\chapter{Integrali immediati e quasi-immediati}\label{cap:AN-020}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-020-integrali-immediati}
\geesexercises{mt28}
\sorgentecap{AN-020}
\matematika{AN-020}
  Il calcolo integrale è il metodo per ritrovare, a partire da una relazione differenziale, la grandezza variabile da cui essa proviene. Esso si fonda interamente sull'inversione delle regole di derivazione: ogni regola del calcolo differenziale produce, letta al contrario, una regola di integrazione.%
}{Leonhard Euler, \emph{Institutiones calculi integralis} (1768), prefazione, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-020-01-introduzione-motivazionale}
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Nel capitolo \ref{cap:AN-019} abbiamo introdotto la tabella delle \emph{primitive immediate} delle funzioni elementari. In questo capitolo ampliamo la nostra capacità operativa di calcolo, sfruttando una sola idea-chiave, semplice e potente: la \emph{regola della catena al contrario}.

Ricordiamo che, derivando una funzione composta $F(g(x))$, otteniamo $F'(g(x)) \cdot g'(x)$. Letta al contrario, questa identità ci dice che
\[
  \int f(g(x)) \cdot g'(x)\,\mathrm{d}x = F(g(x)) + c, \qquad \text{con } F' = f.
\]
In pratica: se nell'integranda riconosciamo una funzione composta moltiplicata per la \emph{derivata della funzione interna}, possiamo integrare ``come se'' la funzione interna fosse la nostra variabile. Gli integrali che hanno questa struttura si dicono \emph{quasi-immediati}: non sono direttamente in tabella, ma diventano immediati una volta identificato il pattern.

Questa tecnica, talvolta chiamata \emph{integrazione per riconoscimento}, è la prima vera competenza operativa del calcolo integrale: padroneggiarla è essenziale prima di affrontare le tecniche più sofisticate (sostituzione, parti, fratti) che vedremo in \ref{cap:AN-021} e \ref{cap:AN-022}.

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\section{Integrali delle funzioni elementari}\label{sec:an-020-02-integrali-delle-funzioni-elementari}
\flashsec{AN-020-integrali-immediati}{02}
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Riprendiamo la tabella di \ref{cap:AN-019}, completandola con qualche riga aggiuntiva che ricorre spesso nella pratica.

\begin{formulabox}
\begin{center}
\textbf{Tabella delle primitive immediate (estesa)}
\smallskip
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textbf{Integranda} & \textbf{Primitiva} \\
\hline
$x^n$ ($n \ne -1$) & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ \\
$\dfrac{1}{x}$ & $\ln |x| + c$ \\
$e^x$ & $e^x + c$ \\
$a^x$ ($a > 0, a \ne 1$) & $\dfrac{a^x}{\ln a} + c$ \\
$\sen x$ & $-\cos x + c$ \\
$\cos x$ & $\sen x + c$ \\
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ & $\tg x + c$ \\
$\dfrac{1}{\sen^2 x}$ & $-\cotg x + c$ \\
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ & $\arcsen x + c$ \\
$\dfrac{1}{1 + x^2}$ & $\arctg x + c$ \\
\hline
$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$ & $\arcsen \dfrac{x}{a} + c$ \\
$\dfrac{1}{a^2 + x^2}$ & $\dfrac{1}{a}\arctg \dfrac{x}{a} + c$ \\
$\dfrac{1}{x^2 - a^2}$ & $\dfrac{1}{2 a} \ln \left|\dfrac{x - a}{x + a}\right| + c$ \\
$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + k}}$ & $\ln \left| x + \sqrt{x^2 + k} \right| + c$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

Ciascuna riga si verifica derivando la primitiva, esattamente come fatto nel capitolo precedente.

\begin{esempio}[Verifica di una primitiva con parametro]
Verifichiamo $\int \dfrac{1}{a^2 + x^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{a}\arctg \dfrac{x}{a} + c$. Derivando il secondo membro:
\[
  \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( \dfrac{1}{a} \arctg \dfrac{x}{a} \right) = \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{1 + (x/a)^2} \cdot \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2 + x^2}. \quad \checkmark
\]
\end{esempio}

