\chapter{Punti di non derivabilità: angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale}\label{cap:AN-011}

\citazioneinizio{%
  Esistono funzioni continue che non sono derivabili in nessun punto.%
}{Karl Weierstrass, comunicazione all'Accademia di Berlino, 18 luglio 1872 (traduzione adattata)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-011-01-introduzione-motivazionale}
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Nel \ref{cap:AN-008} abbiamo dimostrato che la \emph{derivabilità implica la continuità}, ma non viceversa: una funzione può essere continua in $x_0$ senza essere ivi derivabile. Abbiamo già incontrato due esempi:
\begin{itemize}
  \item $f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$, dove le derivate laterali sono finite ma diverse ($-1$ e $+1$): grafico ``a V'';
  \item $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ in $x_0 = 0$, dove le derivate laterali sono infinite e di segno opposto: grafico a ``punta'' rivolta verso il basso.
\end{itemize}

In questo capitolo classifichiamo \emph{sistematicamente} i punti di non derivabilità di una funzione continua, studiando il comportamento delle due derivate laterali $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$. Tre situazioni si distinguono in modo netto e hanno nomi propri:
\begin{itemize}
  \item \emph{punto angoloso} (\ref{sec:an-011-03-punti-angolosi}): derivate laterali finite e diverse;
  \item \emph{cuspide} (\ref{sec:an-011-04-cuspidi}): derivate laterali infinite di segno opposto;
  \item \emph{flesso a tangente verticale} (\ref{sec:an-011-05-flessi-a-tangente-verticale}): derivate laterali infinite dello stesso segno.
\end{itemize}

La diagnosi del tipo di non derivabilità è uno degli strumenti diretti dello studio di funzione (\ref{cap:AN-016}), perché informa sulla forma del grafico nei punti ``problematici''.

\emph{Una curiosità storica.} Il sospetto che ogni funzione ``ragionevole'' continua dovesse essere derivabile almeno in molti punti era ben radicato nell'analisi del primo Ottocento. Fu Karl Weierstrass, in una comunicazione all'Accademia di Berlino il 18 luglio 1872, a esibire una \emph{funzione continua ovunque ma non derivabile in nessun punto}:
\[
  W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x), \qquad 0 < a < 1, \quad b \in \N \text{ dispari}, \quad ab > 1 + \tfrac{3\pi}{2}.
\]
Il grafico di $W$ è \emph{frattale}: ingrandendolo, in ogni intorno di ogni punto continua a oscillare con la stessa irregolarità. Funzioni come questa --- ``mostri'' analitici per i contemporanei --- diventeranno modello standard per moto browniano, segnali rumorosi e frattali nel Novecento.

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\section{Continuità e derivabilità}\label{sec:an-011-02-continuita-e-derivabilita}
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Riprendiamo, per chiarezza, il risultato chiave già visto in \ref{cap:AN-008}.

\begin{teorema}[Derivabilità implica continuità]
Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$. \emph{Il viceversa non vale}.
\end{teorema}

\emph{Conseguenza pratica.} Se in $x_0$ una funzione $f$ non è continua, allora certamente non è derivabile (e non ha senso parlare di angolosi/cuspidi/flessi). Lo studio dei punti di non derivabilità si svolge dunque dentro l'insieme dei punti di \emph{continuità}: si parte da $f$ continua in $x_0$, e si guarda se $f$ è anche derivabile lì.

