\chapter{Studio completo di funzione}\label{cap:AN-016}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-016-studio-funzione}
\geesexercises{mt27}
\sorgentecap{AN-016}
\matematika{AN-016}
  Per quanto sia difficile definire una funzione con una sola formula generale, è sempre possibile, una volta data la sua espressione, indagarne il comportamento: dove cresce e dove decresce, dove raggiunge i suoi massimi e minimi, e disegnarne il grafico nel piano.%
}{Leonhard Euler, \emph{Introductio in analysin infinitorum} (1748), libro~II, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-016-01-introduzione-motivazionale}
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Lo \emph{studio di funzione} è il capitolo culmine di tutta l'analisi liceale: è il punto in cui ogni strumento acquisito --- dominio (\ref{cap:RF-001}), limiti (\ref{cap:AN-002}), continuità (\ref{cap:AN-005}), asintoti (\ref{cap:AN-007}), derivata (\ref{cap:AN-008}), monotonia e estremi (\ref{cap:AN-014}), concavità e flessi (\ref{cap:AN-015}) --- viene messo al lavoro \emph{insieme}, con l'obiettivo unico di tracciare il grafico qualitativo di una funzione assegnata e di interpretarne il comportamento.

L'esperienza didattica suggerisce che lo studio di funzione si fa seguendo uno \emph{schema fisso}: dapprima si raccoglie informazione globale (dominio, simmetrie, segno, intersezioni), poi si analizza il comportamento ``ai bordi'' (limiti e asintoti), infine si scava nei dettagli locali (crescenza, estremi, concavità, flessi) usando le derivate. La conclusione è un \emph{grafico qualitativo} fedele al comportamento della funzione, sufficiente a rispondere a tutte le domande tipiche dell'analisi e dei problemi applicativi (\ref{cap:AN-018}). Una volta padroneggiata, questa procedura è la più ricca \emph{summa} di tecnica matematica che il liceo offra.

\medskip

\emph{Nota storica}. La possibilità di studiare una funzione tramite \emph{calcolo} (e non solo per via grafica/geometrica) nasce nel Settecento con Eulero, che nell'\emph{Introductio} del 1748 e nelle \emph{Institutiones calculi differentialis} del 1755 fornì la prima trattazione sistematica del concetto moderno di funzione e dei suoi ``invarianti'' analitici. Cauchy, nel suo \emph{Cours d'analyse} (1821), trasformò questo programma in un metodo rigoroso, che è essenzialmente quello che usiamo ancora oggi.

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\section{Schema dello studio di funzione}\label{sec:an-016-02-schema-dello-studio-di-funzione}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{02}
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Lo studio completo di una funzione $f$ si articola in punti standardizzati. Lo schema non è dogmatico --- l'ordine può variare a seconda della funzione --- ma è una buona guida operativa.

\begin{procedura}[Schema dello studio di funzione]
\begin{enumerate}
  \item \emph{Dominio} $D$ di $f$.
  \item \emph{Eventuali simmetrie}: $f$ pari ($f(-x) = f(x)$), dispari ($f(-x) = -f(x)$), periodica ($f(x + T) = f(x)$). Le simmetrie permettono di restringere lo studio.
  \item \emph{Intersezioni con gli assi}: con $x$ (zeri di $f$), con $y$ (valore $f(0)$ se $0 \in D$).
  \item \emph{Segno di $f$}: dove $f(x) > 0$ e dove $f(x) < 0$.
  \item \emph{Limiti agli estremi del dominio} (o dei suoi intervalli di definizione): in particolare ai punti che separano gli intervalli e a $\pm\infty$ se rilevante.
  \item \emph{Asintoti}: verticali, orizzontali, obliqui (\ref{cap:AN-007}).
  \item \emph{Derivata prima} $f'(x)$: dominio di $f'$, eventuali punti di non derivabilità, zeri di $f'$ (punti critici), segno di $f'$, intervalli di monotonia, massimi e minimi locali (\ref{cap:AN-014}).
  \item \emph{Derivata seconda} $f''(x)$: segno, intervalli di concavità/convessità, punti di flesso e tipi (\ref{cap:AN-015}).
  \item \emph{Tabella riassuntiva} con i comportamenti di $f, f', f''$.
  \item \emph{Tracciato qualitativo} del grafico nel piano.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Consigli pratici}.
\begin{itemize}
  \item Calcola $f'$ solo dopo aver studiato dominio e segno: spesso il dominio di $f'$ è un sottoinsieme di quello di $f$.
  \item Se le derivate $f'$, $f''$ sono complicate, fattorizzale finché puoi: il segno si studia molto più facilmente sul prodotto.
  \item Non dimenticare le simmetrie: se $f$ è pari/dispari, studia solo $x \ge 0$ e riporta per simmetria.
  \item Verifica la coerenza fra i pezzi: se il segno di $f'$ dice crescente ma il limite a $+\infty$ è negativo e quello a $-\infty$ è positivo, c'è un errore.
\end{itemize}

