\chapter{Equazioni irrazionali}\label{cap:AA-028}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AA-028-equazioni-irrazionali}
\geesexercises{mb19}
\sorgentecap{AA-028}
\matematika{AA-028}
  Elevare al quadrato è la mossa più potente e la più pericolosa: permette di togliere una radice, ma può introdurre soluzioni che non c'erano. Ogni soluzione trovata va dunque verificata.%
}{adattamento didattico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-028-01-introduzione-motivazionale}
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Un'\textbf{equazione irrazionale} è un'equazione in cui l'incognita compare \emph{sotto il segno di radice}. Esempi:
\[
  \sqrt{x+2} = 3,\qquad \sqrt{x-1} = x-3,\qquad \sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5.
\]
Il modo di risolverle è apparentemente semplice: \emph{elevare a potenza} entrambi i membri per ``liberarsi'' della radice. Ma — ed è il punto delicato di tutto il capitolo — l'operazione di elevamento al quadrato \emph{non è equivalente}: può trasformare un'equazione falsa in una vera. Conseguenza: dopo aver risolto, va sempre \emph{verificato} che le soluzioni trovate siano davvero soluzioni dell'equazione originale.

In questo capitolo studiamo le tecniche risolutive per le equazioni irrazionali nei casi fondamentali, distinguendo:
\begin{itemize}
  \item un solo radicale di indice pari (il caso che richiede più cautela);
  \item radici di indice dispari (operazione equivalente, niente verifiche);
  \item due o più radicali.
\end{itemize}
La presenza di radicali ci costringerà sempre a porre attenzione alle \emph{condizioni di esistenza} dei radicandi (capitolo \ref{cap:AA-022}) e al \emph{segno} dei membri quando eleviamo al quadrato.

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\section{Definizione e condizioni di esistenza}\label{sec:aa-028-01-definizione-e-condizioni-di-esistenza}
\flashsec{AA-028-equazioni-irrazionali}{02}
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\begin{definizione}[Equazione irrazionale]\indiceauto{equazione irrazionale@Equazione irrazionale|textbf}Un'\textbf{equazione irrazionale} è un'equazione in cui l'incognita appare sotto il segno di una o più radici (a indice pari o dispari).
\end{definizione}

\begin{nota}[Sempre identificare le condizioni di esistenza]
Per le radici di indice \emph{pari} ($\sqrt{f(x)}$, $\sqrt[4]{g(x)}$, $\ldots$), il radicando deve essere $\ge 0$: questa è la \emph{prima} cosa da scrivere prima di risolvere.

Le radici di indice \emph{dispari} ($\sqrt[3]{f(x)}$, $\sqrt[5]{g(x)}$, $\ldots$) sono definite per ogni valore reale: nessuna restrizione sul radicando.
\end{nota}

\begin{attenzione}[Elevamento al quadrato non è equivalente]
L'operazione $a = b$ \emph{implica} $a^2 = b^2$, ma il viceversa è falso: $a^2=b^2$ \emph{non} implica $a=b$ (per esempio, $(-3)^2 = 3^2$ ma $-3\neq 3$).

Conseguenza: se da un'equazione $A=B$ passiamo a $A^2=B^2$ (per eliminare una radice), la nuova equazione \emph{potrebbe} avere soluzioni che non risolvono quella originaria. Tali soluzioni si chiamano \textbf{estranee} (qualcuno le chiama anche \emph{spurie}: nulla a che vedere con le \emph{equazioni spurie} di secondo grado del capitolo \ref{cap:AA-025}). Vanno individuate e scartate.

\textbf{Regola operativa:} dopo aver risolto, \emph{sostituire ogni soluzione nell'equazione originale} per verificare; se non la soddisfa, scartare.
\end{attenzione}

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\section{Risoluzione con un radicale}\label{sec:aa-028-02-risoluzione-con-un-radicale}
\flashsec{AA-028-equazioni-irrazionali}{03}
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\subsection*{Forma $\sqrt{f(x)} = k$ con $k$ costante}

\begin{teorema}[Equazione $\sqrt{f(x)}=k$]
Sia $k\in\R$. L'equazione $\sqrt{f(x)} = k$:
\begin{itemize}
  \item se $k<0$: \emph{impossibile} (un radicale di indice pari è $\ge 0$);
  \item se $k\ge 0$: equivale a $f(x) = k^2$, con la condizione $f(x)\ge 0$ (automaticamente verificata, poiché $k^2\ge 0$).
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{esempio}
$\sqrt{x-3} = 5 \Rightarrow x-3 = 25 \Rightarrow x = 28$. Verifica: $\sqrt{25}=5$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}
$\sqrt{x+1} = -2$: impossibile ($-2<0$), nessuna soluzione.
\end{esempio}

