\chapter{Continuità}\label{cap:AN-005}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-005-continuita}
\geesexercises{mt23}
\sorgentecap{AN-005}
\matematika{AN-005}
  La funzione $f(x)$ sarà, tra i due limiti assegnati alla variabile $x$, funzione continua di tale variabile se, per ogni valore di $x$ intermedio tra questi limiti, il valore numerico della differenza $f(x+\alpha) - f(x)$ decresce indefinitamente con quello di $\alpha$.%
}{Augustin-Louis Cauchy, \emph{Cours d'analyse de l'École royale polytechnique} (1821), Cap.~II, §2 (traduzione adattata)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-005-01-introduzione-motivazionale}
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Nei capitoli \ref{cap:AN-002}, \ref{cap:AN-003} e \ref{cap:AN-004} abbiamo studiato il \emph{limite} di una funzione: un concetto che cattura il comportamento di $f(x)$ quando $x$ si avvicina a un valore $x_0$, \emph{senza} chiedersi cosa accada esattamente in $x_0$. Anzi, nella definizione di limite il punto $x_0$ è esplicitamente escluso dal dominio considerato.

Ma molte funzioni che incontriamo --- polinomi, esponenziali, seno, coseno --- hanno una proprietà naturale: il limite per $x \to x_0$ esiste, è finito, e coincide proprio con $f(x_0)$. Il grafico ``si chiude'' nel punto, senza salti né buchi. Questa proprietà si chiama \emph{continuità}.

Le funzioni continue costituiscono la classe più ``ben educata'' tra tutte le funzioni reali: su di esse vale una serie di teoremi potentissimi (Weierstrass, valori intermedi, zeri) che vedremo nel \ref{cap:AN-006}, e per esse il calcolo dei limiti si riduce a una semplice sostituzione: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Capire dove una funzione è continua, e dove perde questa proprietà, è quindi un passo cruciale per affrontare lo studio di funzione (\ref{cap:AN-016}) e gli asintoti (\ref{cap:AN-007}).

In questo capitolo definiamo la continuità in un punto e in un intervallo, elenchiamo le funzioni elementari continue (e dove lo sono), e classifichiamo i punti in cui una funzione \emph{non} è continua: la natura del ``salto'' o del ``buco'' è uno strumento diagnostico fondamentale per lo studio del grafico.

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\section{Definizione di continuità in un punto}\label{sec:an-005-02-definizione-di-continuita-in-un-punto}
\flashsec{AN-005-continuita}{02}
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\begin{definizione}[Continuità in un punto]\indiceauto{continuita in un punto@Continuità in un punto|textbf}Sia $f : D \to \R$ con $D \subseteq \R$, e sia $x_0 \in D$ un punto di accumulazione di $D$ (\ref{cap:AN-001}). Diciamo che $f$ è \emph{continua in $x_0$} se
\[
  \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).
\]
\end{definizione}

Esplicitando le condizioni nascoste in questa scrittura, la continuità in $x_0$ richiede \emph{tre} requisiti simultanei:
\begin{enumerate}
  \item $f$ è \emph{definita} in $x_0$ (cioè $x_0 \in D$);
  \item \emph{esiste finito} il limite $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$;
  \item il valore della funzione coincide con il limite: $\ell = f(x_0)$.
\end{enumerate}
Se anche una sola di queste condizioni viene a mancare, la funzione \emph{non} è continua in $x_0$: si parla allora di \emph{punto di discontinuità}, e nella sezione \ref{sec:an-005-05-classificazione-dei-punti-di-discontinuita} ne faremo la classificazione.

