\chapter{Disequazioni irrazionali}\label{cap:AA-031} \citazioneinizio{% Una disequazione irrazionale è una disequazione che chiede a un radicale di stare sotto, sopra o uguale a qualcosa: la chiave è leggere bene chi è positivo e chi negativo, prima di pensare al quadrato.% }{adattamento didattico} % ============================================================ \section{Introduzione motivazionale}\label{sec:aa-031-01-introduzione-motivazionale} % ============================================================ Dopo le equazioni irrazionali (capitolo \ref{cap:AA-028}) e le disequazioni di secondo grado e fratte (capitoli \ref{cap:AA-029}, \ref{cap:AA-030}), arriviamo all'ultimo grande capitolo di algebra del biennio: le \emph{disequazioni irrazionali}, in cui l'incognita compare sotto radice e si chiede non un'uguaglianza ma una disuguaglianza. La differenza rispetto alle equazioni irrazionali è sottile ma fondamentale: $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$ non si risolve semplicemente elevando al quadrato. Il segno del membro destro è decisivo: se $g(x)<0$, la disuguaglianza è automaticamente vera (un radicale è sempre $\ge 0$, dunque sicuramente $\ge $ qualcosa di negativo); se $g(x)\ge 0$, allora possiamo elevare al quadrato in modo equivalente. L'analisi va condotta separatamente nei due casi. In questo capitolo presentiamo la \emph{tecnica per casi} per le due strutture fondamentali $\sqrt{f}\le g$ e $\sqrt{f}\ge g$, il caso $\sqrt{f}\ge\sqrt{g}$, e il caso con indice dispari. Sono gli ultimi strumenti che ci servono per affrontare lo studio delle funzioni razionali e irrazionali in analisi (capitoli \ref{cap:AN-014} e seguenti). % ============================================================ \section{Disequazioni con un radicale}\label{sec:aa-031-01-disequazioni-con-un-radicale} % ============================================================ \subsection*{Forma $\sqrt{f(x)} \le g(x)$ (radicale ``piccolo'')} \begin{teorema} La disequazione $\sqrt{f(x)}\le g(x)$ equivale al sistema \[ \begin{cases} f(x) \ge 0 \quad\text{(esistenza del radicale)}\\ g(x) \ge 0 \quad\text{(perch\'e un radicale $\ge 0$ pu\`o stare $\le$ solo a un numero $\ge 0$)}\\ f(x) \le g(x)^2 \quad\text{(elevamento al quadrato)} \end{cases} \] \end{teorema} \textit{Dimostrazione (idea).} \begin{itemize} \item La prima condizione è la condizione di esistenza del radicale (indice pari). \item Se $g(x)<0$, la disuguaglianza $\sqrt{f(x)}\le g(x)$ è impossibile (un radicale è $\ge 0$, non può essere $\le$ a un numero negativo). \item Se $g(x)\ge 0$, entrambi i membri sono $\ge 0$ e l'elevamento al quadrato è equivalente: $\sqrt{f(x)}\le g(x)\iff f(x)\le g(x)^2$. \end{itemize} \begin{esempio} Risolvere $\sqrt{2x+3} \le x$. \textit{Soluzione.