\emph{Strategia di diagnosi}. Per studiare la derivabilità di $f$ in $x_0$ in cui $f$ è continua, calcoliamo le \emph{derivate laterali}
\[
  f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}, \qquad f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}.
\]
A seconda dei loro valori, distinguiamo quattro casi:

\begin{procedura}[Diagnosi del comportamento in un punto di continuità $x_0$]
\begin{enumerate}
  \item Se $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$ esistono finite e \emph{coincidono}: $f$ è derivabile in $x_0$. Nessun problema.
  \item Se entrambe esistono finite ma \emph{differiscono}: $x_0$ è un \emph{punto angoloso}.
  \item Se entrambe sono infinite, ma di \emph{segno opposto} (una $+\infty$, l'altra $-\infty$): $x_0$ è una \emph{cuspide}.
  \item Se entrambe sono infinite e dello \emph{stesso segno}: $x_0$ è un \emph{flesso a tangente verticale}.
\end{enumerate}
Restano casi residui (per esempio: una laterale finita, l'altra infinita; oppure una laterale non esiste perché oscilla), che si trattano caso per caso e non hanno nome standard.
\end{procedura}

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\section{Punti angolosi}\label{sec:an-011-03-punti-angolosi}
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\begin{definizione}[Punto angoloso]
Sia $f$ continua in $x_0$. Si dice che $x_0$ è un \emph{punto angoloso} per $f$ se le derivate laterali $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$ esistono \emph{finite}, ma $f'_-(x_0) \ne f'_+(x_0)$.
\end{definizione}

Geometricamente, il grafico ha in $(x_0, f(x_0))$ \emph{due semitangenti} ben definite, una a sinistra di pendenza $f'_-(x_0)$ e una a destra di pendenza $f'_+(x_0)$, che si raccordano formando un ``angolo''.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % --- pannello sinistro: |x|
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[->, GRIGIO!60] (-2.5, 0) -- (2.7, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.4) -- (0, 2.5) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick] (-2.2, 2.2) -- (0, 0) -- (2.2, 2.2);
    \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
    \node[below] at (0, -0.1) {\small $x_0 = 0$};
    \node[BLU] at (2.0, 2.5) {$|x|$};
    \node[below=10pt] at (0, -0.5) {\small angoloso ``a V''};
  \end{scope}
  % --- pannello destro: funzione a tratti con derivate -1 e 3
  \begin{scope}[xshift=7cm]
    \draw[->, GRIGIO!60] (-2.5, 0) -- (2.7, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.4) -- (0, 2.5) node[above] {$y$};
    % per x<=0: y = -x + 1 (semitangente pendenza -1)
    \draw[BLU, thick, domain=-2.0:0, samples=2] plot (\x, {1 - \x});
    % per x>0: y = 3x + 1 (semitangente pendenza 3)... ma sale troppo
    \draw[BLU, thick, domain=0:0.5, samples=2] plot (\x, {1 + 3*\x});
    \draw[BLU, thick, domain=0.5:1.5, samples=20] plot (\x, {1 + 3*0.5 + 1.5*(\x-0.5)});
    \filldraw[ROSSO] (0, 1) circle (2pt);
    \node[below] at (0, -0.1) {\small $x_0$};
    \node[below=10pt] at (0, -0.5) {\small angoloso asimmetrico};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Punti angolosi. \textbf{Sinistra}: $f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$, derivate laterali $-1$ e $+1$. \textbf{Destra}: funzione a tratti con derivate laterali $-1$ (a sinistra) e $+3$ (a destra), angolo asimmetrico.}
\label{fig:an-011-angoloso}
\end{figure}

\begin{esempio}[Valore assoluto]
$f(x) = |x|$ in $x_0 = 0$: derivate laterali $f'_-(0) = -1$, $f'_+(0) = 1$. Finite, diverse: punto angoloso. (Già visto nel \ref{cap:AN-008}.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Raccordo di due parabole]
Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \le 1 \\ 2 - x & x > 1\end{cases}$. È $x_0 = 1$ un punto angoloso?

\emph{Continuità}: $f(1) = 1$ (dal primo ramo), $\lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 1$: continuità OK.