\begin{definizione}[Continuità destra e sinistra]\indiceauto{continuita destra e sinistra@Continuità destra e sinistra|textbf}$f$ è \emph{continua a destra} in $x_0$ se $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$; è \emph{continua a sinistra} in $x_0$ se $\displaystyle\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$. La continuità in $x_0$ equivale a continuità destra \emph{e} sinistra in $x_0$.
\end{definizione}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % --- pannello sinistro: funzione continua ---
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (4.2, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.0) node[above] {$y$};
    % grafico di una parabola "tranquilla"
    \draw[BLU, thick, domain=0.3:3.8, samples=50] plot (\x, {0.4*(\x-2)*(\x-2) + 0.6});
    % punto x0
    \draw[ROSSO, dashed] (2, 0) -- (2, 0.6);
    \draw[ROSSO, dashed] (0, 0.6) -- (2, 0.6);
    \filldraw[ROSSO] (2, 0.6) circle (2pt);
    \node[below] at (2, 0) {$x_0$};
    \node[left] at (0, 0.6) {$f(x_0)$};
    \node[BLU] at (3.5, 2.3) {$f$};
    \node[below=10pt] at (2, -0.3) {\small \emph{$f$ continua in $x_0$}};
  \end{scope}
  % --- pannello destro: funzione con "buco" ---
  \begin{scope}[xshift=6cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (4.2, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.0) node[above] {$y$};
    % stessa parabola, ma con un buco in x=2 e punto in altra posizione
    \draw[BLU, thick, domain=0.3:1.95, samples=40] plot (\x, {0.4*(\x-2)*(\x-2) + 0.6});
    \draw[BLU, thick, domain=2.05:3.8, samples=40] plot (\x, {0.4*(\x-2)*(\x-2) + 0.6});
    % cerchio aperto nel limite
    \draw[BLU, thick, fill=white] (2, 0.6) circle (2pt);
    % punto pieno spostato in alto (valore f(x_0))
    \filldraw[ROSSO] (2, 1.7) circle (2pt);
    \draw[ROSSO, dashed] (2, 0) -- (2, 1.7);
    \draw[ROSSO, dashed] (0, 1.7) -- (2, 1.7);
    \draw[black, dashed] (0, 0.6) -- (2, 0.6);
    \node[below] at (2, 0) {$x_0$};
    \node[left] at (0, 1.7) {$f(x_0)$};
    \node[left, black] at (0, 0.6) {\small $\ell$};
    \node[BLU] at (3.5, 2.3) {$f$};
    \node[below=10pt] at (2, -0.3) {\small \emph{$f$ non continua: $\ell \ne f(x_0)$}};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{A sinistra: funzione continua in $x_0$; limite e valore coincidono. A destra: stessa funzione modificata in $x_0$ in modo che $f(x_0) \ne \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$: la condizione (3) della definizione viene a mancare e $x_0$ è un punto di discontinuità.}
\label{fig:an-005-continuita}
\end{figure}

\begin{esempio}[Funzione polinomiale]
Sia $f(x) = x^2 - 3x + 2$. Per ogni $x_0 \in \R$:
\[
  \lim_{x \to x_0} (x^2 - 3x + 2) = x_0^2 - 3x_0 + 2 = f(x_0).
\]
$f$ è dunque continua in ogni punto di $\R$. Tutti i polinomi lo sono (vedi sezione \ref{sec:an-005-04-continuita-delle-funzioni-elementari}).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione non definita in un punto]
Sia $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$. La funzione \emph{non} è definita in $x_0 = 1$ (denominatore nullo), quindi non può essere continua lì: viola la condizione (1). Però il limite esiste:
\[
  \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2.
\]
Estendendo $f$ ponendo $\tilde f(1) := 2$, la nuova funzione $\tilde f$ è continua in $x = 1$. Si dice che $x = 1$ è un \emph{punto di discontinuità eliminabile} per $f$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione definita ma con limite diverso dal valore]
Sia
\[
  f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sen x}{x} & x \ne 0,\\[2pt] 0 & x = 0. \end{cases}
\]
Qui $f(0) = 0$, ma $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sen x}{x} = 1$ (\ref{cap:AN-004}). Le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte, ma la (3) no: $f$ non è continua in $0$. Basterebbe ridefinire $f(0) := 1$ per ottenere una funzione continua.
\end{esempio}

