\chapter{Derivata: definizione, significato geometrico e fisico}\label{cap:AN-008}

\citazioneinizio{%
  Si chiami $dx$ una quantità arbitraria; e si chiami $dy$ la quantità che sta a $dx$ come $y$ sta alla sottotangente: allora $dy$ è la differenza, cioè il \emph{differenziale}, di $y$.%
}{Gottfried Wilhelm Leibniz, \emph{Nova methodus pro maximis et minimis} (\emph{Acta Eruditorum}, 1684), traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-008-01-introduzione-motivazionale}
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Nei capitoli precedenti abbiamo costruito una teoria \emph{quantitativa} della continuità: una funzione continua su un intervallo si comporta ``bene'' nel senso che limite e valore coincidono (\ref{cap:AN-005}) e si possono dedurre proprietà globali come l'esistenza di max/min e di zeri (\ref{cap:AN-006}). Ma la continuità da sola non dice nulla su \emph{come} il grafico sale o scende: una funzione può essere continua e cambiare pendenza bruscamente (un angolo), o variare lentissimamente, o impazzire oscillando.

Il concetto che cattura la \emph{pendenza locale} di una funzione è la \emph{derivata}. Storicamente, il problema della tangente a una curva e il problema della velocità istantanea di un corpo in moto erano i due problemi-chiave alla fine del Seicento. Furono risolti, in modo indipendente e con linguaggi diversi, da due giganti:
\begin{itemize}
  \item Isaac Newton (1642--1727), nel \emph{Methodus fluxionum et serierum infinitarum} (scritto negli anni 1670, pubblicato postumo nel 1736), che chiamava \emph{flussioni} le velocità di variazione delle \emph{quantità fluenti} (le variabili $x, y, \ldots$);
  \item Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716), nella \emph{Nova methodus} pubblicata sugli \emph{Acta Eruditorum} nel 1684, primo articolo a presentare il calcolo \emph{differenziale} con la notazione $dx, dy$ ancora oggi in uso.
\end{itemize}
La controversia sulla priorità --- ricordata dalla storia come ``la disputa Newton-Leibniz'' --- è uno dei capitoli più aspri della storia della scienza. Le due notazioni convivono fino a oggi: Newton scrive $\dot s$ per indicare la velocità $s'(t)$, e questa notazione sopravvive in fisica.

In questo capitolo:
\begin{itemize}
  \item introduciamo il \emph{rapporto incrementale} (\ref{sec:an-008-02-rapporto-incrementale}), che è la pendenza di una retta secante e la prima approssimazione discreta dell'idea di ``pendenza'';
  \item passiamo al limite e definiamo la \emph{derivata in un punto} (\ref{sec:an-008-03-definizione-di-derivata-in-un-punto});
  \item interpretiamo la derivata come pendenza della retta tangente (\ref{sec:an-008-04-significato-geometrico-retta-tangente}) e come velocità istantanea (\ref{sec:an-008-05-significato-fisico-velocita-istantanea});
  \item passiamo dalla derivata in un punto alla \emph{funzione derivata} (\ref{sec:an-008-06-funzione-derivata}), che è il vero oggetto di studio nei capitoli successivi.
\end{itemize}

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\section{Rapporto incrementale}\label{sec:an-008-02-rapporto-incrementale}
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Sia $f : I \to \R$ definita su un intervallo $I \subseteq \R$, e sia $x_0 \in I$ un punto interno. Scegliamo un \emph{incremento} $h \ne 0$ tale che $x_0 + h \in I$.

\begin{definizione}[Rapporto incrementale]
Il \emph{rapporto incrementale} di $f$ in $x_0$ relativo all'incremento $h$ è
\[
  R(x_0, h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.
\]
La notazione tradizionale alternativa --- ereditata da Leibniz --- è $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, dove $\Delta x = h$ è la variazione dell'ascissa e $\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0)$ è la variazione dell'ordinata.
\end{definizione}

