\chapter{Metodi di integrazione: sostituzione e per parti}\label{cap:AN-021}

\citazioneinizio{%
  Quando un integrale non si può ricondurre immediatamente ai valori già noti, si tenta una opportuna trasformazione: o introducendo una nuova variabile in luogo di quella data, oppure scomponendo l'integranda nel prodotto di due parti, una da differenziare e l'altra da integrare. Questi due artifici --- la sostituzione e l'integrazione per parti --- esauriscono quasi tutto il calcolo integrale elementare.%
}{Leonhard Euler, \emph{Institutiones calculi integralis} (1768), libro~I, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-021-01-introduzione-motivazionale}
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Nei capitoli \ref{cap:AN-019} e \ref{cap:AN-020} abbiamo imparato a riconoscere e calcolare integrali \emph{immediati} e \emph{quasi-immediati}: rispettivamente quelli direttamente in tabella e quelli che diventano tabellari dopo un riconoscimento di pattern (chain rule rovesciata). Quando questi due strumenti non bastano, entrano in gioco due tecniche più potenti e generali, che generalizzano le idee viste:

\begin{itemize}
  \item \emph{Sostituzione}: si introduce una nuova variabile $t = \varphi(x)$ che semplifica l'integranda. Equivale ad applicare la chain rule rovesciata in modo \emph{esplicito}, scrivendo apparentemente $\mathrm{d}t$ al posto di $\mathrm{d}x$.
  \item \emph{Integrazione per parti}: si ``sposta'' una derivata da un fattore all'altro, sfruttando la regola del prodotto di Leibniz. È l'analogo della regola di Leibniz $(uv)' = u'v + uv'$ riscritta in forma integrale.
\end{itemize}

Sostituzione e integrazione per parti sono i due ``cavalli da tiro'' del calcolo integrale elementare: combinandole opportunamente si calcola la stragrande maggioranza degli integrali che si incontrano nelle applicazioni liceali e universitarie. In questo capitolo vedremo formulazione, casi-tipo e strategie di scelta.

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\section{Metodo di integrazione per sostituzione}\label{sec:an-021-02-metodo-di-integrazione-per-sostituzione}
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\begin{teorema}[Integrazione per sostituzione]
Sia $f$ continua su un intervallo $J$, e sia $\varphi : I \to J$ derivabile con $\varphi'$ continua. Allora
\[
  \int f(\varphi(x))\, \varphi'(x)\,\mathrm{d}x = F(\varphi(x)) + c,
\]
dove $F$ è una primitiva di $f$. Equivalentemente, ponendo $t = \varphi(x)$ (da cui $\mathrm{d}t = \varphi'(x)\,\mathrm{d}x$),
\[
  \int f(\varphi(x))\, \varphi'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(t)\,\mathrm{d}t.
\]
\end{teorema}

\textit{Dimostrazione.} Sia $F$ primitiva di $f$. Per la chain rule, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl[ F(\varphi(x)) \bigr] = F'(\varphi(x)) \varphi'(x) = f(\varphi(x)) \varphi'(x)$. Dunque $F(\varphi(x))$ è una primitiva di $f(\varphi(x)) \varphi'(x)$, da cui la prima uguaglianza. La seconda è la stessa cosa riscritta sostituendo $t = \varphi(x)$ nella primitiva.