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\section{Continuità in un intervallo}\label{sec:an-005-03-continuita-in-un-intervallo}
\flashsec{AN-005-continuita}{03}
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\begin{definizione}[Continuità in un intervallo]\indiceauto{continuita in un intervallo@Continuità in un intervallo|textbf}Sia $I \subseteq \R$ un intervallo. Diciamo che $f : I \to \R$ è \emph{continua in $I$} se è continua in ogni punto interno di $I$ e, agli eventuali estremi appartenenti a $I$, è continua dal lato interno all'intervallo.
\end{definizione}

In pratica:
\begin{itemize}
  \item su un \emph{intervallo aperto} $(a,b)$: $f$ è continua in $(a,b)$ se è continua in ogni $x_0 \in (a,b)$;
  \item su un \emph{intervallo chiuso} $[a,b]$: $f$ è continua in $[a,b]$ se è continua in ogni $x_0 \in (a,b)$, continua a destra in $a$ e continua a sinistra in $b$;
  \item analogamente per intervalli semichiusi $[a,b)$ e $(a,b]$.
\end{itemize}

L'insieme di tutte le funzioni continue su $I$ si denota tradizionalmente $C(I)$ o $C^0(I)$.

\begin{esempio}[$\sqrt{x}$ su $[0, +\infty)$]
La funzione $f(x) = \sqrt{x}$ è continua in $(0, +\infty)$, e si vede che è anche continua a destra in $0$ (perché $\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = f(0)$). È dunque continua su tutto il suo dominio $[0, +\infty)$.
\end{esempio}

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\section{Continuità delle funzioni elementari}\label{sec:an-005-04-continuita-delle-funzioni-elementari}
\flashsec{AN-005-continuita}{04}
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\begin{teorema}[Continuità delle funzioni elementari]\indiceauto{continuita delle funzioni elementari@Continuità delle funzioni elementari|textbf}Le seguenti funzioni sono continue in ogni punto del proprio dominio naturale:
\begin{itemize}
  \item polinomi $P(x) = a_n x^n + \cdots + a_0$ --- continui su tutto $\R$;
  \item funzioni razionali $P(x)/Q(x)$ --- continue dove $Q(x) \ne 0$;
  \item funzione radice $\sqrt[n]{x}$ --- continua sul suo dominio ($[0,+\infty)$ se $n$ pari, $\R$ se $n$ dispari);
  \item esponenziali $a^x$ con $a > 0$ --- continue su $\R$;
  \item logaritmi $\log_a x$ con $a > 0$, $a \ne 1$ --- continui su $(0, +\infty)$;
  \item funzioni trigonometriche $\sen x$, $\cos x$ --- continue su $\R$;
  \item $\tg x$ continua per $x \ne \pi/2 + k\pi$; $\cotg x$ continua per $x \ne k\pi$;
  \item $\arcsen x$, $\arccos x$ continue su $[-1,1]$; $\arctg x$ continua su $\R$.
\end{itemize}
\end{teorema}

A partire da queste, la classe delle funzioni continue si espande attraverso le operazioni algebriche e la composizione.

\begin{teorema}[Operazioni con funzioni continue]\indiceauto{operazioni con funzioni continue@Operazioni con funzioni continue|textbf}Siano $f, g$ continue in $x_0$. Allora sono continue in $x_0$:
\begin{enumerate}
  \item la somma $f + g$ e la differenza $f - g$;
  \item il prodotto $f \cdot g$ e il prodotto per uno scalare $\lambda f$ (con $\lambda \in \R$);
  \item il quoziente $f / g$, purché $g(x_0) \ne 0$;
  \item se $g$ è continua in $x_0$ e $f$ è continua in $g(x_0)$, allora la composizione $f \circ g$ è continua in $x_0$.
\end{enumerate}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sono conseguenza immediata dei teoremi sull'algebra dei limiti (\ref{cap:AN-003}). Per esempio, per la somma: $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) = f(x_0) + g(x_0) = (f+g)(x_0)$. Analogamente per gli altri casi. La continuità della composta segue dal cambio di variabile nei limiti: se $y = g(x) \to g(x_0)$ e $f$ è continua in $g(x_0)$, allora $f(g(x)) \to f(g(x_0))$.

