6)=2$, dividendo per $2$ otteniamo $\sqrt[5]{x^2 y^3}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\subsection*{Trasporto fuori dalla radice}

\begin{teorema}[Trasporto fuori dalla radice]
Per ogni $a,b\ge 0$ e ogni $n\ge 2$:
\[
  \sqrt[n]{a^n\cdot b} = a\cdot\sqrt[n]{b}.
\]
Più in generale, se $b = c^k\cdot d$ con $k\ge n$, si può trasportare $c^{\lfloor k/n\rfloor}$ fuori: $\sqrt[n]{c^k\cdot d} = c^{\lfloor k/n\rfloor}\cdot\sqrt[n]{c^{k\bmod n}\cdot d}$.
\end{teorema}

\begin{procedura}[Portare fuori dalla radice]
Per portare il più possibile fuori da un radicale $\sqrt[n]{\cdot}$:
\begin{enumerate}
  \item Si scompone in fattori primi (o letterali) il radicando.
  \item Per ogni fattore $c^k$: si esegue la divisione euclidea di $k$ per $n$: $k = nq + r$, con $0\le r < n$.
  \item Si porta fuori $c^q$, lasciando dentro $c^r$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $\sqrt{72} = \sqrt{2^3\cdot 3^2} = \sqrt{2^2\cdot 2\cdot 3^2} = 2\cdot 3\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
  \item $\sqrt{50 a^5} = \sqrt{25\cdot 2\cdot a^4\cdot a} = 5\,a^2\,\sqrt{2 a}$ (per $a\ge 0$).
  \item $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27\cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$.
  \item $\sqrt[3]{40 x^7 y^5} = \sqrt[3]{8\cdot 5\cdot x^6\cdot x\cdot y^3\cdot y^2} = 2 x^2 y\,\sqrt[3]{5 x y^2}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\subsection*{Trasporto dentro la radice}

\begin{teorema}[Trasporto dentro la radice]
Per ogni $a\ge 0$, ogni $b\ge 0$ e ogni $n\ge 2$:
\[
  a\cdot\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n\cdot b}.
\]
Per $a<0$ (e indice $n$ dispari): $a\sqrt[n]{b} = -\sqrt[n]{|a|^n\cdot b} = -\sqrt[n]{(-a)^n\cdot b}$.
\end{teorema}

\begin{nota}[Attenzione al segno]
Quando $a<0$ e $n$ pari, $a\sqrt[n]{b}$ è un numero negativo, ma $\sqrt[n]{a^n b}\ge 0$: non si può semplicemente ``portar dentro'' $a$ senza cambiare segno. La formula corretta è $a\sqrt[n]{b} = -\sqrt[n]{a^n b}$ se $a<0$ e $n$ pari.
\end{nota}

\begin{esempio}
\begin{itemize}
  \item $3\sqrt{5} = \sqrt{9\cdot 5} = \sqrt{45}$;
  \item $2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{8\cdot 7} = \sqrt[3]{56}$;
  \item $(-3)\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{-27\cdot 2} = \sqrt[3]{-54}$ (radice dispari, segno conservato);
  \item $(-3)\sqrt{2} = -\sqrt{9\cdot 2} = -\sqrt{18}$ (radice pari, attenzione: il meno resta fuori).
\end{itemize}
\end{esempio}

\subsection*{Confronto di radicali}

\begin{procedura}[Confrontare due radicali]
Per stabilire se $\sqrt[n]{a} \lessgtr \sqrt[m]{b}$ (con $a, b\ge 0$):
\begin{enumerate}
  \item Si portano allo stesso indice usando la proprietà invariantiva: $\sqrt[n]{a} = \sqrt[\mcm(n,m)]{a^{\mcm(n,m)/n}}$, idem per l'altro.
  \item Una volta uguagliati gli indici, si confrontano i radicandi: il radicale è tanto più grande quanto più lo è il radicando.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Confrontare $\sqrt[3]{4}$ e $\sqrt{2}$.