\emph{Derivate laterali}: $f'_-(1) = D(x^2)|_{x=1} = 2$, $f'_+(1) = D(2 - x)|_{x=1} = -1$. Finite, diverse: $x_0 = 1$ è un \textbf{punto angoloso}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modulo di un polinomio]
$f(x) = |x^2 - 1|$. La funzione $|y|$ ha angoli dove $y = 0$, cioè dove $x^2 - 1 = 0$: $x = \pm 1$. Studiamo $x_0 = 1$:
\begin{itemize}
  \item per $x$ vicino a $1$ con $x > 1$: $x^2 - 1 > 0$, $f(x) = x^2 - 1$, $f'(x) = 2x$, $f'_+(1) = 2$;
  \item per $x$ vicino a $1$ con $x < 1$: $x^2 - 1 < 0$, $f(x) = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$, $f'(x) = -2x$, $f'_-(1) = -2$.
\end{itemize}
Derivate laterali $-2$ e $+2$: angolo (simmetrico) in $x = 1$. Analogamente in $x = -1$.
\end{esempio}

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\section{Cuspidi}\label{sec:an-011-04-cuspidi}
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\begin{definizione}[Cuspide]
Sia $f$ continua in $x_0$. Si dice che $x_0$ è una \emph{cuspide} per $f$ se le derivate laterali $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$ sono entrambe infinite, di \emph{segno opposto}: cioè $\{f'_-(x_0), f'_+(x_0)\} = \{-\infty, +\infty\}$.
\end{definizione}

Geometricamente, da entrambi i lati il grafico si avvicina a $(x_0, f(x_0))$ con \emph{tangente verticale}, ma con orientazione opposta: uno dei due rami arriva ``da sopra'' e l'altro ``da sotto'', producendo una \emph{punta} (cuspide, dal latino \emph{cuspis}, ``punta acuminata'').

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % --- pannello sinistro: x^{2/3}
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[->, GRIGIO!60] (-2.5, 0) -- (2.7, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.4) -- (0, 2.5) node[above] {$y$};
    % y = |x|^{2/3} : ramo destro
    \draw[BLU, thick, domain=0.01:2.2, samples=80] plot (\x, {1.4*pow(\x, 2/3)});
    \draw[BLU, thick, domain=-2.2:-0.01, samples=80] plot (\x, {1.4*pow(-\x, 2/3)});
    \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
    \node[below] at (0, -0.1) {\small $x_0 = 0$};
    \node[BLU] at (2.0, 2.5) {$x^{2/3}$};
    \node[below=10pt] at (0, -0.5) {\small cuspide verso il basso};
  \end{scope}
  % --- pannello destro: -|x|^{1/2} cuspide aperta verso il basso
  \begin{scope}[xshift=7cm]
    \draw[->, GRIGIO!60] (-2.5, 0) -- (2.7, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, GRIGIO!60] (0, -2.5) -- (0, 0.5) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=0.005:2.2, samples=80] plot (\x, {-1.5*sqrt(\x)});
    \draw[BLU, thick, domain=-2.2:-0.005, samples=80] plot (\x, {-1.5*sqrt(-\x)});
    \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
    \node[above] at (0, 0.1) {\small $x_0 = 0$};
    \node[below=10pt] at (0, -2.6) {\small cuspide verso l'alto};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Cuspidi. \textbf{Sinistra}: $f(x) = x^{2/3}$ in $x_0 = 0$: $f'_-(0) = -\infty$, $f'_+(0) = +\infty$, cuspide rivolta verso il basso. \textbf{Destra}: $f(x) = -\sqrt{|x|}$ in $x_0 = 0$: $f'_-(0) = +\infty$, $f'_+(0) = -\infty$, cuspide rivolta verso l'alto.}
\label{fig:an-011-cuspide}
\end{figure}