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\section{Dominio e intersezioni con gli assi}\label{sec:an-016-03-dominio-intersezioni-con-gli-assi}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{03}
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\emph{Dominio}. Si determina imponendo le condizioni di esistenza tipiche:
\begin{itemize}
  \item \emph{denominatori} $\ne 0$ (frazioni algebriche);
  \item \emph{radicandi} $\ge 0$ per le radici di indice pari ($\sqrt[\,2n\,]{\cdot}$);
  \item \emph{argomenti dei logaritmi} $> 0$;
  \item \emph{argomenti di $\arcsen$, $\arccos$} compresi in $[-1, 1]$;
  \item \emph{argomenti di $\tg$} diversi da $\pi/2 + k\pi$, di $\cotg$ da $k\pi$.
\end{itemize}
Le condizioni si intersecano (\emph{tutte} devono valere contemporaneamente).

\emph{Intersezioni con gli assi}.
\begin{itemize}
  \item Con l'asse $y$: $x = 0$. Calcolare $f(0)$ se $0 \in D$. (Massimo un punto: $(0, f(0))$.)
  \item Con l'asse $x$: $y = 0$. Risolvere l'equazione $f(x) = 0$. (Possono essere zero, uno o più punti, anche infiniti.)
\end{itemize}

\begin{esempio}[Dominio e intersezioni di $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$]
Dominio: denominatore $\ne 0$, cioè $x \ne 2$. $D = \R \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

Intersezione con asse $y$: $f(0) = -1/(-2) = 1/2$, punto $(0, 1/2)$. Intersezione con asse $x$: $x^2 - 1 = 0 \iff x = \pm 1$, punti $(-1, 0)$ e $(1, 0)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Dominio di $f(x) = \ln(x^2 - 4)$]
Condizione: $x^2 - 4 > 0 \iff x < -2$ oppure $x > 2$. Dunque $D = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
\end{esempio}

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\section{Segno della funzione}\label{sec:an-016-04-segno-della-funzione}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{04}
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Lo studio del segno di $f$ dice in quali parti del dominio il grafico sta sopra l'asse $x$ ($f > 0$) e in quali parti sta sotto ($f < 0$). Si conducono come disequazioni.

\begin{procedura}[Segno per quoziente di polinomi]
$f(x) = P(x)/Q(x)$:
\begin{enumerate}
  \item Studiare separatamente i segni di $P$ e di $Q$.
  \item Usare la regola dei segni del quoziente.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Segno di $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$]
$P(x) = x^2 - 1 \ge 0 \iff x \le -1 \lor x \ge 1$. $Q(x) = x - 2 > 0 \iff x > 2$. Tabella:
\[
\begin{array}{c|ccccccc}
 & & -1 & & 1 & & 2 & \\ \hline
P(x) & + & 0 & - & 0 & + & + & + \\
Q(x) & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & - & 0 & + & 0 & - & \nexists & +
\end{array}
\]
Dunque $f > 0$ su $(-1, 1) \cup (2, +\infty)$, $f < 0$ su $(-\infty, -1) \cup (1, 2)$, e $f = 0$ in $x = \pm 1$.
\end{esempio}

