\chapter{Derivata della funzione composta e della funzione inversa}\label{cap:AN-010}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-010-derivata-funzione-composta-inversa}
\geesexercises{mt24}
\sorgentecap{AN-010}
\matematika{AN-010}
  Quando $y$ è funzione di $x$, e $x$ è funzione di $t$, il differenziale di $y$ rispetto a $t$ si trova moltiplicando il coefficiente differenziale di $y$ rispetto a $x$ per il coefficiente differenziale di $x$ rispetto a $t$.%
}{Leonhard Euler, \emph{Institutiones calculi differentialis} (1755), traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-010-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:AN-009}) abbiamo costruito la tabella delle derivate elementari e le regole di linearità, prodotto e quoziente. Mancano due strumenti fondamentali, senza i quali interi gruppi di funzioni resterebbero fuori portata:
\begin{itemize}
  \item la \emph{derivata di una composizione}, $g(f(x))$ --- es.~$\sen(x^2)$, $e^{-x^2}$, $\ln(1+x^2)$, $\sqrt{x^2+1}$;
  \item la \emph{derivata di una funzione inversa}, da cui ricaveremo le derivate di $\arcsen x$, $\arccos x$, $\arctg x$ e, rigorosamente, $D(x^\alpha)$ per esponente reale e $D(a^x)$ per base $a > 0$.
\end{itemize}
Le due formule sono strettamente collegate: la derivata della funzione inversa si \emph{dimostra} usando la \emph{chain rule}.

A queste si affianca una \emph{tecnica}: la \emph{derivata logaritmica}, che applica $\ln$ a entrambi i membri prima di derivare. È indispensabile per funzioni del tipo $f(x)^{g(x)}$ (base \emph{e} esponente variabili).

La regola sulla composizione fu formulata sistematicamente da Leonhard Euler (1707--1783) nelle \emph{Institutiones calculi differentialis} del 1755, dove appare già in una forma che riconosceremmo oggi. La notazione frazionale di Leibniz $dy/dx$ rende la regola particolarmente intuitiva: \emph{i differenziali si moltiplicano come frazioni}.

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\section{Derivata della funzione composta (chain rule)}\label{sec:an-010-02-derivata-della-funzione-composta-chain-rule}
\flashsec{AN-010-derivata-funzione-composta-inversa}{02}
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\begin{teorema}[Chain rule]\indiceauto{chain rule@Chain rule|textbf}Siano $f : I \to \R$ derivabile in $x_0 \in I$ e $g : J \to \R$ derivabile in $y_0 = f(x_0)$, con $f(I) \subseteq J$. Allora la funzione composta $h(x) = g(f(x))$ è derivabile in $x_0$ e
\begin{formulabox}
\[
  h'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0).
\]
\end{formulabox}
\end{teorema}

\emph{Notazione di Leibniz.} Se poniamo $u = f(x)$ e $y = g(u)$, allora $y = g(f(x))$ è funzione di $x$ tramite $u$, e la formula si scrive:
\[
  \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
\]
La regola è suggerita dalla \emph{cancellazione formale} dei $du$: comoda mnemonica, anche se non è una vera frazione.

\textit{Dimostrazione (idea).} Per $h \ne 0$ vicino a $0$ tale che $f(x_0 + h) \ne f(x_0)$, possiamo scrivere
\[
  \frac{g(f(x_0+h)) - g(f(x_0))}{h} = \frac{g(f(x_0+h)) - g(f(x_0))}{f(x_0+h) - f(x_0)} \cdot \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}.
\]
Quando $h \to 0$: $f$ è continua in $x_0$ (perché derivabile), dunque $f(x_0+h) \to f(x_0) = y_0$; il primo fattore tende a $g'(y_0)$, il secondo a $f'(x_0)$. Il prodotto tende dunque a $g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)$. Il caso $f(x_0 + h) = f(x_0)$ richiede una trattazione separata che omettiamo.

