\chapter{Massimi, minimi, monotonia con la derivata prima}\label{cap:AN-014}

\citazioneinizio{%
  Per trovare il massimo o il minimo di una grandezza, si sostituisca alla variabile $x$ il valore $x + e$, si pongano uguali le due espressioni; dopo aver semplificato, si divida per $e$ e si ponga $e = 0$.%
}{Pierre de Fermat, \emph{Methodus ad disquirendam maximam et minimam} (ca.~1637, pubbl.~postumo 1679), traduzione adattata}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-014-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Nei capitoli precedenti abbiamo costruito tutti gli strumenti necessari: derivata (\ref{cap:AN-008}), regole di derivazione (\ref{cap:AN-009}, \ref{cap:AN-010}), teorema di Lagrange e le sue conseguenze sul legame fra segno della derivata e monotonia (\ref{cap:AN-012}). In questo capitolo li mettiamo \emph{al lavoro insieme} per rispondere a domande concrete sul comportamento di una funzione:
\begin{itemize}
  \item dove $f$ cresce e dove decresce (\ref{sec:an-014-02-funzioni-crescenti-e-decrescenti});
  \item dove $f$ raggiunge \emph{massimi e minimi relativi} (locali), e come riconoscerli (\ref{sec:an-014-03-massimi-e-minimi-relativi}, \ref{sec:an-014-04-ricerca-con-la-derivata-prima});
  \item dove $f$ raggiunge \emph{massimi e minimi assoluti} (globali), specialmente in problemi di ottimizzazione (\ref{sec:an-014-05-massimi-e-minimi-assoluti}).
\end{itemize}

L'idea generale è semplice: il \emph{segno di $f'$} indica la direzione di crescita; gli \emph{zeri di $f'$} (\emph{punti critici} o \emph{stazionari}) sono candidati a essere estremi locali. La diagnosi finale --- massimo, minimo, né l'uno né l'altro --- si fa studiando come il segno di $f'$ cambia a cavallo del punto.

\medskip

\emph{Una nota storica.} Pierre de Fermat (1601--1665) fu il primo a fornire un \emph{metodo algoritmico} per trovare massimi e minimi, già nel 1637, circa 50 anni prima dell'avvento del calcolo differenziale di Newton e Leibniz. Il suo metodo, descritto nel \emph{Methodus ad disquirendam maximam et minimam}, consiste nel sostituire $x$ con $x + e$ in $f(x)$, pareggiare le due espressioni come ``approssimativamente uguali'', semplificare, dividere per $e$ e infine \emph{porre $e = 0$}: di fatto, calcolare il rapporto incrementale e farne il limite. Fermat è dunque considerato uno dei precursori del calcolo.

% ============================================================
\section{Funzioni crescenti e decrescenti}\label{sec:an-014-02-funzioni-crescenti-e-decrescenti}
% ============================================================

\begin{definizione}[Funzione crescente, decrescente]
Sia $f : I \to \R$ definita su un intervallo. Si dice che $f$ è:
\begin{itemize}
  \item \emph{strettamente crescente} su $I$ se per ogni $x_1, x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ si ha $f(x_1) < f(x_2)$;
  \item \emph{(debolmente) crescente} se $f(x_1) \le f(x_2)$;
  \item \emph{strettamente decrescente} se $f(x_1) > f(x_2)$;
  \item \emph{(debolmente) decrescente} se $f(x_1) \ge f(x_2)$;
  \item \emph{monotona} se è crescente \emph{o} decrescente.
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{teorema}[Criterio di monotonia con la derivata prima]
Sia $f$ continua su un intervallo $I$ e derivabile nei suoi punti interni. Allora:
\begin{itemize}
  \item $f'(x) > 0$ in ogni interno $x$ di $I$ $\Rightarrow$ $f$ \emph{strettamente crescente} su $I$;
  \item $f'(x) < 0$ in ogni interno $x$ di $I$ $\Rightarrow$ $f$ \emph{strettamente decrescente} su $I$;
  \item $f'(x) \ge 0$ in ogni interno $x$ di $I$ $\Rightarrow$ $f$ \emph{(debolmente) crescente};
  \item $f'(x) \le 0$ in ogni interno $x$ di $I$ $\Rightarrow$ $f$ \emph{(debolmente) decrescente}.
\end{itemize}
\end{teorema}

