\chapter{Concavità e flessi con la derivata seconda}\label{cap:AN-015}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-015-concavita-flessi}
\geesexercises{mt26}
\sorgentecap{AN-015}
\matematika{AN-015}
  Quando una curva si presenta convessa verso un certo asse, le sue ordinate crescono in modo che il loro incremento secondo sia positivo; quando si presenta concava, l'incremento secondo è negativo. Nei punti in cui la curva passa dall'una all'altra disposizione, l'incremento secondo si annulla.%
}{Leonhard Euler, \emph{Institutiones calculi differentialis} (1755), Cap.~XII, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-015-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo precedente (\ref{cap:AN-014}) abbiamo visto come la derivata prima $f'$ controlli la \emph{crescenza} di una funzione e ci permetta di individuare massimi e minimi locali. Ora facciamo un passo in più: la derivata seconda $f'' = (f')'$ controlla un'altra proprietà geometrica fondamentale del grafico, la \emph{concavità} (la sua ``curvatura''), e ci offre uno strumento alternativo al test del segno di $f'$ per classificare i punti critici.

Intuitivamente: dove la velocità con cui $f$ cresce sta a sua volta aumentando (cioè $f'$ è crescente, ovvero $f'' > 0$), il grafico ``si curva verso l'alto'' come una conca aperta; dove la velocità sta diminuendo ($f'' < 0$), il grafico ``si curva verso il basso''. I punti in cui il grafico cambia tipo di curvatura si chiamano \emph{punti di flesso}.

Questa lettura geometrica, già intuita da Newton e formalizzata da Eulero nel \emph{Institutiones calculi differentialis} (1755), completa il quadro degli strumenti a derivate di cui disponiamo per analizzare il comportamento qualitativo di una funzione. Nel capitolo successivo (\ref{cap:AN-016}) li metteremo tutti insieme nello \emph{studio completo di funzione}.

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\section{Concavità di una funzione}\label{sec:an-015-02-concavita-di-una-funzione}
\flashsec{AN-015-concavita-flessi}{02}
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\begin{definizione}[Funzione convessa, concava (definizione geometrica)]\indiceauto{funzione convessa concava definizione geometrica@Funzione convessa, concava (definizione geometrica)|textbf}Sia $f$ definita su un intervallo $I$. Diciamo che $f$ è:
\begin{itemize}
  \item \emph{convessa} su $I$ se per ogni coppia di punti $x_1, x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ il segmento (\emph{corda}) che unisce $(x_1, f(x_1))$ e $(x_2, f(x_2))$ giace \emph{al di sopra} (o sul) del grafico di $f$ nell'intervallo $[x_1, x_2]$. In simboli, per ogni $t \in [0, 1]$,
  \[
    f\bigl(t x_1 + (1-t) x_2\bigr) \le t f(x_1) + (1-t) f(x_2).
  \]
  \item \emph{concava} su $I$ se la disuguaglianza è invertita ($\ge$): la corda giace \emph{al di sotto} (o sul) del grafico.
\end{itemize}
Se le disuguaglianze sono strette per $t \in (0, 1)$, si parla di convessità (o concavità) \emph{stretta}.
\end{definizione}

\begin{attenzione}
La terminologia varia da testo a testo. Convessa è anche detta ``concava verso l'alto'' (perché la curva ricorda una conca aperta verso l'alto, $\smile$). Concava è anche detta ``concava verso il basso'' ($\frown$). In questo testo useremo \emph{convessa} per il primo caso e \emph{concava} per il secondo, ma manterremo per chiarezza il riferimento visivo.
\end{attenzione}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
  % pannello sinistro: convessa (concava verso l'alto)
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (4.3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.5) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=0.3:3.7, samples=80] plot (\x, {0.35*(\x-2)*(\x-2) + 0.6});
    % corda
    \draw[ROSSO, dashed, thick] (0.7, 1.21) -- (3.3, 1.21);
    \filldraw[ROSSO] (0.7, 1.21) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (3.3, 1.21) circle (1.5pt);
    \node[below, BLU] at (2.0, 0.55) {\small $f$};
    \node[above, ROSSO] at (2.0, 1.21) {\small corda};
    \node[below] at (2.0, -0.5) {\small \textbf{convessa} ($f'' > 0$, $\smile$)};
  \end{scope}
  % pannello destro: concava (concava verso il basso)
  \begin{scope}[xshift=6cm]
    \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (4.3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 3.5) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=0.3:3.7, samples=80] plot (\x, {-0.35*(\x-2)*(\x-2) + 3.0});
    \draw[ROSSO, dashed, thick] (0.7, 2.39) -- (3.3, 2.39);
    \filldraw[ROSSO] (0.7, 2.39) circle (1.5pt);
    \filldraw[ROSSO] (3.3, 2.39) circle (1.5pt);
    \node[above, BLU] at (2.0, 3.0) {\small $f$};
    \node[below, ROSSO] at (2.0, 2.39) {\small corda};
    \node[below] at (2.0, -0.5) {\small \textbf{concava} ($f'' < 0$, $\frown$)};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Convessità (corda sopra il grafico) e concavità (corda sotto il grafico).}
\label{fig:an-015-convessa-concava}
\end{figure}

