\chapter{Limite di funzione: definizione e proprietà}\label{cap:AN-002}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-002-limite-funzione}
\geesexercises{mt22}
\sorgentecap{AN-002}
\matematika{AN-002}
  Quando i valori successivamente attribuiti a una stessa variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato, in modo da differire da esso per quanto poco si voglia, quest'ultimo è chiamato il \emph{limite} di tutti gli altri.%
}{Augustin-Louis Cauchy, \emph{Cours d'Analyse} (1821)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-002-01-introduzione-motivazionale}
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Il \emph{limite} è il concetto fondamentale dell'analisi matematica. Risponde a domande del tipo:
\begin{itemize}
  \item \emph{Cosa accade al valore di $f(x) = \dfrac{\sen x}{x}$ quando $x$ si avvicina a $0$?} (La funzione non è definita in $0$, eppure i valori vicini si stabilizzano attorno a $1$.)
  \item \emph{Cosa accade a $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ quando $x$ si avvicina a $0$?} (La funzione diverge a $+\infty$.)
  \item \emph{Come si comporta $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1}$ per $x$ molto grande?} (Tende a $2$.)
\end{itemize}

Tutte queste domande si formalizzano con la stessa definizione di limite, che useremo nei capitoli a venire per:
\begin{itemize}
  \item definire la \emph{continuità} (\ref{cap:AN-005});
  \item definire la \emph{derivata} come limite del rapporto incrementale (\ref{cap:AN-008});
  \item definire l'\emph{integrale} come limite di una somma (\ref{cap:AN-023}).
\end{itemize}

La definizione moderna --- nota come \emph{definizione $\varepsilon$-$\delta$} --- è stata raffinata da Cauchy e Weierstrass nell'Ottocento, in risposta alla necessità di rigore che le ``quantità infinitesime'' di Leibniz non garantivano. Useremo il linguaggio degli intorni del \ref{cap:AN-001}.

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\section{Concetto intuitivo di limite}\label{sec:an-002-02-concetto-intuitivo-di-limite}
\flashsec{AN-002-limite-funzione}{02}
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Sia $f$ una funzione e $x_0$ un punto di accumulazione del suo dominio. Scriviamo
\[
  \lim_{x \to x_0} f(x) = L
\]
e leggiamo ``il limite per $x$ che tende a $x_0$ di $f(x)$ è $L$'', se: \emph{quando $x$ si avvicina a $x_0$ (senza mai essere uguale a $x_0$), i valori $f(x)$ si avvicinano a $L$}.

\begin{esempio}[Esplorazione tabulare]
Vogliamo capire il limite di $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ per $x \to 1$. La funzione \emph{non è definita} in $x = 1$ (denominatore nullo); ma possiamo calcolare valori vicini:
\[
  \begin{array}{c|c}
    x & f(x) \\
    \hline
    \num{0.9} & \num{1.9} \\
    \num{0.99} & \num{1.99} \\
    \num{0.999} & \num{1.999} \\
    \num{1.001} & \num{2.001} \\
    \num{1.01} & \num{2.01} \\
    \num{1.1} & \num{2.1} \\
  \end{array}
\]
I valori si stabilizzano verso $2$ sia da destra sia da sinistra. Quindi $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$. Algebricamente: $f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$ per $x \neq 1$, e $x + 1 \to 2$ per $x \to 1$.
\end{esempio}

L'intuizione ``$f(x)$ si avvicina a $L$'' va ora resa precisa. La domanda chiave è: \emph{quanto vicino dobbiamo richiedere che $f(x)$ stia a $L$, e di conseguenza quanto vicino bisogna che $x$ stia a $x_0$?} La risposta è il celebre criterio di Weierstrass.

