\chapter{Relazioni tra radici e coefficienti e Viète}\label{cap:AA-026} \citazioneinizio{% \flashcap{AA-026-radici-coefficienti-viete} \geesexercises{mb18} \sorgentecap{AA-026} \matematika{AA-026} Tutto ciò che si può dire sulle radici di un'equazione è già scritto, in forma cifrata, nei suoi coefficienti: basta saperlo leggere.% }{adattamento da François Viète, \emph{De aequationum recognitione et emendatione} (1615)} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-026-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ Risolvere un'equazione di secondo grado significa trovare le sue radici $x_1, x_2$. Ma in molti problemi non ci interessa il \emph{valore preciso} di ciascuna radice: ci interessano combinazioni di esse — la loro \emph{somma}, il loro \emph{prodotto}, la somma dei loro quadrati, eccetera. Una scoperta sorprendente del matematico francese François Viète (\textsc{xvi} secolo) è che \emph{queste combinazioni si leggono direttamente dai coefficienti dell'equazione}, senza bisogno di risolverla. Le \textbf{formule di Viète} per il secondo grado sono semplicissime: se $x_1$ e $x_2$ sono le radici di $ax^2+bx+c=0$, allora \[ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}. \] In particolare, due numeri di cui conosciamo la somma $s$ e il prodotto $p$ sono le radici dell'equazione $x^2 - s\,x + p = 0$. È un risultato che si presta a innumerevoli applicazioni: ricostruire un'equazione data una coppia di radici, scomporre rapidamente un trinomio di secondo grado, trovare la seconda radice conoscendone una, valutare \emph{funzioni simmetriche} delle radici (somma dei quadrati, dei reciproci, ecc.). In questo capitolo presentiamo le formule di Viète con la loro dimostrazione, le tecniche applicative, e diamo un cenno alla loro generalizzazione ai polinomi di grado superiore (di cui le formule di Viète per il secondo grado sono il caso più semplice). % ============================================================ \section{Somma e prodotto delle radici}\label{sec:aa-026-01-somma-e-prodotto-delle-radici} \flashsec{AA-026-radici-coefficienti-viete}{02} % ============================================================ \begin{teorema}[Formule di Viète per il secondo grado]\indiceauto{formule di viete per il secondo grado@Formule di Viète per il secondo grado|textbf}Sia $ax^2+bx+c=0$ una equazione di secondo grado (con $a\neq 0$), con discriminante $\Delta\ge 0$ e radici $x_1, x_2$. Allora: \[ x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}. \] \end{teorema} \begin{formulabox} \[ s = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad p = x_1\cdot x_2 = \dfrac{c}{a}. \] \end{formulabox} \textit{Dimostrazione.} Dalla formula risolutiva $x_{1,2} = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$: \begin{align*} x_1 + x_2 &= \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a};\\ x_1\cdot x_2 &= \dfrac{(-b-\sqrt{\Delta})(-b+\sqrt{\Delta})}{4a^2} = \dfrac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}. \end{align*} \begin{esempio}[Verifica diretta] Per $x^2-5x+6=0$ abbiamo $a=1$, $b=-5$, $c=6$. Le radici (per il capitolo precedente) sono $x_1=2$, $x_2=3$. Verifica: \[ s = 2+3 = 5 = -\dfrac{-5}{1} = -\dfrac{b}{a},\quad p = 2\cdot 3 = 6 = \dfrac{6}{1} = \dfrac{c}{a}. \checkmark \] \end{esempio} \begin{nota}[Caso $a=1$ (equazione normalizzata)] Se l'equazione è