\medskip

La definizione geometrica via corde è quella ``primaria'', ma per funzioni derivabili due volte il legame con la derivata seconda è semplice e operativo.

\begin{teorema}[Criterio di concavità con la derivata seconda]\indiceauto{criterio di concavita con la derivata seconda@Criterio di concavità con la derivata seconda|textbf}Sia $f$ derivabile due volte su un intervallo $I$. Allora:
\begin{itemize}
  \item $f''(x) > 0$ per ogni $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ è strettamente convessa su $I$;
  \item $f''(x) < 0$ per ogni $x \in I$ $\Rightarrow$ $f$ è strettamente concava su $I$;
  \item $f''(x) \ge 0$ su $I$ $\Leftrightarrow$ $f$ è (debolmente) convessa;
  \item $f''(x) \le 0$ su $I$ $\Leftrightarrow$ $f$ è (debolmente) concava.
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Idea della dimostrazione.} $f'' = (f')'$. Se $f'' > 0$ allora $f'$ è strettamente crescente (criterio di monotonia, \ref{cap:AN-012}): la pendenza della tangente aumenta da sinistra verso destra. Una funzione la cui pendenza aumenta è proprio una funzione convessa (la tangente in un punto giace sotto il grafico, e equivalentemente la corda fra due punti giace sopra). La dimostrazione formale si fa applicando Lagrange su $[x_1, x]$ e $[x, x_2]$ per ottenere la disuguaglianza della corda.

\begin{esempio}[Concavità di $f(x) = x^2$]
$f''(x) = 2 > 0$ ovunque: la parabola $y = x^2$ è strettamente convessa su tutto $\R$ (cosa intuitivamente chiara dal suo grafico a conca aperta verso l'alto).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Concavità di $f(x) = \ln x$]
$f'(x) = 1/x$, $f''(x) = -1/x^2 < 0$ per ogni $x > 0$: il logaritmo è strettamente concavo sul suo dominio. Questa proprietà è alla base, ad esempio, della disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica: $\ln\bigl(\frac{a+b}{2}\bigr) \ge \frac{\ln a + \ln b}{2}$, da cui $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Concavità mista di $f(x) = x^3$]
$f''(x) = 6x$. Quindi $f$ è concava per $x < 0$ ($f'' < 0$) e convessa per $x > 0$ ($f'' > 0$). Il punto $x = 0$, in cui la concavità cambia, è un \emph{punto di flesso} (definito nella prossima sezione).
\end{esempio}

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\section{Punti di flesso}\label{sec:an-015-03-punti-di-flesso}
\flashsec{AN-015-concavita-flessi}{03}
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\begin{definizione}[Punto di flesso]\indiceauto{punto di flesso@Punto di flesso|textbf}Sia $f$ continua in $x_0$. Si dice che $x_0$ è un \emph{punto di flesso} per $f$ se $f$ è concava in un intorno sinistro di $x_0$ e convessa in un intorno destro, oppure viceversa. In altre parole, $x_0$ è un punto in cui la \emph{concavità cambia segno}.
\end{definizione}

Nel punto $(x_0, f(x_0))$ il grafico di $f$ ha la particolarità geometrica di attraversare la propria tangente (quando questa esiste): la tangente sta da una parte del grafico prima di $x_0$, e dall'altra dopo.