(È la conseguenza del teorema di Lagrange dimostrata in \ref{cap:AN-012}.)

\begin{procedura}[Ricerca degli intervalli di monotonia]
\begin{enumerate}
  \item Determinare il dominio $D$ di $f$ e, se rilevante, i punti di non derivabilità.
  \item Calcolare $f'(x)$.
  \item Risolvere $f'(x) > 0$ e $f'(x) < 0$: gli intervalli risultanti sono di stretta crescenza e di stretta decrescenza rispettivamente.
  \item I valori in cui $f'(x) = 0$ o $f'$ non è definita sono \emph{candidati} a punti di massimo o minimo locale.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Studio della monotonia di $f(x) = x^3 - 3x$]
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. Segno:
\[
\begin{array}{c|ccccc}
 & & -1 & & 1 & \\ \hline
f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\
f(x) & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow
\end{array}
\]
Quindi $f$ è strettamente crescente su $(-\infty, -1]$, strettamente decrescente su $[-1, 1]$, strettamente crescente su $[1, +\infty)$. Massimo locale in $x = -1$, $f(-1) = 2$; minimo locale in $x = 1$, $f(1) = -2$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Massimi e minimi relativi}\label{sec:an-014-03-massimi-e-minimi-relativi}
% ============================================================

\begin{definizione}[Massimo e minimo relativo (o locale)]
Sia $f : D \to \R$ e $x_0 \in D$. Diciamo che $x_0$ è un \emph{massimo relativo} (o \emph{locale}) per $f$ se esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che $f(x) \le f(x_0)$ per ogni $x \in U \cap D$. Analogamente, $x_0$ è un \emph{minimo relativo} se $f(x) \ge f(x_0)$ in un intorno.

Se la disuguaglianza è stretta (per $x \ne x_0$), si parla di estremo \emph{stretto}.
\end{definizione}

I massimi (e minimi) relativi sono diversi dai \emph{massimi assoluti}: un massimo relativo è il ``più alto vicino''; il massimo assoluto è il ``più alto in tutto il dominio''.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (6.0, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -0.3) -- (0, 3.5) node[above] {$y$};
  % funzione con 2 massimi e 1 minimo locali
  \draw[BLU, thick, domain=0.3:5.6, samples=120] plot (\x, {0.4*sin(deg(2*\x)) - 0.1*(\x-3)*(\x-3) + 2.5});
  % punti notabili approx: max ~ x=0.7, min ~ x=2.4, max ~ x=4.0
  \filldraw[ROSSO] (0.78, 2.78) circle (2pt);
  \filldraw[VERDE!60!black] (2.36, 1.96) circle (2pt);
  \filldraw[ROSSO] (3.93, 2.41) circle (2pt);
  % estremo dell'intervallo di disegno: max assoluto a sinistra
  \filldraw[ARANCIO] (0.3, 2.46) circle (2pt);
  \filldraw[ARANCIO] (5.6, 0.91) circle (2pt);
  \node[above, ROSSO] at (0.78, 2.78) {\small max loc};
  \node[below, VERDE!60!black] at (2.36, 1.86) {\small min loc};
  \node[above, ROSSO] at (3.93, 2.45) {\small max loc};
  \node[above left, ARANCIO] at (0.3, 2.46) {\small (estremo)};
  \node[above right, ARANCIO] at (5.6, 0.91) {\small min assol};
\end{tikzpicture}
\caption{Una funzione su $[a,b]$ con due massimi locali e un minimo locale interni; l'estremo destro è il minimo assoluto sull'intervallo. I massimi locali interni non sono necessariamente i massimi assoluti: per Weierstrass, i candidati al massimo/minimo assoluto su intervallo chiuso e limitato sono i punti critici \emph{e} gli estremi dell'intervallo.}
\label{fig:an-014-estremi-relativi}
\end{figure}

\emph{Punti critici (o stazionari)}. Per il lemma di Fermat (\ref{cap:AN-012}): se $x_0$ è un estremo locale \emph{interno} a $D$ e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) = 0$. Questa condizione è \emph{necessaria}, non sufficiente.

