\chapter{Teoremi sulle funzioni continue: Weierstrass, valori intermedi, zeri}\label{cap:AN-006}

\citazioneinizio{%
  Se due funzioni di $x$, fra le quali sussiste la legge che per un valore di $x$ l'una è minore e per un altro valore è maggiore dell'altra, prendono per ogni valore intermedio di $x$ valori in generale differenti, allora deve esistere almeno un valore intermedio di $x$ in cui le due funzioni si rendono uguali.%
}{Bernard Bolzano, \emph{Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes\dots} (1817), traduzione adattata}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-006-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Nel capitolo precedente (\ref{cap:AN-005}) abbiamo definito la continuità di una funzione come una proprietà \emph{locale}: $f$ è continua in $x_0$ se il limite per $x \to x_0$ coincide con $f(x_0)$. Si tratta di un'informazione che vive in un singolo punto e nei suoi intorni.

In questo capitolo facciamo un salto qualitativo: scopriamo che, se la continuità si verifica in \emph{ogni} punto di un intervallo \emph{chiuso e limitato} $[a,b]$, allora si possono dedurre proprietà \emph{globali} potentissime, valide sull'intero intervallo. I tre teoremi che enunciamo --- Weierstrass, valori intermedi (Bolzano-Darboux), zeri --- sono i pilastri dell'analisi reale elementare e vengono detti \emph{teoremi globali sulle funzioni continue}.

\begin{itemize}
  \item Il \emph{teorema di Weierstrass} (\ref{sec:an-006-02-teorema-di-weierstrass}) garantisce l'\emph{esistenza} di un massimo e di un minimo assoluti.
  \item Il \emph{teorema dei valori intermedi} (\ref{sec:an-006-03-teorema-dei-valori-intermedi-bolzano-darboux}) garantisce che $f$ assume tutti i valori compresi tra $f(a)$ e $f(b)$.
  \item Il \emph{teorema degli zeri} (\ref{sec:an-006-04-teorema-degli-zeri}) è il caso particolare in cui $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto: $f$ deve annullarsi almeno una volta tra $a$ e $b$.
\end{itemize}

Tutti e tre sono \emph{teoremi di esistenza}: non costruiscono il massimo o lo zero, ma garantiscono che esistono. La loro forza sta proprio qui: bastano poche ipotesi --- continuità, dominio chiuso e limitato, eventualmente cambio di segno --- per concludere risultati molto forti. Vedremo applicazioni nello studio di funzione (\ref{cap:AN-016}), nella ricerca di massimi e minimi assoluti (\ref{cap:AN-014}) e nella risoluzione approssimata di equazioni che non si lasciano risolvere algebricamente.

% ============================================================
\section{Teorema di Weierstrass}\label{sec:an-006-02-teorema-di-weierstrass}
% ============================================================

Karl Weierstrass (1815--1897), nelle sue lezioni a Berlino, formulò il teorema che oggi porta il suo nome e che rappresenta la versione rigorosa di un'intuizione antica: una funzione che si traccia ``senza staccare la penna dal foglio'' su un intervallo chiuso e limitato deve avere un punto più alto e uno più basso.

\begin{teorema}[di Weierstrass]
Sia $f : [a,b] \to \R$ una funzione \emph{continua} su un intervallo \emph{chiuso e limitato} $[a,b]$. Allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$: esistono $x_M, x_m \in [a,b]$ tali che
\[
  f(x_m) \le f(x) \le f(x_M) \qquad \text{per ogni } x \in [a,b].
\]
Si pone $M = f(x_M) = \max_{[a,b]} f$ e $m = f(x_m) = \min_{[a,b]} f$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} La dimostrazione completa richiede strumenti di topologia (teorema di Bolzano-Weierstrass sulle successioni: ogni successione limitata in $\R$ ha una sottosuccessione convergente). L'idea è la seguente: si mostra prima che $f$ è \emph{limitata} (altrimenti si costruisce una successione $x_n \in [a,b]$ con $f(x_n) \to +\infty$; per Bolzano-Weierstrass si estrae $x_{n_k} \to x^* \in [a,b]$ e la continuità darebbe $f(x^*) = +\infty$, assurdo). Poi si pone $M = \sup_{[a,b]} f$ e si costruisce una successione $x_n$ con $f(x_n) \to M$; passando a una sottosuccessione convergente a $x_M \in [a,b]$, per continuità $f(x_M) = M$. Analogamente per il minimo.