\subsection*{Forma $\sqrt{f(x)} = g(x)$ con $g$ espressione variabile}

\begin{teorema}[Equazione $\sqrt{f(x)}=g(x)$]
$\sqrt{f(x)} = g(x)$ equivale al sistema
\[
  f(x) = g(x)^2 \quad \land \quad g(x) \ge 0.
\]
La condizione $g(x)\ge 0$ è essenziale: senza di essa, elevando al quadrato si introdurrebbero soluzioni estranee.

(La condizione $f(x)\ge 0$ è automaticamente verificata, perché $g(x)^2\ge 0$.)
\end{teorema}

\begin{procedura}[Risoluzione di $\sqrt{f(x)} = g(x)$]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si pone la condizione $g(x)\ge 0$.
  \item Si elevano al quadrato entrambi i membri: $f(x) = g(x)^2$.
  \item Si risolve l'equazione algebrica $f(x) = g(x)^2$.
  \item Tra le soluzioni trovate, si scelgono solo quelle che soddisfano la condizione $g(x)\ge 0$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Risolvere $\sqrt{x+5} = x - 1$.

\textit{Soluzione.} Condizione: $x - 1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$. Eleviamo al quadrato:
\[
  x+5 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \iff x^2 - 3x - 4 = 0.
\]
$\Delta = 9 + 16 = 25$, $\sqrt{\Delta}=5$. $x = \tfrac{3\pm 5}{2}$: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Verifica con la condizione $x\ge 1$:
\begin{itemize}
  \item $x_1 = 4$: accettabile ($4\ge 1$). Verifica: $\sqrt{9}=3 = 4-1$. \checkmark
  \item $x_2 = -1$: non accettabile ($-1<1$). Scartato.
\end{itemize}
Unica soluzione: $x = 4$.

(Nota: senza la condizione di accettabilità avremmo erroneamente accettato anche $x=-1$, che soddisfa $f(x) = g(x)^2$ ma non $\sqrt{f(x)} = g(x)$: infatti $\sqrt{4} = 2$, ma $-1-1 = -2$. Le due quantità sono opposte, non uguali.)
\end{esempio}

\subsection*{Caso di radice cubica (indice dispari)}

\begin{teorema}[Equazioni con radici di indice dispari]
Per radici di indice dispari, l'operazione di elevamento a potenza dispari è \emph{equivalente}:
\[
  \sqrt[n]{f(x)} = g(x) \iff f(x) = g(x)^n \quad(n\text{ dispari}).
\]
\emph{Nessuna verifica delle soluzioni è necessaria}, perché la funzione $y=x^n$ con $n$ dispari è biunivoca su tutto $\R$ (capitolo \ref{cap:RF-002}).
\end{teorema}

\begin{esempio}
Risolvere $\sqrt[3]{x-1} = 2$.

\textit{Soluzione.} $x-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9$. Niente verifica necessaria (indice dispari).
\end{esempio}

\begin{esempio}
Risolvere $\sqrt[3]{2x+1} = x-1$.

\textit{Soluzione.} $2x+1 = (x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$, cioè $x^3 - 3x^2 + x - 2 = 0$. Soluzione intera: provando $x=2$ otteniamo $8 - 12 + 2 - 2 = -4\neq 0$. Provando $x=1$: $1 - 3 + 1 - 2 = -3$. Provando $x=-1$: $-1-3-1-2=-7$. Le radici reali si possono trovare numericamente (è di terzo grado). Lasciamo l'esempio come illustrazione della \emph{tecnica}.
\end{esempio}

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\section{Risoluzione con due radicali}\label{sec:aa-028-03-risoluzione-con-due-radicali}
\flashsec{AA-028-equazioni-irrazionali}{04}
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\subsection*{Forma $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$}

\begin{teorema}[Equazione $\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}$]
$\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ equivale al sistema
\[
  f(x) = g(x) \quad \land \quad f(x)\ge 0 \;(\text{equivalentemente } g(x)\ge 0).
\]
\end{teorema}

\begin{esempio}
$\sqrt{x+3} = \sqrt{2x-1}$.