già scritta con coefficiente direttivo $1$, $x^2 + b'x + c' = 0$, le formule si semplificano: \[ s = -b', \qquad p = c'. \] Il termine di primo grado è l'\emph{opposto} della somma, il termine noto è il \emph{prodotto}. Sono i due numeri da cercare per la classica scomposizione ``$x^2 + b'x + c'$''. \end{nota} % ============================================================ \section{Scomposizione del trinomio di 2° grado}\label{sec:aa-026-02-scomposizione-del-trinomio-di-2-grado} \flashsec{AA-026-radici-coefficienti-viete}{03} % ============================================================ \begin{teorema}[Scomposizione]\indiceauto{scomposizione@Scomposizione|textbf}Se $ax^2+bx+c$ ha radici reali $x_1, x_2$, allora \[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). \] Se $\Delta<0$, il trinomio è irriducibile in $\R$ (non si scompone in fattori lineari reali). \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} Sviluppando $a(x-x_1)(x-x_2)$: \[ a\bigl(x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 x_2\bigr) = a\,x^2 - a(x_1+x_2)\,x + a(x_1 x_2). \] Per le formule di Viète, $a(x_1+x_2) = a\cdot(-b/a) = -b$ e $a(x_1 x_2) = a\cdot(c/a) = c$. Sostituendo: \[ a\,x^2 + b\,x + c. \] \begin{procedura}[Scomporre velocemente $x^2 + sx + p$] Per scomporre $x^2 + sx + p$ con $s, p\in\Z$ (caso $a=1$): \begin{enumerate} \item Si cercano due numeri $r_1, r_2\in\Z$ tali che $r_1+r_2 = s$ e $r_1\cdot r_2 = p$. (Equivalente: si guardano i divisori di $p$.) \item Se esistono, si scompone: $x^2+sx+p = (x-r_1)(x-r_2)$ con $r_1 = -x_1$, $r_2 = -x_2$ — attenzione al segno: nel formato $(x-x_i)$ il segno nella scomposizione cambia. \end{enumerate} Quando $p$ è positivo, i due numeri hanno lo stesso segno; quando $p$ è negativo, segni opposti. \end{procedura} \begin{esempio}[Scomposizione veloce] Scomporre $x^2 + 7x + 12$. \textit{Soluzione.} Cerchiamo due numeri con somma $-7$ (perché $s=7\Rightarrow x_1+x_2 = -7$) e prodotto $12$. Sono $-3$ e $-4$. Quindi le radici sono $x_1=-3$, $x_2=-4$: \[ x^2 + 7x + 12 = (x-(-3))(x-(-4)) = (x+3)(x+4). \] \end{esempio} \begin{esempio}[Coefficiente direttivo $\neq 1$] Scomporre $2x^2 + 5x - 3$. \textit{Soluzione.} $a=2$, $b=5$, $c=-3$. Calcoliamo le radici con la formula: $\Delta = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{\Delta}=7$. $x_{1,2} = \tfrac{-5\pm 7}{4}$, da cui $x_1 = \tfrac{1}{2}$, $x_2 = -3$. Allora: \[ 2x^2 + 5x - 3 = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x + 3) = (2x - 1)(x + 3). \] \end{esempio} % ============================================================ \section{Determinazione delle radici noti somma e prodotto}\label{sec:aa-026-03-determinazione-delle-radici-noti-somma-e-prodotto} \flashsec{AA-026-radici-coefficienti-viete}{04} % ============================================================ \begin{teorema}[Equazione data somma e prodotto]\indiceauto{equazione data somma e prodotto@Equazione data somma e prodotto|textbf}Due numeri $x_1, x_2$ con somma $s$ e prodotto $p$ sono le radici dell'equazione \[ x^2 - s\,x + p = 0. \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione.} Dalle formule di Viète: $x_1+x_2 = s = -b/1$, $x_1 x_2 = p = c/1$. Quindi $b=-s$, $c=p$, e l'equazione $x^2+bx+c=0$ diventa $x^2 - s x + p = 0$. \begin{nota}[Esistenza] L'equazione $x^2 - sx + p = 0$ ammette soluzioni reali se e solo se $\Delta = s^2 - 4p \ge 0$. Se $s^2 < 4p$, non esistono due numeri reali con somma $s$ e prodotto $p$. Esempio: cercare due numeri reali di somma $0$ e prodotto $1$ è impossibile; servirebbe $i$ e $-i$ (capitolo \ref{cap:NC-001}). \end{nota} \begin{esempio}[Costruire un'equazione] Trovare l'equazione di secondo grado con radici $4$ e $-7$. \textit{Soluzione.} $s = 4 + (-7) = -3$, $p = 4\cdot(-7) = -28$. Equazione: $x^2 - (-3)x + (-28) = 0$, cioè \[ x^2 + 3x - 28 = 0. \] Verifica: $\Delta = 9 + 112 = 121 = 11^2$. Soluzioni: $x = \tfrac{-3\pm 11}{2}$, cioè $4$ e $-7$. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Problema di età] Trovare due numeri di somma $\num{20}$ e prodotto $\num{96}$. \textit{Soluzione.} L'equazione è $x^2 - 20x + 96 = 0$. $\Delta = 400 - 384 = 16$, $\sqrt{\Delta}=4$. Soluzioni: $x = \tfrac{20\pm 4}{2}$, cioè $12$ e $8$. Verifica: $12 + 8 = 20$, $12\cdot 8 = 96$. \checkmark \end{esempio} \begin{esempio}[Conoscere una radice e trovare l'altra] Sapendo che una radice di $3x^2 + 7x + c = 0$ è $x_1 = -1$, determinare $c$ e l'altra radice $x_2$. \textit{Soluzione.} Per Viète, $x_1 + x_2 = -\tfrac{7}{3}$, da cui $x_2 = -\tfrac{7}{3} - (-1) = -\tfrac{4}{3}$. Inoltre $x_1 x_2 = \tfrac{c}{3}$, dunque $c = 3 x_1 x_2 = 3\cdot(-1)\cdot(-\tfrac{4}{3}) = 4$. L'equazione è $3x^2+7x+4=0$. (Verifica: sostituendo $x_1=-1$: $3-7+4=0$. \checkmark) \end{esempio} % ============================================================ \section{Funzioni simmetriche delle radici}\label{sec:aa-026-funzioni-simmetriche} \flashsec{AA-026-radici-coefficienti-viete}{05} % ============================================================ Le formule di Viète permettono di calcolare \emph{molte} combinazioni delle radici senza risolvere l'equazione. \begin{teorema}[Funzioni simmetriche notevoli]\indiceauto{funzioni simmetriche notevoli@Funzioni simmetriche notevoli|textbf}Siano $x_1, x_2$ le radici di $ax^2+bx+c=0$. Allora, con $s=-b/a$, $p=c/a$: \begin{itemize} \item $x_1^2 + x_2^2 = s^2 - 2p$; \item $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{s}{p}$ (per $p\neq 0$); \item $\dfrac{1}{x_1^2} + \dfrac{1}{x_2^2} = \dfrac{s^2-2p}{p^2}$ (per $p\neq 0$); \item $x_1^3 + x_2^3 = s^3 - 3sp$. \end{itemize} \end{teorema} \textit{Dimostrazione (per $x_1^2+x_2^2$).} Si parte dall'identità algebrica $(x_1+x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$, da cui $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = s^2 - 2p$. Le altre formule si dimostrano analogamente. \begin{esempio} Sia $x^2 - 5x + 4 = 0$. Calcolare $x_1^2+x_2^2$ senza risolvere. \textit{Soluzione.} $s = 5$, $p = 4$. $x_1^2+x_2^2 = s^2 - 2p = 25 - 8 = 17$. (Verifica: $x_1=1$, $x_2=4$; $1+16=17$. \checkmark) \end{esempio} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture}[scale=0.95, every node/.style={font=\small}] % Schema visivo: equazione ↔ (s, p) ↔ (x_1, x_2) \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center, minimum width=3.5cm] (E) at (0, 0) {\textbf{Equazione}\\$ax^2+bx+c=0$}; \node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center, minimum width=3.5cm] (SP) at (5, 0) {\textbf{Viète}\\$s=-b/a$,\ $p=c/a$}; \node[draw, ROSSO, rounded corners, fill=ROSSO!10, align=center, minimum width=3.5cm] (R) at (10, 0) {\textbf{Radici}\\$x_1,\,x_2$}; \draw[->, thick] (E) -- (SP); \draw[->, thick] (SP) -- (R) node[midway, above] {\scriptsize formula risolutiva}; \draw[->, thick, dashed] (R) to[bend left=25] (SP); \draw[->, thick, dashed] (SP) to[bend left=25] (E) node[midway, below] {\scriptsize $x^2-sx+p=0$}; \end{tikzpicture} \caption{Diagramma del legame tra equazione di secondo grado, formule di Viète ($s$, $p$) e radici. Si può andare in entrambe le direzioni: dall'equazione alle radici (tramite la formula risolutiva), e dalle radici (o solo da $s$ e $p$) all'equazione (tramite $x^2-sx+p=0$).