\chapter{Operazioni con i limiti e forme indeterminate}\label{cap:AN-003}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-003-operazioni-limiti-forme-indeterminate}
\geesexercises{mt23}
\sorgentecap{AN-003}
\matematika{AN-003}
  Si dice che una grandezza è il limite di un'altra grandezza, quando la seconda può approssimarsi alla prima entro qualsiasi quantità data, per quanto piccola, sebbene la prima grandezza non possa mai superare la grandezza alla quale si avvicina.%
}{Jean-Baptiste le Rond d'Alembert, \emph{Encyclopédie}, voce ``Limite'' (1765)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-003-01-introduzione-motivazionale}
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Nel \ref{cap:AN-002} abbiamo definito il limite con la classica formulazione $\varepsilon$-$\delta$ e abbiamo verificato qualche limite \emph{tornando ogni volta alla definizione}. Questo procedimento è prezioso a livello concettuale, ma diventa rapidamente impraticabile non appena le funzioni si fanno un po' più articolate: chi vorrebbe verificare con $\varepsilon$-$\delta$ il limite di $\dfrac{2x^3-5x+1}{x^3+7x^2}$ per $x \to +\infty$?

In questo capitolo costruiamo una vera e propria \emph{algebra dei limiti}: dimostriamo che il limite si comporta in modo prevedibile rispetto a somma, prodotto, quoziente, potenza. Una volta acquisiti questi teoremi, calcolare un limite diventa un esercizio di sostituzione: si valuta la funzione nel punto e si legge il risultato.

C'è però un'eccezione importante: alcune combinazioni di limiti --- come $\infty - \infty$ o $0/0$ --- \emph{non sono determinate} dalla sola conoscenza dei limiti delle singole parti. Le chiamiamo \emph{forme indeterminate} e richiedono tecniche specifiche di risoluzione. Le tre tecniche più semplici (raccoglimento del termine dominante, scomposizione, razionalizzazione) sono il cuore della seconda metà del capitolo. Tecniche più sofisticate (limiti notevoli, gerarchia degli infiniti, regola di de l'Hôpital) saranno trattate nei capitoli successivi: \ref{cap:AN-004} e \ref{cap:AN-013}.

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\section{Algebra dei limiti}\label{sec:an-003-02-algebra-dei-limiti}
\flashsec{AN-003-operazioni-limiti-forme-indeterminate}{02}
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\begin{teorema}[Algebra dei limiti --- caso finito]\indiceauto{algebra dei limiti caso finito@Algebra dei limiti --- caso finito|textbf}Siano $f, g$ funzioni con $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ e $\displaystyle\lim_{x \to x_0} g(x) = M$, con $L, M \in \R$. Allora:
\begin{enumerate}
  \item \emph{Somma}: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \bigl(f(x) + g(x)\bigr) = L + M$.
  \item \emph{Differenza}: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \bigl(f(x) - g(x)\bigr) = L - M$.
  \item \emph{Prodotto}: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)\, g(x) = L \cdot M$.
  \item \emph{Quoziente}: se $M \neq 0$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$.
  \item \emph{Potenza}: se $L > 0$, $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)^{g(x)} = L^M$.
  \item \emph{Modulo}: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} |f(x)| = |L|$.
\end{enumerate}
Lo stesso enunciato vale per $x \to x_0^\pm$ e per $x \to \pm\infty$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (somma).} Sia $\varepsilon > 0$. Per ipotesi esistono $\delta_1, \delta_2 > 0$ tali che, in un intorno bucato di $x_0$:
\[
  0 < |x - x_0| < \delta_1 \;\Longrightarrow\; |f(x) - L| < \varepsilon/2,
  \qquad
  0 < |x - x_0| < \delta_2 \;\Longrightarrow\; |g(x) - M| < \varepsilon/2.
\]
Posto $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$, per la disuguaglianza triangolare:
\[
  |(f(x) + g(x)) - (L + M)| \leq |f(x) - L| + |g(x) - M| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon.
\]
Le dimostrazioni di prodotto e quoziente seguono uno schema analogo (si veda un testo di analisi).