\begin{attenzione}
$f'(x_0) = 0$ \emph{non} implica che $x_0$ sia un estremo locale. Esempio: $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$, ma $0$ è un \emph{flesso a tangente orizzontale} (la funzione è strettamente crescente). Stessa cosa per $x^5$, $x^7$, \dots
\end{attenzione}

\begin{attenzione}
Esistono anche estremi locali in cui $f$ \emph{non} è derivabile (punti angolosi, cuspidi, vedi \ref{cap:AN-011}). Esempio: $f(x) = |x|$ ha minimo in $0$, ma $f'(0)$ non esiste.
\end{attenzione}

\emph{Riassumendo}: i candidati a essere estremi locali sono:
\begin{itemize}
  \item i \emph{punti critici} (zeri di $f'$ all'interno del dominio);
  \item i \emph{punti di non derivabilità} all'interno del dominio;
  \item gli \emph{estremi del dominio} (se appartengono a $D$).
\end{itemize}

% ============================================================
\section{Ricerca con la derivata prima}\label{sec:an-014-04-ricerca-con-la-derivata-prima}
% ============================================================

Una volta individuati i candidati, si classificano studiando il \emph{cambio di segno} di $f'$ in un loro intorno.

\begin{teorema}[Test della derivata prima]
Sia $f$ continua in $x_0$ e derivabile in un intorno di $x_0$ eccetto al più in $x_0$ stesso. Allora:
\begin{itemize}
  \item se $f' > 0$ a sinistra di $x_0$ e $f' < 0$ a destra: $x_0$ è \emph{massimo relativo}.
  \item se $f' < 0$ a sinistra di $x_0$ e $f' > 0$ a destra: $x_0$ è \emph{minimo relativo}.
  \item se $f'$ ha lo \emph{stesso segno} ai due lati: $x_0$ \emph{non} è estremo locale (è un flesso a tangente orizzontale se $f'(x_0) = 0$).
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione (caso massimo).} Per il criterio di monotonia, $f$ è crescente a sinistra di $x_0$ e decrescente a destra; dunque $f(x_0)$ è massimo locale.

\begin{procedura}[Schema completo per estremi relativi]
\begin{enumerate}
  \item Determinare il dominio di $f$ e calcolare $f'(x)$.
  \item Trovare i \emph{punti critici} ($f'(x) = 0$) e i punti di non derivabilità (interni al dominio).
  \item Studiare il segno di $f'(x)$ nei vari intervalli.
  \item Applicare il test della derivata prima a ciascun candidato:
  \begin{itemize}
    \item cambio $+ \to -$: massimo locale;
    \item cambio $- \to +$: minimo locale;
    \item nessun cambio: non è un estremo.
  \end{itemize}
  \item Calcolare i valori di $f$ nei punti di estremo per ottenere $\max$ e $\min$ locali.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Estremi locali di $f(x) = x^4 - 4x^3$]
$f'(x) = 4x^3 - 12 x^2 = 4x^2(x - 3)$. Zeri: $x = 0$ (doppio) e $x = 3$.

Segno: $4x^2 \ge 0$ sempre, $x - 3$ negativo per $x < 3$, positivo per $x > 3$. Quindi $f' < 0$ per $x < 0$, $f' < 0$ per $0 < x < 3$ (anche se $f'(0) = 0$, è zero solo nel singolo punto), $f' > 0$ per $x > 3$.

Tabella:
\[
\begin{array}{c|ccccc}
 & & 0 & & 3 & \\ \hline
f'(x) & - & 0 & - & 0 & + \\
f(x) & \searrow & \text{flesso} & \searrow & \min & \nearrow
\end{array}
\]

In $x = 0$: $f'$ non cambia segno (resta $\le 0$); $0$ \emph{non} è un estremo, è un \emph{flesso a tangente orizzontale}.