\textit{Soluzione.} $\mcm(3,2)=6$. Allora $\sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{4^2} = \sqrt[6]{16}$ e $\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$. Poiché $16>8$, $\sqrt[3]{4} > \sqrt{2}$.
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Retta reale con alcune radici notevoli
  \draw[->, GRIGIO] (-0.5, 0) -- (6, 0) node[right] {$\R$};
  \foreach \x in {0,1,2,3,4,5} {
    \draw[GRIGIO] (\x, -0.1) -- (\x, 0.1);
    \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.15) {\scriptsize$\x$};
  }
  % Marcatori per radicali notevoli
  \fill[BLU] (1.414, 0) circle (2.5pt);
  \node[BLU, above] at (1.414, 0.2) {\scriptsize$\sqrt{2}$};
  \draw[BLU, dashed] (1.414, 0.4) -- (1.414, 0.15);
  \fill[VERDE] (1.732, 0) circle (2.5pt);
  \node[VERDE, above] at (1.732, 0.7) {\scriptsize$\sqrt{3}$};
  \draw[VERDE, dashed] (1.732, 0.85) -- (1.732, 0.15);
  \fill[ROSSO] (1.587, 0) circle (2.5pt);
  \node[ROSSO, above] at (1.587, 1.2) {\scriptsize$\sqrt[3]{4}$};
  \draw[ROSSO, dashed] (1.587, 1.35) -- (1.587, 0.15);
  \fill[ARANCIO] (2.236, 0) circle (2.5pt);
  \node[ARANCIO, above] at (2.236, 0.2) {\scriptsize$\sqrt{5}$};
  \draw[ARANCIO, dashed] (2.236, 0.4) -- (2.236, 0.15);
  \fill[VIOLA] (2, 0) circle (2.5pt);
  \node[VIOLA, below] at (2, -0.5) {\scriptsize$\sqrt[3]{8}$};
  \draw[VIOLA, dashed] (2, -0.6) -- (2, -0.15);
\end{tikzpicture}
\caption{Alcuni radicali sulla retta reale. Si nota che $\sqrt{2}\approx 1{,}414$, $\sqrt[3]{4}\approx 1{,}587$, $\sqrt{3}\approx 1{,}732$, $\sqrt[3]{8}=2$, $\sqrt{5}\approx 2{,}236$. L'ordinamento si può verificare con la proprietà invariantiva: $\sqrt{2}<\sqrt[3]{4}<\sqrt{3}<\sqrt[3]{8}<\sqrt{5}$.}
\label{fig:aa-022-radicali-retta}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Grafici di y = sqrt(x) e y = x^(1/3) sovrapposti
  \draw[->, GRIGIO] (-2, 0) -- (5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO] (0, -1.5) -- (0, 2.5) node[above] {$y$};
  \foreach \x in {-1,1,2,3,4} {
    \draw[GRIGIO] (\x, -0.08) -- (\x, 0.08);
    \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.1) {\scriptsize$\x$};
  }
  % y = sqrt(x), definita per x >= 0
  \draw[thick, BLU, domain=0:4.5, smooth, samples=80] plot ({\x}, {sqrt(\x)});
  \node[BLU, right] at (4.5, 2.0) {$y=\sqrt{x}$};
  % y = x^(1/3), definita per ogni x
  \draw[thick, VERDE, domain=0:4.5, smooth, samples=80] plot ({\x}, {pow(\x, 1/3)});
  \draw[thick, VERDE, domain=-1.5:0, smooth, samples=40] plot ({\x}, {-pow(-\x, 1/3)});
  \node[VERDE, right] at (4.5, 1.4) {$y=\sqrt[3]{x}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Grafici di $y=\sqrt{x}$ (in blu, definita solo per $x\ge 0$) e $y=\sqrt[3]{x}$ (in verde, definita per ogni $x\in\R$). La radice cubica conserva il segno: $\sqrt[3]{-1}=-1$, mentre la radice quadrata non è definita su $x<0$.}
\label{fig:aa-022-grafici-radici}
\end{figure}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-022-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Calcolo di valori]
Calcolare:\quad
$\sqrt{49}$;\quad $\sqrt[3]{-125}$;\quad $\sqrt[4]{81}$;\quad $\sqrt[5]{-1}$;\quad $\sqrt{0{,}0001}$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item $\sqrt{49} = 7$;
  \item $\sqrt[3]{-125} = -5$ (radice dispari, segno conservato);
  \item $\sqrt[4]{81} = 3$ (radice pari, valore positivo);
  \item $\sqrt[5]{-1} = -1$;
  \item $\sqrt{0{,}0001} = 0{,}01$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Condizione di esistenza]
Determinare per quali $x\in\R$ esiste in $\R$ la radicale $\sqrt{x^2-4x+3}$.