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\section{Limite finito di funzione in un punto}\label{sec:an-002-03-limite-finito-di-funzione-in-un-punto}
\flashsec{AN-002-limite-funzione}{03}
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\begin{definizione}[Limite finito in un punto --- $\varepsilon$-$\delta$]\indiceauto{limite finito in un punto@Limite finito in un punto --- -|textbf}Sia $f: A \to \R$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione di $A$. Si scrive
\[
  \lim_{x \to x_0} f(x) = L \qquad (L \in \R)
\]
se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che, per ogni $x \in A$:
\[
  0 < |x - x_0| < \delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x) - L| < \varepsilon.
\]
\end{definizione}

\textbf{Lettura}: \emph{per quanto piccolo} ($\varepsilon$) sia il margine che fissiamo attorno a $L$, possiamo trovare \emph{un margine corrispondente} ($\delta$) attorno a $x_0$ tale che tutte le $x$ in quel margine (e $x \neq x_0$, ecco perché $|x-x_0| > 0$) abbiano $f(x)$ entro il margine prefissato attorno a $L$.

\begin{nota}[$x_0$ non deve essere nel dominio]
La condizione $|x - x_0| > 0$ esclude esplicitamente $x = x_0$: il limite \emph{non considera} il valore (eventuale) di $f$ in $x_0$, ma solo i valori \emph{vicino} a $x_0$. Per questo $x_0$ può non appartenere al dominio.
\end{nota}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Latex, scale=1]
  % assi
  \draw[->] (-0.5,0) -- (7,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.5) -- (0,5) node[above] {$y$};

  % asintotica funzione: una linea che passa per (3, 3)
  \draw[BLU, very thick, domain=0.3:6, smooth] plot (\x, {0.4*\x+1.8});

  % L = 3, x_0 = 3
  \draw[dashed, black] (0,3) -- (3,3) -- (3,0);
  \node[below left] at (3,0) {$x_0$};
  \node[left] at (0,3) {$L$};

  % banda epsilon
  \draw[ROSSO!50, fill=ROSSO!10, opacity=0.6] (0,2.5) rectangle (7,3.5);
  \node[ROSSO, right] at (5.5,3.7) {\small $L+\varepsilon$};
  \node[ROSSO, right] at (5.5,2.3) {\small $L-\varepsilon$};

  % banda delta
  \draw[VERDE!50, fill=VERDE!10, opacity=0.6] (2.2,0) rectangle (3.8,5);
  \node[VERDE, above] at (2.2,5) {\small $x_0-\delta$};
  \node[VERDE, above] at (3.8,5) {\small $x_0+\delta$};

  % archi di intercettazione
  \draw[BLU, fill=BLU] (3,3) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\caption{Definizione $\varepsilon$-$\delta$: per ogni banda orizzontale di ampiezza $2\varepsilon$ attorno a $L$, si trova una banda verticale di ampiezza $2\delta$ attorno a $x_0$ tale che il grafico, sopra la banda verticale (ad esclusione di $x_0$), giace nella banda orizzontale.}\label{fig:an-002-epsilon-delta}
\end{figure}

\begin{esempio}[Verifica con la definizione]
Verificare con la definizione $\varepsilon$-$\delta$ che $\displaystyle\lim_{x \to 2}(3x - 1) = 5$.

\textit{Soluzione.} Sia $\varepsilon > 0$. Dobbiamo trovare $\delta > 0$ tale che $0 < |x - 2| < \delta \Rightarrow |(3x - 1) - 5| < \varepsilon$. Calcoliamo:
\[
  |(3x - 1) - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|.
\]
Quindi se scegliamo $\delta = \varepsilon / 3$, allora $|x - 2| < \delta$ implica $3|x - 2| < 3\delta = \varepsilon$. La definizione è verificata.
\end{esempio}

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\section{Limite infinito in un punto}\label{sec:an-002-04-limite-infinito-in-un-punto}
\flashsec{AN-002-limite-funzione}{04}
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\begin{definizione}[Limite $\pm\infty$ per $x \to x_0$]\indiceauto{limite per xx 0@Limite $\pm\infty$ per $x\to x_0$|textbf}Sia $f: A \to \R$ e $x_0$ punto di accumulazione di $A$. Si dice
\[
  \lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty
\]
se per ogni $M > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x) > M$. Analogamente $\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ scambiando $f(x) > M$ con $f(x) < -M$.
\end{definizione}

In termini di intorni: per ogni intorno $V$ di $+\infty$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(U \setminus \{x_0\}) \subseteq V$. (Definizione unificata, valida per ogni tipo di limite.)