\textit{Soluzione.} Condizione: $2x-1\ge 0\Rightarrow x\ge \tfrac{1}{2}$ (e implica anche $x+3\ge 0$ poiché $x\ge\tfrac{1}{2}>-3$). Da $x+3 = 2x-1 \Rightarrow x = 4$. Accettabile. Soluzione: $x=4$.
\end{esempio}

\subsection*{Forma $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$}

Quando ci sono \emph{due} radicali in somma, la tecnica è elevare al quadrato \emph{due volte}: la prima elimina un radicale lasciando l'altro, la seconda elimina anche quello.

\begin{procedura}[Risoluzione di $\sqrt{f} + \sqrt{g} = h$]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si pongono le condizioni di esistenza: $f(x)\ge 0$ e $g(x)\ge 0$ e $h(x)\ge 0$ (la somma di due radicali è $\ge 0$).
  \item Si \emph{isola} uno dei due radicali: $\sqrt{f} = h - \sqrt{g}$.
  \item Si eleva al quadrato: $f = h^2 - 2h\sqrt{g} + g$.
  \item Si isola di nuovo il radicale rimasto: $2h\sqrt{g} = h^2 + g - f$.
  \item Si eleva al quadrato di nuovo: $4h^2\, g = (h^2 + g - f)^2$. Si ottiene un'equazione \emph{senza} radicali.
  \item Si risolve, e si verificano tutte le soluzioni nell'equazione originale.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}
Risolvere $\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$.

\textit{Soluzione.} Condizioni: $x\ge 0$ (implica anche $x+5\ge 0$). Isolando: $\sqrt{x+5} = 5 - \sqrt{x}$. Eleviamo al quadrato:
\[
  x + 5 = 25 - 10\sqrt{x} + x \iff 5 - 25 = -10\sqrt{x} \iff \sqrt{x} = 2.
\]
Quadrando di nuovo: $x = 4$. Verifica nell'originale: $\sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.85, every node/.style={font=\small}]
  \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center, minimum width=4.5cm] (A) at (0, 0)
    {\textbf{Equazione irrazionale}\\$\sqrt{f(x)} = g(x)$};
  \node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center, minimum width=4.5cm] (B) at (0, -2)
    {\textbf{Condizione}\\$g(x)\ge 0$};
  \node[draw, ARANCIO, rounded corners, fill=ARANCIO!10, align=center, minimum width=4.5cm] (C) at (6, -1)
    {\textbf{Elevamento al quadrato}\\$f(x) = g(x)^2$};
  \node[draw, ROSSO, rounded corners, fill=ROSSO!10, align=center, minimum width=4.5cm] (D) at (12, -1)
    {\textbf{Soluzioni accettabili}\\\scriptsize tra le radici di $f(x)=g(x)^2$, tenere solo quelle con $g(x)\ge 0$};
  \draw[->, thick] (A) -- (C);
  \draw[->, thick] (B) -- (C);
  \draw[->, thick] (C) -- (D);
\end{tikzpicture}
\caption{Schema risolutivo per $\sqrt{f(x)}=g(x)$. Si impone $g(x)\ge 0$ (in verde), si eleva al quadrato (in arancio), si filtrano le soluzioni accettabili (in rosso). La condizione $g\ge 0$ è essenziale: senza di essa si introdurrebbero soluzioni \emph{estranee} con $g(x)<0$.}
\label{fig:aa-028-schema}
\end{figure}

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\section{Verifica delle soluzioni}\label{sec:aa-028-04-verifica-delle-soluzioni}
\flashsec{AA-028-equazioni-irrazionali}{05}
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\begin{nota}[Quando la verifica è obbligatoria]
La verifica numerica delle soluzioni nell'equazione originale è \emph{obbligatoria} quando:
\begin{itemize}
  \item si è elevato al quadrato (almeno una volta) un'equazione contenente radici di indice pari;
  \item l'elevamento è ``ambiguo'' rispetto al segno (per esempio $a^2=b^2$ ha le due soluzioni $a=\pm b$).
\end{itemize}
È \emph{facoltativa} (ma sempre utile) quando si è imposta correttamente la condizione $g(x)\ge 0$ e si è verificato che sia soddisfatta dalle soluzioni accettate.