\begin{esempio}[Continuità per composizione]
$h(x) = \sen(x^2 + 1)$ è continua su $\R$: è composizione di $g(x) = x^2 + 1$ (polinomio, continuo) e $f(y) = \sen y$ (continua su $\R$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Dominio di continuità di una funzione razionale fratta]
$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 4}$ è continua su $\R \setminus \{-2, 2\}$: numeratore e denominatore sono polinomi (continui ovunque) e il quoziente è continuo dove il denominatore non si annulla, cioè per $x \ne \pm 2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione esponenziale composta]
$h(x) = e^{-x^2}$ (la celebre ``gaussiana'') è continua su $\R$: composizione di $g(x) = -x^2$ (continua) e $f(y) = e^y$ (continua).
\end{esempio}

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\section{Classificazione dei punti di discontinuità}\label{sec:an-005-05-classificazione-dei-punti-di-discontinuita}
\flashsec{AN-005-continuita}{05}
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Quando una funzione \emph{non} è continua in $x_0$, la \emph{natura} della discontinuità si classifica in base al comportamento dei due limiti laterali
\[
  \ell^- = \lim_{x \to x_0^-} f(x), \qquad \ell^+ = \lim_{x \to x_0^+} f(x).
\]

\begin{definizione}[Punto di discontinuità di prima specie --- salto]\indiceauto{punto di discontinuita di prima specie salto@Punto di discontinuità di prima specie --- salto|textbf}$x_0$ è un punto di discontinuità di \emph{prima specie} (o \emph{di salto}) per $f$ se entrambi i limiti laterali $\ell^-$ e $\ell^+$ esistono finiti, ma sono diversi tra loro:
\[
  \ell^- \ne \ell^+, \qquad \text{entrambi finiti.}
\]
La quantità $s = |\ell^+ - \ell^-|$ si chiama \emph{salto} di $f$ in $x_0$.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Punto di discontinuità di seconda specie]\indiceauto{punto di discontinuita di seconda specie@Punto di discontinuità di seconda specie|textbf}$x_0$ è un punto di discontinuità di \emph{seconda specie} se almeno uno dei due limiti laterali \emph{non esiste} o è \emph{infinito}.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Punto di discontinuità di terza specie --- eliminabile]\indiceauto{punto di discontinuita di terza specie eliminabile@Punto di discontinuità di terza specie --- eliminabile|textbf}$x_0$ è un punto di discontinuità di \emph{terza specie} (o \emph{eliminabile}) se $\ell^- = \ell^+ = \ell$ esiste finito, ma:
\begin{itemize}
  \item $f$ non è definita in $x_0$, oppure
  \item $f(x_0)$ esiste ma $f(x_0) \ne \ell$.
\end{itemize}
In entrambi i casi basta (ri)definire $f(x_0) := \ell$ per ottenere una funzione continua in $x_0$: in questo senso la discontinuità è ``eliminabile''. La funzione modificata si chiama \emph{prolungamento per continuità} di $f$ in $x_0$.
\end{definizione}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  % --- I specie: salto ---
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (3.5, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.0) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick] (0.3, 0.6) -- (1.6, 1.4);
    \draw[BLU, thick] (1.6, 2.3) -- (3.2, 2.7);
    \filldraw[BLU] (1.6, 1.4) circle (2pt);
    \draw[BLU, thick, fill=white] (1.6, 2.3) circle (2pt);
    \draw[ROSSO, <->, thick] (1.85, 1.4) -- (1.85, 2.3);
    \node[ROSSO, right] at (1.85, 1.85) {\small $s$};
    \node[below] at (1.6, 0) {$x_0$};
    \node[below=10pt] at (1.7, -0.3) {\small \textbf{I specie}};
    \node[below=22pt] at (1.7, -0.3) {\small (salto)};
  \end{scope}
  % --- II specie: asintoto verticale ---
  \begin{scope}[xshift=5cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (3.5, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.0) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, dashed] (1.6, 0) -- (1.6, 3.0);
    \draw[BLU, thick, domain=0.3:1.45, samples=50] plot (\x, {0.5/(1.6-\x) + 0.4});
    \draw[BLU, thick, domain=1.75:3.2, samples=50] plot (\x, {-0.5/(\x-1.6) + 2.6});
    \node[below] at (1.6, 0) {$x_0$};
    \node[below=10pt] at (1.7, -0.3) {\small \textbf{II specie}};
    \node[below=22pt] at (1.7, -0.3) {\small (infinito)};
  \end{scope}
  % --- III specie: eliminabile ---
  \begin{scope}[xshift=10cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (3.5, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.0) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=0.3:1.55, samples=40] plot (\x, {0.4*(\x-1.6)*(\x-1.6) + 1.6});
    \draw[BLU, thick, domain=1.65:3.2, samples=40] plot (\x, {0.4*(\x-1.6)*(\x-1.6) + 1.6});
    \draw[BLU, thick, fill=white] (1.6, 1.6) circle (2pt);
    \filldraw[ROSSO] (1.6, 2.5) circle (2pt);
    \node[below] at (1.6, 0) {$x_0$};
    \node[below=10pt] at (1.7, -0.3) {\small \textbf{III specie}};
    \node[below=22pt] at (1.7, -0.3) {\small (eliminabile)};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{I tre tipi di discontinuità. \textbf{I specie}: limiti laterali finiti e diversi, separati da un salto $s = |\ell^+ - \ell^-|$. \textbf{II specie}: almeno un limite laterale è infinito (qui un asintoto verticale) oppure non esiste. \textbf{III specie}: i limiti laterali coincidono in $\ell$ finito, ma $f(x_0) \ne \ell$ (oppure $f$ non è definita in $x_0$); ridefinendo $f(x_0) := \ell$ si ``tappa il buco''.}
\label{fig:an-005-tipi-discontinuita}
\end{figure}