\begin{teorema}[Condizione necessaria per un flesso (con $f''$)]\indiceauto{condizione necessaria per un flesso con f@Condizione necessaria per un flesso (con f'')|textbf}Se $f$ è derivabile due volte in $x_0$ e $x_0$ è un punto di flesso, allora
\[
  f''(x_0) = 0.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Se $x_0$ è un flesso, $f''$ cambia segno in $x_0$. Ma $f''$ è continua (lo stiamo assumendo derivabile due volte e in pratica con $f''$ continua); una funzione continua che cambia segno deve annullarsi.

\begin{attenzione}
Anche qui, come per il lemma di Fermat sui punti critici (\ref{cap:AN-012}), la condizione $f''(x_0) = 0$ è \emph{necessaria} ma \emph{non sufficiente}. Esempio: $f(x) = x^4$. $f''(0) = 0$, ma $f''(x) = 12 x^2 \ge 0$ ovunque, dunque $f$ è convessa su tutto $\R$ e $x = 0$ \emph{non} è un flesso.
\end{attenzione}

\begin{attenzione}
Esistono flessi anche in punti dove $f''$ non esiste o $f$ non è derivabile due volte. Per esempio $f(x) = \sqrt[3]{x}$ ha un flesso a tangente verticale in $x = 0$, sebbene $f''(0)$ non sia definita (vedi \ref{cap:AN-011} e la sezione~\ref{sec:an-015-05-flessi-a-tangente-orizzontale-obliqua-verticale}).
\end{attenzione}

\begin{esempio}[Flesso del cubico]
$f(x) = x^3$. $f''(x) = 6x$, che si annulla in $x = 0$ e cambia segno (negativa per $x < 0$, positiva per $x > 0$). Quindi $x = 0$ è punto di flesso. Poiché $f'(0) = 0$, il flesso è ``a tangente orizzontale'' (l'asse $x$ è tangente al grafico nel flesso).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Flessi di $f(x) = \sen x$]
$f''(x) = -\sen x$. Si annulla per $x = k \pi$, $k \in \Z$, e cambia segno in ciascuno di essi: tutti i multipli interi di $\pi$ sono punti di flesso. In ciascuno la pendenza è $f'(k\pi) = \cos(k\pi) = \pm 1 \ne 0$: i flessi sono \emph{a tangente obliqua}.
\end{esempio}

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\section{Ricerca con la derivata seconda}\label{sec:an-015-04-ricerca-con-la-derivata-seconda}
\flashsec{AN-015-concavita-flessi}{04}
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La derivata seconda permette, oltre a determinare la concavità, anche di classificare un punto critico (zero di $f'$) come massimo o minimo locale, alternativa al test del segno di $f'$ visto in \ref{cap:AN-014}.

\begin{teorema}[Test della derivata seconda per estremi locali]\indiceauto{test della derivata seconda per estremi locali@Test della derivata seconda per estremi locali|textbf}Sia $f$ derivabile due volte in un intorno di $x_0$, con $f'(x_0) = 0$. Allora:
\begin{itemize}
  \item se $f''(x_0) > 0$: $x_0$ è \emph{minimo relativo} stretto;
  \item se $f''(x_0) < 0$: $x_0$ è \emph{massimo relativo} stretto;
  \item se $f''(x_0) = 0$: il test è \emph{inconclusivo}; bisogna usare altri strumenti (test della derivata prima, oppure derivate di ordine superiore).
\end{itemize}
\end{teorema}

\textit{Idea della dimostrazione.} Se $f'(x_0) = 0$ e $f''(x_0) > 0$, allora $f$ è (localmente) convessa intorno a $x_0$; in un intorno di un punto a tangente orizzontale di una funzione convessa il grafico sta sopra la tangente orizzontale stessa, cioè $f(x) \ge f(x_0)$, dunque $x_0$ è minimo. Analogamente per il massimo.