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\section{Integrali immediati riconducibili}\label{sec:an-020-03-integrali-immediati-riconducibili}
\flashsec{AN-020-integrali-immediati}{03}
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Molti integrali apparentemente complessi si riducono a immediati \emph{semplificando algebricamente} l'integranda. Le tecniche più comuni sono:

\begin{itemize}
  \item \emph{Distribuzione}: $\int (f + g) = \int f + \int g$ (linearità).
  \item \emph{Divisione di un polinomio}: se l'integranda è $P(x)/Q(x)$ con $\deg P \ge \deg Q$, si effettua la divisione e si integra termine a termine.
  \item \emph{Razionalizzazione}: portare a esponente le radici.
  \item \emph{Identità trigonometriche}: $\sen^2 x = (1 - \cos 2x)/2$, $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$, $\sen x \cos x = (\sen 2x)/2$, $\tg^2 x = 1/\cos^2 x - 1$, ecc.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Divisione di polinomio]
\[
  \int \dfrac{x^3 + 1}{x^2}\,\mathrm{d}x = \int \left( x + \dfrac{1}{x^2} \right)\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{x} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tangente al quadrato]
\[
  \int \tg^2 x\,\mathrm{d}x = \int \left( \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1 \right)\,\mathrm{d}x = \tg x - x + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Prodotto goniometrico via duplicazione]
\[
  \int \sen x \cos x\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \int \sen(2 x)\,\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{4} \cos(2 x) + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Frazione con radice]
\[
  \int \dfrac{x - 1}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x = \int (x^{1/2} - x^{-1/2})\,\mathrm{d}x = \dfrac{2}{3} x^{3/2} - 2 x^{1/2} + c.
\]
\end{esempio}

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\section{Integrali quasi-immediati}\label{sec:an-020-04-integrali-quasi-immediati}
\flashsec{AN-020-integrali-immediati}{04}
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Gli integrali \emph{quasi-immediati} sono quelli che si presentano nella forma $g(f(x)) \cdot f'(x)$, dove $g$ è una funzione di cui conosciamo la primitiva. La regola è una sola, ed è la chain rule rovesciata:

\begin{formulabox}
\textbf{Regola fondamentale del riconoscimento}. Sia $G$ una primitiva di $g$. Allora
\[
  \int g(f(x)) \cdot f'(x) \,\mathrm{d}x = G(f(x)) + c.
\]
\end{formulabox}

\emph{Verifica}: derivando il secondo membro, $G(f(x))' = G'(f(x)) f'(x) = g(f(x)) f'(x)$, che è proprio l'integranda.

Applicando la regola con le primitive note, si ottengono i seguenti \emph{pattern-cardine}, da imparare a riconoscere a colpo d'occhio:

\begin{formulabox}
\textbf{Schemi di integrazione quasi-immediata}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textbf{Pattern} & \textbf{Primitiva} \\
\hline
$[f(x)]^n \cdot f'(x)$, $n \ne -1$ & $\dfrac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c$ \\
$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ & $\ln |f(x)| + c$ \\
$f'(x)\, e^{f(x)}$ & $e^{f(x)} + c$ \\
$f'(x)\, a^{f(x)}$ & $\dfrac{a^{f(x)}}{\ln a} + c$ \\
$f'(x) \cos(f(x))$ & $\sen(f(x)) + c$ \\
$f'(x) \sen(f(x))$ & $-\cos(f(x)) + c$ \\
$\dfrac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}$ & $\tg(f(x)) + c$ \\
$\dfrac{f'(x)}{\sqrt{1 - [f(x)]^2}}$ & $\arcsen(f(x)) + c$ \\
$\dfrac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2}$ & $\arctg(f(x)) + c$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{formulabox}