\begin{esempio}[$f(x) = x^{2/3}$]
$f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ in $x_0 = 0$. $f$ è continua in $0$. Calcoliamo la derivata: $f'(x) = (2/3) x^{-1/3} = 2/(3 \sqrt[3]{x})$ per $x \ne 0$. Limiti laterali:
\[
  f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = +\infty, \qquad f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} = -\infty.
\]
(Per $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$.) Infinite di segno opposto: \textbf{cuspide} (rivolta verso il basso, vertice in $(0,0)$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[$f(x) = \sqrt{|x|}$]
$f(x) = \sqrt{|x|}$ in $x_0 = 0$. Per $x > 0$, $f(x) = \sqrt{x}$, $f'(x) = 1/(2\sqrt{x}) \to +\infty$ per $x \to 0^+$. Per $x < 0$, $f(x) = \sqrt{-x}$, $f'(x) = -1/(2\sqrt{-x}) \to -\infty$ per $x \to 0^-$. Infinite di segno opposto: \textbf{cuspide}.
\end{esempio}

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\section{Flessi a tangente verticale}\label{sec:an-011-05-flessi-a-tangente-verticale}
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\begin{definizione}[Flesso a tangente verticale]
Sia $f$ continua in $x_0$. Si dice che $x_0$ è un \emph{flesso a tangente verticale} per $f$ se entrambe le derivate laterali $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$ sono infinite \emph{e dello stesso segno} (entrambe $+\infty$, oppure entrambe $-\infty$).
\end{definizione}

Geometricamente: il grafico attraversa il punto $(x_0, f(x_0))$ con \emph{una sola tangente verticale}, senza spigoli; cambia inoltre la curvatura passando da $x_0$, come avviene in tutti i flessi.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-2.7, 0) -- (2.9, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -1.7) -- (0, 1.7) node[above] {$y$};
  % y = x^{1/3}, ramo destro e sinistro (segno)
  \draw[BLU, thick, domain=0.005:2.4, samples=80] plot (\x, {1.0*pow(\x, 1/3)});
  \draw[BLU, thick, domain=-2.4:-0.005, samples=80] plot (\x, {-1.0*pow(-\x, 1/3)});
  % tangente verticale tratteggiata
  \draw[ROSSO, thick, dashed] (0, -1.6) -- (0, 1.6);
  \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
  \node[BLU, right] at (2.3, 1.4) {$\sqrt[3]{x}$};
  \node[ROSSO, right] at (0.1, 1.5) {\small tangente verticale};
  \node[below=10pt] at (0, -1.8) {\small flesso a tangente verticale};
\end{tikzpicture}
\caption{$f(x) = \sqrt[3]{x}$ in $x_0 = 0$: $f'_-(0) = f'_+(0) = +\infty$. Tangente verticale unica (l'asse $y$); il grafico attraversa il punto senza spigoli. È un flesso a tangente verticale.}
\label{fig:an-011-flesso-tangente-verticale}
\end{figure}

\begin{esempio}[Radice cubica in zero]
$f(x) = x^{1/3}$ in $x_0 = 0$. Derivata per $x \ne 0$: $f'(x) = (1/3) x^{-2/3} = 1/(3 \sqrt[3]{x^2})$. Poiché $\sqrt[3]{x^2} = |x|^{2/3} > 0$ per ogni $x \ne 0$, la derivata è sempre \emph{positiva} e
\[
  f'_+(0) = f'_-(0) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} = +\infty.
\]
Entrambe $+\infty$: \textbf{flesso a tangente verticale}. Si noti che il grafico è simmetrico rispetto all'origine (funzione dispari) e attraversa l'asse $x$ in $0$ con tangente verticale.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Radice quinta traslata]
Per $x \ne 2$, $f'(x) = (1/5)(x-2)^{-4/5}$. Posto $u = x - 2$, $f'(x) = 1/(5 \sqrt[5]{(x-2)^4})$: positiva sempre, e $\to +\infty$ per $x \to 2$ da entrambi i lati. \textbf{Flesso a tangente verticale} in $x_0 = 2$.
\end{esempio}

\emph{Memo tecnico}. Le funzioni del tipo $f(x) = (x - x_0)^\alpha$ con $0 < \alpha < 1$:
\begin{itemize}
  \item se $\alpha = p/q$ con $p$ pari e $q$ dispari (es.~$2/3$): cuspide in $x_0$ (grafico simmetrico, una ``punta'');
  \item se $\alpha = p/q$ con $p$ dispari e $q$ dispari (es.~$1/3$, $1/5$): flesso a tangente verticale (grafico antisimmetrico).
\end{itemize}
La diagnosi rigorosa passa sempre dal calcolo delle due derivate laterali.