\emph{Significato geometrico immediato}: $R(x_0, h)$ è la pendenza della retta \emph{secante} che passa per i due punti $P_0 = (x_0, f(x_0))$ e $P_h = (x_0 + h, f(x_0 + h))$ del grafico di $f$.

\begin{esempio}[Rapporto incrementale di $f(x) = x^2$ in $x_0 = 1$]
Per $h \ne 0$:
\[
  R(1, h) = \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h.
\]
Per $h = 1$, $R = 3$; per $h = 0.1$, $R = 2.1$; per $h = 0.01$, $R = 2.01$. Sembra che, quando $h \to 0$, il rapporto incrementale tenda a $2$. È proprio così: lo formalizza la definizione di derivata.
\end{esempio}

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\section{Definizione di derivata in un punto}\label{sec:an-008-03-definizione-di-derivata-in-un-punto}
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\begin{definizione}[Derivata in un punto]
Sia $f : I \to \R$ e $x_0 \in I$ punto interno. Diciamo che $f$ è \emph{derivabile in $x_0$} se esiste finito il limite
\begin{formulabox}
\[
  f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.
\]
\end{formulabox}
Il valore $f'(x_0)$ si chiama \emph{derivata di $f$ in $x_0$}.
\end{definizione}

Forma equivalente: ponendo $x = x_0 + h$ (cioè $h = x - x_0$), si ottiene
\[
  f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
\]

\emph{Notazioni}. Sono tutte equivalenti:
\[
  f'(x_0), \qquad \frac{df}{dx}(x_0), \qquad \left.\frac{df}{dx}\right|_{x = x_0}, \qquad Df(x_0), \qquad \dot f(x_0) \;\text{(specialmente se la variabile è il tempo)}.
\]
La notazione $df/dx$ è di Leibniz; $f'$ è di Lagrange; il puntino $\dot f$ è di Newton.

\begin{definizione}[Derivate laterali]
La \emph{derivata destra} di $f$ in $x_0$ è
\[
  f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h};
\]
analogamente la \emph{derivata sinistra} $f'_-(x_0)$. $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se $f'_+(x_0)$ e $f'_-(x_0)$ esistono \emph{finite} e coincidono.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Derivabilità implica continuità]
Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$.
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Per $x \ne x_0$ scriviamo
\[
  f(x) - f(x_0) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \cdot (x - x_0).
\]
Passando al limite per $x \to x_0$: il primo fattore tende a $f'(x_0)$ finito, il secondo a $0$. Dunque $f(x) - f(x_0) \to 0$, cioè $f(x) \to f(x_0)$: $f$ è continua in $x_0$.

\begin{attenzione}
Il \emph{viceversa è falso}: una funzione può essere continua in $x_0$ senza essere ivi derivabile. L'esempio canonico è $f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$: $f$ è continua ovunque (lo è sui due rami e con $\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$), ma le derivate laterali in $0$ valgono $f'_-(0) = -1$ e $f'_+(0) = +1$, dunque diverse: $f$ non è derivabile in $0$. Si parla di \emph{punto angoloso} (\ref{cap:AN-011}).
\end{attenzione}