\medskip

In pratica si distinguono due usi della sostituzione, formalmente equivalenti ma operativamente diversi:

\begin{itemize}
  \item \emph{Sostituzione diretta}: nell'integranda si riconosce $\varphi(x)$ insieme a $\varphi'(x)\,\mathrm{d}x$. Si pone $t = \varphi(x)$, si trasforma in $\int f(t)\,\mathrm{d}t$, si calcola, si torna a $x$ alla fine. È praticamente la chain rule rovesciata di \ref{cap:AN-020}, scritta esplicitamente.
  \item \emph{Sostituzione inversa}: si \emph{decide} $x = \psi(t)$ (per esempio per sbarazzarsi di una radice o un'espressione fastidiosa), si scrive $\mathrm{d}x = \psi'(t)\,\mathrm{d}t$, si trasforma l'integrale in una variabile $t$ più facile, si calcola, si torna a $x$ (invertendo $\psi$).
\end{itemize}

\begin{procedura}[Sostituzione diretta]
\begin{enumerate}
  \item Riconoscere nell'integranda una funzione candidata $t = \varphi(x)$.
  \item Calcolare $\mathrm{d}t = \varphi'(x)\,\mathrm{d}x$ e verificare che si possa esprimere tutta l'integranda in funzione di $t$ e $\mathrm{d}t$.
  \item Calcolare $\int f(t)\,\mathrm{d}t$.
  \item Sostituire $t = \varphi(x)$ nel risultato e aggiungere la costante.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Sostituzione diretta classica]
$\displaystyle\int x \sqrt{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$. Pongo $t = x^2 + 1$, $\mathrm{d}t = 2 x\,\mathrm{d}x$, ovvero $x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t/2$. Allora
\[
  \int x \sqrt{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \int \sqrt t \cdot \frac{\mathrm{d}t}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + c = \frac{1}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione $t = \ln x$]
$\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$. Pongo $t = \ln x$, $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x/x$. Allora $\int t\,\mathrm{d}t = t^2/2 + c = (\ln x)^2/2 + c$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione $t = e^x$]
$\displaystyle\int \frac{e^x}{e^{2 x} + 1}\,\mathrm{d}x$. Pongo $t = e^x$, $\mathrm{d}t = e^x\,\mathrm{d}x$. Allora $\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 + 1} = \arctg t + c = \arctg(e^x) + c$.
\end{esempio}

\subsection*{Sostituzioni inverse: radici e trigonometriche}

Quando l'integranda contiene radici della forma $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$, si usano \emph{sostituzioni trigonometriche} che le razionalizzano.

\begin{formulabox}
\textbf{Sostituzioni trigonometriche standard}
\begin{itemize}
  \item Per $\sqrt{a^2 - x^2}$: $\,x = a \sen t$, $t \in [-\pi/2, \pi/2]$, $\mathrm{d}x = a \cos t\,\mathrm{d}t$, $\sqrt{a^2 - x^2} = a \cos t$.
  \item Per $\sqrt{a^2 + x^2}$: $\,x = a \tg t$, $t \in (-\pi/2, \pi/2)$, $\mathrm{d}x = a/\cos^2 t\,\mathrm{d}t$, $\sqrt{a^2 + x^2} = a/\cos t$.
  \item Per $\sqrt{x^2 - a^2}$: $\,x = a/\cos t$, $t \in [0, \pi/2)$, $\sqrt{x^2 - a^2} = a \tg t$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Sostituzione trigonometrica per $\sqrt{a^2 - x^2}$]
$\displaystyle\int \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$. Pongo $x = \sen t$ con $t \in [-\pi/2, \pi/2]$. Allora $\mathrm{d}x = \cos t\,\mathrm{d}t$, $\sqrt{1 - x^2} = \cos t$. L'integrale diventa
\[
  \int \cos^2 t\,\mathrm{d}t = \int \frac{1 + \cos(2 t)}{2}\,\mathrm{d}t = \frac{t}{2} + \frac{\sen(2 t)}{4} + c = \frac{t}{2} + \frac{\sen t \cos t}{2} + c.
\]
Tornando a $x$: $\sen t = x$, $t = \arcsen x$, $\cos t = \sqrt{1 - x^2}$, quindi
\[
  \int \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \arcsen x + \frac{x \sqrt{1 - x^2}}{2} + c.
\]
\emph{Significato geometrico}: $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x$ è l'area del quarto di cerchio unitario, cioè $\pi/4$. Verifica: $F(1) - F(0) = \pi/4 + 0 - 0 = \pi/4$. $\checkmark$
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione per radici di polinomio lineare]
$\displaystyle\int \frac{1}{1 + \sqrt x}\,\mathrm{d}x$. Pongo $t = \sqrt x$, $x = t^2$, $\mathrm{d}x = 2 t\,\mathrm{d}t$:
\[
  \int \frac{2 t}{1 + t}\,\mathrm{d}t = 2 \int \frac{(1 + t) - 1}{1 + t}\,\mathrm{d}t = 2 \int \left( 1 - \frac{1}{1 + t} \right)\,\mathrm{d}t = 2 t - 2 \ln |1 + t| + c.
\]
Tornando a $x$: $= 2 \sqrt x - 2 \ln(1 + \sqrt x) + c$.
\end{esempio}