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-011-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Classificazione completa di una funzione a tratti]
Sia
\[
  f(x) = \begin{cases} x + 2 & x < 0 \\ 2 - x^2 & 0 \le x \le 1 \\ x & x > 1\end{cases}.
\]
Studiare continuità e derivabilità nei punti di raccordo $x = 0$ e $x = 1$.

\emph{In $x = 0$.} $\lim_{x \to 0^-} (x + 2) = 2$, $f(0) = 2$, $\lim_{x \to 0^+} (2 - x^2) = 2$: \emph{continua}. Derivate laterali: $f'_-(0) = D(x + 2)|_{x=0} = 1$, $f'_+(0) = D(2 - x^2)|_{x=0} = 0$. Finite, diverse: \textbf{punto angoloso}.

\emph{In $x = 1$.} $f(1) = 2 - 1 = 1$ (dal ramo centrale, valido per $0 \le x \le 1$); $\lim_{x \to 1^+} x = 1$: \emph{continua}. Derivate laterali: $f'_-(1) = D(2 - x^2)|_{x=1} = -2$, $f'_+(1) = D(x)|_{x=1} = 1$. Finite, diverse: \textbf{punto angoloso}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Distinguere cuspide e flesso a tangente verticale]
Sia $f(x) = \sqrt[3]{x - 1} \cdot \sqrt[3]{x - 1} = (x - 1)^{2/3}$, cioè $\sqrt[3]{(x-1)^2}$. È continua su $\R$. In $x_0 = 1$: $f'(x) = (2/3)(x - 1)^{-1/3} = 2/(3 \sqrt[3]{x - 1})$. Per $x \to 1^+$, $\sqrt[3]{x-1} \to 0^+$, $f' \to +\infty$. Per $x \to 1^-$, $\sqrt[3]{x-1} \to 0^-$, $f' \to -\infty$. \textbf{Cuspide} (esponente $2/3$, con $2$ pari).

Confronto: $g(x) = \sqrt[3]{x - 1} = (x - 1)^{1/3}$. $g'(x) = (1/3)(x - 1)^{-2/3} = 1/(3 \sqrt[3]{(x-1)^2})$. Numeratore positivo, denominatore positivo (è il cubo di un quadrato), $g'_+(1) = g'_-(1) = +\infty$. \textbf{Flesso a tangente verticale} (esponente $1/3$, con $1$ dispari).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modulo di una funzione]
$f(x) = |x^2 - 4|$. La funzione $x^2 - 4$ si annulla in $x = \pm 2$. Studiamo questi due punti.

\emph{In $x = 2$.} Per $x > 2$, $x^2 - 4 > 0$, $f(x) = x^2 - 4$, $f'_+(2) = 2 \cdot 2 = 4$. Per $x < 2$ (e vicino a $2$), $x^2 - 4 < 0$, $f(x) = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$, $f'_-(2) = -2 \cdot 2 = -4$. \textbf{Punto angoloso}.

\emph{In $x = -2$.} Analogamente: $f'_+(-2) = -2 \cdot (-2)$... attenzione, vicino a $-2$ con $x > -2$ ma ancora minore di $2$, $x^2 < 4$, $f(x) = 4 - x^2$, $f'_+(-2) = -2(-2) = 4$. Per $x < -2$, $x^2 > 4$, $f(x) = x^2 - 4$, $f'_-(-2) = -4$. \textbf{Punto angoloso}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione con esponente non standard]
Studiare la derivabilità di $f(x) = x \sqrt[3]{x}$ in $x_0 = 0$.