\begin{esempio}[$D(\sen(x^2))$]
$y = \sen(x^2)$ è composta: $y = \sen u$ con $u = x^2$. Allora $dy/du = \cos u$ e $du/dx = 2x$, quindi
\[
  D(\sen(x^2)) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2).
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[$D(e^{-x^2})$]
$y = e^u$ con $u = -x^2$. $dy/du = e^u$, $du/dx = -2x$:
\[
  D(e^{-x^2}) = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x \, e^{-x^2}.
\]
(Questa è la derivata della celebre gaussiana, fondamentale in probabilità.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[$D((3x+1)^5)$]
$y = u^5$ con $u = 3x + 1$. $dy/du = 5 u^4$, $du/dx = 3$:
\[
  D((3x+1)^5) = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4.
\]
Senza chain rule si sarebbe dovuto sviluppare la potenza, derivare termine a termine, semplificare: chain rule è imbattibile.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$D(\ln(\cos x))$]
$y = \ln u$ con $u = \cos x$. $dy/du = 1/u$, $du/dx = -\sen x$:
\[
  D(\ln(\cos x)) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sen x) = -\tg x.
\]
\end{esempio}

\emph{Composizione di tre o più funzioni.} La chain rule si itera. Se $y = f(g(h(x)))$:
\[
  \frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x).
\]

\begin{esempio}[Composizione tripla]
$y = \sen(\sqrt{1 + x^2})$. Funzioni interne: $h(x) = 1 + x^2$, $g(u) = \sqrt{u}$, $f(v) = \sen v$.
\[
  y' = \cos\!\left(\sqrt{1 + x^2}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x \cos\!\left(\sqrt{1 + x^2}\right)}{\sqrt{1 + x^2}}.
\]
\end{esempio}

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\section{Derivata della funzione inversa}\label{sec:an-010-03-derivata-della-funzione-inversa}
\flashsec{AN-010-derivata-funzione-composta-inversa}{03}
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\begin{teorema}[Derivata della funzione inversa]\indiceauto{derivata della funzione inversa@Derivata della funzione inversa|textbf}Sia $f : I \to \R$ continua e \emph{strettamente monotona} in un intorno di $x_0 \in I$, derivabile in $x_0$ con $f'(x_0) \ne 0$. Sia $g = f^{-1}$ la funzione inversa, definita su $J = f(I)$. Allora $g$ è derivabile in $y_0 = f(x_0)$ e
\begin{formulabox}
\[
  g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}.
\]
\end{formulabox}
In notazione di Leibniz, posto $y = f(x)$:
\[
  \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Per definizione di inversa, $f(g(y)) = y$ per ogni $y \in J$. Derivando entrambi i membri rispetto a $y$ con la chain rule (ammettendo per ora che $g$ sia derivabile):
\[
  f'(g(y)) \cdot g'(y) = 1 \;\Longrightarrow\; g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}.
\]
In $y = y_0$: $g'(y_0) = 1/f'(g(y_0)) = 1/f'(x_0)$.

\emph{Interpretazione geometrica.} Il grafico di $f^{-1}$ è il riflesso del grafico di $f$ rispetto alla bisettrice $y = x$. Una retta di pendenza $m$ si riflette in una di pendenza $1/m$. Quindi la tangente al grafico di $f^{-1}$ in $(y_0, x_0)$ ha pendenza $1/m$ se la tangente al grafico di $f$ in $(x_0, y_0)$ ha pendenza $m$. Da qui $g'(y_0) = 1/f'(x_0)$.

\begin{attenzione}
La condizione $f'(x_0) \ne 0$ è essenziale: se $f'(x_0) = 0$ allora la tangente al grafico di $f$ è orizzontale, dunque la tangente al grafico di $f^{-1}$ è verticale e $f^{-1}$ \emph{non} è derivabile in $y_0$ (anche se può essere continua). Esempio: $f(x) = x^3$ in $x_0 = 0$ ha $f'(0) = 0$, e $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$ ha tangente verticale in $y_0 = 0$.
\end{attenzione}

\begin{esempio}[$D(\ln x)$ dalla derivata di $e^x$]
Sia $f(x) = e^x$, $f^{-1}(y) = \ln y$. $f'(x) = e^x$ non si annulla mai, dunque $f^{-1}$ è derivabile su $(0, +\infty)$ e
\[
  (\ln y)' = \frac{1}{f'(\ln y)} = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.
\]
Ritroviamo $D(\ln x) = 1/x$ senza passare dal limite notevole.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata della radice $n$-esima]
Sia $f(x) = x^n$, $n \in \N$, $n \ge 1$. La funzione $f$ è strettamente crescente per $x > 0$, inversa $f^{-1}(y) = \sqrt[n]{y} = y^{1/n}$. $f'(x) = n x^{n-1}$, non nulla per $x > 0$:
\[
  D(\sqrt[n]{y}) = \frac{1}{n \, (\sqrt[n]{y})^{n-1}} = \frac{1}{n} \, y^{(1-n)/n} = \frac{1}{n} y^{1/n - 1}.
\]
Confermiamo la formula $D(y^{1/n}) = (1/n) y^{1/n - 1}$, casi particolari di $D(y^\alpha) = \alpha y^{\alpha-1}$.
\end{esempio}