\begin{procedura}[Riconoscimento di un integrale quasi-immediato]
\begin{enumerate}
  \item Identificare nell'integranda una \emph{funzione candidata} $f(x)$ all'interno della composizione.
  \item Calcolare $f'(x)$ e verificare se compare (esattamente o a meno di una costante moltiplicativa) come fattore dell'integranda.
  \item Se è presente a meno di una costante, ``aggiustare'' moltiplicando e dividendo per essa (linearità).
  \item Applicare lo schema corrispondente.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Pattern potenza-per-derivata]
Calcoliamo $\int (3 x^2 + 1)^5 \cdot 6 x\,\mathrm{d}x$. Riconosciamo il pattern $[f(x)]^n f'(x)$. Pongo $f(x) = 3 x^2 + 1$, $f'(x) = 6 x$: è esattamente il fattore. Quindi
\[
  \int (3 x^2 + 1)^5 \cdot 6 x\,\mathrm{d}x = \dfrac{(3 x^2 + 1)^6}{6} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern potenza-per-derivata con aggiustamento]
Calcoliamo $\int x (x^2 + 1)^5\,\mathrm{d}x$. $f = x^2 + 1$, $f' = 2 x$. Nell'integranda c'è $x$, manca un fattore $2$:
\[
  \int x (x^2 + 1)^5\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \int 2 x (x^2 + 1)^5\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + c = \dfrac{(x^2 + 1)^6}{12} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern $f'/f$ (logaritmica)]
\[
  \int \dfrac{2 x}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \ln(x^2 + 1) + c.
\]
(Il valore assoluto si può omettere se $f > 0$ sempre, come qui.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern $f'/f$ con aggiustamento: $\int \tg x\,\mathrm{d}x$]
\[
  \int \tg x\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{\sen x}{\cos x}\,\mathrm{d}x = -\int \dfrac{-\sen x}{\cos x}\,\mathrm{d}x = -\ln |\cos x| + c.
\]
(Riconosciuto $f = \cos x$, $f' = -\sen x$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\int \cotg x$]
\[
  \int \cotg x\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{\cos x}{\sen x}\,\mathrm{d}x = \ln |\sen x| + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern $f' e^f$]
\[
  \int x\, e^{x^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \int 2 x\, e^{x^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} e^{x^2} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern $f' \cos(f)$]
\[
  \int \cos(3 x + 5)\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{3} \int 3 \cos(3 x + 5)\,\mathrm{d}x = \dfrac{\sen(3 x + 5)}{3} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern $f'/(1 + f^2)$]
\[
  \int \dfrac{e^x}{1 + e^{2 x}}\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{e^x}{1 + (e^x)^2}\,\mathrm{d}x = \arctg(e^x) + c.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Caso speciale: argomento lineare $f(x) = a x + b$}

Quando l'argomento interno è una funzione lineare $a x + b$, allora $f'(x) = a$ è una costante, e l'aggiustamento è facile:

\begin{formulabox}
\[
  \int g(a x + b)\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{a} G(a x + b) + c,
\]
dove $G$ è una primitiva di $g$.
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Primitive con argomento lineare]
\begin{align*}
  \int e^{2 x + 1}\,\mathrm{d}x &= \dfrac{1}{2} e^{2 x + 1} + c, \\
  \int \cos(3 x)\,\mathrm{d}x &= \dfrac{1}{3} \sen(3 x) + c, \\
  \int \dfrac{1}{2 x + 5}\,\mathrm{d}x &= \dfrac{1}{2} \ln |2 x + 5| + c, \\
  \int (2 x + 1)^7\,\mathrm{d}x &= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2 x + 1)^8}{8} + c = \dfrac{(2 x + 1)^8}{16} + c.
\end{align*}
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-020-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Pattern logaritmico con polinomio]
\[
  \int \dfrac{x}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2 x}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \ln(x^2 + 4) + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pattern arcotangente con argomento composto]
\[
  \int \dfrac{1}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{4} \int \dfrac{1}{(x/2)^2 + 1}\,\mathrm{d}x.
\]
Pongo $f(x) = x/2$, $f' = 1/2$: $\int \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{1 + f^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{4} \cdot 2 \int \dfrac{1/2}{1 + f^2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \arctg \dfrac{x}{2} + c$.