\begin{esempio}[Funzione segno --- prima specie in $0$]
$\operatorname{sgn}(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0\end{cases}$. Si ha $\ell^- = -1$, $\ell^+ = 1$: entrambi finiti, diversi. Salto: $s = |1 - (-1)| = 2$. Punto di prima specie.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$1/x$ in $0$ --- seconda specie]
$f(x) = 1/x$ in $x_0 = 0$: $\ell^- = -\infty$, $\ell^+ = +\infty$. Punto di seconda specie: il grafico ha un asintoto verticale (\ref{cap:AN-007}).
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\sen(1/x)$ in $0$ --- seconda specie]
Per $f(x) = \sen(1/x)$ in $x_0 = 0$ \emph{nessuno} dei due limiti laterali esiste, perché la funzione oscilla infinite volte tra $-1$ e $1$ in ogni intorno di $0$ (per $x$ molto piccolo, $1/x$ è grandissimo e copre infiniti periodi del seno). Punto di seconda specie.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Eliminabile: prolungamento per continuità]
$f(x) = \dfrac{\sen(3x)}{x}$ non è definita in $x = 0$, ma $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sen(3x)}{x} = 3$ (\ref{cap:AN-004}). Il punto $x = 0$ è una discontinuità eliminabile: la funzione prolungata
\[
  \tilde f(x) = \begin{cases} \sen(3x)/x & x \ne 0 \\ 3 & x = 0\end{cases}
\]
è continua su tutto $\R$, ed è il \emph{prolungamento per continuità} di $f$ in $0$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-005-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Studio della continuità di una funzione a tratti]
Sia
\[
  f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \le 1 \\ 2x & x > 1 \end{cases}.
\]
È $f$ continua in $x_0 = 1$?

