\chapter{Disequazioni di secondo grado}\label{cap:AA-029}

\citazioneinizio{%
  La parabola dice tutto: sopra o sotto l'asse $x$, dentro o fuori dalle radici. Vedere una disequazione di secondo grado significa guardare la sua parabola.%
}{adattamento didattico}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-029-01-introduzione-motivazionale}
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Risolvere una \emph{disequazione di secondo grado} significa trovare \emph{tutti} i valori di $x$ per cui un trinomio $ax^2+bx+c$ è (rispettivamente) maggiore, maggiore o uguale, minore, minore o uguale a zero. È un problema strettamente legato al capitolo precedente sulle \emph{equazioni} di secondo grado (\ref{cap:AA-025}): risolvere $ax^2+bx+c=0$ trova i \emph{punti} in cui il trinomio si annulla; risolvere $ax^2+bx+c>0$ trova gli \emph{intervalli} su cui è positivo. Il legame è geometrico: \emph{si guarda dove sta la parabola rispetto all'asse $x$}.

Il metodo che presentiamo è classico ed efficace: si calcola il discriminante, si trovano le eventuali radici, si fa un disegno qualitativo della parabola (concavità verso l'alto o verso il basso), e si \emph{legge} dal disegno l'insieme delle soluzioni. È un esempio paradigmatico di come la \emph{geometria} aiuti l'algebra (e viceversa).

Useremo le disequazioni di secondo grado in tantissime applicazioni successive: nello studio del segno di funzioni razionali fratte (capitolo \ref{cap:AA-030}), nelle condizioni di esistenza di radicali, nello studio di funzioni (capitolo \ref{cap:AN-016}), nei problemi di ottimizzazione (capitolo \ref{cap:AN-018}).

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\section{Risoluzione algebrica}\label{sec:aa-029-01-risoluzione-algebrica}
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\begin{definizione}[Disequazione di secondo grado]
Si chiama \textbf{disequazione di secondo grado} (in una incognita $x$) una disequazione che, ridotta a forma normale, abbia la struttura
\[
  a\,x^2 + b\,x + c\ \square\ 0,\qquad a\neq 0,
\]
dove $\square$ è uno dei simboli $>,\ \ge,\ <,\ \le$.
\end{definizione}

\subsection*{Strategia generale}

\begin{procedura}[Risolvere $ax^2+bx+c>0$ (o $<0$, $\ge 0$, $\le 0$)]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Si \emph{riduce} la disequazione a forma normale con $a>0$ (se necessario, si moltiplica entrambi i membri per $-1$ \emph{invertendo} il verso della disuguaglianza).
  \item Si calcola il discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$.
  \item Si trovano (se esistono) le radici $x_1, x_2$ del trinomio.
  \item Si traccia un disegno qualitativo della parabola $y=ax^2+bx+c$ (concava verso l'alto, $a>0$) e si legge dove è $>0$, $<0$, $=0$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

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\section{Interpretazione grafica con la parabola}\label{sec:aa-029-02-interpretazione-grafica-con-la-parabola}
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Sia $a>0$ (concavità verso l'alto). Distinguiamo i tre casi del discriminante.

\subsection*{Caso $\Delta > 0$: due radici $x_1<x_2$}

La parabola interseca l'asse $x$ in due punti distinti.
\begin{itemize}
  \item $ax^2+bx+c > 0 \iff x < x_1\ \lor\ x > x_2$ \quad (\emph{valori esterni}).
  \item $ax^2+bx+c < 0 \iff x_1 < x < x_2$ \quad (\emph{valori interni}).
  \item Le disuguaglianze ``larghe'' ($\ge, \le$) includono anche le radici.
\end{itemize}