\textit{Soluzione.} Servono $x^2-4x+3\ge 0$. Scomponendo: $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)\ge 0 \iff x\le 1\ \lor\ x\ge 3$. Quindi il radicale esiste per $x\in(-\infty,1]\cup[3,+\infty)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Semplificazione]
Semplificare:\quad
(a) $\sqrt[8]{16}$;\quad (b) $\sqrt[6]{x^4}$ (con $x\ge 0$);\quad (c) $\sqrt[12]{8 a^6}$ (con $a\ge 0$).

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item (a) $\sqrt[8]{16}=\sqrt[8]{2^4}$, $\mcd(8,4)=4$, otteniamo $\sqrt[2]{2^1}=\sqrt{2}$.
  \item (b) $\mcd(6,4)=2$, otteniamo $\sqrt[3]{x^2}$.
  \item (c) $\sqrt[12]{8 a^6} = \sqrt[12]{2^3\cdot a^6}$, $\mcd(12,3,6)=3$, otteniamo $\sqrt[4]{2\cdot a^2} = \sqrt[4]{2 a^2}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Trasporto fuori dalla radice]
Portare fuori dalla radice il più possibile:\quad
(a) $\sqrt{200}$;\quad (b) $\sqrt[3]{16 a^7 b^4}$ (con $a, b\ge 0$);\quad (c) $\sqrt{12 x^3 y^5}$ (con $x, y\ge 0$).

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item (a) $200 = 2^3\cdot 5^2$. Allora $\sqrt{200} = \sqrt{2^2\cdot 2\cdot 5^2} = 2\cdot 5\cdot\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$.
  \item (b) $16 = 2^4$, $a^7 = a^6\cdot a$, $b^4 = b^3\cdot b$. Allora $\sqrt[3]{2^4\cdot a^7\cdot b^4} = \sqrt[3]{2^3\cdot 2\cdot a^6\cdot a\cdot b^3\cdot b} = 2\,a^2\,b\,\sqrt[3]{2 a b}$.
  \item (c) $12 = 2^2\cdot 3$, $x^3 = x^2\cdot x$, $y^5 = y^4\cdot y$. $\sqrt{12 x^3 y^5} = 2 x y^2\,\sqrt{3 x y}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Confronto di radicali]
Ordinare in modo crescente:\quad
$\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{6}$, $\sqrt[4]{10}$, $\sqrt[6]{50}$.