\begin{esempio}[Limite di un polinomio]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 2}(3x^2 - 5x + 4)$. Applichiamo l'algebra dei limiti:
\[
  \lim_{x \to 2}(3x^2 - 5x + 4) = 3 \cdot \lim_{x \to 2} x^2 - 5 \cdot \lim_{x \to 2} x + \lim_{x \to 2} 4 = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 + 4 = 6.
\]
In generale, per ogni polinomio $P(x)$: $\displaystyle\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Limite di una funzione razionale]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{2x + 5}{x^2 + 3}$. Numeratore e denominatore sono polinomi continui, e il denominatore in $x_0 = 1$ vale $4 \neq 0$. Quindi:
\[
  \lim_{x \to 1} \frac{2x + 5}{x^2 + 3} = \frac{2 \cdot 1 + 5}{1^2 + 3} = \frac{7}{4}.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Algebra estesa: limiti con $\pm\infty$}

I teoremi precedenti vanno completati con le \emph{regole sull'infinito}, in cui interpretiamo $\pm\infty$ come ``simboli'' di un'algebra estesa. Le regole intuitive (e dimostrabili) sono le seguenti, dove $L$ indica un numero reale e ``$\infty$'' un limite infinito (di segno definito).

\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
  \textbf{Somma} & $L + (\pm\infty) = \pm\infty$ \\
  & $(+\infty) + (+\infty) = +\infty$ \\
  & $(-\infty) + (-\infty) = -\infty$ \\
  \hline
  \textbf{Prodotto} & $L \cdot (\pm\infty) = \pm\infty$ \quad (per $L > 0$, segno invariato; per $L < 0$, segno opposto) \\
  & $(\pm\infty) \cdot (\pm\infty) = \pm\infty$ \quad (regola dei segni come per i numeri) \\
  \hline
  \textbf{Quoziente} & $\dfrac{L}{\pm\infty} = 0$ \\
  & $\dfrac{\pm\infty}{L} = \pm\infty$ \quad (segno secondo la regola dei segni, per $L \neq 0$) \\
  & $\dfrac{L}{0^+} = \pm\infty$ \quad (segno = segno di $L$); analogamente per $0^-$ \\
\end{tabular}
\end{center}

Con la notazione $0^+$ si indica una quantità che tende a $0$ rimanendo positiva, e analogamente $0^-$ per quantità che tendono a $0$ rimanendo negative.

\begin{esempio}[Algebra estesa]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{3 + x}{x}$. Il numeratore tende a $3$ (finito non nullo), il denominatore a $0^+$. Quindi:
\[
  \lim_{x \to 0^+} \frac{3 + x}{x} = \frac{3}{0^+} = +\infty.
\]
\end{esempio}

\begin{nota}[Le regole non coprono tutto]
Alcune combinazioni \emph{non} compaiono nella tabella: ad esempio $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0/0$, $\infty/\infty$. Non è una dimenticanza: queste forme \emph{non sono determinate} dalla sola conoscenza dei limiti dei singoli pezzi --- è il tema della prossima sezione.
\end{nota}

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\section{Forme indeterminate}\label{sec:an-003-03-forme-indeterminate}
\flashsec{AN-003-operazioni-limiti-forme-indeterminate}{03}
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\begin{definizione}[Forma indeterminata]\indiceauto{forma indeterminata@Forma indeterminata|textbf}Una \emph{forma indeterminata} (f.i.) è una combinazione di limiti per cui l'algebra dei limiti \emph{non} determina il risultato: il valore del limite può essere finito, infinito o non esistere, e dipende dalla \emph{velocità} con cui le singole parti tendono ai loro limiti.
\end{definizione}

Le sette forme indeterminate classiche sono:
\[
  \boxed{\;\;\infty - \infty \quad 0 \cdot \infty \quad \frac{0}{0} \quad \frac{\infty}{\infty} \quad 0^0 \quad 1^\infty \quad \infty^0\;\;}
\]

\begin{esempio}[$0/0$ può dare qualsiasi valore]
Le tre funzioni $f(x) = \dfrac{x}{x}$, $g(x) = \dfrac{x^2}{x}$, $h(x) = \dfrac{x}{x^2}$ presentano tutte la forma $0/0$ per $x \to 0$:
\[
  \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x^2} = +\infty.
\]
La stessa forma simbolica dà luogo a risultati diversi: \emph{conta come $x$ e $x^2$ tendono a zero}, non solo il fatto che vi tendano.
\end{esempio}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Latex, scale=0.9]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (4.5,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.3) -- (0,4.5) node[above] {$y$};

  % y = 1 (limite di x/x)
  \draw[BLU, very thick, domain=0.1:4] plot (\x, 1);
  \node[BLU, right] at (4,1) {\small $x/x = 1$};

  % y = x (limite di x^2/x)
  \draw[VERDE, very thick, domain=0:4] plot (\x, \x);
  \node[VERDE, right] at (3.6,3.8) {\small $x^2/x = x \to 0$};