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\section{Metodo di integrazione per parti}\label{sec:an-021-03-metodo-di-integrazione-per-parti}
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L'integrazione per parti è l'inversa della regola di derivazione del prodotto (Leibniz). Da $(u v)' = u' v + u v'$, integrando ambo i membri,
\[
  u v = \int u' v\,\mathrm{d}x + \int u v'\,\mathrm{d}x,
\]
da cui

\begin{formulabox}
\textbf{Formula di integrazione per parti.}
\[
  \int u(x)\, v'(x)\,\mathrm{d}x = u(x) v(x) - \int u'(x)\, v(x)\,\mathrm{d}x.
\]
\end{formulabox}

In notazione di Leibniz (con $\mathrm{d}u = u'\,\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}v = v'\,\mathrm{d}x$):
\[
  \int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u.
\]

\emph{Idea operativa}: scelgo l'integranda come $u \cdot v'$ (dunque due ``parti''), tale che $u'$ sia più semplice di $u$ e $v$ sia altrettanto semplice di $v'$ (idealmente, calcolabile come primitiva). Il vantaggio è che l'integrale che resta da fare, $\int u' v\,\mathrm{d}x$, è di solito più semplice di quello di partenza.

\subsection*{Quale fattore scegliere come $u$?}

La regola mnemonica più diffusa è \emph{LIATE} (o \emph{ILATE}, equivalente), che indica l'ordine di priorità con cui scegliere $u$:

\begin{formulabox}
\textbf{Regola LIATE}. Scegli come $u$ il fattore che compare \emph{per primo} in questo ordine:
\begin{itemize}
  \item \textbf{L}ogaritmiche ($\ln x$, $\log_a x$)
  \item \textbf{I}nverse goniometriche ($\arcsen x$, $\arctg x$, \dots)
  \item \textbf{A}lgebriche (polinomi)
  \item \textbf{T}rigonometriche ($\sen x$, $\cos x$)
  \item \textbf{E}sponenziali ($e^x$, $a^x$)
\end{itemize}
Il fattore rimanente sarà $\mathrm{d}v$, di cui devo poter calcolare la primitiva.
\end{formulabox}

\emph{Logica della regola}. Si privilegiano come $u$ le funzioni che si \emph{semplificano} derivando (logaritmiche e arcfunzioni vanno via molto presto) e si lasciano come $\mathrm{d}v$ quelle che si \emph{trasformano in se stesse} integrando (esponenziali, trigonometriche). I polinomi stanno in mezzo: scendono di grado a ogni derivazione, e si integrano senza problemi.