\subsection*{Caso $\Delta = 0$: una radice doppia $x_0$}

La parabola è tangente all'asse $x$ in $x_0$, sempre $\ge 0$ (mai negativa).
\begin{itemize}
  \item $ax^2+bx+c > 0 \iff x\neq x_0$;
  \item $ax^2+bx+c \ge 0$ è \emph{sempre vera};
  \item $ax^2+bx+c < 0$ è \emph{mai vera} (impossibile);
  \item $ax^2+bx+c \le 0 \iff x = x_0$.
\end{itemize}

\subsection*{Caso $\Delta < 0$: nessuna radice reale}

La parabola non incontra l'asse $x$, è sempre positiva (con $a>0$).
\begin{itemize}
  \item $ax^2+bx+c > 0$ è \emph{sempre vera} (con $a>0$);
  \item $ax^2+bx+c < 0$ è \emph{mai vera};
  \item Le disuguaglianze ``larghe'' coincidono con quelle strette.
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
  % Caso Delta > 0
  \begin{scope}
    \draw[->, GRIGIO] (-3, 0) -- (3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO] (0, -1.5) -- (0, 3);
    \draw[thick, BLU, domain=-2:2, smooth, samples=80] plot ({\x}, {\x*\x-1});
    \fill[ROSSO] (-1, 0) circle (2.5pt);
    \fill[ROSSO] (1, 0) circle (2.5pt);
    \node[ROSSO, below] at (-1, -0.1) {\scriptsize$x_1$};
    \node[ROSSO, below] at (1, -0.1) {\scriptsize$x_2$};
    % Tracciatura zone +/-
    \draw[VERDE, ultra thick] (-2.7, -1.8) -- (-1, -1.8);
    \draw[ROSSO, ultra thick] (-1, -1.8) -- (1, -1.8);
    \draw[VERDE, ultra thick] (1, -1.8) -- (2.7, -1.8);
    \node[VERDE!60!black] at (-1.85, -2.1) {\scriptsize $+$};
    \node[ROSSO!60!black] at (0, -2.1) {\scriptsize $-$};
    \node[VERDE!60!black] at (1.85, -2.1) {\scriptsize $+$};
    \node[below] at (0, -2.5) {(a) $\Delta>0$};
  \end{scope}
  % Caso Delta = 0
  \begin{scope}[shift={(7, 0)}]
    \draw[->, GRIGIO] (-3, 0) -- (3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO] (0, -1.5) -- (0, 3);
    \draw[thick, BLU, domain=-1.7:1.7, smooth, samples=80] plot ({\x}, {\x*\x});
    \fill[ROSSO] (0, 0) circle (2.5pt);
    \node[ROSSO, below right] at (0, -0.05) {\scriptsize$x_0$};
    \draw[VERDE, ultra thick] (-2.7, -1.8) -- (0, -1.8);
    \draw[VERDE, ultra thick] (0, -1.8) -- (2.7, -1.8);
    \node[VERDE!60!black] at (-1.5, -2.1) {\scriptsize $+$};
    \node[VERDE!60!black] at (1.5, -2.1) {\scriptsize $+$};
    \fill[ROSSO] (0, -1.8) circle (2pt);
    \node[ROSSO!60!black, below] at (0, -2.1) {\scriptsize $0$};
    \node[below] at (0, -2.5) {(b) $\Delta=0$};
  \end{scope}
  % Caso Delta < 0
  \begin{scope}[shift={(14, 0)}]
    \draw[->, GRIGIO] (-3, 0) -- (3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO] (0, -1.5) -- (0, 3);
    \draw[thick, BLU, domain=-1.5:1.5, smooth, samples=80] plot ({\x}, {\x*\x+0.6});
    \draw[VERDE, ultra thick] (-2.7, -1.8) -- (2.7, -1.8);
    \node[VERDE!60!black] at (0, -2.1) {\scriptsize sempre $+$};
    \node[below] at (0, -2.5) {(c) $\Delta<0$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Segno di $ax^2+bx+c$ (con $a>0$) nei tre casi del discriminante. In verde gli intervalli dove il trinomio è positivo, in rosso dove è negativo. Le radici (in rosso pieno) sono i punti in cui il trinomio è zero.}
\label{fig:aa-029-tre-casi}
\end{figure}