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\section{Limiti e asintoti}\label{sec:an-016-05-limiti-e-asintoti}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{05}
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Si calcolano i limiti di $f$ agli estremi degli intervalli del dominio:
\begin{itemize}
  \item \emph{a $\pm\infty$} se il dominio non è limitato: forniscono asintoti orizzontali o obliqui;
  \item \emph{ai punti dove $f$ non è definita} (punti esclusi dal dominio): se il limite è $\pm\infty$, c'è un asintoto verticale;
  \item \emph{agli estremi finiti del dominio} che ne fanno parte: per completezza descrittiva.
\end{itemize}

Per la procedura completa di ricerca degli asintoti, vedi \ref{cap:AN-007}.

\begin{esempio}[Limiti e asintoti di $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-2}$]
\emph{A $\pm \infty$}: grado numeratore = grado denominatore + 1, quindi NO asintoto orizzontale, possibile asintoto obliquo. Dividiamo $(x^2 - 1) : (x - 2) = x + 2$, resto $3$. Cioè
\[
  f(x) = x + 2 + \frac{3}{x - 2}.
\]
Quindi $f(x) - (x + 2) = 3/(x - 2) \to 0$ a $\pm\infty$: asintoto obliquo $y = x + 2$ ad entrambi.

\emph{In $x = 2$}: $\lim_{x \to 2^-} (x+2 + 3/(x-2)) = 4 + 3 \cdot (-\infty) = -\infty$. $\lim_{x \to 2^+} = +\infty$. Asintoto verticale $x = 2$ (bilaterale).
\end{esempio}

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\section{Crescenza ed estremi}\label{sec:an-016-06-crescenza-ed-estremi}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{06}
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Si calcola $f'(x)$ e se ne studia il segno. Da qui si ricavano:
\begin{itemize}
  \item gli \emph{intervalli di monotonia} (crescenza e decrescenza);
  \item i \emph{punti critici} (zeri di $f'$) e i \emph{punti di non derivabilità}, con la loro classificazione (massimo locale, minimo locale, flesso a tangente orizzontale, punto angoloso, ecc.) tramite il test della derivata prima (\ref{cap:AN-014});
  \item gli \emph{estremi assoluti} se il dominio è chiuso e limitato (Weierstrass) o se si discutono i limiti agli estremi.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Derivata di $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-2}$]
Usando la forma $f(x) = x + 2 + 3/(x-2)$:
\[
  f'(x) = 1 - \frac{3}{(x-2)^2} = \frac{(x-2)^2 - 3}{(x-2)^2}.
\]
$f'(x) = 0 \iff (x-2)^2 = 3 \iff x = 2 \pm \sqrt{3}$. Segno: numeratore $(x-2)^2 - 3 > 0 \iff |x-2| > \sqrt{3}$; il denominatore è sempre $> 0$ (tranne $x=2$). Quindi $f' > 0$ per $x < 2 - \sqrt{3}$ e $x > 2 + \sqrt{3}$; $f' < 0$ per $2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3}$ ($x \ne 2$).

In $x = 2 - \sqrt{3} \approx 0.27$: cambio $+ \to -$, \textbf{massimo locale}. $f(2-\sqrt{3}) = (2-\sqrt{3}) + 2 + 3/(-\sqrt{3}) = 4 - \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0.54$.

In $x = 2 + \sqrt{3} \approx 3.73$: cambio $- \to +$, \textbf{minimo locale}. $f(2+\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} \approx 7.46$.