$f(x) = x \cdot x^{1/3} = x^{4/3}$ per $x \ge 0$; per $x < 0$ idem, perché $\sqrt[3]{x} = -\sqrt[3]{|x|}$, $x \sqrt[3]{x} = x \cdot (-|x|^{1/3}) \cdot \mathop{\rm sgn}(x) \ldots$ è più semplice scrivere $f(x) = x^{4/3}$ definita su $\R$ con $x^{4/3} = (x^{1/3})^4$.

In $x = 0$: $f(0) = 0$, continua. $f'(x) = (4/3) x^{1/3}$ per $x \ne 0$. Limiti laterali: $f'_+(0) = 0$ e $f'_-(0) = 0$. Entrambi finiti e uguali: $f$ è \textbf{derivabile} in $0$ con $f'(0) = 0$. (La tangente è orizzontale.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione composta con valore assoluto]
Sia $f(x) = \sqrt{|x|}$. Già analizzato come cuspide in $x = 0$: $f'_+(0) = +\infty$, $f'_-(0) = -\infty$. Si noti che è una funzione \emph{pari} (simmetrica rispetto all'asse $y$): la cuspide cade nel vertice della curva.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Diagnosi via grafico]
La funzione $f(x) = \sqrt[5]{x^3}$ in $x_0 = 0$. Riscriviamo: $f(x) = x^{3/5}$ con $x^{3/5} = (\sqrt[5]{x})^3$ definita su tutto $\R$ (perché la radice quinta è definita per ogni $x \in \R$). $f'(x) = (3/5) x^{-2/5} = 3/(5 \sqrt[5]{x^2})$. Denominatore positivo, derivata positiva. Limiti: $f'_+(0) = f'_-(0) = +\infty$: \textbf{flesso a tangente verticale} (numeratore $3$ dispari, regola del memo).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-011-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ognuna delle seguenti funzioni, classificare il punto $x_0$ come: derivabile, angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale, o altro.
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = |x - 3|$ in $x_0 = 3$;
    \item $f(x) = x^{4/5}$ in $x_0 = 0$;
    \item $f(x) = \sqrt[3]{x - 1}$ in $x_0 = 1$;
    \item $f(x) = \sqrt{x^2}$ in $x_0 = 0$ (suggerimento: $\sqrt{x^2} = |x|$);
    \item $f(x) = x^{5/3}$ in $x_0 = 0$.
  \end{enumerate}
  \item Studiare la natura del punto $x_0 = 0$ per $f(x) = |x|^3$. \emph{Risposta attesa}: derivabile, perché?
  \item Studiare la natura del punto $x_0 = 0$ per $f(x) = x |x|$. Calcolare anche $f'(0)$ se esiste.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \le 0 \\ 1 - x & x > 0\end{cases}$. Verificare la continuità e classificare $x = 0$.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} \sen x & x \le 0 \\ x & x > 0\end{cases}$. Verificare che $f$ è derivabile in $x = 0$ e calcolare $f'(0)$.
  \item Determinare i punti di non derivabilità di $f(x) = |x^2 - 9|$, classificandoli.
  \item Determinare i punti di non derivabilità di $f(x) = |\sen x|$ su $[0, 2\pi]$, classificandoli.
  \item Sia $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$, definita per $|x| \ge 2$. Studiare la derivabilità in $x_0 = \pm 2$. \emph{Risposta attesa}: tangenti verticali agli estremi del dominio (semitangenti).
  \item Determinare $a, b \in \R$ in modo che $f(x) = \begin{cases} ax + b & x \le 1 \\ x^3 & x > 1\end{cases}$ sia derivabile in $x = 1$ (cioè senza angoli).
  \item Per $f(x) = |x|^\alpha$ con $\alpha > 0$, classificare $x_0 = 0$ al variare di $\alpha$. \emph{Tracce}:
  \begin{itemize}
    \item se $\alpha > 1$: derivabile, $f'(0) = 0$;
    \item se $\alpha = 1$: angoloso ($|x|$);
    \item se $0 < \alpha < 1$: cuspide.