\begin{procedura}[Integrazione per parti]
\begin{enumerate}
  \item Identificare nell'integranda due fattori; sceglierli come $u$ e $v'$ usando LIATE.
  \item Calcolare $u'$ (derivando) e $v$ (integrando $v'$). Non aggiungere la costante a $v$: alla fine ne basta una.
  \item Applicare la formula $\int u v'\,\mathrm{d}x = u v - \int u' v\,\mathrm{d}x$.
  \item Calcolare l'integrale rimanente. Se è ancora difficile, valutare se reiterare il metodo (es.~$x^2 e^x$).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Polinomio per esponenziale]
$\displaystyle\int x e^x\,\mathrm{d}x$. Scelta LIATE: $u = x$ (algebrica), $v' = e^x$. Allora $u' = 1$, $v = e^x$:
\[
  \int x e^x\,\mathrm{d}x = x e^x - \int 1 \cdot e^x\,\mathrm{d}x = x e^x - e^x + c = (x - 1) e^x + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Polinomio per coseno]
$\displaystyle\int x \cos x\,\mathrm{d}x$. $u = x$, $v' = \cos x$. $u' = 1$, $v = \sen x$:
\[
  \int x \cos x\,\mathrm{d}x = x \sen x - \int \sen x\,\mathrm{d}x = x \sen x + \cos x + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Logaritmica da sola: il trucco del fattore $1$]
$\displaystyle\int \ln x\,\mathrm{d}x$. Pongo $u = \ln x$ (priorità L), $v' = 1$. Allora $u' = 1/x$, $v = x$:
\[
  \int \ln x\,\mathrm{d}x = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = x \ln x - x + c.
\]
\emph{Trucco}: una sola funzione si può comunque trattare per parti scegliendo $v' = 1$. Questo funziona spesso per logaritmiche e arcfunzioni isolate.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Arcotangente]
$\displaystyle\int \arctg x\,\mathrm{d}x$. $u = \arctg x$, $v' = 1$. $u' = 1/(1 + x^2)$, $v = x$:
\[
  \int \arctg x\,\mathrm{d}x = x \arctg x - \int \frac{x}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x = x \arctg x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + c.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Per parti iterata e per parti ricorsiva}

A volte una sola applicazione non basta: l'integrale rimanente richiede a sua volta per parti. Si itera.

\begin{esempio}[$x^2 e^x$: per parti due volte]
$u = x^2$, $v' = e^x$: $u' = 2 x$, $v = e^x$:
\[
  \int x^2 e^x\,\mathrm{d}x = x^2 e^x - 2 \int x e^x\,\mathrm{d}x.
\]
L'integrale rimanente è già stato calcolato sopra ($= (x-1)e^x + c$):
\[
  = x^2 e^x - 2(x - 1) e^x + c = (x^2 - 2x + 2) e^x + c.
\]
\end{esempio}

In casi speciali, l'iterazione fa \emph{ricomparire l'integrale di partenza}; si risolve allora algebricamente per esso.

\begin{esempio}[Esponenziale per coseno (per parti ricorsiva)]
$I = \displaystyle\int e^x \cos x\,\mathrm{d}x$. $u = e^x$, $v' = \cos x$ (oppure il contrario --- LIATE qui non discrimina, ma serve solo coerenza). $u' = e^x$, $v = \sen x$:
\[
  I = e^x \sen x - \int e^x \sen x\,\mathrm{d}x.
\]
Applico di nuovo per parti al secondo integrale, con la \emph{stessa} scelta tipologica ($u = e^x$, $v' = \sen x$, $v = -\cos x$):
\[
  \int e^x \sen x\,\mathrm{d}x = -e^x \cos x + \int e^x \cos x\,\mathrm{d}x = -e^x \cos x + I.
\]
Sostituendo:
\[
  I = e^x \sen x - (-e^x \cos x + I) = e^x \sen x + e^x \cos x - I.
\]
Risolvo: $2 I = e^x (\sen x + \cos x)$, da cui $I = \dfrac{e^x (\sen x + \cos x)}{2} + c$.
\end{esempio}

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\section{Strategie di scelta del metodo}\label{sec:an-021-04-strategie-di-scelta-del-metodo}
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Davanti a un integrale ``non immediato'', come decidere se procedere per sostituzione o per parti (o entrambi, in successione)? Non c'è una regola universale, ma le seguenti euristiche aiutano nel $90\%$ dei casi.