\begin{esempio}[$\lim_{x\to 0} 1/x^2 = +\infty$]
Sia $M > 0$. Cerchiamo $\delta$ tale che $0 < |x| < \delta \Rightarrow 1/x^2 > M$, cioè $x^2 < 1/M$, cioè $|x| < 1/\sqrt M$. Basta scegliere $\delta = 1/\sqrt M$.
\end{esempio}

\begin{nota}[Asintoto verticale]
Quando $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty$ si dice che la retta $x = x_0$ è un \emph{asintoto verticale} del grafico di $f$. Si veda il \ref{cap:AN-007}.
\end{nota}

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\section{Limite all'infinito, finito e infinito}\label{sec:an-002-05-limite-all-infinito}
\flashsec{AN-002-limite-funzione}{05}
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\begin{definizione}[Limite per $x \to \pm\infty$]\indiceauto{limite per x@Limite per x→±∞|textbf}Sia $f$ definita su un intorno di $+\infty$. Si dice
\[
  \lim_{x \to +\infty} f(x) = L \qquad (L \in \R)
\]
se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $N > 0$ tale che $x > N \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$.

Analogamente, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ se per ogni $M > 0$ esiste $N > 0$ con $x > N \Rightarrow f(x) > M$.

Le versioni per $x \to -\infty$ si ottengono sostituendo $x > N$ con $x < -N$.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Limite finito all'infinito]
Verificare che $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.

\textit{Soluzione.} Sia $\varepsilon > 0$. Vogliamo $|1/x - 0| < \varepsilon$, cioè $1/x < \varepsilon$ (per $x > 0$), cioè $x > 1/\varepsilon$. Basta scegliere $N = 1/\varepsilon$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Asintoto orizzontale]
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 3}{x + 1} = 2$, perché $\dfrac{2x + 3}{x + 1} - 2 = \dfrac{1}{x + 1} \to 0$. La retta $y = 2$ è un \emph{asintoto orizzontale}.
\end{esempio}

\subsection*{I quattro casi}

Combinando ``finito/infinito'' per $x$ e per $f(x)$ si hanno \emph{quattro tipi} di limite:
\[
  \begin{array}{l|l|l}
    & f(x) \to L \in \R & f(x) \to \pm\infty \\
    \hline
    x \to x_0 \in \R & \text{caso classico} & \text{asintoto verticale} \\
    x \to \pm\infty & \text{asintoto orizzontale} & \text{divergenza all'infinito} \\
  \end{array}
\]
Tutti e quattro si scrivono uniformemente come ``per ogni intorno $V$ di $L$ esiste intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(U \setminus \{x_0\}) \subseteq V$'', purché si accettino come ``punti'' anche $\pm\infty$ con i loro intorni.

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\section{Limite destro e sinistro}\label{sec:an-002-06-limite-destro-e-sinistro}
\flashsec{AN-002-limite-funzione}{06}
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A volte una funzione si comporta in modo \emph{diverso} a destra e a sinistra di $x_0$: pensiamo a $f(x) = 1/x$ in $x_0 = 0$ (tende a $+\infty$ da destra, a $-\infty$ da sinistra). Per descrivere questi casi servono i \emph{limiti unilaterali}.

\begin{definizione}[Limite destro e sinistro]\indiceauto{limite destro e sinistro@Limite destro e sinistro|textbf}Sia $f: A \to \R$, $x_0$ punto di accumulazione di $A$.
\begin{itemize}
  \item \emph{Limite destro}: $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $0 < x - x_0 < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$. (Cioè considero solo $x > x_0$.)
  \item \emph{Limite sinistro}: $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $-\delta < x - x_0 < 0 \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$. (Cioè considero solo $x < x_0$.)
\end{itemize}
Analoghe definizioni per limite destro/sinistro infinito.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Esistenza del limite e limiti unilaterali]\indiceauto{esistenza del limite e limiti unilaterali@Esistenza del limite e limiti unilaterali|textbf}$\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ se e solo se \emph{entrambi} i limiti unilaterali esistono e sono uguali a $L$:
\[
  \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L.
\]
\end{teorema}

\begin{esempio}[Funzione segno]
Sia $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ per $x \neq 0$. Si ha $f(x) = 1$ per $x > 0$ e $f(x) = -1$ per $x < 0$. Quindi $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ e $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. I due limiti sono diversi: $\lim_{x \to 0} f(x)$ \emph{non esiste}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\lim 1/x$ in $0$]
Per $f(x) = 1/x$: $\lim_{x\to 0^+} 1/x = +\infty$ e $\lim_{x\to 0^-} 1/x = -\infty$. Il limite globale non esiste (in senso finito); si dice solo che $f$ ha asintoto verticale in $x = 0$, con comportamenti opposti dai due lati.
\end{esempio}