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\section{Derivate delle funzioni goniometriche inverse}\label{sec:an-010-04-derivate-di-funzioni-goniometriche-inverse}
\flashsec{AN-010-derivata-funzione-composta-inversa}{04}
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Applichiamo la formula dell'inversa alle restrizioni delle funzioni goniometriche su intervalli in cui sono monotone.

\begin{teorema}[Derivate di $\arcsen$ e $\arccos$]\indiceauto{derivate di e@Derivate di e|textbf}Per ogni $x \in (-1, 1)$:
\begin{formulabox}
\[
  D(\arcsen x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad D(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.
\]
\end{formulabox}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (arcseno).} $\sen$ è strettamente crescente su $[-\pi/2, \pi/2]$, con immagine $[-1, 1]$. L'inversa $\arcsen : [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi/2]$. Per $x \in (-1, 1)$, $y = \arcsen x$ implica $x = \sen y$ con $y \in (-\pi/2, \pi/2)$, dove $\cos y > 0$. Per la regola dell'inversa:
\[
  D(\arcsen x) = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sen^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.
\]
(Si usa $\cos y > 0$ per togliere il valore assoluto dalla radice.)

\textit{Dimostrazione (arccoseno).} Analoga, su $[0, \pi]$ dove $\cos$ è strettamente decrescente. La derivata di $\arccos$ ha lo stesso modulo ma segno opposto.

\begin{teorema}[Derivata di $\arctg$ e $\operatorname{arccot}$]\indiceauto{derivata di e arccot@Derivata di e arccot|textbf}Per ogni $x \in \R$:
\begin{formulabox}
\[
  D(\arctg x) = \frac{1}{1 + x^2}, \qquad D(\operatorname{arccot} x) = -\frac{1}{1 + x^2}.
\]
\end{formulabox}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (arctan).} $\tg$ è strettamente crescente su $(-\pi/2, \pi/2)$. L'inversa $\arctg : \R \to (-\pi/2, \pi/2)$. Per $y = \arctg x$, $x = \tg y$ e $D(\tg y) = 1 + \tg^2 y$:
\[
  D(\arctg x) = \frac{1}{1 + \tg^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}.
\]

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\section{Derivata logaritmica}\label{sec:an-010-05-derivata-logaritmica}
\flashsec{AN-010-derivata-funzione-composta-inversa}{05}
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La \emph{derivata logaritmica} è una tecnica che applica $\ln$ a entrambi i membri prima di derivare. Si rivela cruciale per due classi di funzioni:
\begin{itemize}
  \item funzioni del tipo $f(x)^{g(x)}$ (\emph{base e esponente entrambi variabili});
  \item potenze a esponente reale $x^\alpha$ con $\alpha \in \R$, di cui non avevamo ancora dato dimostrazione completa.
\end{itemize}

\begin{procedura}[Metodo della derivata logaritmica]
Per derivare $y = f(x)^{g(x)}$:
\begin{enumerate}
  \item Applicare $\ln$ (per $f(x) > 0$): $\ln y = g(x) \ln f(x)$.
  \item Derivare entrambi i membri (chain rule a sinistra, prodotto a destra):
  \[
    \frac{y'}{y} = g'(x) \ln f(x) + g(x) \frac{f'(x)}{f(x)}.
  \]
  \item Isolare $y'$ moltiplicando per $y = f(x)^{g(x)}$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Derivata di $y = x^x$, $x > 0$]
$\ln y = x \ln x$. Deriviamo:
\[
  \frac{y'}{y} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.
\]
Quindi $y' = x^x (\ln x + 1)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata di $y = (\sen x)^x$, per $x \in (0, \pi)$]
$\ln y = x \ln(\sen x)$. Deriviamo:
\[
  \frac{y'}{y} = \ln(\sen x) + x \cdot \frac{\cos x}{\sen x} = \ln(\sen x) + x \cotg x.
\]
Quindi $y' = (\sen x)^x \, [\ln(\sen x) + x \cotg x]$.
\end{esempio}