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\section{Significato geometrico: retta tangente}\label{sec:an-008-04-significato-geometrico-retta-tangente}
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Geometricamente, il rapporto incrementale $R(x_0, h)$ è la pendenza della retta secante per $P_0 = (x_0, f(x_0))$ e $P_h = (x_0 + h, f(x_0 + h))$. Quando $h \to 0$, $P_h \to P_0$ e la retta secante ``ruota'' attorno a $P_0$, avvicinandosi (se il limite esiste) a una posizione limite: la \emph{retta tangente} al grafico in $P_0$.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (5.0, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.3) -- (0, 4.0) node[above] {$y$};
  % parabola y = 0.4 x^2
  \draw[BLU, thick, domain=0.3:4.5, samples=80] plot (\x, {0.4*\x*\x*0.5});
  % punto P0 = (2, 0.8)
  \filldraw[ROSSO] (2, 0.8) circle (2pt);
  \node[ROSSO, below right] at (2, 0.8) {\small $P_0$};
  \draw[GRIGIO!70, dashed] (2, 0) -- (2, 0.8);
  \node[below] at (2, 0) {\small $x_0$};
  % punto Ph = (3.5, 0.4 * 3.5^2 * 0.5) = (3.5, 2.45)
  \filldraw[ARANCIO] (3.5, 2.45) circle (2pt);
  \node[ARANCIO, right] at (3.55, 2.45) {\small $P_h$};
  % secante
  \draw[ARANCIO, thick] (1.0, -0.30) -- (4.5, 3.55);
  \node[ARANCIO, above] at (4.3, 3.4) {\small secante};
  % tangente in P0: y'(2) = 0.4*2*0.5 *2 = 0.8 ; y = 0.8 + 0.8 (x-2) = 0.8x - 0.8
  \draw[VERDE!60!black, thick] (0.5, -0.4) -- (4.5, 2.8);
  \node[VERDE!60!black, above] at (4.3, 2.65) {\small tangente};
  % piccolo triangolino della pendenza locale (opzionale)
  \node[BLU] at (4.2, 4.0) {$f$};
\end{tikzpicture}
\caption{Significato geometrico della derivata. La retta \textbf{secante} (in arancione) passa per $P_0$ e per $P_h$, e ha pendenza $R(x_0, h) = [f(x_0+h) - f(x_0)]/h$. Quando $h \to 0$, $P_h \to P_0$ e la secante si avvicina alla \textbf{tangente} (in verde) al grafico in $P_0$, di pendenza $f'(x_0)$.}
\label{fig:an-008-secante-tangente}
\end{figure}

\begin{formulabox}
\[
  \text{retta tangente a } y = f(x) \text{ in } x_0: \qquad y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0).
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Retta tangente alla parabola]
Trovare la retta tangente al grafico di $f(x) = x^2$ nel punto di ascissa $x_0 = 1$.

Per definizione:
\[
  f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2.
\]
La tangente è $y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1$.
\end{esempio}

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\section{Significato fisico: velocità istantanea}\label{sec:an-008-05-significato-fisico-velocita-istantanea}
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Consideriamo un corpo che si muove lungo una retta, e indichiamo con $s(t)$ la sua posizione all'istante $t$ (in metri, $t$ in secondi). Tra gli istanti $t_0$ e $t_0 + h$ il corpo si sposta di $\Delta s = s(t_0 + h) - s(t_0)$ in un tempo $\Delta t = h$. La \emph{velocità media} nell'intervallo $[t_0, t_0 + h]$ è
\[
  v_{\text{media}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}
\]
e questo è esattamente il rapporto incrementale di $s$ in $t_0$. La \emph{velocità istantanea} all'istante $t_0$ si ottiene facendo tendere $h \to 0$:
\begin{formulabox}
\[
  v(t_0) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h} = s'(t_0).
\]
\end{formulabox}

Era questa l'idea di Newton: la \emph{flussione} di una quantità fluente $s$ è quella che oggi chiameremmo la sua derivata temporale, e si scrive $\dot s$.

Analogamente, l'\emph{accelerazione istantanea} è la derivata della velocità (e dunque la \emph{derivata seconda} della posizione): $a(t) = v'(t) = \ddot s(t)$. Tratteremo le derivate successive nei capitoli successivi.

\begin{esempio}[Velocità istantanea]
Un corpo si muove con legge $s(t) = 3t^2 + 2t$ (con $s$ in metri e $t$ in secondi). Determinare la sua velocità istantanea all'istante $t_0 = 2\,\si{\second}$.