  % y = 1/x (limite di x/x^2)
  \draw[ROSSO, very thick, domain=0.25:4, smooth] plot (\x, {1/\x});
  \node[ROSSO, right] at (0.3,4) {\small $x/x^2 = 1/x \to +\infty$};

  % marker x = 0
  \draw[dashed, black] (0,0) -- (0,4.3);
\end{tikzpicture}
\caption{Tre quozienti con la stessa forma indeterminata $0/0$ in $x = 0$ hanno tre comportamenti diversi: stabilizzazione a $1$, convergenza a $0$, divergenza a $+\infty$.}\label{fig:an-003-zero-su-zero}
\end{figure}

\subsection*{Il quadro delle forme indeterminate}

\begin{itemize}
  \item \textbf{Algebriche}: $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0/0$, $\infty/\infty$. Si risolvono \emph{algebricamente}: raccoglimento del termine dominante, scomposizione, razionalizzazione (\S\ref{sec:an-003-04-risoluzione-di-forme-indeterminate-algebriche}).
  \item \textbf{Esponenziali}: $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$. Si ricondurranno a forme algebriche tramite logaritmo o limiti notevoli (\ref{cap:AN-004}). La forma $1^\infty$ è particolarmente importante perché dà origine al numero $e$.
\end{itemize}

\begin{attenzione}[Casi che \emph{non} sono indeterminati]
Attenzione a non confondere: $\dfrac{\infty}{0}$ \emph{non} è una forma indeterminata (vale $\pm\infty$), e nemmeno $1/\infty = 0$, $0^\infty = 0$, $\infty^\infty = +\infty$. Sono indeterminate solo le sette forme elencate sopra.
\end{attenzione}

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\section{Risoluzione di forme indeterminate algebriche}\label{sec:an-003-04-risoluzione-di-forme-indeterminate-algebriche}
\flashsec{AN-003-operazioni-limiti-forme-indeterminate}{04}
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\subsection*{Forma $\infty/\infty$: limiti all'infinito di funzioni razionali}

Sia $R(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ con $P, Q$ polinomi di gradi $p$ e $q$. Per $x \to \pm\infty$ vale la regola dei gradi:
\begin{formulabox}
\[
  \lim_{x \to +\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} =
  \begin{cases}
    0 & \text{se } p < q \\[2pt]
    \dfrac{a_p}{b_q} & \text{se } p = q \\[6pt]
    \pm\infty & \text{se } p > q
  \end{cases}
\]
\end{formulabox}
dove $a_p, b_q$ sono i coefficienti di grado massimo (testa) di numeratore e denominatore, e il segno nel caso $p > q$ dipende da quello di $a_p / b_q$.

\textit{Idea della dimostrazione.} Si raccoglie a fattor comune la potenza di $x$ di grado massimo presente nella frazione. Tutti i termini di grado inferiore tendono a $0$.

\begin{procedura}[Limite di una razionale per $x \to \infty$]
\begin{enumerate}
  \item Identifica i gradi $p$ del numeratore e $q$ del denominatore.
  \item Raccogli $x^{\max(p,q)}$ a fattor comune sopra e sotto.
  \item Semplifica e fai tendere $x \to \infty$: i termini ``inferiori'' tendono a $0$.
  \item Leggi il risultato secondo i tre casi di cui sopra.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Caso $p = q$]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x^2 - 5x + 1}{3x^2 + 7x}$. Raccogliendo $x^2$:
\[
  \frac{2x^2 - 5x + 1}{3x^2 + 7x} = \frac{x^2 (2 - 5/x + 1/x^2)}{x^2 (3 + 7/x)} = \frac{2 - 5/x + 1/x^2}{3 + 7/x} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; \frac{2}{3}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso $p < q$]
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x + 1}{x^2 - 3} = 0$, perché grado numeratore $< $ grado denominatore. Equivalentemente: $\dfrac{4x+1}{x^2-3} = \dfrac{4/x + 1/x^2}{1 - 3/x^2} \to 0/1 = 0$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso $p > q$]
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}$. Raccogliendo $x^3$ sopra e $x^2$ sotto:
\[
  \frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} = \frac{x^3(1 - 2/x^2)}{x^2(1 + 1/x^2)} = x \cdot \frac{1 - 2/x^2}{1 + 1/x^2} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; +\infty.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Forma $0/0$: scomposizione e semplificazione}

Quando in $x_0$ si annullano sia $P(x)$ sia $Q(x)$, allora $(x - x_0)$ è fattore comune di entrambi (teorema di Ruffini). Si scompone, si semplifica il fattore $(x - x_0)$ e si calcola il nuovo limite.