\begin{teorema}[Derivata della potenza a esponente reale]\indiceauto{derivata della potenza a esponente reale@Derivata della potenza a esponente reale|textbf}Per ogni $\alpha \in \R$ e ogni $x > 0$:
\[
  D(x^\alpha) = \alpha \, x^{\alpha - 1}.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Scriviamo $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ (definizione di potenza a esponente reale). Per chain rule:
\[
  D(x^\alpha) = e^{\alpha \ln x} \cdot \alpha \cdot \frac{1}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha \, x^{\alpha - 1}.
\]
La formula è uniforme per $\alpha$ qualsiasi (naturale, intero, razionale, irrazionale): adesso ne abbiamo una dimostrazione \emph{unica}.

\begin{teorema}[Derivata di $a^x$]\indiceauto{derivata di a x@Derivata di $a^x$|textbf}Per ogni $a > 0$ e ogni $x \in \R$:
\[
  D(a^x) = a^x \ln a.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Scriviamo $a^x = e^{x \ln a}$. Per chain rule:
\[
  D(a^x) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a.
\]

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-010-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Funzione razionale composta]
$f(x) = \dfrac{1}{(x^2 + 1)^3}$. Riscriviamo $f(x) = (x^2 + 1)^{-3}$ e applichiamo chain rule:
\[
  f'(x) = -3 (x^2 + 1)^{-4} \cdot 2x = -\frac{6x}{(x^2 + 1)^4}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Composizione con radice]
$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ per $x \in (-1, 1)$. Posto $u = 1 - x^2$, $f = u^{1/2}$:
\[
  f'(x) = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}.
\]
\emph{Interpretazione}: il grafico di $f$ è la semicirconferenza superiore di raggio $1$. In $x = 0$ la tangente è orizzontale ($f'(0) = 0$), in $x \to \pm 1$ la pendenza tende a $\mp\infty$ (tangenti verticali).
\end{esempio}