(Più rapido: applicare direttamente la formula generale $\int 1/(a^2 + x^2) = (1/a) \arctg(x/a) + c$ con $a = 2$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\int (\ln x)^2 / x$]
$f(x) = \ln x$, $f'(x) = 1/x$. Riconosco pattern $f^n \cdot f'$ con $n = 2$:
\[
  \int \dfrac{(\ln x)^2}{x}\,\mathrm{d}x = \dfrac{(\ln x)^3}{3} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\int 1/(x \ln x)$]
$f(x) = \ln x$, $f'(x) = 1/x$. Pattern $f'/f$:
\[
  \int \dfrac{1}{x \ln x}\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{1/x}{\ln x}\,\mathrm{d}x = \ln |\ln x| + c.
\]
(Valido per $x > 1$ con valore assoluto omesso; per $0 < x < 1$, $\ln x < 0$ e va tenuto il valore assoluto.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\int \sen x \cos^4 x$]
$f(x) = \cos x$, $f' = -\sen x$. Pattern $f^n f'$ con segno aggiustato:
\[
  \int \sen x \cos^4 x\,\mathrm{d}x = -\int (-\sen x) \cos^4 x\,\mathrm{d}x = -\dfrac{\cos^5 x}{5} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\int x e^{-x^2}$ -- la "mezza-gaussiana"]
$f(x) = -x^2$, $f' = -2 x$. Pattern $f' e^f$:
\[
  \int x e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{2} \int (-2 x) e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = -\dfrac{1}{2} e^{-x^2} + c.
\]
Notare che invece $\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ (senza il fattore $x$ davanti) \emph{non} è esprimibile in forma elementare: il fattore $x = -f'/2$ è ciò che rende l'integrale ``risolubile''.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\int \dfrac{1}{\sqrt{4 - x^2}}$]
Pattern $\arcsen$: $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsen(x/a) + c$ con $a = 2$:
\[
  \int \dfrac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,\mathrm{d}x = \arcsen \dfrac{x}{2} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Combinazione di tecniche]
\[
  \int \dfrac{x + 2}{x^2 + 4 x + 5}\,\mathrm{d}x.
\]
Il denominatore $x^2 + 4 x + 5 = (x + 2)^2 + 1$ ha derivata $2x + 4 = 2(x + 2)$. Il numeratore è proprio metà di questa derivata: pattern $f'/f$ logaritmico.
\[
  = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2 x + 4}{x^2 + 4 x + 5}\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{2} \ln(x^2 + 4 x + 5) + c.
\]
(Non serve il valore assoluto perché $x^2 + 4x + 5 > 0$ sempre.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Decomposizione del numeratore]
\[
  \int \dfrac{2 x + 3}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{2 x}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x + \int \dfrac{3}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x = \ln(x^2 + 4) + \dfrac{3}{2} \arctg \dfrac{x}{2} + c.
\]
Il primo addendo è una logaritmica $f'/f$; il secondo è un arcotangente generalizzato.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-020-06-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Argomento lineare:
  \begin{enumerate}
    \item $\int e^{-3 x}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int (5 x - 7)^4\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \sen(4 x + 1)\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{2 - 3 x}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{\cos^2(2 x)}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Pattern $[f]^n f'$:
  \begin{enumerate}
    \item $\int 2 x (x^2 + 7)^4\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int x^2 (x^3 - 5)^6\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \sen^3 x \cos x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \cos^5 x \sen x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{\arctg x}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Pattern $f'/f$ (logaritmico):
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{3 x^2}{x^3 + 5}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{2 x + 3}{x^2 + 3 x + 7}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{x \ln^2 x}\,\mathrm{d}x$ (\emph{attenzione}: è $f^{-2} f'$, non $f'/f$);
    \item $\int \tg x\,\mathrm{d}x$ e $\int \cotg x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{e^x}{e^x + 1}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Pattern $f' e^f$:
  \begin{enumerate}