Per radici di indice dispari, invece, la verifica non è strettamente necessaria, perché l'elevamento a una potenza dispari è equivalenza.
\end{nota}

\begin{esempio}[Una soluzione estranea da scartare]
Risolvere $\sqrt{2x+3} = x$.

\textit{Soluzione.} Condizione: $x\ge 0$. Quadrando: $2x+3 = x^2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0$. $\Delta = 4+12=16$, $x = \tfrac{2\pm 4}{2}$: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$.

Verifica:
\begin{itemize}
  \item $x_1=3$: $\sqrt{9}=3$. \checkmark accettabile.
  \item $x_2=-1$: non soddisfa $x\ge 0$. Scartato (e infatti $\sqrt{1} = 1\neq -1$).
\end{itemize}
Unica soluzione: $x = 3$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-028-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Caso base]
Risolvere $\sqrt{x-7} = 3$.

\textit{Soluzione.} $x-7 = 9 \Rightarrow x = 16$. Verifica: $\sqrt{9}=3$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Con espressione a destra]
Risolvere $\sqrt{x^2 - 3x + 3} = x - 1$.

\textit{Soluzione.} Condizione: $x\ge 1$. Quadrando:
\[
  x^2 - 3x + 3 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 \iff -3x + 3 = -2x + 1 \iff x = 2.
\]
$x=2$ soddisfa $x\ge 1$. Verifica: $\sqrt{4-6+3} = \sqrt{1} = 1 = 2-1$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Due radicali uguagliati]
Risolvere $\sqrt{x^2-4} = \sqrt{3x-2}$.

\textit{Soluzione.} Condizioni: $x^2-4\ge 0\iff x\le -2\lor x\ge 2$; $3x-2\ge 0\iff x\ge \tfrac{2}{3}$. Intersezione: $x\ge 2$.

Dall'equazione: $x^2-4 = 3x-2 \iff x^2-3x-2 = 0$. $\Delta = 9+8 = 17$, $x = \tfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}$. Numericamente: $x_1 = \tfrac{3+\sqrt{17}}{2}\approx 3{,}56$; $x_2 = \tfrac{3-\sqrt{17}}{2}\approx -0{,}56$.

Soltanto $x_1$ soddisfa $x\ge 2$. Soluzione: $x = \tfrac{3+\sqrt{17}}{2}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Due radicali in somma]
Risolvere $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-3} = 4$.

\textit{Soluzione.} Condizioni: $x-3\ge 0 \iff x\ge 3$. Isoliamo: $\sqrt{x-3} = 4 - \sqrt{x+1}$. Quadrando:
\[
  x-3 = 16 - 8\sqrt{x+1} + (x+1) \iff -3 - 17 + x - x - 1 = -8\sqrt{x+1}
\]
Più ordinatamente: $x-3 = 17 + x - 8\sqrt{x+1}$, da cui $-20 = -8\sqrt{x+1}$, ovvero $\sqrt{x+1} = \tfrac{5}{2}$. Quadrando: $x+1 = \tfrac{25}{4}$, $x = \tfrac{21}{4}$.

Condizione $x\ge 3$: $\tfrac{21}{4} = 5{,}25 \ge 3$. \checkmark. Verifica nell'equazione: $\sqrt{\tfrac{21}{4}+1}+\sqrt{\tfrac{21}{4}-3} = \sqrt{\tfrac{25}{4}}+\sqrt{\tfrac{9}{4}} = \tfrac{5}{2}+\tfrac{3}{2} = 4$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Radice cubica, no verifica]
Risolvere $\sqrt[3]{x^2 + 2x + 1} = 1$.

\textit{Soluzione.} Elevando al cubo entrambi i membri: $x^2+2x+1 = 1\iff x^2+2x = 0 \iff x(x+2)=0 \Rightarrow x = 0\lor x = -2$. (Indice dispari, nessuna verifica obbligatoria.) Soluzioni: $\{-2, 0\}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Soluzione estranea da scartare]
Risolvere $\sqrt{3x+4} = x$.

\textit{Soluzione.} Condizione: $x\ge 0$. Quadrando: $3x+4 = x^2$, cioè $x^2-3x-4=0$. $\Delta = 9+16 = 25$, $x = \tfrac{3\pm 5}{2}$: $x_1=4$, $x_2=-1$.