\begin{esempio}[$D(\arctg(\sqrt{x}))$ per $x > 0$]
Posto $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$:
\[
  D(\arctg(\sqrt{x})) = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{(1 + x) \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1 + x)}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Esponenziale di una composizione]
$f(x) = e^{\sen x}$. Posto $u = \sen x$:
\[
  f'(x) = e^{\sen x} \cdot \cos x.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Logaritmo di una somma]
$f(x) = \ln(1 + e^x)$. Posto $u = 1 + e^x$:
\[
  f'(x) = \frac{1}{1 + e^x} \cdot e^x = \frac{e^x}{1 + e^x}.
\]
\emph{Curiosità}: la funzione $f(x) = \ln(1 + e^x)$ è la cosiddetta \emph{softplus}, molto usata nelle reti neurali; la sua derivata $e^x/(1+e^x)$ è la celebre \emph{funzione logistica} $\sigma(x) = 1/(1 + e^{-x})$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Derivata logaritmica per un prodotto complesso]
$f(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^3 \, (2x - 1)^5}{\sqrt{x + 3}}$. Calcolo diretto: si applicherebbero prodotto e quoziente, generando un'espressione mostruosa. \emph{Derivata logaritmica}:
\[
  \ln |f(x)| = 3 \ln(x^2 + 1) + 5 \ln|2x - 1| - \frac{1}{2} \ln|x + 3|.
\]
Derivando:
\[
  \frac{f'(x)}{f(x)} = 3 \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} + 5 \cdot \frac{2}{2x - 1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3} = \frac{6x}{x^2 + 1} + \frac{10}{2x - 1} - \frac{1}{2(x + 3)}.
\]
Da cui $f'(x) = f(x) \cdot [\ldots]$. La derivata logaritmica trasforma prodotti/quozienti in somme: una semplificazione notevole nei calcoli pesanti.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Composizione tripla con tre funzioni elementari]
$f(x) = \sen(\ln(x^2 + 1))$. Catena: $h(x) = x^2 + 1$, $g(u) = \ln u$, $\sen$ esterno.
\[
  f'(x) = \cos(\ln(x^2 + 1)) \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x \cos(\ln(x^2 + 1))}{x^2 + 1}.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-010-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare la derivata delle seguenti funzioni (\emph{chain rule}):
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = (2x^2 - 5x + 1)^4$;
    \item $f(x) = \sqrt{3x^2 + 1}$;
    \item $f(x) = \cos(3x + 1)$;
    \item $f(x) = e^{-3x}$;
    \item $f(x) = \ln(2x^2 + 1)$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = \tg(x^2)$.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = \arcsen(2x)$. Indicare il dominio della derivata.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = \arctg(1/x)$ per $x \ne 0$. \emph{Domanda extra:} confrontare con $\arctg x + \arctg(1/x)$ su $(0, +\infty)$ e ricavare un'identità.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = \sqrt{\sen x}$, indicando il dominio.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ per $|x| > 1$.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = \ln\!\left(\dfrac{1 + x}{1 - x}\right)$ per $|x| < 1$.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = e^{x^2} \cos(3x)$ usando prodotto + chain rule.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = x^{1/x}$ con $x > 0$ tramite derivata logaritmica.
  \item Calcolare $D(f(x))$ per $f(x) = (1 + x^2)^{\sen x}$ tramite derivata logaritmica.
  \item Determinare la retta tangente al grafico di $f(x) = \arctg(x^2)$ nel punto di ascissa $x_0 = 1$.
  \item Determinare i punti del grafico di $f(x) = e^{-x^2}$ in cui la tangente è orizzontale. \emph{Verifica}: dovrebbero risultare i punti di massimo della gaussiana.
  \item Sia $f(x) = \sqrt[3]{x}$. Mostrare, usando la formula della derivata dell'inversa, che $f'(x) = 1/(3 \sqrt[3]{x^2})$ per $x \ne 0$. Studiare il comportamento per $x \to 0$.
  \item \emph{Derivata di $\operatorname{arccot}$}. Dimostrare che $D(\operatorname{arccot} x) = -1/(1 + x^2)$ partendo dalla definizione di $\operatorname{arccot}$ come inversa di $\cotg$ su $(0, \pi)$.
  \item \emph{Sfida.} Sia $f : \R \to \R$ derivabile, biiettiva, con $f(2) = 5$ e $f'(2) = 3$. Determinare l'equazione della retta tangente al grafico di $f^{-1}$ nel punto di ascissa $y = 5$. \emph{Suggerimento:} usare $(f^{-1})'(5) = 1/f'(f^{-1}(5))$ e $f^{-1}(5) = 2$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-010-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Chain rule}. Se $h(x) = g(f(x))$ con $f$ derivabile in $x_0$ e $g$ derivabile in $f(x_0)$:
  \[
    h'(x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0); \qquad \text{Leibniz: } \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.
  \]
  Si itera in modo naturale a composizioni triple, quadruple, ecc.
  \item \emph{Derivata della funzione inversa}. Se $f$ è continua e strettamente monotona, derivabile in $x_0$ con $f'(x_0) \ne 0$, e $g = f^{-1}$:
  \[
    g'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}; \qquad \text{Leibniz: } \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.
  \]
  Conseguenze geometriche: la tangente al grafico di $f^{-1}$ è la riflessione, rispetto alla bisettrice $y=x$, della tangente al grafico di $f$; le pendenze sono reciproche.
  \item \emph{Derivate delle goniometriche inverse}:
  \[
    D(\arcsen x) = \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad D(\arccos x) = -\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad D(\arctg x) = \tfrac{1}{1+x^2}, \quad D(\operatorname{arccot} x) = -\tfrac{1}{1+x^2}.
  \]
  \item \emph{Derivata logaritmica}. Tecnica per derivare $y = f(x)^{g(x)}$ con base \emph{e} esponente variabili: si applica $\ln$ a entrambi i membri, si deriva, si isola $y'$. Casi particolari: $D(x^x) = x^x (\ln x + 1)$.
  \item \emph{Formule completate} grazie a chain rule + logaritmica:
  \[
    D(x^\alpha) = \alpha \, x^{\alpha-1} \text{ per ogni } \alpha \in \R, \quad x > 0; \qquad D(a^x) = a^x \ln a \text{ per ogni } a > 0.
  \]
  Le rispettive dimostrazioni passano da $x^\alpha = e^{\alpha \ln x}$ e $a^x = e^{x \ln a}$.
  \item \emph{Tabella estesa delle derivate}. Sommando i risultati di \ref{cap:AN-009} e di questo capitolo, si dispone ora di una tabella completa di derivate per tutte le funzioni elementari, comprese le loro composizioni e inverse. È lo strumento di lavoro per lo studio di funzione (\ref{cap:AN-016}) e per il calcolo integrale.
\end{itemize}
\end{riepilogo}