\begin{formulabox}
\textbf{Diagnosi rapida}.
\begin{itemize}
  \item Compare $g(f(x)) \cdot f'(x)$ (con $f'$ riconoscibile come fattore)? $\to$ \emph{sostituzione diretta} $t = f(x)$.
  \item Compare $\sqrt{a^2 \pm x^2}$ o $\sqrt{x^2 - a^2}$? $\to$ \emph{sostituzione trigonometrica}.
  \item L'integranda è un prodotto di tipi diversi ($x \cdot e^x$, $x \cdot \cos x$, $\ln x$ da sola, $\arctg x$ da sola)? $\to$ \emph{per parti} con LIATE.
  \item L'integranda è una funzione razionale propria ($\deg P < \deg Q$ con $P/Q$)? $\to$ \emph{decomposizione in fratti semplici} (\ref{cap:AN-022}).
  \item L'integranda è una potenza di seno e/o coseno? $\to$ identità trigonometriche (duplicazione, bisezione) o sostituzione $t = \sen x$ o $t = \cos x$, se l'esponente dell'altra è dispari.
  \item Niente di tutto ciò? $\to$ tentare comunque per parti o sostituzione, talvolta con artifici (aggiungere e togliere lo stesso termine; razionalizzare; ecc.).
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{attenzione}
Non tutti gli integrali di funzioni elementari sono esprimibili in forma elementare. Esempi famosi:
\[
  \int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x, \quad \int \frac{\sen x}{x}\,\mathrm{d}x, \quad \int \frac{\mathrm{d}x}{\ln x}, \quad \int \sqrt{1 - k^2 \sen^2 x}\,\mathrm{d}x
\]
sono tutti \emph{integrali non elementari}. Le loro primitive esistono (sono funzioni continue), ma non si esprimono come combinazione finita di funzioni elementari: definiscono \emph{nuove} funzioni speciali (rispettivamente: funzione errore $\operatorname{erf}$, seno integrale $\operatorname{Si}$, logaritmo integrale $\operatorname{li}$, integrali ellittici). Non insistere oltre il ragionevole se un integrale ``non vuole uscire''.
\end{attenzione}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-021-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Sostituzione: $\int \dfrac{\sen(\sqrt x)}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$]
Pongo $t = \sqrt x$, $x = t^2$, $\mathrm{d}x = 2 t\,\mathrm{d}t$, $\mathrm{d}x/\sqrt x = 2\,\mathrm{d}t$:
\[
  \int \frac{\sen(\sqrt x)}{\sqrt x}\,\mathrm{d}x = 2 \int \sen t\,\mathrm{d}t = -2 \cos t + c = -2 \cos(\sqrt x) + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione: $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(1 + \ln^2 x)}$]
$t = \ln x$, $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x/x$:
\[
  \int \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2} = \arctg t + c = \arctg(\ln x) + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione trigonometrica: $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2)^{3/2}}$]
$x = \tg t$, $t \in (-\pi/2, \pi/2)$. $\mathrm{d}x = \mathrm{d}t/\cos^2 t$, $1 + x^2 = 1/\cos^2 t$, $(1 + x^2)^{3/2} = 1/\cos^3 t$:
\[
  \int \frac{1/\cos^2 t}{1/\cos^3 t}\,\mathrm{d}t = \int \cos t\,\mathrm{d}t = \sen t + c.
\]
Tornando a $x$: $\sen t = x/\sqrt{1 + x^2}$, quindi $= x/\sqrt{1 + x^2} + c$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Per parti: $\int x \ln x\,\mathrm{d}x$]
LIATE: $u = \ln x$ (L batte A), $v' = x$. $u' = 1/x$, $v = x^2/2$:
\[
  \int x \ln x\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Per parti: $\int x^2 \cos x\,\mathrm{d}x$ (per parti due volte)]