Calcoliamo: $f(1) = 1^2 + 1 = 2$ (dal primo ramo, valido per $x \le 1$). Limiti laterali:
\[
  \ell^- = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 2, \qquad \ell^+ = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2.
\]
I limiti laterali coincidono e valgono $f(1) = 2$. La funzione è continua in $x_0 = 1$, e di conseguenza su tutto $\R$ (perché i due rami sono polinomi continui ovunque).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione con parametro --- determinare $a$ per la continuità]
Sia
\[
  f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & x \ne 2 \\[2pt] a & x = 2 \end{cases}.
\]
Per quale valore di $a$ la funzione è continua in $x = 2$?

Calcoliamo il limite per $x \to 2$:
\[
  \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \;\to\; 4.
\]
Per la continuità deve essere $a = 4$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Classificare i punti di discontinuità]
Sia $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - x}$. Il dominio è $\R \setminus \{0, 1\}$ (denominatore $x(x-1) = 0$ per $x = 0$ e $x = 1$). Classifichiamo i due punti esclusi.

\emph{In $x_0 = 0$:} il numeratore $x^2 - 1 \to -1$, il denominatore $x(x-1) \to 0$. Forma $-1/0$, non indeterminata. Studiamo il segno del denominatore: per $x \to 0^-$ si ha $x < 0$ e $(x-1) < 0$, prodotto $> 0$, quindi denominatore $\to 0^+$; segue $\ell^- = -1/0^+ = -\infty$. Per $x \to 0^+$ si ha $x > 0$ e $(x-1) < 0$, prodotto $< 0$, denominatore $\to 0^-$; segue $\ell^+ = -1/0^- = +\infty$. \textbf{Seconda specie}.

\emph{In $x_0 = 1$:} semplifichiamo il fattore $(x-1)$:
\[
  \dfrac{x^2-1}{x^2-x} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \dfrac{x+1}{x} \quad \text{per } x \ne 1.
\]
Quindi $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$, finito. Ma $f$ non è definita in $1$: \textbf{terza specie (eliminabile)}, prolungabile con $\tilde f(1) := 2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Parte intera]
La funzione \emph{parte intera} $f(x) = \lfloor x \rfloor$ (il massimo intero $\le x$) presenta una discontinuità di \textbf{prima specie} in ogni $x_0 = n \in \Z$: per $x \to n^-$ si ha $\lfloor x \rfloor = n - 1$, per $x \to n^+$ si ha $\lfloor x \rfloor = n$. Salto $s = |n - (n-1)| = 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Dominio di continuità di una composizione]
Studiare il dominio di continuità di $h(x) = \ln(x^2 - 4)$.

$h$ è la composizione di $g(x) = x^2 - 4$ (continua su $\R$) e $f(y) = \ln y$ (continua su $(0, +\infty)$). Perché la composizione sia ben definita serve $g(x) > 0$, cioè $x^2 - 4 > 0$, ovvero $x < -2$ oppure $x > 2$. Dominio = dominio di continuità: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Discontinuità di un quoziente di trascendenti]
Studiare $f(x) = \dfrac{\sen x}{x^2 - \pi^2}$ nei suoi punti di non definizione.

Il denominatore $x^2 - \pi^2 = (x-\pi)(x+\pi)$ si annulla in $x = \pm \pi$.

\emph{In $x_0 = \pi$:} $\sen \pi = 0$, quindi forma $0/0$. Scriviamo $\sen x = \sen(\pi + (x - \pi)) = -\sen(x - \pi)$. Posto $t = x - \pi$:
\[
  \dfrac{-\sen t}{t(t + 2\pi)} = -\dfrac{\sen t}{t} \cdot \dfrac{1}{t + 2\pi} \;\to\; -1 \cdot \dfrac{1}{2\pi} = -\dfrac{1}{2\pi}.
\]
Limite finito: \textbf{terza specie (eliminabile)}, prolungabile con $\tilde f(\pi) := -1/(2\pi)$.