In $x = 3$: cambio $- \to +$, è un \textbf{minimo locale}, $f(3) = 81 - 108 = -27$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Massimi e minimi assoluti}\label{sec:an-014-05-massimi-e-minimi-assoluti}
% ============================================================

\begin{definizione}[Massimo e minimo assoluti]
Sia $f : D \to \R$. Si dice che $x_M \in D$ è punto di \emph{massimo assoluto} (o globale) se $f(x_M) \ge f(x)$ per ogni $x \in D$. Analogamente $x_m$ è punto di \emph{minimo assoluto} se $f(x_m) \le f(x)$ per ogni $x \in D$.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Esistenza degli estremi assoluti]
Se $f : [a, b] \to \R$ è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora $f$ ammette massimo e minimo assoluti (teorema di Weierstrass, \ref{cap:AN-006}).
\end{teorema}

\begin{procedura}[Ricerca degli estremi assoluti su un intervallo chiuso]
\begin{enumerate}
  \item Verificare la continuità di $f$ su $[a, b]$.
  \item Trovare tutti i \emph{candidati interni}: punti critici e punti di non derivabilità in $(a, b)$.
  \item Aggiungere come candidati gli estremi $a$ e $b$.
  \item Calcolare $f$ in tutti i candidati.
  \item Il massimo dei valori è $\max_{[a,b]} f$; il minimo è $\min_{[a,b]} f$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Su un dominio aperto o illimitato} la situazione è più delicata: $f$ può non avere massimo né minimo (es. $f(x) = x$ su $\R$). In tal caso bisogna prima discutere l'esistenza tramite limiti agli estremi del dominio.

\begin{esempio}[Massimi e minimi assoluti di un polinomio su un intervallo chiuso]
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ su $[-1, 3]$. $f$ è polinomio, continua. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, zeri in $x = 0$ e $x = 2$, entrambi in $(-1, 3)$. Candidati: $-1, 0, 2, 3$. Valutiamo:
\[
  f(-1) = -1 - 3 + 1 = -3, \quad f(0) = 1, \quad f(2) = 8 - 12 + 1 = -3, \quad f(3) = 27 - 27 + 1 = 1.
\]
Massimo assoluto: $1$ (raggiunto in $x = 0$ e $x = 3$). Minimo assoluto: $-3$ (raggiunto in $x = -1$ e $x = 2$).
\end{esempio}

\subsection*{Problemi di ottimizzazione}

I problemi di ottimizzazione (massimo profitto, minimo materiale, percorso più breve, \dots) si riducono a trovare il massimo o minimo di una funzione opportunamente costruita.

\begin{procedura}[Ottimizzazione applicata]
\begin{enumerate}
  \item Identificare la grandezza da massimizzare/minimizzare e introdurla come funzione di una variabile.
  \item Esprimere eventuali vincoli e ricondurre tutto a una sola variabile.
  \item Determinare il dominio (\emph{intervallo}) della variabile, derivante dai vincoli geometrici/fisici del problema.
  \item Applicare la procedura di ricerca degli estremi assoluti.
  \item Interpretare il risultato nel contesto del problema.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Rettangolo di perimetro fissato, area massima]
Tra tutti i rettangoli di perimetro $\SI{20}{\meter}$, qual è quello di area massima?

Sia $x$ la base (in metri). Dal perimetro $2x + 2y = 20$ ricaviamo $y = 10 - x$. Vincolo: $0 < x < 10$ (entrambi i lati positivi). Funzione da massimizzare:
\[
  A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2.
\]
$A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$. Test: $A''(x) = -2 < 0$, quindi $x = 5$ è massimo (vedi anche \ref{cap:AN-015} per il test della derivata seconda). $A(5) = 25$.