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\section{Teoremi fondamentali: unicità, permanenza del segno, confronto}\label{sec:an-002-07-teoremi-fondamentali}
\flashsec{AN-002-limite-funzione}{07}
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\begin{teorema}[Unicità del limite]\indiceauto{unicita del limite@Unicità del limite|textbf}Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L_1$ e $\lim_{x \to x_0} f(x) = L_2$, allora $L_1 = L_2$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Supponiamo per assurdo $L_1 \neq L_2$, ad esempio $L_1 < L_2$. Scegliamo $\varepsilon = (L_2 - L_1)/2 > 0$: gli intervalli $(L_1 - \varepsilon, L_1 + \varepsilon)$ e $(L_2 - \varepsilon, L_2 + \varepsilon)$ sono disgiunti. Per la definizione, esistono $\delta_1, \delta_2 > 0$ tali che per $0 < |x - x_0| < \min(\delta_1, \delta_2)$ si avrebbe $f(x)$ in entrambi gli intervalli: contraddizione.

\begin{teorema}[Permanenza del segno]\indiceauto{permanenza del segno@Permanenza del segno|textbf}Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L > 0$, allora esiste un intorno bucato $I_\delta(x_0) \setminus \{x_0\}$ in cui $f(x) > 0$. (Analogamente per $L < 0$.)
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Scegliendo $\varepsilon = L/2 > 0$ nella definizione, esiste $\delta > 0$ tale che $0 < |x - x_0| < \delta$ implica $|f(x) - L| < L/2$, cioè $f(x) > L - L/2 = L/2 > 0$.

\begin{teorema}[Confronto, o ``dei due carabinieri'']\indiceauto{confronto o dei due carabinieri@Confronto, o ``dei due carabinieri''|textbf}Se $f(x) \leq g(x) \leq h(x)$ in un intorno bucato di $x_0$, e $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = L$, allora $\lim_{x \to x_0} g(x) = L$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $\varepsilon > 0$. Per ipotesi esistono $\delta_1, \delta_2 > 0$ con $|f(x) - L| < \varepsilon$ per $0 < |x - x_0| < \delta_1$ e $|h(x) - L| < \varepsilon$ per $0 < |x - x_0| < \delta_2$. Posto $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$, in tale intorno bucato: $L - \varepsilon < f(x) \leq g(x) \leq h(x) < L + \varepsilon$, quindi $|g(x) - L| < \varepsilon$.

\begin{esempio}[Carabinieri: $x \sen(1/x) \to 0$]
La funzione $f(x) = x \sen(1/x)$ non è definita in $0$, e il termine $\sen(1/x)$ oscilla. Ma $-|x| \leq x \sen(1/x) \leq |x|$, e $\pm|x| \to 0$ per $x \to 0$. Per il teorema dei carabinieri: $\lim_{x \to 0} x \sen(1/x) = 0$.
\end{esempio}

\begin{teorema}[Limitatezza locale]\indiceauto{limitatezza locale@Limitatezza locale|textbf}Se $\lim_{x \to x_0} f(x) = L \in \R$ (limite finito), allora esiste un intorno bucato di $x_0$ in cui $f$ è \emph{limitata}.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Scegliendo $\varepsilon = 1$ nella definizione, esiste $\delta > 0$ tale che $|f(x) - L| < 1$ per $0 < |x - x_0| < \delta$. Allora $|f(x)| < |L| + 1$ in tale intorno.

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-002-08-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Limite di un polinomio]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 3}(2x^2 - x + 5)$.