} Sistema: \[ \begin{cases} 2x+3\ge 0 \\ x\ge 0 \\ 2x+3 \le x^2 \end{cases} \] \begin{itemize} \item Prima: $x\ge -\tfrac{3}{2}$. \item Seconda: $x\ge 0$. (Più restrittiva.) \item Terza: $x^2 - 2x - 3 \ge 0 \iff (x-3)(x+1)\ge 0 \iff x\le -1\ \lor\ x\ge 3$. \end{itemize} Intersezione: $x\ge 3$ (la condizione $x\ge 0$ esclude la parte $x\le -1$). Soluzione: $[3, +\infty)$. Verifica per $x=3$: $\sqrt{9} = 3 \le 3$. \checkmark \end{esempio} \subsection*{Forma $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ (radicale ``grande'')} \begin{teorema} La disequazione $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$ equivale all'\emph{unione} di due sistemi: \[ \begin{cases} f(x)\ge 0 \\ g(x) < 0 \end{cases} \quad\lor\quad \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge g(x)^2 \end{cases} \] (il primo blocco copre il caso $g(x)<0$, in cui basta esistere il radicale; il secondo blocco gestisce $g(x)\ge 0$ con elevamento al quadrato). \end{teorema} \textit{Dimostrazione (idea).} \begin{itemize} \item Se $g(x)<0$: $\sqrt{f(x)}\ge 0 > g(x)$ è automaticamente vera, basta che il radicale esista ($f(x)\ge 0$). \item Se $g(x)\ge 0$: entrambi i membri $\ge 0$, si può elevare al quadrato in modo equivalente, $\sqrt{f}\ge g\iff f\ge g^2$. (Nota: $f\ge g^2\ge 0$ implica $f\ge 0$, dunque la condizione di esistenza è automatica.) \end{itemize} \begin{esempio} Risolvere $\sqrt{x+5} \ge x - 1$. \textit{Soluzione.} \emph{Caso 1}: $x-1 < 0$, ossia $x<1$. Servono $x+5\ge 0$ (i.e.\ $x\ge -5$) e $x<1$. Intersezione: $-5\le x<1$. \emph{Caso 2}: $x-1\ge 0$, ossia $x\ge 1$. Servono $x+5\ge (x-1)^2$, ossia $x+5\ge x^2-2x+1$, cioè $x^2-3x-4\le 0$. $\Delta = 9+16=25$, radici $-1, 4$. Quindi $-1\le x\le 4$, intersezione con $x\ge 1$: $1\le x\le 4$. Unione dei due casi: $-5\le x\le 4$, cioè $[-5, 4]$. \end{esempio} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzpicture}[scale=0.95, every node/.style={font=\small}] % Caso sqrt(f) <= g: condizioni in serie \node[draw, BLU, rounded corners, fill=BLU!10, align=center, minimum width=8cm] (A) at (0, 0) {$\sqrt{f(x)} \le g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge 0 \\ g(x)\ge 0 \\ f(x) \le g(x)^2 \end{cases}$}; % Caso sqrt(f) >= g: due sistemi in OR \node[draw, VERDE, rounded corners, fill=VERDE!10, align=center, minimum width=8cm] (B) at (0, -3) {$\sqrt{f(x)} \ge g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge 0\\ g(x) < 0 \end{cases}\ \lor\ \begin{cases} g(x)\ge 0\\ f(x)\ge g(x)^2 \end{cases}$}; \end{tikzpicture} \caption{Schemi risolutivi per le due forme fondamentali di disequazione irrazionale. La forma $\sqrt{f}\le g$ richiede un \emph{unico} sistema di tre condizioni. La forma $\sqrt{f}\ge g$ richiede l'\emph{unione} di due sistemi distinti, uno per ogni segno di $g$.} \label{fig:aa-031-schemi} \end{figure} % ============================================================ \section{Casistica con la disuguaglianza >= o <=}\label{sec:aa-031-02-casistica-con-la-disuguaglianza-geq-o-leq} % ============================================================ Per le \emph{disuguaglianze strette} ($<$ o $>$) la struttura è la stessa, con qualche aggiustamento: \begin{itemize} \item $\sqrt{f(x)} < g(x)$: stesso sistema di $\le$, ma con $g(x)>0$ stretto (perché $g(x)=0$ darebbe $\sqrt{f}<0$ impossibile) e $f(x) g(x)$: stessa unione di sistemi del $\ge$, con $g(x)<0$ (la condizione $g\le 0$ è incorporata) e $f(x)>g(x)^2$ stretto nel secondo caso. \end{itemize} \begin{nota}[Caso $g(x)<0$ stretto] Quando il secondo