$u = x^2$, $v' = \cos x$: $u' = 2 x$, $v = \sen x$:
\[
  \int x^2 \cos x\,\mathrm{d}x = x^2 \sen x - 2 \int x \sen x\,\mathrm{d}x.
\]
Applico per parti al secondo: $u = x$, $v' = \sen x$, $u' = 1$, $v = -\cos x$:
\[
  \int x \sen x\,\mathrm{d}x = -x \cos x + \int \cos x\,\mathrm{d}x = -x \cos x + \sen x + c'.
\]
Quindi
\[
  \int x^2 \cos x\,\mathrm{d}x = x^2 \sen x - 2(-x \cos x + \sen x) + c = x^2 \sen x + 2 x \cos x - 2 \sen x + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Per parti + sostituzione: $\int \arcsen x\,\mathrm{d}x$]
$u = \arcsen x$, $v' = 1$. $u' = 1/\sqrt{1 - x^2}$, $v = x$:
\[
  \int \arcsen x\,\mathrm{d}x = x \arcsen x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\mathrm{d}x.
\]
L'integrale rimanente si fa per sostituzione $t = 1 - x^2$, $\mathrm{d}t = -2 x\,\mathrm{d}x$: $\int x/\sqrt{1 - x^2}\,\mathrm{d}x = -\sqrt{1 - x^2} + c'$. Quindi
\[
  \int \arcsen x\,\mathrm{d}x = x \arcsen x + \sqrt{1 - x^2} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Per parti ricorsiva: $\int \sec^3 x\,\mathrm{d}x = \int \dfrac{\mathrm{d}x}{\cos^3 x}$]
$u = 1/\cos x = \sec x$, $v' = 1/\cos^2 x$. $u' = \sen x/\cos^2 x$, $v = \tg x$:
\[
  I = \frac{\tg x}{\cos x} - \int \frac{\sen x \tg x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x = \frac{\sen x}{\cos^2 x} - \int \frac{\sen^2 x}{\cos^3 x}\,\mathrm{d}x.
\]
Usando $\sen^2 x = 1 - \cos^2 x$:
\[
  \int \frac{\sen^2 x}{\cos^3 x}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^3 x}\,\mathrm{d}x = I - \int \frac{1}{\cos x}\,\mathrm{d}x.
\]
Da cui $I = \dfrac{\sen x}{\cos^2 x} - I + \int 1/\cos x\,\mathrm{d}x$, ovvero $2 I = \dfrac{\sen x}{\cos^2 x} + \int \sec x\,\mathrm{d}x$. È noto (esercizio classico) che $\int \sec x\,\mathrm{d}x = \ln |\sec x + \tg x| + c$. Quindi
\[
  I = \frac{1}{2} \left( \frac{\sen x}{\cos^2 x} + \ln |\sec x + \tg x| \right) + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione di Weierstrass (cenno)]
Per integrali di funzioni razionali in $\sen x, \cos x$, la sostituzione $t = \tg(x/2)$ trasforma sistematicamente l'integrale in uno razionale in $t$:
\[
  \sen x = \frac{2 t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \mathrm{d}x = \frac{2}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t.
\]
Esempio: $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1 + \cos x}$. Con la sostituzione:
\[
  \int \frac{2/(1 + t^2)}{1 + (1 - t^2)/(1 + t^2)}\,\mathrm{d}t = \int \frac{2/(1 + t^2)}{2/(1 + t^2)}\,\mathrm{d}t = \int 1\,\mathrm{d}t = t + c = \tg(x/2) + c.
\]
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-021-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Sostituzioni dirette:
  \begin{enumerate}
    \item $\int x^2 \sqrt{x^3 + 1}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{\cos(\ln x)}{x}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x}{(1 + x^2)^3}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \sen x\, e^{\cos x}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{\arcsen x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Sostituzioni con radici:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{1}{\sqrt x + \sqrt[3] x}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $t = x^{1/6}$);
    \item $\int \dfrac{x}{1 + \sqrt{x + 1}}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $t = \sqrt{x + 1}$);