Le \emph{tre ipotesi} sono tutte indispensabili: rimuovendone una sola, la tesi può venire a mancare.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.3) -- (0, 3.4) node[above] {$y$};
  % grafico continuo su [a,b]
  \draw[BLU, thick, domain=0.5:5.0, samples=80] plot (\x, {0.4*sin(deg(2*\x)) + 0.3*(\x-2.5)*(\x-2.5)/4 + 1.5});
  % estremi dell'intervallo
  \draw[GRIGIO!70, dashed] (0.5, 0) -- (0.5, 1.85);
  \draw[GRIGIO!70, dashed] (5.0, 0) -- (5.0, 2.05);
  \node[below] at (0.5, 0) {$a$};
  \node[below] at (5.0, 0) {$b$};
  % punto di massimo
  \filldraw[ROSSO] (5.0, 2.05) circle (2pt);
  \draw[ROSSO, dashed] (5.0, 2.05) -- (0, 2.05);
  \node[left, ROSSO] at (0, 2.05) {$M$};
  \node[above right, ROSSO] at (5.0, 2.05) {\small $x_M$};
  % punto di minimo
  \filldraw[VERDE!70!black] (2.2, 1.05) circle (2pt);
  \draw[VERDE!70!black, dashed] (2.2, 1.05) -- (0, 1.05);
  \draw[VERDE!70!black, dashed] (2.2, 1.05) -- (2.2, 0);
  \node[left, VERDE!70!black] at (0, 1.05) {$m$};
  \node[below, VERDE!70!black] at (2.2, 0) {\small $x_m$};
  \node[BLU] at (4.6, 3.0) {$f$};
\end{tikzpicture}
\caption{Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ raggiunge sia il massimo assoluto $M = f(x_M)$ sia il minimo assoluto $m = f(x_m)$. I punti di estremo possono cadere ovunque in $[a,b]$, agli estremi inclusi.}
\label{fig:an-006-weierstrass}
\end{figure}

\begin{esempio}[Le tre ipotesi sono necessarie]
Mostriamo che togliendo una sola delle ipotesi (continuità, chiusura, limitatezza) la tesi può fallire.
\begin{itemize}
  \item \emph{Manca la continuità}. $f : [0,1] \to \R$, $f(x) = x$ per $x \in [0,1)$, $f(1) = 0$. $f$ non è continua in $x=1$; non ha massimo: il $\sup$ vale $1$ ma non è raggiunto.
  \item \emph{Manca la chiusura}. $f : (0,1) \to \R$, $f(x) = x$. È continua, ma l'intervallo è aperto: $\sup = 1$ e $\inf = 0$ non sono raggiunti.
  \item \emph{Manca la limitatezza}. $f : [0, +\infty) \to \R$, $f(x) = x$. È continua su un chiuso, ma non limitato: nessun massimo (anzi, $f$ è illimitata).
  \item \emph{Manca la limitatezza in modo più sottile}. $f : (0, 1] \to \R$, $f(x) = 1/x$. Continua su un intervallo limitato ma \emph{non} chiuso (manca lo zero), e $f$ diverge in $0^+$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Polinomio su intervallo chiuso]
$f(x) = -x^2 + 4x - 1$ su $[0,3]$. È polinomio (continuo su $\R$), l'intervallo è chiuso e limitato: il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza di max e min. Studio: $f'(x) = -2x + 4 = 0$ in $x = 2$ (interno a $[0,3]$). Confronto i valori: $f(0) = -1$, $f(2) = 3$, $f(3) = 2$. Quindi $M = 3$ (in $x_M = 2$), $m = -1$ (in $x_m = 0$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione trigonometrica]
$f(x) = \sen x + \cos x$ su $[0, 2\pi]$. Continua su un intervallo chiuso e limitato: max e min esistono. Si può scrivere $f(x) = \sqrt{2}\,\sen(x + \pi/4)$, quindi $M = \sqrt{2}$ (in $x = \pi/4$), $m = -\sqrt{2}$ (in $x = 5\pi/4$).
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Teorema dei valori intermedi (Bolzano-Darboux)}\label{sec:an-006-03-teorema-dei-valori-intermedi-bolzano-darboux}
% ============================================================