  \end{itemize}
  Dimostrare ciascun caso calcolando le derivate laterali.
  \item Studiare i punti di non derivabilità della funzione $f(x) = x + |x - 1|$. \emph{Suggerimento}: dividere in due rami in $x = 1$.
  \item Determinare i punti di non derivabilità di $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 1}$, classificandoli. \emph{Tracce}: punti $x = \pm 1$ dove l'argomento si annulla.
  \item Sia $f(x) = \begin{cases} x^2 \sen(1/x) & x \ne 0 \\ 0 & x = 0\end{cases}$. Mostrare che $f$ è derivabile in $0$ (era la sfida di \ref{cap:AN-008}), e che $f'$ è discontinua in $0$. \emph{Conclusione}: una funzione può essere derivabile ovunque pur avendo derivata non continua.
  \item \emph{Sfida.} Trovare un esempio esplicito di funzione $f$ continua in $\R$, derivabile in $\R \setminus \{0, 1, 2\}$, con: punto angoloso in $0$, cuspide in $1$, flesso a tangente verticale in $2$. \emph{Suggerimento}: si può costruire come somma di tre funzioni-modello, ognuna che produce uno dei tre tipi di non derivabilità nel punto desiderato e resta regolare altrove.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-011-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Premessa}. Derivabilità implica continuità, ma non viceversa (\ref{cap:AN-008}). I punti di non derivabilità si studiano \emph{a partire da} punti di continuità.
  \item \emph{Tre tipi standard di non derivabilità} in $x_0$ (punto di continuità di $f$), classificati in base alle derivate laterali $f'_-(x_0)$ e $f'_+(x_0)$:
  \begin{itemize}
    \item \textbf{Punto angoloso}: $f'_-, f'_+$ \emph{finite} e \emph{diverse}. Esempio: $|x|$ in $0$.
    \item \textbf{Cuspide}: $f'_-, f'_+$ \emph{infinite}, di \emph{segno opposto}. Esempio: $x^{2/3}$ in $0$.
    \item \textbf{Flesso a tangente verticale}: $f'_-, f'_+$ \emph{infinite}, dello \emph{stesso segno}. Esempio: $\sqrt[3]{x}$ in $0$.
  \end{itemize}
  \item \emph{Procedura} per studiare $x_0$ in cui $f$ è continua: calcolare le due derivate laterali; il loro comportamento determina la classificazione. Se entrambe finite e coincidono, la funzione è derivabile.
  \item \emph{Modello rapido per le potenze}. $f(x) = (x - x_0)^\alpha$ con $0 < \alpha < 1$:
  \begin{itemize}
    \item $\alpha = p/q$ con $p$ pari, $q$ dispari $\Rightarrow$ cuspide (es. $2/3$, $4/5$ ridotto, $2/5$);
    \item $\alpha = p/q$ con $p$ dispari, $q$ dispari $\Rightarrow$ flesso a tangente verticale (es. $1/3$, $1/5$, $3/5$).
  \end{itemize}
  Per $\alpha = 1$ si ottiene un angoloso solo combinando il segno (es. $|x| = $ modulo); per $\alpha > 1$ la funzione è derivabile in $x_0$.
  \item \emph{Curiosità storica}. Weierstrass (1872) costruì una funzione continua ovunque ma non derivabile in alcun punto: l'esistenza dei ``mostri analitici'' fu uno shock per i matematici dell'epoca e aprì la strada all'analisi moderna delle funzioni patologiche e dei frattali.
  \item I punti di non derivabilità sono uno dei ``segnali'' da raccogliere nello studio completo di funzione (\ref{cap:AN-016}): segnalano vincoli sulla forma del grafico (spigoli, punte, tangenti verticali) che il valore di $f'$ da solo, dove esiste, non riassume.
\end{itemize}
\end{riepilogo}