Curiosità: il \emph{minimo locale è maggiore del massimo locale}! Questo accade perché i due estremi locali si trovano in \emph{rami diversi} del grafico (separati dall'asintoto verticale $x = 2$).
\end{esempio}

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\section{Concavità e flessi}\label{sec:an-016-07-concavita-e-flessi}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{07}
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Si calcola $f''(x)$ e se ne studia il segno, ottenendo gli intervalli di concavità (\ref{cap:AN-015}) e i punti di flesso (zeri di $f''$ dove il segno cambia).

\begin{esempio}[Concavità di $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-2}$]
Da $f'(x) = 1 - 3(x-2)^{-2}$, deriviamo
\[
  f''(x) = 6(x-2)^{-3} = \frac{6}{(x-2)^3}.
\]
$f''$ non si annulla mai (no flessi) ed ha il segno di $(x-2)^3$: $f'' < 0$ per $x < 2$ (concava, $\frown$), $f'' > 0$ per $x > 2$ (convessa, $\smile$).
\end{esempio}

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\section{Tracciato del grafico}\label{sec:an-016-08-tracciato-del-grafico}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{08}
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Una volta raccolte tutte le informazioni, si traccia il grafico qualitativo. La procedura standard:

\begin{procedura}[Tracciato del grafico]
\begin{enumerate}
  \item Disegnare gli assi cartesiani e gli asintoti (verticali, orizzontali, obliqui).
  \item Marcare le intersezioni con gli assi.
  \item Marcare i massimi e i minimi locali e i flessi, con le loro coordinate.
  \item Tracciare il grafico, rispettando: il segno di $f$ (sopra/sotto $x$), la crescenza, la concavità, l'avvicinamento agli asintoti.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
  % funzione (x^2-1)/(x-2) = x + 2 + 3/(x-2)
  \draw[->, black] (-5.3, 0) -- (6.3, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, black] (0, -4.3) -- (0, 6.3) node[above] {$y$};
  % asintoto verticale x = 2
  \draw[ARANCIO, dashed, thick] (2, -4.2) -- (2, 6.2) node[above, ARANCIO] {\small $x=2$};
  % asintoto obliquo y = x + 2
  \draw[ARANCIO, dashed, thick] (-5, -3) -- (4, 6) node[above right, ARANCIO] {\small $y=x+2$};
  % ramo sinistro x < 2 (concava): partiamo da -infty asintoto obliquo y=x+2, andiamo verso 2 dal basso a -infty; passiamo per (-1,0), (0,0.5), massimo locale a (0.27, 0.54)
  \draw[BLU, thick, domain=-5:1.65, samples=120] plot (\x, {(\x*\x - 1)/(\x - 2)});
  % continuiamo verso x=2-: deve scendere a -infty
  \draw[BLU, thick, domain=1.65:1.95, samples=80] plot (\x, {(\x*\x - 1)/(\x - 2)});
  % ramo destro x > 2: dall'alto +infty, scende al minimo (3.73, 7.46), poi cresce e si avvicina a y=x+2
  \draw[BLU, thick, domain=2.05:2.5, samples=80] plot (\x, {(\x*\x - 1)/(\x - 2)});
  \draw[BLU, thick, domain=2.5:6, samples=120] plot (\x, {(\x*\x - 1)/(\x - 2)});
  % punti notevoli
  \filldraw[ROSSO] (-1, 0) circle (1.5pt);
  \filldraw[ROSSO] (1, 0) circle (1.5pt);
  \filldraw[VERDE!60!black] (0, 0.5) circle (1.5pt);
  \filldraw[VIOLA] (0.27, 0.54) circle (2pt) node[above left] {\small max};
  \filldraw[VIOLA] (3.73, 7.46) circle (2pt) node[right] {\small min};
\end{tikzpicture}
\caption{Grafico di $f(x) = (x^2-1)/(x-2)$. Asintoti $y = x + 2$ (obliquo) e $x = 2$ (verticale). Massimo locale in $(2 - \sqrt{3}, 4 - 2\sqrt{3})$, minimo locale in $(2 + \sqrt{3}, 4 + 2\sqrt{3})$. Concavità: $\frown$ per $x < 2$, $\smile$ per $x > 2$.}
\label{fig:an-016-studio-completo}
\end{figure}

\medskip

\emph{Tabella riassuntiva}. È utile compilare una tabella con i segni di $f'$, $f''$ e l'andamento di $f$:

\[
\begin{array}{c|cccccccccc}
x & -\infty & & 2-\sqrt{3} & & 2 & & 2+\sqrt{3} & & +\infty \\ \hline
f'(x) & & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + & \\
f''(x) & & - & - & - & \nexists & + & + & + & \\
f(x) & -\infty & \nearrow \frown & \max & \searrow \frown & \nexists & \searrow \smile & \min & \nearrow \smile & +\infty
\end{array}
\]