Rapporto incrementale:
\[
  R(2, h) = \frac{3(2+h)^2 + 2(2+h) - (3 \cdot 4 + 4)}{h} = \frac{3(4 + 4h + h^2) + 4 + 2h - 16}{h} = \frac{14h + 3h^2}{h} = 14 + 3h.
\]
Limite per $h \to 0$: $v(2) = \SI{14}{\meter\per\second}$.
\end{esempio}

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\section{Funzione derivata}\label{sec:an-008-06-funzione-derivata}
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Fino a qui la derivata era un \emph{numero}: il valore $f'(x_0)$ associato a un punto. Se $f$ è derivabile in \emph{ogni} punto di un insieme $A \subseteq I$, la corrispondenza $x \mapsto f'(x)$ definisce una nuova funzione.

\begin{definizione}[Funzione derivata]
Sia $A \subseteq I$ l'insieme dei punti in cui $f$ è derivabile. La \emph{funzione derivata} di $f$ è
\[
  f' : A \to \R, \qquad x \mapsto f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.
\]
$f$ si dice \emph{derivabile in $I$} se è derivabile in ogni punto di $I$ (con derivate laterali agli estremi, se inclusi); in tal caso $A = I$.
\end{definizione}

\begin{esempio}[Calcolo della funzione derivata di $f(x) = x^2$ tramite definizione]
\[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x.
\]
Funzione derivata: $f'(x) = 2x$ per ogni $x \in \R$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata della funzione costante]
$f(x) = c$ con $c \in \R$. Per ogni $x$:
\[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0.
\]
La funzione costante ha derivata nulla ovunque. (Geometricamente: pendenza $0$, retta orizzontale.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata della funzione identità]
$f(x) = x$. Per ogni $x$:
\[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1.
\]
$f'(x) = 1$. (Geometricamente: la retta $y = x$ ha pendenza $1$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata di $\sen x$ tramite limiti notevoli]
Per ogni $x \in \R$:
\[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sen(x+h) - \sen x}{h}.
\]
Per la formula di addizione: $\sen(x+h) = \sen x \cos h + \cos x \sen h$. Quindi
\[
  \frac{\sen(x+h) - \sen x}{h} = \sen x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sen h}{h}.
\]
Usando i limiti notevoli $\lim_{h \to 0} (\cos h - 1)/h = 0$ e $\lim_{h \to 0} \sen h / h = 1$ (\ref{cap:AN-004}):
\[
  f'(x) = \sen x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x.
\]
Si conclude $D(\sen x) = \cos x$.
\end{esempio}

\medskip

Le \emph{regole pratiche} per calcolare le derivate delle funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche) e le \emph{regole di combinazione} (somma, prodotto, quoziente, composizione) sono raccolte nei due capitoli successivi: \ref{cap:AN-009} e \ref{cap:AN-010}. Da quel momento in poi si lavorerà con la tabella e non più con il limite del rapporto incrementale, riservato a casi di studio teorico o quando si vuole calcolare la derivata in un \emph{singolo} punto critico (per esempio, decidere se una funzione definita a tratti è derivabile nel punto di raccordo).

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-008-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Funzione derivata di $f(x) = 1/x$ tramite definizione]
\[
  f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left[ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\right] = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}.
\]
Quindi $f'(x) = -1/x^2$ per ogni $x \ne 0$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata di $f(x) = \sqrt{x}$ in $x_0 = 4$]
Per $h$ piccolo (positivo o negativo, purché $4 + h > 0$):
\[
  R(4, h) = \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.
\]
\emph{Razionalizziamo} moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{4+h} + 2$:
\[
  R(4, h) = \frac{(4+h) - 4}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \frac{h}{h(\sqrt{4+h} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{4+h} + 2} \;\to\; \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}.
\]
Quindi $f'(4) = 1/4$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Retta tangente a una parabola in un punto generico]
Sia $f(x) = -x^2 + 4x + 1$. Determinare l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa $x_0 = 1$.

\emph{Derivata}: come visto nell'esempio precedente, $D(x^2) = 2x$; la regola della somma (che useremo formalmente nel prossimo capitolo) dà $f'(x) = -2x + 4$. Quindi $f'(1) = -2 + 4 = 2$ e $f(1) = -1 + 4 + 1 = 4$.

\emph{Tangente}: $y = 4 + 2(x - 1) = 2x + 2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione non derivabile: valore assoluto]
Mostrare che $f(x) = |x|$ non è derivabile in $x_0 = 0$ usando le derivate laterali.