\begin{attenzione}
Il caso $f'(x_0) = f''(x_0) = 0$ non dice nulla: serve un'analisi caso per caso. Esempi:
\begin{itemize}
  \item $f(x) = x^4$ in $0$: $f'(0) = f''(0) = 0$, ma $x = 0$ è \emph{minimo} ($f^{(4)}(0) > 0$);
  \item $f(x) = -x^4$ in $0$: $f'(0) = f''(0) = 0$, ma $x = 0$ è \emph{massimo};
  \item $f(x) = x^3$ in $0$: $f'(0) = f''(0) = 0$, ma $x = 0$ è un \emph{flesso a tangente orizzontale} (non estremo);
  \item $f(x) = x^5$ in $0$: stesso comportamento di $x^3$, flesso a tangente orizzontale.
\end{itemize}
\emph{Regola generale (derivate superiori).} Se la prima derivata non nulla in $x_0$ è $f^{(n)}(x_0)$ con $f'(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$, allora: se $n$ è pari, $x_0$ è estremo locale (max se $f^{(n)} < 0$, min se $f^{(n)} > 0$); se $n$ è dispari, $x_0$ è un flesso a tangente orizzontale.
\end{attenzione}

\begin{procedura}[Studio di concavità e flessi con la derivata seconda]
\begin{enumerate}
  \item Determinare il dominio di $f$ e calcolare $f'(x)$ e $f''(x)$.
  \item Risolvere $f''(x) = 0$ e individuare i punti in cui $f''$ non esiste.
  \item Studiare il segno di $f''(x)$ negli intervalli del dominio determinati al punto precedente.
  \item Riportare i risultati in una tabella analoga a quella per $f'$:
  \begin{itemize}
    \item dove $f'' > 0$: $f$ è convessa ($\smile$);
    \item dove $f'' < 0$: $f$ è concava ($\frown$);
    \item nei punti in cui $f''$ cambia segno: \emph{flesso}.
  \end{itemize}
  \item Per ciascun flesso, calcolare le coordinate $(x_0, f(x_0))$ e il coefficiente angolare $f'(x_0)$ della tangente.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Concavità e flessi di $f(x) = x^3 - 3x$]
$f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$. $f''(x) = 0 \iff x = 0$. Segno: $f'' < 0$ per $x < 0$ (concava), $f'' > 0$ per $x > 0$ (convessa). $x = 0$ è un flesso, $f(0) = 0$, $f'(0) = -3$: flesso a tangente obliqua di equazione $y = -3 x$. Confrontato con l'\textsc{Esempio} di AN-014: estremi locali in $x = \pm 1$ (massimo a $-1$, minimo a $1$), il flesso $0$ sta esattamente tra i due estremi.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Test della derivata seconda applicato]
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. $f'(x) = 3x^2 - 12 x + 9 = 3(x-1)(x-3)$, zeri in $x = 1$ e $x = 3$. $f''(x) = 6x - 12$.
\begin{itemize}
  \item $f''(1) = -6 < 0$: $x = 1$ è \textbf{massimo locale}.
  \item $f''(3) = 6 > 0$: $x = 3$ è \textbf{minimo locale}.
\end{itemize}
Inoltre $f''(x) = 0 \iff x = 2$, con cambio di segno: flesso in $x = 2$, $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$, $f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$: flesso a tangente obliqua $y - 3 = -3(x - 2)$, ovvero $y = -3x + 9$.
\end{esempio}

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\section{Flessi a tangente orizzontale, obliqua, verticale}\label{sec:an-015-05-flessi-a-tangente-orizzontale-obliqua-verticale}
\flashsec{AN-015-concavita-flessi}{05}
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I punti di flesso si distinguono a seconda di come si presenta la \emph{tangente} al grafico in quel punto:

\begin{itemize}
  \item \emph{Flesso a tangente orizzontale}: $f'(x_0) = 0$ e la concavità cambia in $x_0$. La tangente coincide con la retta $y = f(x_0)$. Esempio: $f(x) = x^3$ in $x = 0$.
  \item \emph{Flesso a tangente obliqua}: $f'(x_0) \in \R$ ma $f'(x_0) \ne 0$, e la concavità cambia. La tangente ha equazione $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$. Esempio: $f(x) = \sen x$ in $x = 0$, $f'(0) = 1$, tangente $y = x$.
  \item \emph{Flesso a tangente verticale}: $f'(x_0)$ non esiste perché diverge a $\pm\infty$ (cfr.~\ref{cap:AN-011}), e la concavità cambia. La tangente è la retta verticale $x = x_0$. Esempio: $f(x) = \sqrt[3]{x}$ in $x = 0$ ($f$ è continua, $\lim_{x \to 0} f'(x) = +\infty$).
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.78]
  % flesso a tangente orizzontale: x^3
  \begin{scope}[xshift=0cm]
    \draw[->, black] (-2.3, 0) -- (2.3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -2.3) -- (0, 2.3) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=-1.3:1.3, samples=80] plot (\x, {\x*\x*\x});
    \draw[ROSSO, dashed, thick] (-2, 0) -- (2, 0);
    \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
    \node[below] at (0, -2.5) {\small \textbf{orizzontale}: $x^3$};
  \end{scope}
  % flesso a tangente obliqua: sen x in 0
  \begin{scope}[xshift=6cm]
    \draw[->, black] (-2.3, 0) -- (2.3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -2.3) -- (0, 2.3) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=-2:2, samples=80] plot (\x, {sin(deg(\x))*1.5});
    \draw[ROSSO, dashed, thick] (-1.5, -2.25) -- (1.5, 2.25);
    \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
    \node[below] at (0, -2.5) {\small \textbf{obliqua}: $\sen x$};
  \end{scope}
  % flesso a tangente verticale: cuberoot
  \begin{scope}[xshift=12cm]
    \draw[->, black] (-2.3, 0) -- (2.3, 0) node[right] {$x$};
    \draw[->, black] (0, -2.3) -- (0, 2.3) node[above] {$y$};
    \draw[BLU, thick, domain=0.01:1.5, samples=80] plot (\x, {1.5*\x^(1/3)});
    \draw[BLU, thick, domain=-1.5:-0.01, samples=80] plot (\x, {-1.5*(-\x)^(1/3)});
    \draw[ROSSO, dashed, thick] (0, -2) -- (0, 2);
    \filldraw[ROSSO] (0, 0) circle (2pt);
    \node[below] at (0, -2.5) {\small \textbf{verticale}: $\sqrt[3]{x}$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{I tre tipi di flesso: tangente orizzontale (pendenza zero), obliqua (pendenza finita non nulla), verticale (pendenza infinita).}
\label{fig:an-015-tipi-di-flesso}
\end{figure}

\begin{procedura}[Distinguere i tipi di flesso]
Una volta accertato che $x_0$ è un punto di flesso (cambio di concavità):
\begin{enumerate}
  \item Calcolare $f'(x_0)$ (se esiste come limite finito).
  \item Se $f'(x_0) = 0$: flesso a tangente orizzontale.
  \item Se $f'(x_0)$ è un numero finito non nullo: flesso a tangente obliqua.
  \item Se $f'(x_0) = \pm \infty$ (la funzione è continua in $x_0$, ma le derivate laterali divergono entrambe allo stesso infinito): flesso a tangente verticale.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Nota}: i flessi a tangente verticale sono casi particolari di punti di non derivabilità (\ref{cap:AN-011}), ma è importante distinguerli dalle \emph{cuspidi}, in cui le derivate laterali divergono a infiniti di \emph{segno opposto} e la concavità da entrambi i lati è la stessa (la cuspide non è un flesso).