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\section{Segno del trinomio di 2° grado}\label{sec:aa-029-03-segno-del-trinomio-di-2-grado}
% ============================================================

\begin{teorema}[Regola pratica: ``concorde fuori, discorde dentro'']
Sia $\Delta > 0$ e siano $x_1<x_2$ le radici di $ax^2+bx+c=0$.
\begin{itemize}
  \item Per $x<x_1$ o $x>x_2$ (\emph{valori esterni}), il trinomio ha lo stesso segno di $a$ (concorde con $a$).
  \item Per $x_1<x<x_2$ (\emph{valori interni}), il trinomio ha segno opposto ad $a$ (discorde da $a$).
  \item Nei punti $x_1$ e $x_2$ il trinomio è nullo.
\end{itemize}
\end{teorema}

\begin{nota}[Caso $\Delta\le 0$: ``segno costante'']
Se $\Delta = 0$, il trinomio è $\ge 0$ ovunque ($\le 0$ se $a<0$), con uno zero in $x_0 = -b/(2a)$.

Se $\Delta < 0$, il trinomio ha sempre lo stesso segno di $a$ (\emph{sempre positivo se $a>0$, sempre negativo se $a<0$}), e non si annulla mai.
\end{nota}

\begin{formulabox}
\[
  \begin{array}{c|c|c}
  \Delta & ax^2+bx+c\text{ con }a>0 & \\
  \hline
  > 0 & \text{positivo per } x<x_1\ \lor\ x>x_2,\ \text{negativo tra le radici} & \\
  = 0 & \text{positivo eccetto } x_0,\ \text{mai negativo} & \\
  < 0 & \text{sempre positivo, mai zero} & \\
  \end{array}
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Risoluzione passo-passo}

\begin{procedura}[Disequazione di secondo grado in 4 passi]
\hfill
\begin{enumerate}
  \item Ricondurre la disequazione a forma normale con $a>0$ (se $a<0$, moltiplicare per $-1$ invertendo il verso).
  \item Calcolare $\Delta$. Se $\Delta\ge 0$, trovare le radici $x_1, x_2$ (o $x_0$ doppia).
  \item Disegnare la parabola (concavità verso l'alto, $a>0$) con le radici (o tangente all'asse, o senza intersezione).
  \item Leggere dal grafico l'insieme delle soluzioni, secondo il verso della disequazione richiesta.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Caso $\Delta>0$, disequazione $>$]
Risolvere $x^2 - 5x + 6 > 0$.

\textit{Soluzione.} $a=1>0$, $\Delta = 25-24 = 1$, radici $x_1 = 2$, $x_2 = 3$. Parabola con concavità verso l'alto, taglia l'asse $x$ in $2$ e $3$. Il trinomio è positivo esternamente alle radici (regola ``concorde fuori''):
\[
  x < 2\ \lor\ x > 3.
\]
Soluzione: $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso $\Delta>0$, disequazione $<$]
Risolvere $x^2 + x - 6 \le 0$.

\textit{Soluzione.} $\Delta = 1 + 24 = 25$. Radici $x_{1,2} = \tfrac{-1\pm 5}{2}$: $x_1 = -3$, $x_2 = 2$. Negativo o nullo \emph{tra} le radici (estremi inclusi):
\[
  -3 \le x \le 2.
\]
Soluzione: $[-3, 2]$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\Delta=0$, soluzioni speciali]
Risolvere $x^2 - 6x + 9 \le 0$.

\textit{Soluzione.} $\Delta = 36 - 36 = 0$. Radice doppia $x_0 = 3$. Il trinomio è $(x-3)^2$, sempre $\ge 0$, uguale a zero solo in $x=3$. Quindi $(x-3)^2\le 0 \iff x = 3$. Soluzione: $\{3\}$.