\begin{teorema}[dei valori intermedi]
Sia $f : [a,b] \to \R$ continua su $[a,b]$, e supponiamo $f(a) \ne f(b)$. Allora, per ogni valore $y$ \emph{compreso fra} $f(a)$ e $f(b)$, esiste almeno un $c \in (a,b)$ tale che $f(c) = y$.
\end{teorema}

In forma sintetica: \emph{una funzione continua su un intervallo assume tutti i valori compresi tra due valori assunti}. Geometricamente: tracciando una retta orizzontale $y = $ costante, fra il livello di $f(a)$ e quello di $f(b)$, il grafico la deve attraversare almeno una volta.

\textit{Dimostrazione (cenno).} La dimostrazione si riconduce al teorema degli zeri (sezione \ref{sec:an-006-04-teorema-degli-zeri}) applicato alla funzione $g(x) = f(x) - y$: $g$ è continua, $g(a)$ e $g(b)$ hanno segno opposto (perché $y$ sta fra $f(a)$ e $f(b)$), dunque $g$ si annulla in qualche $c \in (a,b)$, cioè $f(c) = y$.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.3) -- (0, 3.4) node[above] {$y$};
  % grafico monotono crescente "ondulato"
  \draw[BLU, thick, domain=0.5:5.0, samples=80] plot (\x, {0.5*\x + 0.3*sin(deg(2.5*\x)) + 0.4});
  \node[below] at (0.5, 0) {$a$};
  \node[below] at (5.0, 0) {$b$};
  % valori f(a) e f(b)
  \draw[GRIGIO!70, dashed] (0.5, 0.93) -- (0, 0.93);
  \draw[GRIGIO!70, dashed] (5.0, 2.71) -- (0, 2.71);
  \node[left] at (0, 0.93) {\small $f(a)$};
  \node[left] at (0, 2.71) {\small $f(b)$};
  % livello y
  \draw[ROSSO, thick, dashed] (0, 2.0) -- (5.2, 2.0);
  \node[left, ROSSO] at (0, 2.0) {$y$};
  % intersezioni: la funzione attraversa il livello y in più punti
  \filldraw[ROSSO] (3.16, 2.0) circle (1.8pt);
  \draw[ROSSO, dashed] (3.16, 2.0) -- (3.16, 0);
  \node[below, ROSSO] at (3.16, 0) {\small $c$};
  \node[BLU] at (4.7, 3.1) {$f$};
\end{tikzpicture}
\caption{Teorema dei valori intermedi: per ogni valore $y$ compreso tra $f(a)$ e $f(b)$, esiste almeno un $c \in (a,b)$ tale che $f(c) = y$. Il grafico di $f$ deve necessariamente attraversare la retta orizzontale $y = $ costante.}
\label{fig:an-006-valori-intermedi}
\end{figure}

\begin{corollario}[Proprietà di Darboux]
L'\emph{immagine} di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo.
\end{corollario}

In particolare, se $f : I \to \R$ è continua su $I$ intervallo, $f(I)$ non può essere un'unione di due intervalli disgiunti: non ci sono ``buchi''. Se inoltre $I = [a,b]$ è chiuso e limitato, per Weierstrass $f$ ha massimo $M$ e minimo $m$ in $[a,b]$, e per i valori intermedi $f([a,b]) = [m, M]$: l'immagine è esattamente l'intervallo chiuso tra il minimo e il massimo.