} \label{fig:aa-026-schema-viete} \end{figure} % ============================================================ \section{Regola dei segni di Cartesio}\label{sec:aa-026-04-regola-dei-segni-di-cartesio-cenni} \flashsec{AA-026-radici-coefficienti-viete}{06} % ============================================================ Dalle formule di Viète si possono dedurre informazioni sul \emph{segno} delle radici, anche senza conoscerne il valore preciso. \begin{teorema}[Segno delle radici reali]\indiceauto{segno delle radici reali@Segno delle radici reali|textbf}Sia $ax^2+bx+c=0$ con $\Delta\ge 0$ e radici $x_1, x_2$. \begin{itemize} \item Se $p = c/a > 0$: le radici hanno \emph{lo stesso segno}. \begin{itemize} \item Se $s = -b/a > 0$: entrambe positive. \item Se $s < 0$: entrambe negative. \end{itemize} \item Se $p < 0$: le radici hanno \emph{segni opposti}. \item Se $p = 0$: una radice è $0$ (caso spurio). \end{itemize} \end{teorema} \begin{nota}[Versione operativa: regola dei segni] Dato $ax^2+bx+c=0$ con $\Delta\ge 0$, si guardano i segni di $a, b, c$ (senza calcolare le radici): \begin{itemize} \item \emph{Permanenza} (segni uguali consecutivi: $+,+$ o $-,-$) $\to$ produce una radice \emph{negativa}; \item \emph{Variazione} (segni opposti consecutivi: $+,-$ o $-,+$) $\to$ produce una radice \emph{positiva}. \end{itemize} È una regola pratica: contando permanenze e variazioni, si conosce il numero di radici positive e negative. \end{nota} \begin{esempio} $x^2 - 5x + 6 = 0$: segni $+, -, +$. Variazione (++ $\to$ -), variazione ($-$ $\to$ +): due variazioni, due radici positive. (Sono infatti $2$ e $3$.) $x^2 + 5x + 6 = 0$: segni $+, +, +$. Due permanenze, due radici negative. (Sono infatti $-2$ e $-3$.) $x^2 + x - 6 = 0$: segni $+, +, -$. Permanenza ++, variazione $+\to -$: una positiva, una negativa. (Sono $2$ e $-3$.) \end{esempio} \subsection*{Cenno alla generalizzazione} Le formule di Viète si estendono a polinomi di grado qualunque. Per il polinomio \[ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0 \] con radici $x_1, \ldots, x_n$ (possibilmente complesse), si ha: \[ \sum x_i = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n},\qquad \sum_{i 0$, dunque due radici reali. Segni dei coefficienti: $+, -, +$. Due variazioni $\Rightarrow$ entrambe positive. (Verifica: $\sqrt{\Delta}=10$, $x = \tfrac{14\pm 10}{6}$, cioè $4$ e $2/3$, entrambe positive.) \end{esempio} \begin{esempio}[Funzione simmetrica più complessa] Per $x^2 - 3x - 1 = 0$, calcolare $x_1^3 + x_2^3$ senza risolvere. \textit{Soluzione.