\begin{esempio}[$0/0$ polinomiale]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$. In $x_0 = 3$ numeratore e denominatore valgono entrambi $0$. Scomponiamo:
\[
  \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \;\xrightarrow[x \to 3]{}\; 6.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[$0/0$ con scomposizione meno immediata]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$. Sia $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ (differenza di cubi), sia $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Quindi:
\[
  \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} = \frac{12}{4} = 3.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Forma $0/0$ con radici: razionalizzazione}

Se compare una radice, si moltiplica e divide per il \emph{coniugato} (o per l'opportuna espressione che elimina la radice).

\begin{esempio}[Razionalizzazione del numeratore]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$. Numeratore e denominatore tendono a $0$. Moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato $\sqrt{1 + x} + 1$:
\[
  \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} + 1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{(1 + x) - 1}{x \cdot (\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1 + x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1}.
\]
Quest'ultima, per $x \to 0$, tende a $\dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2}$.
\end{esempio}

\subsection*{Forma $\infty - \infty$}

Tipica situazione: differenza di radici o differenza di razionali con denominatori diversi. Si elimina la sottrazione con un raccoglimento, un denominatore comune o una razionalizzazione.

\begin{esempio}[Differenza di radici]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr)$. È una forma $\infty - \infty$. Razionalizziamo:
\[
  \sqrt{x^2 + x} - x = \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}.
\]
Raccogliendo $x$ sopra e sotto (per $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$):
\[
  \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{x\sqrt{1 + 1/x} + x} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; \frac{1}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Differenza di razionali]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 1} \biggl(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1}\biggr)$. È una forma $\infty - \infty$. Mettiamo a denominatore comune ($x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$):
\[
  \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1) - 2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{1}{x + 1} \;\xrightarrow[x \to 1]{}\; \frac{1}{2}.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Forma $0 \cdot \infty$}

Si riconduce a $0/0$ o $\infty/\infty$ scrivendo il prodotto come quoziente. Se $f(x) \to 0$ e $g(x) \to \infty$:
\[
  f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} \quad\text{(forma } 0/0\text{)} \qquad\text{oppure}\qquad f(x) \cdot g(x) = \frac{g(x)}{1/f(x)} \quad\text{(forma } \infty/\infty\text{).}
\]

\begin{esempio}[$0 \cdot \infty$]
Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x \cdot \biggl(\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} - 1\biggr)$. Forma $\infty \cdot 0$. Razionalizziamo il fattore tra parentesi:
\[
  \sqrt{1 + 1/x} - 1 = \frac{1/x}{\sqrt{1 + 1/x} + 1}.
\]
Quindi $x \cdot (\sqrt{1 + 1/x} - 1) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \to \dfrac{1}{2}$ per $x \to +\infty$.
\end{esempio}

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tikzpicture}[>=Latex, font=\small]
  % schema risolutivo come "albero"
  \node[draw, rounded corners, fill=GIALLO!15] (start) at (0,0) {Limite con forma indeterminata};

  \node[draw, rounded corners, fill=BLU!15] (n1) at (-5.5,-1.7) {$\infty/\infty$ razionale};
  \node[draw, rounded corners, fill=VERDE!15] (n2) at (-1.8,-1.7) {$0/0$ polinomiale};
  \node[draw, rounded corners, fill=ROSSO!15] (n3) at (2.0,-1.7) {$0/0$ o $\infty-\infty$ con radici};
  \node[draw, rounded corners, fill=ARANCIO!15] (n4) at (5.7,-1.7) {$0 \cdot \infty$};

  \node[align=center, BLU] at (-5.5,-3.2) {raccoglimento\\del grado massimo};
  \node[align=center, VERDE] at (-1.8,-3.2) {scomposizione\\(Ruffini)};
  \node[align=center, ROSSO] at (2.0,-3.2) {razionalizzazione\\(coniugio)};
  \node[align=center, ARANCIO] at (5.7,-3.2) {trasformare in\\$0/0$ o $\infty/\infty$};

  \draw[->] (start) -- (n1);
  \draw[->] (start) -- (n2);
  \draw[->] (start) -- (n3);
  \draw[->] (start) -- (n4);
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramma sintetico delle tecniche di risoluzione per le forme indeterminate algebriche.}\label{fig:an-003-schema-tecniche}
\end{figure}