\begin{esempio}[Applicazione diretta]
$f(x) = x^3 + x - 5$ su $[1,2]$: $f(1) = -3$, $f(2) = 5$. La funzione è continua (polinomio); per il teorema dei valori intermedi, $f$ assume in $(1,2)$ \emph{ogni} valore compreso fra $-3$ e $5$. In particolare, esiste $c \in (1,2)$ con $f(c) = 0$ --- ma anche con $f(c) = 1$, con $f(c) = -2$, e così via.
\end{esempio}

\begin{esempio}[L'ipotesi di continuità è essenziale]
Sia $f(x) = \lfloor x \rfloor$ (parte intera) su $[0, 2]$. Si ha $f(0) = 0$, $f(2) = 2$, ma $f$ \emph{non} assume mai il valore $y = 0.5$: l'immagine è $\{0, 1, 2\}$, non un intervallo. Coerente: $f$ non è continua (salti in $x = 1$ e $x = 2$).
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Teorema degli zeri}\label{sec:an-006-04-teorema-degli-zeri}
% ============================================================

Il \emph{teorema degli zeri} è il caso particolare del teorema dei valori intermedi per $y = 0$. Storicamente venne dimostrato per primo da Bernard Bolzano nel 1817, in uno dei primi tentativi di analisi rigorosa: il titolo del lavoro, \emph{Dimostrazione puramente analitica del teorema che fra due valori che danno risultati di segno opposto giace almeno una radice reale dell'equazione}, ne è quasi una parafrasi.

\begin{teorema}[degli zeri (Bolzano, 1817)]
Sia $f : [a,b] \to \R$ continua su $[a,b]$ e supponiamo
\[
  f(a) \cdot f(b) < 0
\]
(cioè $f(a)$ e $f(b)$ hanno \emph{segno opposto}). Allora esiste almeno un $c \in (a,b)$ tale che $f(c) = 0$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (metodo di bisezione).} Senza perdere generalità $f(a) < 0 < f(b)$. Poniamo $a_0 = a$, $b_0 = b$. Per ogni $n \ge 0$ consideriamo il punto medio $m_n = (a_n + b_n)/2$ e definiamo:
\begin{itemize}
  \item se $f(m_n) = 0$, abbiamo finito: $c = m_n$;
  \item se $f(m_n) > 0$, poniamo $a_{n+1} = a_n$, $b_{n+1} = m_n$;
  \item se $f(m_n) < 0$, poniamo $a_{n+1} = m_n$, $b_{n+1} = b_n$.
\end{itemize}
Costruiamo così intervalli annidati $[a_n, b_n]$ di lunghezza $(b-a)/2^n$, con $f(a_n) \le 0 \le f(b_n)$. Le successioni $(a_n)$ e $(b_n)$ sono monotone e limitate, dunque convergenti a un comune limite $c$ (l'unico punto comune a tutti gli intervalli). Per continuità di $f$:
\[
  f(c) = \lim_{n\to\infty} f(a_n) \le 0, \qquad f(c) = \lim_{n\to\infty} f(b_n) \ge 0,
\]
quindi $f(c) = 0$.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (5.8, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -1.6) -- (0, 2.6) node[above] {$y$};
  % grafico che cambia segno
  \draw[BLU, thick, domain=0.5:5.2, samples=80] plot (\x, {0.4*(\x-1.5)*(\x-3.0)*(\x-4.5)/2 - 0.2*\x + 1.0});
  % estremi a, b
  \filldraw[BLU] (0.5, 1.85) circle (1.8pt);
  \filldraw[BLU] (5.2, 1.99) circle (1.8pt);
  \node[below] at (0.5, 0) {$a$};
  \node[below] at (5.2, 0) {$b$};
  \node[left, BLU] at (0.5, 1.85) {\small $f(a)$};
  \node[right, BLU] at (5.2, 1.99) {\small $f(b)$};
  % NB: in questo specifico polinomio mostriamo 3 zeri (caso multi-intersezione)
  % zeri intersezioni con l'asse - calcolati visivamente
  \filldraw[ROSSO] (1.27, 0) circle (2pt);
  \filldraw[ROSSO] (2.81, 0) circle (2pt);
  \filldraw[ROSSO] (4.55, 0) circle (2pt);
  \node[below=2pt, ROSSO] at (1.27, 0) {\small $c_1$};
  \node[above=2pt, ROSSO] at (2.81, 0.05) {\small $c_2$};
  \node[below=2pt, ROSSO] at (4.55, 0) {\small $c_3$};
  \node[BLU] at (5.0, 2.5) {$f$};
\end{tikzpicture}
\caption{Teorema degli zeri: se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto (qui sono entrambi positivi nei picchi, ma il grafico scende sotto zero), $f$ deve annullarsi almeno una volta in $(a,b)$. Il teorema afferma l'esistenza di \emph{almeno uno} zero, non l'unicità: nell'esempio gli zeri sono tre.}
\label{fig:an-006-zeri}
\end{figure}