\emph{Risposta}: il rettangolo di area massima è il \emph{quadrato} di lato $\SI{5}{\meter}$, area $\SI{25}{\meter\squared}$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:an-014-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Monotonia e estremi di una funzione razionale]
$f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$. Dominio $\R$.
\[
  f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.
\]
$f' > 0$ per $x > 0$, $f' < 0$ per $x < 0$, $f'(0) = 0$. Cambio $- \to +$: $x = 0$ è \emph{minimo assoluto}, $f(0) = 0$. La funzione cresce a $1$ per $x \to \pm\infty$ ma non raggiunge mai il valore $1$: \emph{nessun massimo}, $\sup f = 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Estremi locali e assoluti su intervallo chiuso]
$f(x) = e^{-x^2}$ su $[-2, 2]$. $f$ è continua. $f'(x) = -2x e^{-x^2}$, zero in $x = 0$. Candidati: $-2, 0, 2$. Valori:
\[
  f(-2) = e^{-4} \approx 0.018, \quad f(0) = 1, \quad f(2) = e^{-4} \approx 0.018.
\]
\textbf{Massimo assoluto}: $1$ in $x = 0$. \textbf{Minimo assoluto}: $e^{-4}$ in $x = \pm 2$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione con punti di non derivabilità]
$f(x) = |x - 1| + |x - 3|$. È continua su $\R$. Punti di non derivabilità: $x = 1$ e $x = 3$. Distinguiamo i casi:
\begin{itemize}
  \item per $x < 1$: $f(x) = (1 - x) + (3 - x) = 4 - 2x$, $f' = -2$;
  \item per $1 \le x \le 3$: $f(x) = (x - 1) + (3 - x) = 2$, $f' = 0$;
  \item per $x > 3$: $f(x) = (x - 1) + (x - 3) = 2x - 4$, $f' = 2$.
\end{itemize}
La funzione è costante uguale a $2$ sull'intervallo $[1, 3]$: l'intero intervallo è di \textbf{minimo assoluto}, $\min f = 2$. Nessun massimo (la funzione tende a $+\infty$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema geometrico: scatola di volume massimo]
Da un cartoncino quadrato di lato $\SI{12}{\centi\meter}$ si ritagliano quattro quadrati di lato $x$ agli angoli, e si piega per formare una scatola aperta. Per quale $x$ il volume è massimo?

La base della scatola è un quadrato di lato $12 - 2x$, l'altezza $x$:
\[
  V(x) = (12 - 2x)^2 \cdot x = 4x(6 - x)^2, \qquad 0 < x < 6.
\]
$V'(x) = 4 (6-x)^2 + 4x \cdot 2(6-x) \cdot (-1) = 4(6-x)[(6-x) - 2x] = 4(6-x)(6 - 3x)$. Zeri in $x = 6$ (escluso dal dominio) e $x = 2$. Per $0 < x < 2$: $V' > 0$; per $2 < x < 6$: $V' < 0$. Quindi $x = 2$ è massimo. $V(2) = 4 \cdot 2 \cdot 16 = 128\,\si{\centi\meter\cubed}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Problema misto: scatola cilindrica di volume fissato, superficie minima]
Un cilindro chiuso ha volume $V = \SI{1}{\litre} = \SI{1000}{\centi\meter\cubed}$. Determinare le dimensioni che minimizzano la superficie totale.

Sia $r$ il raggio della base, $h$ l'altezza. Vincolo: $\pi r^2 h = 1000$, da cui $h = 1000/(\pi r^2)$. Superficie totale:
\[
  S(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r^2 + \frac{2000}{r}, \qquad r > 0.
\]
$S'(r) = 4 \pi r - 2000/r^2 = 0 \Rightarrow 4 \pi r^3 = 2000 \Rightarrow r^3 = 500/\pi$, quindi $r = \sqrt[3]{500/\pi} \approx \SI{5.42}{\centi\meter}$. Test: $S''(r) = 4 \pi + 4000/r^3 > 0$, minimo. Calcolando $h$: $h = 1000/(\pi r^2)$, e si vede che $h = 2r$ (lattina ``ottimale''): l'altezza è il doppio del raggio.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione su dominio illimitato]
$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ su $\R$. $f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$. Zeri in $x = \pm 1$. Segno: $f' > 0$ per $|x| < 1$, $f' < 0$ per $|x| > 1$.