(Per $>0$ sarebbe stato $x\neq 3$; per $<0$ impossibile; per $\ge 0$ sempre vera.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\Delta<0$, parabola sempre sopra l'asse]
Risolvere $x^2 + 2x + 5 > 0$.

\textit{Soluzione.} $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. Nessuna radice reale, parabola sempre $>0$ (perché $a>0$). La disequazione è verificata per ogni $x\in\R$: soluzione $\R$.

Se la disequazione fosse stata $x^2+2x+5 < 0$, sarebbe stata impossibile (nessuna soluzione).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Coefficiente direttivo negativo]
Risolvere $-x^2 + 3x + 4 \ge 0$.

\textit{Soluzione.} Moltiplicando per $-1$ e \emph{invertendo} il verso: $x^2 - 3x - 4 \le 0$. $\Delta = 9+16 = 25$, radici $x_{1,2}=\tfrac{3\pm 5}{2}$: $x_1=-1$, $x_2=4$. Negativo o zero tra le radici:
\[
  -1 \le x \le 4.
\]
Soluzione: $[-1, 4]$.

Alternativamente: si poteva ragionare direttamente sulla parabola $y=-x^2+3x+4$, concava verso il basso. È positiva o nulla tra le radici, e si arriva allo stesso risultato.
\end{esempio}

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\section{Sistemi di disequazioni di 2° grado}\label{sec:aa-029-04-sistemi-di-disequazioni-di-2-grado}
% ============================================================

Un \emph{sistema di disequazioni} richiede di risolvere tutte le disequazioni che lo compongono e di prendere l'\emph{intersezione} delle soluzioni. Quando le disequazioni sono di secondo grado, si applicano i metodi visti, e poi si interseca usando una rappresentazione grafica sulla retta reale (lo schema classico ``a barrette'' del capitolo \ref{cap:AA-018}).

\begin{esempio}[Sistema]
Risolvere $\begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ x^2 - 4 \le 0 \end{cases}$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item \emph{Prima disequazione}: $x^2-5x+6>0$. Radici $2, 3$. Soluzione: $x<2 \lor x>3$, cioè $(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$.
  \item \emph{Seconda disequazione}: $x^2-4\le 0$. Radici $-2, 2$. Soluzione: $-2\le x\le 2$, cioè $[-2,2]$.
\end{itemize}
Intersezione: $\{x : (x<2 \lor x>3)\ \land\ -2\le x\le 2\} = [-2, 2)$.

Quindi la soluzione del sistema è $[-2, 2)$.
\end{esempio}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO] (-4, 0) -- (5, 0) node[right] {$x$};
  \foreach \x in {-2,0,2,3} {
    \draw[GRIGIO] (\x, -0.1) -- (\x, 0.1);
    \node[GRIGIO, below] at (\x, -0.15) {\scriptsize$\x$};
  }
  % Prima disequazione: x<2 \lor x>3
  \draw[BLU, ultra thick] (-4, 1) -- (2, 1);
  \draw[BLU, fill=white, thick] (2, 1) circle (2.5pt);
  \draw[BLU, ultra thick] (3, 1) -- (5, 1);
  \draw[BLU, fill=white, thick] (3, 1) circle (2.5pt);
  \node[BLU, right] at (5.2, 1) {\small$D_1$};
  % Seconda disequazione: -2 ≤ x ≤ 2
  \draw[VERDE, ultra thick] (-2, 0.5) -- (2, 0.5);
  \fill[VERDE] (-2, 0.5) circle (2.5pt);
  \fill[VERDE] (2, 0.5) circle (2.5pt);
  \node[VERDE, right] at (5.2, 0.5) {\small$D_2$};
  % Intersezione: [-2, 2)
  \draw[ROSSO, ultra thick] (-2, -0.5) -- (2, -0.5);
  \fill[ROSSO] (-2, -0.5) circle (3pt);
  \draw[ROSSO, fill=white, thick] (2, -0.5) circle (3pt);
  \node[ROSSO, right] at (5.2, -0.5) {\small$D_1\cap D_2$};
\end{tikzpicture}
\caption{Rappresentazione grafica della soluzione del sistema. La prima disequazione (blu) è soddisfatta sulle due semirette esterne; la seconda (verde) è soddisfatta nel segmento $[-2,2]$. L'intersezione (rosso) è il segmento $[-2,2)$: chiuso a $-2$ perché entrambe le disequazioni lo includono, aperto a $2$ perché la prima lo esclude.}
\label{fig:aa-029-intersezione}
\end{figure}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:aa-029-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Caso classico]
Risolvere $2x^2 - 5x + 2 < 0$.