\begin{attenzione}
Il teorema garantisce \emph{esistenza}, non \emph{unicità}. Per ottenere l'unicità si aggiunge tipicamente la \emph{monotonia} di $f$ in $[a,b]$ (vedi sezione \ref{sec:an-006-05-applicazioni}).
\end{attenzione}

\begin{esempio}[Esistenza di una soluzione]
Mostrare che l'equazione $e^x = 3 - x$ ha almeno una soluzione in $(0, 1)$.

Poniamo $f(x) = e^x - 3 + x$, continua su $\R$. Valutiamo agli estremi:
\[
  f(0) = 1 - 3 + 0 = -2 < 0, \qquad f(1) = e - 2 \approx 0.718 > 0.
\]
Per il teorema degli zeri esiste $c \in (0,1)$ con $f(c) = 0$, cioè $e^c = 3 - c$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Metodo di bisezione]
Approssimiamo lo zero di $f(x) = x^3 + x - 1$ in $[0,1]$ con tre iterazioni di bisezione. Si ha $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 1 > 0$: il teorema garantisce uno zero.
\begin{itemize}
  \item $m_0 = 0.5$, $f(0.5) = 0.125 + 0.5 - 1 = -0.375 < 0$. Nuovo intervallo: $[0.5, 1]$.
  \item $m_1 = 0.75$, $f(0.75) = 0.422 + 0.75 - 1 = 0.172 > 0$. Nuovo intervallo: $[0.5, 0.75]$.
  \item $m_2 = 0.625$, $f(0.625) = 0.244 + 0.625 - 1 = -0.131 < 0$. Nuovo intervallo: $[0.625, 0.75]$.
\end{itemize}
Dopo tre iterazioni lo zero $c$ è confinato in $[0.625, 0.75]$, ampiezza $0.125$. Il valore esatto è $c \approx 0.6823$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Applicazioni}\label{sec:an-006-05-applicazioni}
% ============================================================

\subsection*{Unicità della soluzione: continuità + monotonia}

Il teorema degli zeri da solo non garantisce unicità: una funzione continua può cambiare segno e attraversare l'asse $x$ molte volte. Se però $f$ è anche \emph{strettamente monotona} in $[a,b]$, allora lo zero, se esiste, è unico.

\begin{procedura}[Unicità della soluzione di $f(x) = 0$]
Per dimostrare che l'equazione $f(x) = 0$ ha esattamente una soluzione in $[a,b]$:
\begin{enumerate}
  \item verificare che $f$ è continua in $[a,b]$;
  \item verificare che $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto (teorema degli zeri $\Rightarrow$ esistenza);
  \item verificare che $f$ è strettamente monotona in $[a,b]$ (es. $f'(x) > 0$ ovunque $\Rightarrow$ unicità).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\subsection*{Polinomi di grado dispari}

\begin{teorema}[Radici reali dei polinomi di grado dispari]
Ogni polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha almeno una radice reale.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ con $n$ dispari e $a_n \ne 0$. Senza perdere generalità $a_n > 0$. Allora
\[
  \lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty
\]
(perché $n$ è dispari). Esistono dunque $a$ molto negativo con $P(a) < 0$ e $b$ molto positivo con $P(b) > 0$. $P$ è continuo su $[a,b]$ (è polinomio): il teorema degli zeri dà $c \in (a,b)$ con $P(c) = 0$.