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-015-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Studio completo concavità e flessi di un polinomio]
$f(x) = x^4 - 4 x^3 + 4 x^2$. $f'(x) = 4x^3 - 12 x^2 + 8 x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)$. $f''(x) = 12 x^2 - 24 x + 8 = 4(3 x^2 - 6 x + 2)$. $f''(x) = 0 \iff x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \dfrac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.42; 1.58$. Segno: $f'' > 0$ all'esterno delle radici (concava in alto $\smile$), $f'' < 0$ all'interno ($\frown$).
\[
\begin{array}{c|ccccc}
 & & 1 - \sqrt{3}/3 & & 1 + \sqrt{3}/3 & \\ \hline
f''(x) & + & 0 & - & 0 & + \\
f & \smile & \text{flesso} & \frown & \text{flesso} & \smile
\end{array}
\]
Due punti di flesso, entrambi a tangente obliqua. Numericamente: in $x \approx 0.42$, $f(x) \approx 0.49$; in $x \approx 1.58$, $f(x) \approx 0.49$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Test della derivata seconda inconclusivo: $f(x) = x^4$]
$f'(x) = 4 x^3$, $f''(x) = 12 x^2$. $f'(0) = 0$, $f''(0) = 0$. Il test fallisce. Usiamo il test della derivata prima (\ref{cap:AN-014}): $f' < 0$ per $x < 0$, $f' > 0$ per $x > 0$; cambio $- \to +$: $x = 0$ è \textbf{minimo locale} (anzi, è anche assoluto). Inoltre $f''(x) \ge 0$ ovunque, quindi $f$ è convessa su $\R$ senza flessi.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Esponenziale gaussiana]
$f(x) = e^{-x^2}$ (la famosa ``campana''). $f'(x) = -2 x e^{-x^2}$, $f''(x) = (-2)e^{-x^2} + (-2x)(-2x)e^{-x^2} = (4 x^2 - 2) e^{-x^2} = 2(2 x^2 - 1) e^{-x^2}$. $f''(x) = 0 \iff x = \pm 1/\sqrt{2}$. Segno: $f'' < 0$ per $|x| < 1/\sqrt{2}$ ($\frown$), $f'' > 0$ per $|x| > 1/\sqrt{2}$ ($\smile$). Due flessi simmetrici in $x = \pm 1/\sqrt{2}$, $f(\pm 1/\sqrt{2}) = e^{-1/2} \approx 0.607$, $f'(\pm 1/\sqrt{2}) = \mp \sqrt{2} \, e^{-1/2} \approx \mp 0.858$. La famosa larghezza ``a metà altezza'' della gaussiana è legata proprio alla posizione di questi flessi (in statistica corrispondono ai punti a $\pm 1$ deviazione standard quando $f$ è la densità normale standard).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Logistica]
$f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ (sigmoide). $f'(x) = \dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2} = f(x)(1 - f(x))$. Per calcolare $f''$ scriviamo $f' = f - f^2$ e deriviamo: $f'' = f' - 2 f f' = f'(1 - 2f) = f(1-f)(1 - 2f)$. $f''(x) = 0 \iff f(x) = 1/2 \iff x = 0$. Per $x < 0$, $f < 1/2$ quindi $1 - 2f > 0$, $f'' > 0$: convessa. Per $x > 0$, concava. Flesso in $x = 0$, $f(0) = 1/2$, $f'(0) = 1/4$: tangente $y = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$ (è la migliore approssimazione lineare della sigmoide vicino allo zero).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Flesso a tangente verticale]
$f(x) = \sqrt[3]{x - 1} = (x-1)^{1/3}$. $f'(x) = \frac{1}{3}(x-1)^{-2/3}$, definita per $x \ne 1$, e $\lim_{x \to 1} f'(x) = +\infty$. $f''(x) = -\frac{2}{9}(x-1)^{-5/3}$. Per $x < 1$: $(x-1)^{-5/3} < 0$ quindi $f''(x) > 0$ ($\smile$). Per $x > 1$: $(x-1)^{-5/3} > 0$ quindi $f''(x) < 0$ ($\frown$). La concavità cambia in $x = 1$: \textbf{flesso a tangente verticale}\indiceauto{flesso a tangente verticale@Flesso a tangente verticale} (la funzione è continua in $1$, $f(1) = 0$, e $f'$ diverge a $+\infty$ con stesso segno da entrambi i lati).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Verifica del test della derivata seconda con un quartico ``flesso''-trabocchetto]
$f(x) = x^4 - 4 x$. $f'(x) = 4 x^3 - 4 = 4(x^3 - 1)$, zero in $x = 1$. $f''(x) = 12 x^2$, $f''(1) = 12 > 0$: \textbf{minimo locale} (anzi, assoluto) in $x = 1$, $f(1) = -3$. Verifichiamo che $f''(x) = 0 \iff x = 0$, ma $f''$ \emph{non cambia segno} in $0$ ($f''(x) \ge 0$ ovunque): $x = 0$ è uno zero di $f''$, ma \textbf{non} è un flesso. La funzione è convessa su tutto $\R$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-015-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Determinare gli intervalli di concavità e i punti di flesso delle seguenti funzioni:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = x^3 - 6 x^2 + 9 x$;