} $s = 3$, $p = -1$. Allora $x_1^3 + x_2^3 = s^3 - 3sp = 27 - 3\cdot 3\cdot(-1) = 27 + 9 = 36$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-026-07-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Verifica le formule di Viète per le seguenti equazioni risolvendole prima e poi calcolando $s$ e $p$ dai coefficienti:\quad (a) $x^2 - 8x + 15 = 0$;\quad (b) $2x^2 - 3x - 2 = 0$;\quad (c) $x^2 + x - 12 = 0$. \item Scomponi rapidamente (cercando due numeri con somma e prodotto opportuni):\quad (a) $x^2 + 9x + 20$;\quad (b) $x^2 - 6x + 8$;\quad (c) $x^2 + x - 30$;\quad (d) $x^2 - 11x + 30$. \item Costruisci l'equazione di secondo grado a coefficienti interi (o razionali) con le radici date:\quad (a) $3$ e $-1$;\quad (b) $0$ e $5$;\quad (c) $\dfrac{1}{2}$ e $-\dfrac{2}{3}$;\quad (d) $1+\sqrt{2}$ e $1-\sqrt{2}$. \item Per ciascuna equazione, calcola le funzioni simmetriche indicate senza risolverla:\quad (a) $x^2 - 6x + 5 = 0$: calcola $x_1^2 + x_2^2$;\quad (b) $2x^2 + 7x - 3 = 0$: calcola $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$;\quad (c) $x^2 + 4x - 2 = 0$: calcola $x_1^3 + x_2^3$;\quad (d) $x^2 - 5x + 6 = 0$: calcola $x_1^2\cdot x_2 + x_1\cdot x_2^2$ (\emph{suggerimento}: raccogli). \item Sapendo che una radice è quella indicata, trova l'altra (e $c$, se ignoto):\quad (a) $x^2 + 5x + c = 0$, $x_1 = -2$;\quad (b) $2x^2 + bx + 6 = 0$, $x_1 = 1$;\quad (c) $x^2 - 4x + c = 0$, $x_1 = 3$. \item Determina il segno delle radici di:\quad (a) $x^2 + 5x + 6 = 0$;\quad (b) $x^2 - 7x + 10 = 0$;\quad (c) $x^2 + 2x - 8 = 0$;\quad (d) $-x^2 + 3x + 4 = 0$ (suggerimento: cambia segno per ridurla alla forma standard). \item Per quali valori del parametro $k$ l'equazione $x^2 - (k+1)x + k = 0$ ha due radici di segno opposto? \item Trova due numeri sapendo che la loro somma è $11$ e il prodotto è $24$. (Imposta un'equazione di secondo grado e risolvila.) \item (Discussione.) Generalizzazione: per un'equazione di terzo grado con radici $x_1, x_2, x_3$, scrivi $x_1+x_2+x_3$, $x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$ e $x_1 x_2 x_3$ in funzione dei coefficienti di $ax^3+bx^2+cx+d=0$. (Suggerimento: sviluppa $a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.) \end{enumerate} \end{eserciziobox} % ============================================================ \section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-026-08-riepilogo-del-capitolo} % ============================================================ \begin{riepilogo} \begin{itemize} \item \emph{Formule di Viète per il secondo grado}: se $x_1, x_2$ sono le radici di $ax^2+bx+c=0$, allora \[ s = x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad p = x_1\,x_2 = \dfrac{c}{a}. \] \item Caso $a=1$: $s = -b$, $p = c$. È la base della scomposizione veloce di $x^2+bx+c$ ``cercando due numeri di somma $-b$ e prodotto $c$''. \item Data una coppia $(s, p)$, due numeri reali con somma $s$ e prodotto $p$ sono le soluzioni di $x^2 - sx + p = 0$, se $s^2-4p\ge 0$. \item \emph{Scomposizione}: $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$ con $x_1, x_2$ radici reali; irriducibile in $\R$ se $\Delta<0$. \item \emph{Funzioni simmetriche notevoli}: $x_1^2+x_2^2 = s^2-2p$;\ $\tfrac{1}{x_1}+\tfrac{1}{x_2} = s/p$;\ $x_1^3+x_2^3 = s^3-3sp$. \item \emph{Regola dei segni}: contando \emph{permanenze} e \emph{variazioni} dei coefficienti $a,b,c$ (con $\Delta\ge 0$), si conosce il numero di radici positive (= variazioni) e negative (= permanenze). \item Generalizzazione di Viète ai polinomi di grado $n$: $\sum x_i = -a_{n-1}/a_n$,\ $\prod x_i = (-1)^n a_0/a_n$, eccetera. Sono le \emph{funzioni simmetriche elementari}. \end{itemize} \end{riepilogo}