Accettabili (con $x\ge 0$): solo $x_1=4$. Verifica: $\sqrt{16} = 4$. \checkmark. La soluzione $x_2=-1$ è \emph{estranea}: $\sqrt{1}=1\neq -1$.

Unica soluzione: $x=4$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-028-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvi (con verifica):\quad
        (a) $\sqrt{x} = 4$;\quad
        (b) $\sqrt{2x+1} = 5$;\quad
        (c) $\sqrt{x-3} = -2$;\quad
        (d) $\sqrt{x^2+9} = 5$.
  \item Risolvi (imponi la condizione $g(x)\ge 0$ e verifica):\quad
        (a) $\sqrt{x+2} = x$;\quad
        (b) $\sqrt{x+3} = x-3$;\quad
        (c) $\sqrt{2x-1} = x-2$;\quad
        (d) $\sqrt{x^2-3} = x+1$.
  \item Risolvi le equazioni con due radicali:\quad
        (a) $\sqrt{x+1} = \sqrt{2x-3}$;\quad
        (b) $\sqrt{x^2+5} = \sqrt{x+11}$;\quad
        (c) $\sqrt{3x-2} = \sqrt{x+4}$.
  \item Risolvi le equazioni con due radicali in somma:\quad
        (a) $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 5$;\quad
        (b) $\sqrt{x+3} + \sqrt{x-1} = 4$;\quad
        (c) $\sqrt{x+8} - \sqrt{x+3} = 1$.
  \item Risolvi le equazioni con radici cubiche (niente verifica obbligatoria):\quad
        (a) $\sqrt[3]{x+1} = 2$;\quad
        (b) $\sqrt[3]{x^2-7} = 1$;\quad
        (c) $\sqrt[3]{x-5} = x-3$.
  \item Trova l'errore in questo ``ragionamento'': ``$\sqrt{x+1} = -2$, quindi elevando al quadrato $x+1 = 4$, da cui $x = 3$''. Spiega cosa è sbagliato e qual è la vera risposta.
  \item Problemi:\quad
        (a) Trova un numero il cui doppio aumentato di $3$ è uguale alla radice quadrata di tre volte quel numero più sette.\quad
        (b) La somma di un numero e della radice quadrata del suo successivo è $5$. Trova il numero.
  \item Risolvi (occhio alle condizioni di esistenza):\quad
        (a) $\sqrt{x-1} + 1 = x - 1$;\quad
        (b) $\sqrt{x-2} - \sqrt{x-5} = 1$;\quad
        (c) $\sqrt{x^2-3x+2} = x-1$.
  \item (Discussione.) Spiega geometricamente perché elevare al quadrato può introdurre soluzioni estranee. (Suggerimento: pensa al grafico della parabola $y = x^2$, biunivoca solo su $[0,+\infty)$.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-028-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Un'equazione \emph{irrazionale} ha l'incognita sotto il segno di radice. Le radici di indice \emph{pari} richiedono radicando $\ge 0$; quelle di indice \emph{dispari} sono definite ovunque.
  \item L'\emph{elevamento al quadrato} non è equivalente: può introdurre \textbf{soluzioni estranee}. La verifica nell'equazione originale è quindi quasi sempre necessaria.
  \item \emph{Caso $\sqrt{f}=k$ con $k$ costante}: impossibile se $k<0$; altrimenti $f=k^2$ (con $f\ge 0$ automatico).
  \item \emph{Caso $\sqrt{f}=g(x)$}: imporre $g\ge 0$, elevare al quadrato $f=g^2$, scartare soluzioni con $g<0$.
  \item \emph{Caso $\sqrt{f}=\sqrt{g}$}: $f=g$ con condizioni di esistenza dei radicandi.
  \item \emph{Caso $\sqrt{f}+\sqrt{g}=h$}: isolare un radicale, elevare al quadrato, isolare il radicale rimasto, elevare di nuovo. Verifica obbligatoria delle soluzioni.
  \item \emph{Radici di indice dispari}: $\sqrt[n]{f}=g$ con $n$ dispari equivale a $f=g^n$, senza necessità di verifica (l'operazione è biunivoca).
  \item \textbf{Lezione metodologica}: ogni volta che una soluzione algebrica ``compare''  dopo l'elevamento, va sottoposta al test sostituendola nell'equazione originale: solo allora si può davvero scrivere $x=\ldots$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}