\textit{Soluzione.} Portiamoli allo stesso indice. $\mcm(2, 3, 4, 6) = 12$. Conviene scrivere ogni radicale con indice $12$:
\begin{align*}
  \sqrt{3} &= \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729},\\
  \sqrt[3]{6} &= \sqrt[12]{6^4} = \sqrt[12]{1\,296},\\
  \sqrt[4]{10} &= \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1\,000},\\
  \sqrt[6]{50} &= \sqrt[12]{50^2} = \sqrt[12]{2\,500}.
\end{align*}
Ordinati per radicando: $729 < 1\,000 < 1\,296 < 2\,500$. Quindi $\sqrt{3} < \sqrt[4]{10} < \sqrt[3]{6} < \sqrt[6]{50}$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-022-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola, indicando il segno corretto:\quad
        (a) $\sqrt{144}$;\quad (b) $\sqrt[3]{-64}$;\quad (c) $\sqrt[4]{625}$;\quad (d) $\sqrt[5]{-32}$;\quad (e) $\sqrt[3]{1\,000}$;\quad (f) $\sqrt{0{,}25}$.
  \item Per ciascuna espressione, indica $\sqrt[n]{a^n}$ usando il valore assoluto se necessario:\quad
        (a) $\sqrt{x^2}$;\quad (b) $\sqrt[3]{x^3}$;\quad (c) $\sqrt[4]{x^4}$;\quad (d) $\sqrt[5]{x^5}$;\quad (e) $\sqrt{(x-1)^2}$.
  \item Determina la condizione di esistenza in $\R$:\quad
        (a) $\sqrt{x+5}$;\quad
        (b) $\sqrt{x^2-9}$;\quad
        (c) $\sqrt[3]{x^2-9}$;\quad
        (d) $\sqrt{-x^2+4}$;\quad
        (e) $\sqrt{(x-2)(x+1)}$.
  \item Semplifica indice ed esponente:\quad
        (a) $\sqrt[6]{a^4}$;\quad (b) $\sqrt[8]{16}$;\quad (c) $\sqrt[12]{x^6 y^9}$;\quad (d) $\sqrt[10]{32 a^5}$.
  \item Porta fuori dalla radice (assumendo che le lettere indichino quantità non negative):\quad
        (a) $\sqrt{50}$;\quad (b) $\sqrt{75 a^2}$;\quad (c) $\sqrt[3]{54}$;\quad (d) $\sqrt[3]{27 x^4 y^7}$;\quad (e) $\sqrt{8 x^5 y^2}$;\quad (f) $\sqrt[4]{32 a^9 b^5}$.
  \item Porta dentro la radice:\quad
        (a) $5\sqrt{2}$;\quad (b) $3\sqrt[3]{4}$;\quad (c) $2 x\sqrt{y}$ ($x, y\ge 0$);\quad (d) $-2\sqrt{3}$ (occhio al segno).
  \item Ordina in modo crescente:\quad
        (a) $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[6]{10}$;\quad
        (b) $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt[6]{20}$, $\sqrt[4]{3}$.
  \item Stabilisci se le seguenti uguaglianze sono vere per ogni $x\in\R$ (motiva e correggi quelle false):\quad
        (a) $\sqrt{x^2} = x$;\quad
        (b) $\sqrt[3]{x^3} = x$;\quad
        (c) $\sqrt{x^2} = |x|$;\quad
        (d) $\sqrt{(x-3)^2} = x-3$.
  \item (Discussione.) Perché si pone $\sqrt{a}\ge 0$ per convenzione, e non si ammette anche la radice negativa? Discuti l'effetto sulla \emph{funzione radice} $f(x)=\sqrt{x}$ rispetto all'esigenza di univocità (capitolo \ref{cap:RF-001}).
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-022-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Il \emph{radicale} $\sqrt[n]{a}$ è il numero $b$ tale che $b^n = a$. Per $n$ \emph{dispari} è definito su tutto $\R$ e conserva il segno di $a$; per $n$ \emph{pari} è definito solo per $a\ge 0$ ed è per convenzione il valore non negativo.
  \item \emph{Equazione vs radicale}: $x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm 3$, ma $\sqrt{9}=3$ (solo positivo).
  \item Identità chiave: $\sqrt[n]{a^n}=|a|$ se $n$ è pari, $=a$ se $n$ è dispari. È l'errore tipico ``$\sqrt{x^2}=x$'' a essere falso in generale.
  \item \emph{Proprietà invariantiva}: $\sqrt[n]{a}=\sqrt[k\,n]{a^k}$ (con $a\ge 0$, $k\in\N^*$). Permette di semplificare radicali (dividere indice ed esponente per il loro MCD) o di portarli allo stesso indice per confrontarli.
  \item \emph{Trasporto fuori dalla radice}: $\sqrt[n]{a^n b} = a\,\sqrt[n]{b}$ (con $a\ge 0$). Per portar fuori il più possibile, si scompone il radicando in fattori e si applicano divisioni euclidee degli esponenti per $n$.
  \item \emph{Trasporto dentro la radice}: $a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}$ per $a\ge 0$; per $a<0$ e $n$ pari il segno resta fuori, $a\sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{a^n b}$.
  \item \emph{Confronto}: due radicali si confrontano portandoli allo stesso indice (con la proprietà invariantiva), poi confrontando i radicandi.
\end{itemize}
\end{riepilogo}