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\section{Lettura del grafico (problema inverso)}\label{sec:an-016-09-lettura-del-grafico-problema-inverso}
\flashsec{AN-016-studio-funzione}{09}
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Il \emph{problema inverso} consiste nel ricavare informazioni quantitative o qualitative su $f$, $f'$ e $f''$ dato il grafico di una di esse (in particolare di $f$). È un esercizio molto richiesto, perché verifica che lo studente abbia compreso il significato di derivata e derivata seconda al di là del puro calcolo algebrico.

\begin{procedura}[Dal grafico di $f$ alle informazioni su $f'$ e $f''$]
\begin{itemize}
  \item Negli intervalli dove $f$ è \emph{crescente}, $f' > 0$; dove $f$ è \emph{decrescente}, $f' < 0$.
  \item Nei punti di \emph{massimo o minimo locale} di $f$, $f' = 0$ (se $f$ è derivabile).
  \item Negli intervalli dove $f$ è \emph{convessa} ($\smile$), $f'' > 0$; dove è \emph{concava} ($\frown$), $f'' < 0$.
  \item Nei punti di \emph{flesso} di $f$, $f'' = 0$ (se $f''$ esiste).
  \item Negli \emph{asintoti verticali} di $f$, $f$ ha limite $\pm\infty$. Vicino a essi anche $|f'|$ in genere diverge.
\end{itemize}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Dal grafico di $f$ a quello di $f'$]
Sia $f$ con grafico che assomiglia a una ``S allungata'' avente:
\begin{itemize}
  \item massimo locale in $x = 0$ con $f(0) = 2$;
  \item minimo locale in $x = 3$ con $f(3) = -1$;
  \item flesso in $x \approx 1.5$.
\end{itemize}
Allora $f'$ avrà: zero in $x = 0$ (cambio $+ \to -$), zero in $x = 3$ (cambio $- \to +$), e \emph{minimo} in $x \approx 1.5$ (perché $f' = $ ``pendenza di $f$'', che è minima dove la pendenza scende di più, cioè al flesso da concavo a convesso).
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-016-10-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Studio completo di $f(x) = x e^{-x}$]
\textbf{1. Dominio}: $\R$.

\textbf{2. Simmetrie}: nessuna (mescola $x$ e $e^{-x}$).

\textbf{3. Intersezioni}: $f(0) = 0$; $f(x) = 0 \iff x = 0$ (poiché $e^{-x} > 0$). Unico zero: $(0, 0)$.

\textbf{4. Segno}: $e^{-x} > 0$ ovunque, quindi $\segno f = \segno x$. $f > 0$ per $x > 0$, $f < 0$ per $x < 0$.

\textbf{5--6. Limiti e asintoti}:
\begin{itemize}
  \item $\lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty \cdot +\infty = -\infty$. Nessun AO. Verifica AOBL: $f(x)/x = e^{-x} \to +\infty$, NO AOBL.
  \item $\lim_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0^+$ (gerarchia degli infiniti: $e^x \gg x$). Asintoto orizzontale $y = 0$ a $+\infty$.
\end{itemize}

\textbf{7. Derivata prima}: $f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$. Zero in $x = 1$. Segno: $e^{-x} > 0$, quindi $\segno f' = \segno(1 - x)$: $f' > 0$ per $x < 1$, $f' < 0$ per $x > 1$. \textbf{Massimo locale (e assoluto) in $x = 1$}, $f(1) = e^{-1} \approx 0.368$.

\textbf{8. Derivata seconda}: $f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)$. Zero in $x = 2$. Segno: $f'' < 0$ per $x < 2$ ($\frown$), $f'' > 0$ per $x > 2$ ($\smile$). \textbf{Flesso in $x = 2$}, $f(2) = 2 e^{-2} \approx 0.271$. $f'(2) = -e^{-2}$: flesso a tangente obliqua di pendenza $-e^{-2}$.