\textit{Soluzione.} $\Delta = 25 - 16 = 9$. Radici $x_{1,2} = \tfrac{5\pm 3}{4}$: $x_1 = \tfrac{1}{2}$, $x_2 = 2$. Parabola concava verso l'alto, negativa tra le radici: $\tfrac{1}{2} < x < 2$. Soluzione: $\left(\tfrac{1}{2}, 2\right)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione $\ge 0$ con $\Delta<0$]
Risolvere $3x^2 + 2x + 1 \ge 0$.

\textit{Soluzione.} $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$, $a=3>0$. La parabola è sempre positiva, dunque la disequazione $\ge 0$ è sempre verificata. Soluzione: $\R$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Risoluzione di una disequazione fattorizzata]
Risolvere $(x-1)(x+2) > 0$ senza calcolare il discriminante.

\textit{Soluzione.} Il prodotto è positivo quando i due fattori hanno lo stesso segno: entrambi positivi ($x>1$) o entrambi negativi ($x<-2$). Soluzione: $x<-2 \lor x>1$, cioè $(-\infty,-2)\cup(1,+\infty)$.

(Equivalente: $x^2+x-2 = 0$ ha radici $-2, 1$, ``positivo fuori dalle radici''.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Condizione di esistenza]
Per quali $x$ è definita in $\R$ la funzione $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 3}$?

\textit{Soluzione.} Serve $x^2-4x+3\ge 0$. Radici di $x^2-4x+3=0$: $\Delta = 16-12 = 4$, $x = \tfrac{4\pm 2}{2}$: $x_1=1, x_2=3$. ``Concorde fuori, discorde dentro'': $x\le 1 \lor x\ge 3$. Dominio: $(-\infty, 1]\cup [3, +\infty)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema geometrico]
Per quali valori di $b$ il rettangolo di base $b$ e altezza $b-2$ ha area maggiore di $24$?

\textit{Soluzione.} Condizioni geometriche: $b>0$ e $b-2>0$, cioè $b>2$. Area: $b(b-2) > 24 \iff b^2 - 2b - 24 > 0$. Radici di $b^2-2b-24=0$: $\Delta = 4 + 96 = 100$, $b = \tfrac{2\pm 10}{2}$: $b_1 = -4, b_2 = 6$. ``Positivo fuori dalle radici'': $b<-4 \lor b>6$. Intersecando con $b>2$: $b>6$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema parametrico]
Per quali valori di $k$ l'equazione $x^2 - 2kx + 4 = 0$ ha due soluzioni reali distinte?