\emph{In $x_0 = -\pi$:} analogamente, ponendo $t = x + \pi$, si trova limite $1/(2\pi)$ finito: anche qui \textbf{terza specie}.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-005-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Verificare, applicando la definizione, che $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ è continua in $x_0 = 2$.
  \item Stabilire se $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ è continua in $x = 3$. In caso negativo, indicare il tipo di discontinuità e l'eventuale prolungamento per continuità.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + a & x > 1\end{cases}$. Determinare $a \in \R$ in modo che $f$ sia continua in $x = 1$.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sen(5x)}{x} & x \ne 0 \\ k & x = 0\end{cases}$. Determinare $k$ in modo che $f$ sia continua in $x = 0$.
  \item Classificare i punti di discontinuità di $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$.
  \item Studiare il punto $x_0 = 0$ per $f(x) = \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$: stabilire il tipo di discontinuità e, se eliminabile, prolungare per continuità.
  \item Determinare il dominio di continuità di $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^3 - x}$.
  \item Determinare il dominio di continuità di $f(x) = \ln(9 - x^2)$.
  \item Determinare il dominio di continuità di $f(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$.
  \item Studiare la continuità in $x = 0$ di $f(x) = \begin{cases} e^{1/x} & x > 0 \\ 0 & x \le 0\end{cases}$.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{ax} - 1}{x} & x \ne 0 \\ 3 & x = 0 \end{cases}$. Determinare $a \in \R$ perché $f$ sia continua in $0$.
  \item Stabilire se $f(x) = x \sen(1/x)$ (definita per $x \ne 0$, prolungata con $f(0) := 0$) è continua in $x = 0$. \emph{Suggerimento}: usare il teorema del confronto e $|\sen y| \le 1$.
  \item Classificare tutti i punti di discontinuità di $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^3 - x}$.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} \cos x & x \le 0 \\ a x + b & 0 < x < 1 \\ x^2 + 1 & x \ge 1 \end{cases}$. Determinare $a, b \in \R$ in modo che $f$ sia continua sia in $0$ sia in $1$.
  \item \emph{Sfida.} La funzione di Dirichlet $D(x) = \begin{cases} 1 & x \in \Q \\ 0 & x \notin \Q\end{cases}$ è continua in qualche punto di $\R$? Motivare la risposta sfruttando la densità di $\Q$ e di $\R \setminus \Q$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-005-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Continuità in un punto}: $f$ è continua in $x_0$ se $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, ovvero se valgono simultaneamente: (1) $f$ è definita in $x_0$, (2) il limite esiste finito, (3) il limite vale $f(x_0)$.
  \item \emph{Continuità laterale}: $f$ è continua in $x_0$ se e solo se è continua a destra \emph{e} a sinistra, cioè $\ell^- = \ell^+ = f(x_0)$.
  \item \emph{Continuità su un intervallo}: $f \in C([a,b])$ se è continua in ogni punto interno e continua dal lato interno agli estremi (destra in $a$, sinistra in $b$).
  \item \emph{Funzioni elementari}: polinomi, razionali, radici, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse sono continue sul proprio dominio naturale.
  \item \emph{Algebra della continuità}: somma, prodotto, quoziente (con denominatore $\ne 0$) e composizione di funzioni continue sono continue.
  \item \emph{Classificazione dei punti di discontinuità} in $x_0$:
  \begin{itemize}
    \item \textbf{I specie (salto)}: $\ell^-, \ell^+$ finiti e diversi; salto $s = |\ell^+ - \ell^-|$.
    \item \textbf{II specie}: almeno uno tra $\ell^-, \ell^+$ è infinito oppure non esiste (oscillazione).
    \item \textbf{III specie (eliminabile)}: $\ell^- = \ell^+ = \ell$ finito, ma $f(x_0)$ non è definito o $\ne \ell$. Si elimina ponendo $\tilde f(x_0) := \ell$ (prolungamento per continuità).
  \end{itemize}
  \item I teoremi più potenti sulle funzioni continue (Weierstrass, valori intermedi, zeri) saranno trattati nel \ref{cap:AN-006}; il loro uso nello studio di funzione e nella ricerca degli asintoti rispettivamente nel \ref{cap:AN-016} e \ref{cap:AN-007}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}