\textbf{9. Tabella}:
\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & 1 & & 2 & & +\infty \\ \hline
f'(x) & & + & 0 & - & - & - & \\
f''(x) & & - & - & - & 0 & + & \\
f(x) & -\infty & \nearrow \frown & \max & \searrow \frown & \text{flex} & \searrow \smile & 0^+
\end{array}
\]

\textbf{10. Tracciato}: la funzione parte da $-\infty$ a sinistra (crescendo), passa per l'origine, raggiunge il massimo $(1, 1/e)$, scende attraverso il flesso $(2, 2/e^2)$, e si accosta asintoticamente all'asse $x$ da sopra.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  \draw[->, black] (-1.3, 0) -- (5.3, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, black] (0, -2.3) -- (0, 1.3) node[above] {$y$};
  \draw[BLU, thick, domain=-1:5, samples=120] plot (\x, {\x * exp(-\x) * 2.5});
  \filldraw[VIOLA] (1, 0.92) circle (2pt) node[above right] {\small max $(1, 1/e)$};
  \filldraw[ROSSO] (2, 0.68) circle (2pt) node[above right] {\small flesso $(2, 2/e^2)$};
  \filldraw[VERDE!60!black] (0, 0) circle (1.5pt) node[above left] {\small $O$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Studio completo di $f(x) = \ln(x^2 + 1)$]
\textbf{Dominio}\indiceauto{dominio@Dominio}: $x^2 + 1 > 0$ sempre, $D = \R$.

\textbf{Simmetrie}: $f(-x) = \ln((-x)^2 + 1) = \ln(x^2 + 1) = f(x)$: \emph{pari}. Studio per $x \ge 0$.

\textbf{Intersezioni}: $f(0) = \ln 1 = 0$. Zeri: $\ln(x^2 + 1) = 0 \iff x^2 + 1 = 1 \iff x = 0$.

\textbf{Segno}: $x^2 + 1 \ge 1$, quindi $\ln \ge 0$: $f \ge 0$, con uguaglianza solo in $x = 0$.

\textbf{Limiti}: $\lim_{x \to \pm \infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty$. AOBL: $f(x)/x = \ln(x^2+1)/x$. A $+\infty$: $\ln(x^2)/x = 2\ln x / x \to 0$, dunque $m = 0$, no AOBL (è solo asintotico l'ordine inferiore al lineare).

\textbf{Derivata prima}: $f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$. Zero in $x = 0$. $\segno f' = \segno x$: $f' < 0$ per $x < 0$, $f' > 0$ per $x > 0$. \textbf{Minimo assoluto in $x = 0$}, $f(0) = 0$.

\textbf{Derivata seconda}:
\[
  f''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2 - 2 x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2}.
\]
$f''(x) = 0 \iff x = \pm 1$. Segno: $f'' > 0$ per $|x| < 1$ ($\smile$), $f'' < 0$ per $|x| > 1$ ($\frown$). \textbf{Flessi in $x = \pm 1$}, $f(\pm 1) = \ln 2 \approx 0.693$.

Tracciato: una funzione pari, con minimo in $0$, che cresce simmetricamente verso $+\infty$ ma a un ritmo \emph{logaritmico} (più lento di ogni retta).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione irrazionale: $f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$]
\textbf{Dominio}: $x^2 - 1 \ge 0 \iff |x| \ge 1$. $D = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.

\textbf{Simmetrie}: pari ($f(-x) = f(x)$).

\textbf{Intersezioni}: $f(\pm 1) = 0$. Niente intersezione con asse $y$ ($0 \notin D$).

\textbf{Segno}: $f \ge 0$ sempre.

\textbf{Limiti}: $\lim_{x \to \pm\infty} \sqrt{x^2 - 1} = +\infty$. AOBL a $+\infty$: $m = \lim \sqrt{x^2-1}/x = 1$; $q = \lim (\sqrt{x^2-1} - x) = \lim \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x} = 0$. AOBL: $y = x$. Per simmetria, a $-\infty$: $y = -x$.