    \item $f(x) = x^4 - 6 x^2 + 8 x + 10$;
    \item $f(x) = x^5 - 5 x^4$;
    \item $f(x) = x e^{-x}$.
  \end{enumerate}
  \item Classificare con il test della derivata seconda gli estremi locali di $f(x) = 2 x^3 - 3 x^2 - 12 x + 5$.
  \item Studiare concavità e flessi di $f(x) = \ln(1 + x^2)$ su $\R$.
  \item Studiare concavità e flessi di $f(x) = x + \cos x$ su $[0, 2\pi]$.
  \item Per quali $a \in \R$ la funzione $f(x) = a x^4 - 12 x^2 + 1$ è convessa su tutto $\R$?
  \item Sia $f(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Determinare gli eventuali punti di flesso.
  \item Mostrare che il polinomio $p(x) = x^3 + a x + b$ con $a > 0$ è strettamente crescente e ha esattamente un flesso. Determinare la sua posizione.
  \item Stabilire se $x = 0$ è massimo, minimo o flesso per ciascuna funzione: $f(x) = x^4$, $g(x) = x^5$, $h(x) = x^6$, $k(x) = -x^6$, $\ell(x) = x^4 + x^5$. Motivare con la regola sulle derivate superiori.
  \item Determinare per quali valori di $a, b \in \R$ il polinomio $f(x) = x^3 + a x^2 + b x$ ha un flesso nel punto $(1, 0)$ e tangente con coefficiente angolare $-3$ nel flesso.
  \item Studiare concavità e flessi di $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 1}$. (Attenzione ai punti di non derivabilità!)
  \item Mostrare che, se $f$ è strettamente convessa su un intervallo $I$, allora ha al più un minimo locale, e se ce l'ha è anche assoluto.
  \item Mostrare con un controesempio che il viceversa del teorema ``$f''(x_0) = 0$ è necessaria per un flesso'' è falso, ossia esibire una funzione con $f''(x_0) = 0$ ma $x_0$ \emph{non} flesso (suggerimento: già visto in questo capitolo).
  \item Sia $f(x) = e^{-1/x^2}$ prolungata in $0$ con $f(0) = 0$. Mostrare che $f$ è $C^\infty$ in $0$ con tutte le derivate nulle in $0$. Cosa concludete sulla natura del punto $x = 0$? (Sfida: connessione con le \emph{funzioni analitiche}.)
  \item Mostrare che la funzione $f(x) = x^3 \sen(1/x)$ con $f(0) = 0$ ha un flesso in $0$? Argomentare con cautela, esaminando il segno di $f''$ in un intorno.
  \item \emph{Sfida (disuguaglianza di Jensen).} Sia $f$ convessa su un intervallo $I$ e siano $x_1, \dots, x_n \in I$, $\lambda_1, \dots, \lambda_n \ge 0$ con $\sum \lambda_i = 1$. Mostrare per induzione su $n$ che
  \[
    f\Bigl( \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \Bigr) \le \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).
  \]
  Dedurre, applicando $f = -\ln$ su $\R^+$, che la media geometrica di numeri positivi è $\le$ della media aritmetica.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-015-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Concavità}. Una funzione $f$ è \emph{convessa} ($\smile$) su un intervallo se la corda fra due punti sta sopra il grafico; \emph{concava} ($\frown$) se sta sotto.
  \item \emph{Criterio con $f''$}. Se $f$ è derivabile due volte: $f'' > 0 \Rightarrow$ convessa; $f'' < 0 \Rightarrow$ concava.
  \item \emph{Punto di flesso}: punto dove la concavità cambia. Condizione necessaria (se $f$ è $C^2$): $f''(x_0) = 0$. Non sufficiente ($x^4$ in $0$).
  \item \emph{Test della derivata seconda} per estremi locali. Se $f'(x_0) = 0$:
  \begin{itemize}
    \item $f''(x_0) > 0$ $\Rightarrow$ minimo;
    \item $f''(x_0) < 0$ $\Rightarrow$ massimo;
    \item $f''(x_0) = 0$ $\Rightarrow$ inconclusivo: usare il test della derivata prima, o la regola sulle derivate superiori (prima derivata non nulla $f^{(n)}$: $n$ pari $\Rightarrow$ estremo, $n$ dispari $\Rightarrow$ flesso a tangente orizzontale).
  \end{itemize}
  \item \emph{Tipi di flesso} secondo la tangente: orizzontale ($f'(x_0) = 0$), obliqua ($f'(x_0)$ finita $\ne 0$), verticale ($f'(x_0) = \pm \infty$).
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-016}) raccoglieremo tutti gli strumenti --- dominio, segno, limiti, asintoti, monotonia, concavità --- nello schema dello \emph{studio completo di funzione}.
\end{itemize}
\end{riepilogo}