\emph{Derivata destra}: per $h > 0$, $|h| = h$, dunque
\[
  f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1.
\]
\emph{Derivata sinistra}: per $h < 0$, $|h| = -h$, dunque
\[
  f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1.
\]
$f'_+(0) = 1 \ne -1 = f'_-(0)$: $f$ non è derivabile in $0$. Geometricamente, il grafico di $|x|$ presenta un \emph{angolo} (vertice della ``V'') in $x = 0$. È continua, però, e questo conferma che continuità non implica derivabilità.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Posizione, velocità e accelerazione]
Il moto di un punto materiale lungo l'asse $x$ è descritto da $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (con $s$ in metri, $t$ in secondi). Calcolare velocità e accelerazione all'istante $t_0 = 1\,\si{\second}$ usando la definizione di derivata.

\emph{Velocità.}
\[
  v(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 - 6(1+h)^2 + 9(1+h) - (1 - 6 + 9)}{h}.
\]
Espandiamo $(1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3$ e $(1+h)^2 = 1 + 2h + h^2$:
\[
  s(1+h) = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 - 6 - 12h - 6h^2 + 9 + 9h = 4 + 0 \cdot h - 3h^2 + h^3.
\]
Dunque $s(1+h) - s(1) = s(1+h) - 4 = -3h^2 + h^3$ (il coefficiente di $h$ è nullo!), e $v(1) = \lim_{h \to 0} (-3h + h^2) = 0\,\si{\meter\per\second}$.

\emph{Accelerazione.} Servirebbe calcolare $v(t)$ in generale e poi farne la derivata, oppure usare il limite del rapporto incrementale di $v$. Calcolando con le regole (cfr.~\ref{cap:AN-009}) si trova $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ e $a(t) = 6t - 12$, da cui $a(1) = -6\,\si{\meter\per\second\squared}$.

\emph{Interpretazione}: in $t_0 = 1\,\si{\second}$ il corpo è momentaneamente fermo (velocità nulla), ma sta decelerando: subito dopo si muoverà in direzione opposta a quella di partenza.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Continuità senza derivabilità: cuspide]
Sia $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Studiare la derivabilità in $x_0 = 0$.