\textbf{Derivata prima}: $f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$. Definita per $|x| > 1$. In $x = \pm 1$ la derivata diverge a $\pm\infty$: \emph{tangente verticale} (i punti $(\pm 1, 0)$ hanno tangente verticale; il grafico parte verticalmente). Segno: $\segno f' = \segno x$ sul dominio. $f$ decresce su $(-\infty, -1]$, cresce su $[1, +\infty)$. Minimo assoluto $f(\pm 1) = 0$.

\textbf{Derivata seconda}: dopo qualche calcolo, $f''(x) = -1/(x^2 - 1)^{3/2} < 0$ sul dominio: \emph{sempre concava}. Niente flessi.

\emph{Osservazione geometrica}: $y = \sqrt{x^2 - 1}$ è il ramo superiore dell'\emph{iperbole equilatera} $x^2 - y^2 = 1$ (\ref{cap:GA-005}). Gli asintoti $y = \pm x$ del nostro studio ritrovano i \emph{due} asintoti dell'iperbole.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Lettura del grafico: dal grafico di $f$ a quelli di $f'$ e $f''$]
Si consideri una funzione $f$ continua su $[-3, 3]$, con grafico crescente su $[-3, 0]$, decrescente su $[0, 2]$, crescente su $[2, 3]$. Si supponga inoltre che il grafico sia convesso ($\smile$) su $[-3, -1]$, concavo ($\frown$) su $[-1, 1]$ e convesso ($\smile$) su $[1, 3]$.