\subsection*{Punti fissi}

\begin{teorema}[Punto fisso per funzioni continue di un intervallo in sé]
Sia $f : [a,b] \to [a,b]$ continua. Allora $f$ ha almeno un \emph{punto fisso}: esiste $c \in [a,b]$ con $f(c) = c$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Poniamo $g(x) = f(x) - x$. $g$ è continua. Agli estremi:
\[
  g(a) = f(a) - a \ge 0 \quad (\text{perché } f(a) \in [a,b] \subseteq [a, +\infty)),
\]
\[
  g(b) = f(b) - b \le 0 \quad (\text{perché } f(b) \in [a,b] \subseteq (-\infty, b]).
\]
Se $g(a) = 0$ allora $c = a$ è punto fisso; se $g(b) = 0$ allora $c = b$ lo è; altrimenti $g(a) > 0$ e $g(b) < 0$ hanno segno opposto, e per il teorema degli zeri esiste $c \in (a,b)$ con $g(c) = 0$, cioè $f(c) = c$.

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:an-006-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Massimo e minimo assoluti di una funzione su intervallo chiuso]
Determinare massimo e minimo assoluti di $f(x) = x^3 - 3x$ su $[-2, 2]$.

\emph{Algebra prima dei numeri.} $f$ è polinomio, dunque continua su $\R$; $[-2,2]$ è chiuso e limitato: per Weierstrass max e min esistono. I candidati sono gli estremi dell'intervallo e i punti interni in cui $f'(x) = 0$:
\[
  f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = \pm 1.
\]
Entrambi $\pm 1$ sono interni a $[-2,2]$. Valutiamo $f$ nei quattro candidati:
\[
  f(-2) = -8 + 6 = -2, \quad f(-1) = -1 + 3 = 2, \quad f(1) = 1 - 3 = -2, \quad f(2) = 8 - 6 = 2.
\]
Quindi $M = 2$, raggiunto in $x = -1$ \emph{e} in $x = 2$; $m = -2$, raggiunto in $x = -2$ \emph{e} in $x = 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Esistenza e unicità della soluzione]
Mostrare che l'equazione $x^3 + x = 10$ ha esattamente una soluzione reale.

Sia $f(x) = x^3 + x - 10$. $f$ è polinomio (continua su $\R$). \emph{Esistenza}: $f(0) = -10 < 0$, $f(3) = 27 + 3 - 10 = 20 > 0$. Per il teorema degli zeri esiste $c \in (0,3)$ con $f(c) = 0$. \emph{Unicità}: $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ per ogni $x \in \R$, quindi $f$ è strettamente crescente su $\R$ --- in particolare iniettiva: la soluzione è unica.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione trascendente]
Provare che l'equazione $\cos x = x$ ha esattamente una soluzione in $[0, \pi/2]$.

Sia $f(x) = \cos x - x$, continua su $\R$. Agli estremi:
\[
  f(0) = 1 - 0 = 1 > 0, \qquad f(\pi/2) = 0 - \pi/2 \approx -1.57 < 0.
\]
Segni opposti: esiste $c \in (0, \pi/2)$ con $f(c) = 0$, cioè $\cos c = c$. Inoltre $f'(x) = -\sen x - 1 < 0$ per $x \in (0, \pi/2]$ (perché $\sen x > -1$ lì), quindi $f$ è strettamente decrescente: la soluzione è unica. Il valore numerico approssimato è $c \approx 0.7391$ (la cosiddetta \emph{costante di Dottie}).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Polinomio di grado dispari]
Mostrare che $P(x) = x^5 - 4x^3 + 2x - 7$ ha almeno una radice reale.