Estremi: $x = 1$ massimo locale, $f(1) = 1/2$; $x = -1$ minimo locale, $f(-1) = -1/2$. Sono anche \emph{assoluti}? Sì: $\lim_{x \to \pm\infty} f = 0 \ne \pm 1/2$, e la funzione è continua su $\R$ con un solo massimo e un solo minimo locale. \textbf{Max assol = $1/2$, min assol = $-1/2$.}
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-014-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Studiare la monotonia e determinare gli estremi locali delle seguenti funzioni:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = x^2 - 6x + 5$;
    \item $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$;
    \item $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$;
    \item $f(x) = x - \ln x$ per $x > 0$.
  \end{enumerate}
  \item Determinare gli estremi assoluti di $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$ su $[0, 3]$.
  \item Determinare gli estremi assoluti di $f(x) = x + \sen x$ su $[0, 2\pi]$.
  \item Determinare gli estremi assoluti di $f(x) = x e^{-x}$ su $[0, +\infty)$.
  \item Studiare la natura del punto stazionario $x = 0$ per $f(x) = x^4$ e per $f(x) = x^5$, motivando.
  \item Sia $f(x) = (x^2 - 1) e^{-x}$. Trovare i punti critici e classificarli.
  \item Sia $f(x) = |x^2 - 4|$ su $[-3, 3]$. Trovare massimi e minimi assoluti (attenzione ai punti non derivabili).
  \item Determinare il numero $x > 0$ che minimizza la somma $f(x) = x + 4/x$.
  \item Determinare le dimensioni del rettangolo di area massima inscritto in un semicerchio di raggio $\SI{1}{\meter}$, con un lato sul diametro.
  \item Tra tutti i triangoli rettangoli di ipotenusa $\SI{10}{\centi\meter}$, determinare quello di area massima.
  \item Determinare il punto della parabola $y = x^2$ più vicino al punto $(0, 1)$.
  \item Una lattina cilindrica aperta in alto deve avere volume $\SI{0.5}{\litre} = \SI{500}{\centi\meter\cubed}$. Determinare $r$ e $h$ in modo che la superficie (base + laterale) sia minima.
  \item Un agricoltore vuole recintare un terreno rettangolare confinante con un fiume (lato non da recintare), disponendo di $\SI{200}{\meter}$ di rete. Determinare le dimensioni che massimizzano l'area recintata.
  \item Sia $f$ derivabile su $\R$ con $f(0) = 0$ e $f'(x) > 0$ per ogni $x \ge 0$. Mostrare che $f(x) > 0$ per ogni $x > 0$.
  \item \emph{Sfida.} Una persona si trova in un punto $A$ di una riva rettilinea di un lago, e deve raggiungere il punto $B$ situato sull'altra riva, distante $\SI{1}{\kilo\meter}$ in linea retta perpendicolare alla riva, e $\SI{3}{\kilo\meter}$ in direzione parallela alla riva. La velocità sull'acqua è $\SI{3}{\kilo\meter\per\hour}$, sulla terraferma $\SI{5}{\kilo\meter\per\hour}$. Determinare in quale punto della riva la persona dovrebbe abbandonare la barca e proseguire a piedi per minimizzare il tempo di tragitto. (Generalizzazione moderna della \emph{legge di Snell-Cartesio} sulla rifrazione, ricavata via Fermat.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-014-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Criterio di monotonia}. Su un intervallo $I$: $f' > 0 \Rightarrow f$ strettamente crescente; $f' < 0 \Rightarrow f$ strettamente decrescente.
  \item \emph{Punto critico (o stazionario)}: $x_0$ con $f'(x_0) = 0$. Per il lemma di Fermat, ogni estremo locale \emph{interno} in cui $f$ è derivabile è un punto critico. Il viceversa è falso ($x^3$ in $0$).
  \item \emph{Candidati a estremo locale}: zeri di $f'$, punti di non derivabilità, estremi del dominio.
  \item \emph{Test della derivata prima}. In $x_0$ candidato, studio del segno di $f'$ a cavallo:
  \begin{itemize}
    \item $+ \to -$: massimo relativo;
    \item $- \to +$: minimo relativo;
    \item nessun cambio: non è un estremo.
  \end{itemize}
  \item \emph{Estremi assoluti su $[a,b]$}. Se $f$ è continua, $\max$ e $\min$ esistono (Weierstrass). Procedura: candidati = punti critici interni + punti non derivabili + estremi $a, b$. Si valuta $f$ in tutti e si prende il maggiore (per il max) e il minore (per il min).
  \item \emph{Problemi di ottimizzazione}: impostare la funzione obiettivo in funzione di una variabile usando i vincoli, identificare il dominio, applicare la ricerca degli estremi.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-015}) raffineremo la classificazione dei punti critici tramite la \emph{derivata seconda} (test della derivata seconda) e introdurremo \emph{concavità} e \emph{flessi}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}