Allora:
\begin{itemize}
  \item $f'$ è positiva su $(-3, 0)$, negativa su $(0, 2)$, positiva su $(2, 3)$, con zeri in $x = 0$ (max locale) e $x = 2$ (min locale).
  \item $f''$ è positiva su $(-3, -1) \cup (1, 3)$, negativa su $(-1, 1)$, con zeri in $x = \pm 1$ (due punti di flesso di $f$).
  \item $f'$ ha un massimo locale in $x = -1$ (dove $f''$ passa da $+$ a $-$) e un minimo locale in $x = 1$ (dove $f''$ passa da $-$ a $+$).
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-016-11-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Studiare le seguenti funzioni razionali e tracciarne il grafico qualitativo:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$;
    \item $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$;
    \item $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1}$;
    \item $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 + 1}$.
  \end{enumerate}
  \item Studiare le seguenti funzioni irrazionali:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = \sqrt{x^2 + 4 x}$;
    \item $f(x) = x \sqrt{1 - x^2}$ su $[-1, 1]$;
    \item $f(x) = \sqrt[3]{x^3 - 3 x}$.
  \end{enumerate}
  \item Studiare le funzioni esponenziali/logaritmiche:
  \begin{enumerate}
    \item $f(x) = x^2 e^{-x}$;
    \item $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$;
    \item $f(x) = e^{1/x}$;
    \item $f(x) = x - \ln(1 + x^2)$.
  \end{enumerate}
  \item Studiare la funzione $f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{-x}}$ (la \emph{sigmoide logistica}) e disegnarne il grafico, evidenziando l'asintoto a $\pm\infty$, la simmetria centrale in $(0, 1/2)$, e il flesso in $x = 0$.
  \item Studiare la funzione $f(x) = \sen x + \cos x$ su $[0, 2\pi]$ e determinarne estremi e flessi.
  \item Sia $f(x) = x + \dfrac{1}{x}$. Mostrare che $f$ ha simmetria \emph{dispari}, calcolare massimi, minimi e asintoti, e disegnare il grafico.
  \item Sia $f(x) = \arctg(x^2 - 1)$. Determinare dominio, simmetrie, asintoti, monotonia e concavità.
  \item Sia $f$ continua su $\R$ con grafico simmetrico rispetto all'asse $y$, con massimo assoluto $f(0) = 4$ e $\lim_{x \to \pm\infty} f = 0^+$, due flessi in $x = \pm 1$. Disegnare un grafico plausibile e descrivere il grafico di $f'$.
  \item Sia $f$ derivabile su $\R$ con $f' > 0$ ovunque, $f'' < 0$ ovunque, $\lim_{x \to -\infty} f = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f = 5$. Disegnare un grafico plausibile di $f$ e descrivere $f''$.
  \item Determinare per quali $a \in \R$ la funzione $f(x) = x^3 + a x^2 + 3 x + 1$ ha due punti critici. Per tali $a$, classificare i due punti.
  \item \emph{Problema inverso}. Il grafico di $f'$ è una parabola con vertice in $(2, -1)$ e zeri in $x = 1$ e $x = 3$. Sapendo che $f(1) = 0$, descrivere il comportamento di $f$: monotonia, estremi, concavità.
  \item Studiare la famiglia di funzioni $f_a(x) = e^{-x^2/(2 a^2)}$ (gaussiane di parametro $a > 0$): determinare massimo, flessi, e mostrare come variano con $a$.
  \item Sia $f(x) = (1 + 1/x)^x$. Determinare il dominio e calcolare $\lim_{x \to +\infty} f$ (risposta: $e$). Discutere monotonia e disegnare un grafico qualitativo.
  \item Studiare $f(x) = x^x$ su $(0, +\infty)$ (suggerimento: scrivere $f(x) = e^{x \ln x}$). Determinare l'eventuale minimo.
  \item \emph{Sfida.} Si consideri $f(x) = \dfrac{x}{\ln x}$ su $(0, 1) \cup (1, +\infty)$. Determinare dominio, asintoti (verticali e obliqui), estremi locali, concavità. Mostrare in particolare che esiste un minimo locale in $x = e$, $f(e) = e$. (Questa funzione compare nella stima del numero di primi $\le N$ in teoria dei numeri: il \emph{teorema dei numeri primi} dice $\pi(N) \sim N/\ln N$.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-016-12-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Schema dello studio di funzione}: dominio $\to$ simmetrie $\to$ intersezioni con gli assi $\to$ segno $\to$ limiti $\to$ asintoti $\to$ $f'$ (monotonia ed estremi) $\to$ $f''$ (concavità e flessi) $\to$ tabella riassuntiva $\to$ grafico.
  \item \emph{Dominio}: imporre le condizioni di esistenza (denominatori, radicali pari, logaritmi, funzioni inverse goniometriche).
  \item \emph{Limiti agli estremi del dominio}: calcolarli ai punti esclusi e a $\pm\infty$ per individuare asintoti verticali (limite infinito a un punto finito), orizzontali (limite finito a $\pm\infty$), obliqui (limite infinito a $\pm\infty$ con $f(x)/x \to m$ finito non nullo e $f(x) - m x \to q$ finito).
  \item \emph{Studio di $f'$}: zero $f' = 0 \to$ punti critici, segno $f' \to$ monotonia, test della derivata prima $\to$ classificazione max/min/flesso a tangente orizzontale.
  \item \emph{Studio di $f''$}: zeri $f'' = 0 \to$ candidati flesso, segno $f'' \to$ concavità ($\smile$ se $f'' > 0$, $\frown$ se $f'' < 0$), cambio segno $\to$ flesso.
  \item \emph{Grafico qualitativo}: disegnare asintoti, intersezioni, max/min, flessi, e tracciare la curva rispettando segno, monotonia, concavità.
  \item \emph{Problema inverso}: dal grafico di $f$ si ricavano qualitativamente quelli di $f'$ (positiva dove $f$ cresce, ecc.) e di $f''$ (positiva dove $f$ è convessa). È una palestra concettuale fondamentale.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-017}) introduciamo il \emph{differenziale} $\mathrm{d}f = f'(x) \mathrm{d}x$ e l'\emph{approssimazione lineare}, uno strumento concettualmente collegato (la tangente come prima approssimazione locale) e di immediato utilizzo per la stima degli errori in fisica. In \ref{cap:AN-018} useremo l'apparato dello studio di funzione per affrontare problemi di massimo e minimo applicati.
\end{itemize}
\end{riepilogo}