$P$ è polinomio di grado dispari $5$: per il teorema sui polinomi di grado dispari, esiste almeno una radice reale. \emph{Localizziamola}: $P(0) = -7$, $P(2) = 32 - 32 + 4 - 7 = -3$, $P(3) = 243 - 108 + 6 - 7 = 134$. Tra $2$ e $3$ il segno cambia: la radice cercata sta in $(2,3)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punto fisso esplicito]
Sia $f : [0,1] \to [0,1]$ definita da $f(x) = (x + 1)/3$. Verificare che $f$ è una mappa di $[0,1]$ in sé, dedurre l'esistenza di un punto fisso e trovarlo.

\emph{Mappa in sé}: $x \in [0,1] \Rightarrow x + 1 \in [1,2] \Rightarrow (x+1)/3 \in [1/3, 2/3] \subseteq [0,1]$. \emph{Continua}: sì (è affine). Per il teorema del punto fisso esiste $c \in [0,1]$ con $f(c) = c$. Risolvendo: $c = (c+1)/3 \Rightarrow 3c = c + 1 \Rightarrow c = 1/2$. Notiamo che $1/2 \in [1/3, 2/3]$, coerente.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Bisezione con tolleranza assegnata]
Quante iterazioni di bisezione servono per localizzare lo zero di $f(x) = x^2 - 2$ in $[1,2]$ con errore minore di $10^{-3}$?