membro è strettamente negativo e abbiamo $\sqrt{f(x)}\ge g(x)$ o $\sqrt{f(x)}>g(x)$, la disuguaglianza è automaticamente vera (basta che il radicale esista). È un caso ``gratis'' che rende la soluzione spesso più ampia di quanto ci si aspetterebbe. \end{nota} % ============================================================ \section{Disequazioni con due radicali}\label{sec:aa-031-03-disequazioni-con-due-radicali} % ============================================================ \begin{teorema}[Disuguaglianza tra due radicali] La disequazione $\sqrt{f(x)}\ge\sqrt{g(x)}$ equivale al sistema \[ \begin{cases} f(x)\ge 0 \\ g(x)\ge 0 \\ f(x)\ge g(x) \end{cases} \] (prima si verifica l'esistenza dei radicali, poi si confrontano i radicandi). \end{teorema} \textit{Dimostrazione (idea).} Entrambi i membri sono $\ge 0$ per la definizione dei radicali, dunque l'elevamento al quadrato è equivalente: $\sqrt{f}\ge\sqrt{g}\iff f\ge g$. Va però imposta l'esistenza di entrambi i radicali. \begin{esempio} Risolvere $\sqrt{x^2-1}\ge\sqrt{2x+1}$. \textit{Soluzione.} \[ \begin{cases} x^2-1\ge 0 \\ 2x+1\ge 0 \\ x^2-1\ge 2x+1 \end{cases} \] \begin{itemize} \item Prima: $x\le -1\ \lor\ x\ge 1$. \item Seconda: $x\ge -\tfrac{1}{2}$. \item Terza: $x^2 - 2x - 2\ge 0$. $\Delta = 4+8=12$, $x = \tfrac{2\pm 2\sqrt{3}}{2} = 1\pm\sqrt{3}$. Quindi $x\le 1-\sqrt{3}\ \lor\ x\ge 1+\sqrt{3}$. Numericamente $\sqrt{3}\approx 1{,}732$, dunque $x\le -0{,}732\ \lor\ x\ge 2{,}732$. \end{itemize} Intersezione di tutte le condizioni: $x\ge -\tfrac{1}{2}$ (dalla seconda) e $x\le -1\lor x\ge 1$ (dalla prima) $\Rightarrow$ $x\ge 1$. Poi con $x\le 1-\sqrt{3}\lor x\ge 1+\sqrt{3}$: $x\ge 1+\sqrt{3}$. Soluzione: $x\ge 1+\sqrt{3}$, cioè $[1+\sqrt{3}, +\infty)$. \end{esempio} \subsection*{Disequazione con indice dispari} \begin{teorema} Per radici di indice dispari, le disuguaglianze \emph{si conservano} con l'elevamento alla potenza dispari. Quindi \[ \sqrt[n]{f(x)}\square g(x) \iff f(x) \square g(x)^n \qquad (n\text{ dispari},\ \square\in\{<,\le,>,\ge\}). \] Nessun caso, nessuna condizione di esistenza (la radice di indice dispari è definita ovunque). \end{teorema} \begin{esempio} Risolvere $\sqrt[3]{2x-1} < 3$. \textit{Soluzione.} Cubando: $2x-1<27 \iff x<14$. Soluzione: $(-\infty, 14)$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esempi svolti}\label{sec:aa-031-05-esempi-svolti} % ============================================================ \begin{esempio}[Caso $\le$ con sistema unico] Risolvere $\sqrt{x+4}\le 2x$. \textit{Soluzione.} \[ \begin{cases} x+4\ge 0\\ 2x\ge 0 \\ x+4\le 4x^2 \end{cases} \] \begin{itemize} \item Prima: $x\ge -4$. \item Seconda: $x\ge 0$. \item Terza: $4x^2-x-4\ge 0$. $\Delta = 1+64=65$, $x = \tfrac{1\pm\sqrt{65}}{8}$. Numericamente: $x\le \tfrac{1-\sqrt{65}}{8}\approx -0{,}883\ \lor\ x\ge \tfrac{1+\sqrt{65}}{8}\approx 1{,}133$. \end{itemize} Intersezione con $x\ge 0$: $x\ge \tfrac{1+\sqrt{65}}{8}$. Soluzione: $\left[\tfrac{1+\sqrt{65}}{8}, +\infty\right)$. \end{esempio} \begin{esempio}[Caso $\ge$ con unione di due sistemi] Risolvere $\sqrt{x^2-2x}\ge x-3$. \textit{Soluzione.