\textit{Soluzione.} Si dimostra (e in pratica si applica direttamente, in virtù dei teoremi sull'algebra dei limiti del \ref{cap:AN-003}) che per ogni polinomio $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$. Quindi il valore è $2(3)^2 - 3 + 5 = 18 - 3 + 5 = 20$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Verifica $\varepsilon$-$\delta$ con quadratica]
Verificare che $\displaystyle\lim_{x \to 1} x^2 = 1$.

\textit{Soluzione.} Sia $\varepsilon > 0$. $|x^2 - 1| = |x - 1||x + 1|$. Restringiamo a $|x - 1| < 1$, cioè $0 < x < 2$, da cui $|x + 1| < 3$. Quindi $|x^2 - 1| < 3|x - 1|$. Posto $\delta = \min(1, \varepsilon/3)$, $|x - 1| < \delta$ implica $|x^2 - 1| < 3\delta \leq \varepsilon$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Limiti unilaterali diversi]
Determinare $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x - 2}$ e $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x - 2}$.

\textit{Soluzione.} Da destra: $x - 2 > 0$ piccolo, quindi $1/(x-2) \to +\infty$. Da sinistra: $x - 2 < 0$ piccolo in modulo, quindi $1/(x-2) \to -\infty$. Il limite globale non esiste; asintoto verticale in $x = 2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Carabinieri all'infinito]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\sen x}{x}$.

\textit{Soluzione.} Per ogni $x > 0$: $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sen x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$. Poiché $\pm 1/x \to 0$, anche $\sen x / x \to 0$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-002-09-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Verificare con la definizione $\varepsilon$-$\delta$ che $\lim_{x \to 1}(2x + 3) = 5$.
  \item Verificare che $\lim_{x \to 0} (5 - 3x) = 5$.
  \item Verificare che $\lim_{x \to 2} x^2 = 4$.
  \item Verificare che $\lim_{x \to 0} 1/x^2 = +\infty$.
  \item Verificare che $\lim_{x \to +\infty} 3/x = 0$.
  \item Calcolare i limiti unilaterali in $x_0 = 1$ di $f(x) = \dfrac{|x - 1|}{x - 1}$. Esiste il limite?
  \item Calcolare i limiti unilaterali in $x_0 = 0$ di $f(x) = \dfrac{x}{|x|}$.
  \item Si consideri $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x \leq 2 \\ x^2 - 1 & x > 2 \end{cases}$. Calcolare i limiti unilaterali in $x_0 = 2$ e dire se il limite globale esiste.
  \item Applicare il teorema dei carabinieri per calcolare $\lim_{x \to 0} x^2 \cos(1/x)$.
  \item Applicare il teorema dei carabinieri per calcolare $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x^2}$.
  \item Mostrare che $\lim_{x \to +\infty} \sen x$ \emph{non esiste} (suggerimento: considerare $x_n = n\pi$ e $x_n = \pi/2 + 2n\pi$).
  \item Sia $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. Calcolare $\lim_{x \to 2} f(x)$.
  \item \emph{Sfida.} Sia $D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q \end{cases}$ la \emph{funzione di Dirichlet}. Mostrare che $\lim_{x \to x_0} D(x)$ \emph{non esiste} per nessun $x_0 \in \R$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-002-10-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Definizione $\varepsilon$-$\delta$ di limite (Cauchy--Weierstrass): $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ se $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0$ tale che $0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$.
  \item Si richiede solo che $x_0$ sia di accumulazione del dominio; $x_0$ non deve appartenervi e il valore $f(x_0)$ è irrilevante.
  \item Variazioni per $L = \pm\infty$ (asintoti verticali) e per $x \to \pm\infty$ (asintoti orizzontali o divergenza).
  \item Limiti destro e sinistro: $\lim_{x \to x_0^\pm} f(x)$. Esiste il limite globale se e solo se entrambi i limiti unilaterali esistono e coincidono.
  \item Teoremi fondamentali: \emph{unicità}, \emph{permanenza del segno}, \emph{confronto (carabinieri)}, \emph{limitatezza locale}.
  \item Nel capitolo successivo (\ref{cap:AN-003}) si introducono le operazioni con i limiti --- somma, prodotto, quoziente --- e le forme indeterminate.
\end{itemize}
\end{riepilogo}