Lo zero cercato è $c = \sqrt{2}$. Dopo $n$ iterazioni l'intervallo ha ampiezza $(b-a)/2^n = 1/2^n$; il punto medio ne dista al massimo $1/2^{n+1}$. Imponiamo
\[
  \frac{1}{2^{n+1}} < 10^{-3} \;\Longleftrightarrow\; 2^{n+1} > 1000 \;\Longleftrightarrow\; n + 1 \ge 10 \;\Longleftrightarrow\; n \ge 9.
\]
Bastano 9 iterazioni. (In effetti $2^{10} = 1024$.)
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-006-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Determinare massimo e minimo assoluti di $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ su $[0, 3]$.
  \item Determinare massimo e minimo assoluti di $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$ su $[1/2, 3]$.
  \item Per ciascuna funzione, dire se è applicabile il teorema di Weierstrass e motivare la risposta:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = \dfrac{1}{x}$ su $(0, 1]$;
    \item $f(x) = \tg x$ su $[0, \pi/2)$;
    \item $f(x) = \begin{cases} x & x \in [0,1) \\ 0 & x = 1\end{cases}$ su $[0,1]$;
    \item $f(x) = e^{-x^2}$ su $[-3, 3]$.
  \end{enumerate}
  \item Dimostrare che l'equazione $x^3 - 3x + 1 = 0$ ha tre soluzioni reali distinte e localizzarle in tre intervalli disgiunti di ampiezza $1$.
  \item Mostrare che $f(x) = \ln x + x = 0$ ha esattamente una soluzione in $(0, +\infty)$ e localizzarla in un intervallo di ampiezza $0.5$.
  \item Provare che l'equazione $2^x = 3x$ ha almeno due soluzioni reali e localizzarle.
  \item Applicare il metodo di bisezione per approssimare lo zero di $f(x) = x^3 - 2x - 5$ in $[2, 3]$ con quattro iterazioni; indicare l'intervallo finale e il punto medio come approssimazione.
  \item Quante iterazioni di bisezione servono per localizzare uno zero in $[0, 4]$ con errore minore di $10^{-4}$?
  \item Dimostrare che il polinomio $P(x) = x^7 + 3x^5 - x^2 + 5$ ha almeno una radice reale, e dire in quale intervallo del tipo $[-n, 0]$ (con $n$ intero piccolo) è localizzata.
  \item Sia $f : [0,1] \to [0,1]$ continua. Dimostrare che esiste $c \in [0,1]$ con $f(c) = c^2$. \emph{Suggerimento}: applicare il teorema degli zeri a $g(x) = f(x) - x^2$.
  \item Mostrare che esiste $x_0 \in (0, \pi)$ tale che $\sen x_0 = x_0 / 2$, e dimostrare che è unico in tale intervallo.
  \item Sia $f : [-1, 1] \to \R$ continua con $f(-1) = f(1)$. Dimostrare che esiste $c \in [-1, 0]$ con $f(c) = f(c + 1)$. \emph{Suggerimento}: studiare $g(x) = f(x+1) - f(x)$ su $[-1, 0]$.
  \item Discutere l'applicabilità del teorema degli zeri a $f(x) = 1/x$ su $[-1, 1]$. La funzione cambia segno: perché non si può concludere l'esistenza di uno zero?
  \item Sia $P(x)$ un polinomio di grado pari con coefficiente direttore positivo. Mostrare che $P$ ha minimo assoluto su $\R$. \emph{Suggerimento}: $\lim_{|x|\to\infty} P(x) = +\infty$ implica che, fuori da un opportuno $[-R, R]$, $P(x) > P(0)$; poi applicare Weierstrass su $[-R, R]$.
  \item \emph{Sfida.} Due alpinisti scalano la stessa via di montagna, partendo alle $8{:}00$ dal rifugio (quota $\num{1500}$~m) e arrivando alle $14{:}00$ in vetta (quota $\num{3000}$~m). Il primo procede a velocità variabile ma sempre crescendo in quota; il secondo si concede pause più lunghe ma percorre lo stesso sentiero. Dimostrare, usando il teorema dei valori intermedi, che esiste un istante della giornata in cui i due si trovavano alla \emph{stessa} quota nello stesso minuto, anche se hanno camminato in giorni diversi. \emph{Suggerimento}: indicate $h_1(t)$ e $h_2(t)$ le quote dei due in funzione del tempo, e studiate $g(t) = h_1(t) - h_2(t)$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-006-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Teorema di Weierstrass}. Se $f$ è \emph{continua} su un intervallo \emph{chiuso e limitato} $[a,b]$, allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti in $[a,b]$. Tutte e tre le ipotesi (continuità, chiusura, limitatezza) sono necessarie: rimuovendone una sola la tesi può cadere.
  \item \emph{Teorema dei valori intermedi (Bolzano-Darboux)}. Se $f$ è continua su $[a,b]$, allora $f$ assume in $(a,b)$ ogni valore compreso fra $f(a)$ e $f(b)$. Conseguenza: l'immagine di un intervallo tramite una funzione continua è un intervallo (proprietà di Darboux); se $[a,b]$ è chiuso e limitato, $f([a,b]) = [m, M]$.
  \item \emph{Teorema degli zeri (Bolzano, 1817)}. Se $f$ è continua su $[a,b]$ e $f(a) \cdot f(b) < 0$, allora esiste almeno un $c \in (a,b)$ con $f(c) = 0$. Caso particolare del teorema dei valori intermedi con $y = 0$.
  \item \emph{Metodo di bisezione}. Algoritmo costruttivo per approssimare uno zero: dimezzare ripetutamente l'intervallo scegliendo a ogni passo la metà su cui $f$ cambia segno. Dopo $n$ iterazioni lo zero è localizzato con errore $\le (b-a)/2^{n+1}$.
  \item \emph{Esistenza + unicità}. Il teorema degli zeri dà solo l'esistenza. Per l'unicità della soluzione di $f(x) = 0$ si aggiunge tipicamente la \emph{monotonia stretta} di $f$ (spesso verificabile via $f' > 0$ o $f' < 0$ su tutto l'intervallo).
  \item \emph{Applicazioni}. (1) Ogni polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale. (2) Ogni mappa continua $f : [a,b] \to [a,b]$ ha almeno un punto fisso. (3) Le equazioni trascendenti del tipo $f(x) = g(x)$, non risolubili algebricamente, possono comunque essere mostrate avere soluzione (ed eventualmente unica) studiando segno e monotonia di $f - g$.
  \item I teoremi di questo capitolo costituiscono lo strumento essenziale per la ricerca di massimi e minimi assoluti (\ref{cap:AN-014}) e per lo studio completo di funzione (\ref{cap:AN-016}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}