} \emph{Caso 1}: $x-3<0$, $x<3$. Esistenza: $x^2-2x\ge 0\iff x(x-2)\ge 0 \iff x\le 0\lor x\ge 2$. Intersezione con $x<3$: $x\le 0\ \lor\ 2\le x<3$. \emph{Caso 2}: $x-3\ge 0$, $x\ge 3$. Quadrando: $x^2-2x\ge (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \iff 4x\ge 9 \iff x\ge \tfrac{9}{4}$. Intersezione con $x\ge 3$: $x\ge 3$. Unione dei due casi: $x\le 0\ \lor\ x\ge 2$. Soluzione: $(-\infty, 0]\cup [2, +\infty)$. \end{esempio} \begin{esempio}[Due radicali con $\le$] Risolvere $\sqrt{x+2}\le\sqrt{3-x}$. \textit{Soluzione.} \[ \begin{cases} x+2\ge 0 \\ 3-x\ge 0 \\ x+2\le 3-x \end{cases} \iff \begin{cases} x\ge -2\\ x\le 3\\ 2x\le 1\Rightarrow x\le \tfrac{1}{2} \end{cases} \] Intersezione: $-2\le x\le \tfrac{1}{2}$. Soluzione: $[-2, \tfrac{1}{2}]$. \end{esempio} \begin{esempio}[Con valore assoluto come confronto] Risolvere $\sqrt{x^2-4}\le |x-3|$. \textit{Soluzione.} Poiché $|x-3|\ge 0$ sempre, possiamo applicare il sistema: \[ \begin{cases} x^2-4\ge 0\\ |x-3|\ge 0\;\text{(sempre)}\\ x^2-4\le (x-3)^2 \end{cases} \] \begin{itemize} \item Prima: $x\le -2\ \lor\ x\ge 2$. \item Terza: $x^2-4\le x^2-6x+9 \iff 6x\le 13 \iff x\le \tfrac{13}{6}$. \end{itemize} Intersezione: $x\le -2\ \lor\ 2\le x\le \tfrac{13}{6}$. Soluzione: $(-\infty,-2]\cup[2, \tfrac{13}{6}]$. \end{esempio} \begin{esempio}[Indice dispari] Risolvere $\sqrt[3]{x^2 - 3}\ge 1$. \textit{Soluzione.} Indice dispari, equivalenza diretta: \[ x^2-3\ge 1 \iff x^2\ge 4 \iff x\le -2 \lor x\ge 2. \] Soluzione: $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$. \end{esempio} % ============================================================ \section{Esercizi proposti}\label{sec:aa-031-06-esercizi-proposti} % ============================================================ \begin{eserciziobox} \begin{enumerate} \item Risolvi le disequazioni del tipo $\sqrt{f}\le g$:\quad (a) $\sqrt{x}\le 3$;\quad (b) $\sqrt{x-1}\le x$;\quad (c) $\sqrt{2x+3}\le x+1$;\quad (d) $\sqrt{x^2-9}\le x$. \item Risolvi le disequazioni del tipo $\sqrt{f}\ge g$:\quad (a) $\sqrt{x}\ge 2$;\quad (b) $\sqrt{x+1}\ge x$;\quad (c) $\sqrt{2x+5}\ge x+1$;\quad (d) $\sqrt{x^2-1}\ge x-2$. \item Risolvi le disequazioni con due radicali:\quad (a) $\sqrt{x+2}\ge\sqrt{2x-1}$;\quad (b) $\sqrt{x^2-4}<\sqrt{x+2}$;\quad (c) $\sqrt{x-3}\le\sqrt{2x-1}$. \item Risolvi le disequazioni con indice dispari (equivalenza diretta):\quad (a) $\sqrt[3]{x+5}\ge 2$;\quad (b) $\sqrt[3]{2x-1}<1$;\quad (c) $\sqrt[3]{x^2}\ge 3$. \item Determina il dominio in $\R$:\quad (a) $f(x) = \sqrt{x-1} - \sqrt{2-x}$ (definita ovunque entrambi i radicali esistano);\quad (b) $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$;\quad (c) $f(x) = \sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}$ (suggerimento: argomento $\ge 0$, disequazione fratta). \item Risolvi:\quad (a) $\sqrt{x^2-2x+1}\le x$ (suggerimento: $x^2-2x+1=(x-1)^2$);\quad (b) $\sqrt{4-x^2}\ge x-1$;\quad (c) $\sqrt{x+3}\ge\sqrt{x-1} + 1$ (suggerimento: isola e quadra). \item Sapendo che $\sqrt{f}\ge 0$ sempre, deduci immediatamente la soluzione di:\quad (a) $\sqrt{x^2+1}\ge -3$ (cosa puoi dire subito?);\quad (b) $\sqrt{x^2+1}\le -3$. \item Per quali $x$ vale $\sqrt{x+1}