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:an-003-05-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Limite di razionale per $x \to -\infty$]
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{5x^3 + 2x}{1 - x^3}$. Stesso grado ($p = q = 3$); coefficienti direttivi $5$ e $-1$. Quindi il limite vale $5 / (-1) = -5$. Verifica: $\dfrac{5x^3 + 2x}{1 - x^3} = \dfrac{x^3(5 + 2/x^2)}{x^3(1/x^3 - 1)} = \dfrac{5 + 2/x^2}{1/x^3 - 1} \to \dfrac{5}{-1} = -5$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$0/0$ con prodotto notevole]
$\displaystyle\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$. Forma $0/0$. Scomposizioni: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ (somma di cubi) e $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Semplificando $(x + 1)$:
\[
  \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\infty - \infty$ all'infinito con radici]
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + 1}\bigr)$. Razionalizziamo:
\[
  \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 3x) - (x^2 + 1)}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{3x - 1}{\sqrt{x^2 + 3x} + \sqrt{x^2 + 1}}.
\]
Raccogliendo $x$ (positivo) dalle radici: $\sqrt{x^2 + 3x} = x\sqrt{1 + 3/x}$, e simile per l'altra. Quindi:
\[
  \frac{x(3 - 1/x)}{x\bigl(\sqrt{1 + 3/x} + \sqrt{1 + 1/x}\bigr)} = \frac{3 - 1/x}{\sqrt{1 + 3/x} + \sqrt{1 + 1/x}} \;\xrightarrow[x \to +\infty]{}\; \frac{3}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Razionale fratta in $0/0$]
$\displaystyle\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$. Forma $0/0$. Razionalizziamo il numeratore:
\[
  \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \;\xrightarrow[x \to 4]{}\; \frac{1}{4}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Limite unilaterale che richiede attenzione al segno]
$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$. Il numeratore tende a $2$ (finito, positivo), il denominatore tende a $0$. Da sinistra di $1$, $x - 1 < 0$, cioè $x - 1 \to 0^-$. Quindi $\dfrac{2}{0^-} = -\infty$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-003-06-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to -2}(x^3 - 4x + 1)$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + 1}{5x^2 - 7x}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x + 4}{x^3 - 2}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^4 - x}{2x^2 + 1}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to -3} \dfrac{x^2 + 5x + 6}{x + 3}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4 + x} - 2}{x}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{\sqrt{x} - 3}$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + 4x} - x\bigr)$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \bigl(x - \sqrt{x^2 - 5}\bigr)$.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to 2} \biggl(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4}\biggr)$.
  \item Calcolare i limiti unilaterali in $x_0 = 0$ di $\dfrac{x + 2}{x^2 - x}$ e dire se il limite globale esiste.
  \item Calcolare $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} + x\bigr)$. \emph{Attenzione}: per $x \to -\infty$, $\sqrt{x^2} = |x| = -x$.
  \item \emph{Sfida.} Determinare il valore di $a \in \R$ per cui $\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 + a x - a - 1}{x - 1}$ esiste finito, e calcolarne il valore.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-003-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Algebra dei limiti}: somma, differenza, prodotto, quoziente, potenza e modulo si distribuiscono sui limiti, \emph{purché i limiti delle parti siano finiti} (e il denominatore non nullo nel caso del quoziente).
  \item \emph{Algebra estesa}: regole per i limiti che coinvolgono $\pm\infty$ ($L + \infty = \infty$, $L \cdot \infty = \pm\infty$ secondo il segno di $L$, $L/0^\pm = \pm\infty$, ecc.).
  \item \emph{Sette forme indeterminate}: $\infty - \infty$, $0 \cdot \infty$, $0/0$, $\infty/\infty$, $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$. La stessa forma simbolica può dare limiti diversi.
  \item \emph{Tecniche algebriche di risoluzione}: raccoglimento del grado massimo (razionali a $\infty$), scomposizione e semplificazione (forme $0/0$ polinomiali), razionalizzazione (forme con radici), riconduzione a $0/0$ o $\infty/\infty$ tramite quoziente (forme $0 \cdot \infty$).
  \item \emph{Regola dei gradi} per razionali a $\pm\infty$: $0$ se $p < q$; rapporto dei coefficienti direttivi se $p = q$; $\pm\infty$ se $p > q$.
  \item Le forme esponenziali $0^0$, $1^\infty$, $\infty^0$ saranno trattate nel \ref{cap:AN-004}, dove introdurremo anche i \emph{limiti notevoli}. La regola di de l'Hôpital (\ref{cap:AN-013}) fornirà uno strumento generale per molte forme $0/0$ e $\infty/\infty$ con derivate.
\end{itemize}
\end{riepilogo}