    \item $\int 3 x^2 e^{x^3}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int e^{\sen x} \cos x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{e^{\sqrt x}}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int x e^{x^2 + 3}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Pattern goniometrici:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \sen(x^2) \cdot 2 x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int x \cos(x^2 + 1)\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \sen^2 x\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: formula di duplicazione);
    \item $\int \sen x \cos x\,\mathrm{d}x$ (due metodi: duplicazione \emph{oppure} pattern $f f'$).
  \end{enumerate}
  \item Pattern $\arcsen$ e $\arctg$ generalizzati:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{1}{\sqrt{9 - x^2}}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{16 + x^2}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{\sqrt{1 - 4 x^2}}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: completare il quadrato).
  \end{enumerate}
  \item Decomposizione del numeratore:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{x + 1}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{2 x - 3}{x^2 + 9}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{3 x + 5}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare $\int \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^4}}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $f = x^2$).
  \item Calcolare $\int \dfrac{1}{x^2 - 9}\,\mathrm{d}x$ (formula di tabella; oppure scomposizione $1/(x-3)(x+3)$).
  \item Mostrare che $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,\mathrm{d}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + c$ (per derivazione del secondo membro; il risultato è la funzione $\mathrm{arsh}\,x$, settore-seno iperbolico).
  \item Determinare $f(x)$ sapendo che $f'(x) = \dfrac{2 x}{(x^2 + 1)^3}$ e $f(0) = 5$.
  \item Calcolare $\int (\sen x + 2)^3 \cos x\,\mathrm{d}x$.
  \item Determinare la primitiva di $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ (tabella) e verificarla per derivazione.
  \item Calcolare $\int \dfrac{\sen x}{1 + \cos^2 x}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: pattern $\arctg$ con $f = \cos x$).
  \item \emph{Sfida.} Mostrare che, per ogni $n \ge 0$ intero,
  \[
    \int \cos^{2 n + 1} x\,\mathrm{d}x = \int (1 - \sen^2 x)^n \cos x\,\mathrm{d}x,
  \]
  da cui, posto $f = \sen x$, l'integrale si riduce a quello di un polinomio. Calcolare in particolare $\int \cos^3 x\,\mathrm{d}x$ e $\int \cos^5 x\,\mathrm{d}x$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-020-07-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Idea-chiave}. Ogni regola del calcolo differenziale, letta al contrario, è una regola di integrazione. La \emph{chain rule rovesciata} è la più importante.
  \item \emph{Regola fondamentale del riconoscimento}: $\int g(f(x)) f'(x)\,\mathrm{d}x = G(f(x)) + c$ con $G' = g$.
  \item \emph{Pattern-cardine}:
  \begin{itemize}
    \item $[f]^n f' \to f^{n+1}/(n+1)$ (potenze);
    \item $f'/f \to \ln |f|$ (logaritmica);
    \item $f' e^f \to e^f$ (esponenziale);
    \item $f' \cos f \to \sen f$, $f' \sen f \to -\cos f$;
    \item $f'/(1 + f^2) \to \arctg f$;
    \item $f'/\sqrt{1 - f^2} \to \arcsen f$.
  \end{itemize}
  \item \emph{Aggiustamento delle costanti}. Quando la derivata interna $f'$ compare a meno di un fattore moltiplicativo, si compensa moltiplicando e dividendo per esso.
  \item \emph{Argomento lineare}: caso particolare con $f(x) = a x + b$, $f' = a$: $\int g(a x + b)\,\mathrm{d}x = G(a x + b)/a + c$.
  \item \emph{Tabella estesa} delle primitive immediate: oltre alle dieci funzioni elementari di \ref{cap:AN-019}, si memorizzano i casi parametrici $1/(a^2 + x^2) \to (1/a) \arctg(x/a)$, $1/\sqrt{a^2 - x^2} \to \arcsen(x/a)$, $1/(x^2 - a^2) \to (1/(2a)) \ln |(x-a)/(x+a)|$.
  \item \emph{Trucchi algebrici}: divisione di polinomio (per gradi $\ge$ denominatore), identità trigonometriche di duplicazione/bisezione, completamento del quadrato (per ricondurre a $\arctg$ generalizzato).
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-021}) le tecniche di \emph{sostituzione} e \emph{per parti} sistematizzano e potenziano queste idee, permettendo di affrontare integrali ben più generali di quelli quasi-immediati.
\end{itemize}
\end{riepilogo}