\textit{Soluzione.} Servono $\Delta > 0$: $\Delta = 4k^2 - 16 > 0 \iff k^2 > 4 \iff |k|>2 \iff k<-2 \lor k>2$. Soluzione: $k\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-029-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvi:\quad
        (a) $x^2 - 4 \ge 0$;\quad
        (b) $x^2 + 9 > 0$;\quad
        (c) $x^2 - 7x + 12 < 0$;\quad
        (d) $x^2 - 6x + 9 > 0$;\quad
        (e) $-x^2 + 5x - 4 \ge 0$.
  \item Risolvi:\quad
        (a) $2x^2 + 3x - 2 > 0$;\quad
        (b) $3x^2 - 11x + 6 \le 0$;\quad
        (c) $-2x^2 + 8x \ge 0$;\quad
        (d) $4x^2 - 12x + 9 \le 0$.
  \item Per ciascun caso, indica se la disequazione è sempre vera, sempre falsa, o ha soluzioni proprie:\quad
        (a) $x^2 + 1 > 0$;\quad
        (b) $x^2 + 1 < 0$;\quad
        (c) $-x^2 - 1 \ge 0$;\quad
        (d) $(x-3)^2 \ge 0$.
  \item Determina il dominio in $\R$ di:\quad
        (a) $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$;\quad
        (b) $f(x) = \sqrt{-x^2 + 4}$;\quad
        (c) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - x - 6}}$;\quad
        (d) $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ (nessun problema!).
  \item Risolvi i sistemi:\quad
        (a) $\begin{cases} x^2 - 3x \ge 0 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases}$;\quad
        (b) $\begin{cases} x^2 + 2x - 8 < 0 \\ x^2 - 4 > 0 \end{cases}$;\quad
        (c) $\begin{cases} x^2 + 4 > 0 \\ x^2 - 25 \le 0 \end{cases}$.
  \item Per quali valori del parametro $k$:\quad
        (a) $x^2 + kx + 4 > 0$ ha come soluzione $\R$ (sempre vera)?\quad
        (b) $x^2 - 2x + k$ è negativo \emph{per almeno un} $x\in\R$?\quad
        (c) $kx^2 - 4x + 1 > 0$ è sempre vera? (occhio al segno di $k$).
  \item Problemi:\quad
        (a) Trova $x\in\R$ tali che il prodotto $x(x-3)$ sia minore di $-2$.\quad
        (b) Il numero di lati di un poligono che ha $n^2/2 - 3n/2$ diagonali è ancora un poligono? Per quali $n$ il numero di diagonali è almeno $\num{20}$?
  \item Risolvi:\quad
        (a) $(x+1)(x-2)(x-5) > 0$ (suggerimento: studio del segno fattore per fattore);\quad
        (b) $(x^2-1)(x+3) \le 0$.
  \item (Discussione.) Spiega graficamente perché, per $a>0$, $ax^2+bx+c$ è positivo \emph{tra} le radici se $a<0$. Cosa cambia nella regola pratica?
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:aa-029-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Una \emph{disequazione di secondo grado} ha forma $ax^2+bx+c \square 0$ con $a\neq 0$ e $\square\in\{>,\ge,<,\le\}$.
  \item Risoluzione standard: ridurre a $a>0$ (eventualmente moltiplicando per $-1$ e invertendo il verso), calcolare $\Delta$, trovare le radici, leggere dal grafico (o dalla regola pratica) il segno del trinomio.
  \item \emph{Regola pratica} (per $a>0$, $\Delta>0$, radici $x_1<x_2$):
        \begin{itemize}
          \item ``\emph{Concorde fuori, discorde dentro}'': trinomio positivo per $x<x_1\lor x>x_2$, negativo per $x_1<x<x_2$.
          \item Disuguaglianze larghe includono le radici.
        \end{itemize}
  \item Casi degeneri:
        \begin{itemize}
          \item $\Delta=0$: trinomio sempre $\ge 0$ (con $a>0$), zero in $x_0=-b/(2a)$;
          \item $\Delta<0$: trinomio sempre $>0$ (con $a>0$), mai zero.
        \end{itemize}
  \item Sistemi di disequazioni: si risolve ognuna, si interseca con il classico schema a barrette sulla retta reale.
  \item Le disequazioni di secondo grado sono lo strumento di base per: condizioni di esistenza di radicali (capitolo \ref{cap:AA-022}), segno di funzioni razionali (capitolo \ref{cap:AA-030}), studio di funzioni (capitolo \ref{cap:AN-016}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}