\emph{Continuità}: $\lim_{x \to 0} x^{2/3} = 0 = f(0)$, continua. \emph{Derivata}:
\[
  f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^{2/3} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} h^{-1/3} = +\infty,
\]
\[
  f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{h^{2/3}}{h} = \lim_{h \to 0^-} h^{-1/3} = -\infty.
\]
Le derivate laterali esistono ma sono infinite e di segno opposto: $f$ \emph{non} è derivabile in $0$. Si parla di \emph{cuspide} (\ref{cap:AN-011}); geometricamente il grafico forma una ``punta'' in $0$ con tangente verticale di doppia direzione.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-008-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare, usando la definizione, $f'(1)$ per $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$.
  \item Calcolare, usando la definizione, $f'(x)$ per $f(x) = 5 - 2x$ (deve risultare costante).
  \item Calcolare, usando la definizione, $f'(x)$ per $f(x) = x^3$. \emph{Suggerimento:} $(x+h)^3 - x^3 = 3x^2 h + 3xh^2 + h^3$.
  \item Calcolare, usando la definizione, $f'(0)$ per $f(x) = \sqrt{x+1}$. \emph{Suggerimento:} razionalizzare.
  \item Calcolare, usando la definizione, $f'(x)$ per $f(x) = 1/x^2$.
  \item Determinare l'equazione della retta tangente al grafico di $f(x) = x^2 + 3x$ nel punto di ascissa $x_0 = -1$.
  \item Determinare i punti del grafico di $f(x) = x^3 - 3x$ in cui la tangente è orizzontale (cioè $f'(x_0) = 0$). \emph{Suggerimento:} usare $f'(x) = 3x^2 - 3$.
  \item Un corpo si muove con legge oraria $s(t) = 2t^2 + 5t + 1$ (SI). Calcolare la velocità istantanea agli istanti $t = 0\,\si{\second}$, $t = 1\,\si{\second}$, $t = 3\,\si{\second}$.
  \item Stabilire se le seguenti funzioni sono derivabili in $x_0 = 0$, calcolando le derivate laterali:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = |x - 0| = |x|$;
    \item $f(x) = x \cdot |x|$;
    \item $f(x) = \sqrt[3]{x}$.
  \end{enumerate}
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \le 1 \\ ax + b & x > 1\end{cases}$. Determinare $a, b \in \R$ in modo che $f$ sia derivabile in $x = 1$. \emph{Suggerimento:} servono due condizioni, continuità e uguaglianza delle derivate laterali.
  \item Calcolare $f'(\pi/4)$ per $f(x) = \cos x$ tramite la definizione e i limiti notevoli (analogamente all'esempio del seno fatto a lezione).
  \item Mostrare che la funzione $f(x) = \begin{cases} x \sen(1/x) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$ è continua in $0$ ma \emph{non} derivabile in $0$. \emph{Suggerimento:} il rapporto incrementale $\sen(1/h)$ oscilla.
  \item Trovare le ascisse dei punti del grafico di $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ in cui la tangente è parallela alla retta $y = -3x + 5$.
  \item Sia $f$ derivabile in $x_0$. Dimostrare che
  \[
    \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{2h} = f'(x_0).
  \]
  \emph{Suggerimento:} scomporre $f(x_0+h) - f(x_0-h) = [f(x_0+h) - f(x_0)] + [f(x_0) - f(x_0-h)]$.
  \item \emph{Sfida.} Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 \sen(1/x) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$. Dimostrare che $f$ è derivabile in $0$ e calcolare $f'(0)$ tramite la definizione. \emph{Suggerimento:} usare il teorema del confronto sul rapporto incrementale $h \sen(1/h)$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-008-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Rapporto incrementale} di $f$ in $x_0$ relativo a $h \ne 0$:
  \[
    R(x_0, h) = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  \]
  È la pendenza della retta secante per $(x_0, f(x_0))$ e $(x_0 + h, f(x_0 + h))$.
  \item \emph{Derivata in un punto}: $\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ (se esiste finito). Equivalentemente, $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)]/(x - x_0)$. Notazioni: $f'(x_0)$, $df/dx(x_0)$, $\dot f(x_0)$.
  \item \emph{Derivate laterali}: $f'_+(x_0)$ e $f'_-(x_0)$ (limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra). $f$ è derivabile in $x_0$ $\Leftrightarrow$ $f'_+(x_0) = f'_-(x_0) \in \R$.
  \item \emph{Derivabilità $\Rightarrow$ continuità}, ma il viceversa è falso: $f(x) = |x|$ è continua e non derivabile in $0$ (punto angoloso), $f(x) = x^{2/3}$ è continua e non derivabile in $0$ (cuspide).
  \item \emph{Significato geometrico}: $f'(x_0)$ è la pendenza della retta tangente al grafico in $(x_0, f(x_0))$. Equazione della tangente:
  \[
    y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).
  \]
  \item \emph{Significato fisico}: se $s(t)$ è la posizione, $v(t) = s'(t)$ è la velocità istantanea (Newton la chiamava \emph{flussione}); $a(t) = v'(t) = \ddot s(t)$ è l'accelerazione istantanea.
  \item \emph{Funzione derivata}: $f' : A \to \R$, dove $A \subseteq I$ è l'insieme dei punti di derivabilità. Esempi calcolati tramite definizione:
  \begin{itemize}
    \item $D(c) = 0$; $D(x) = 1$; $D(x^2) = 2x$;
    \item $D(1/x) = -1/x^2$ per $x \ne 0$; $D(\sqrt{x}) = 1/(2\sqrt{x})$ per $x > 0$;
    \item $D(\sen x) = \cos x$ (via formula di addizione e limiti notevoli).
  \end{itemize}
  Le regole pratiche e le derivate di tutte le funzioni elementari sono raccolte in \ref{cap:AN-009}; la derivata di funzione composta e inversa in \ref{cap:AN-010}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}