    \item $\int \sqrt{4 - x^2}\,\mathrm{d}x$ (sostituzione trigonometrica $x = 2 \sen t$).
  \end{enumerate}
  \item Per parti, polinomio per trascendente:
  \begin{enumerate}
    \item $\int x e^{2 x}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int x^2 \sen x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int x^3 \ln x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int x \arctg x\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Per parti, trascendente da sola (trucco del fattore $1$):
  \begin{enumerate}
    \item $\int \arctg x\,\mathrm{d}x$ (rifatto: confronto col testo);
    \item $\int \arcsen x\,\mathrm{d}x$ (rifatto: confronto col testo);
    \item $\int \ln(1 + x^2)\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $u = \ln(1 + x^2)$, $v' = 1$; usa $\dfrac{x^2}{1+x^2} = 1 - \dfrac{1}{1+x^2}$).
  \end{enumerate}
  \item Per parti ricorsiva:
  \begin{enumerate}
    \item $\int e^x \sen x\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \cos(\ln x)\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: per parti con $u = \cos(\ln x)$, $v' = 1$, oppure sostituzione $t = \ln x$ seguita da per parti ricorsiva);
    \item $\int \sec x\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: moltiplicare e dividere per $\sec x + \tg x$).
  \end{enumerate}
  \item Calcolare $\int x \cos^2 x\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $\cos^2 x = (1 + \cos 2x)/2$, poi per parti dove serve).
  \item Calcolare $\int (\ln x)^2\,\mathrm{d}x$ (per parti due volte).
  \item Calcolare $\int e^{\sqrt x}\,\mathrm{d}x$ (sostituzione $t = \sqrt x$, poi per parti).
  \item Determinare la primitiva di $f(x) = x e^{-x}$ che passa per il punto $(0, 1)$.
  \item Calcolare $\int \dfrac{x}{\cos^2 x}\,\mathrm{d}x$.
  \item Calcolare $\int x^2 e^{-x}\,\mathrm{d}x$.
  \item Mostrare per induzione che $\int x^n e^x\,\mathrm{d}x = e^x \left( x^n - n x^{n-1} + n(n-1) x^{n-2} - \dots + (-1)^n n! \right) + c$.
  \item Calcolare $\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}\,\mathrm{d}x$ (sostituzione $x = 2 \tg t$, oppure direttamente da tabella di \ref{cap:AN-020}).
  \item Calcolare $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{1 - \sen x}$ (sostituzione di Weierstrass $t = \tg(x/2)$).
  \item \emph{Sfida.} Mostrare che la successione $I_n = \int \sen^n x\,\mathrm{d}x$ soddisfa la \emph{formula di riduzione}
  \[
    I_n = -\frac{\sen^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n - 1}{n} I_{n-2}, \qquad n \ge 2,
  \]
  dimostrandola per parti. Usarla per calcolare $\int \sen^4 x\,\mathrm{d}x$.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-021-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Sostituzione}. Riscrittura dell'integrale con una nuova variabile $t$:
  \[
    \int f(\varphi(x)) \varphi'(x)\,\mathrm{d}x = \int f(t)\,\mathrm{d}t \quad \text{(con } t = \varphi(x), \mathrm{d}t = \varphi'(x)\,\mathrm{d}x\text{)}.
  \]
  Sostituzioni dirette: si riconosce un'``interna'' $\varphi$ insieme alla sua derivata. Sostituzioni trigonometriche: $x = a \sen t$ per $\sqrt{a^2 - x^2}$, $x = a \tg t$ per $\sqrt{a^2 + x^2}$, $x = a/\cos t$ per $\sqrt{x^2 - a^2}$.
  \item \emph{Per parti}. Formula: $\int u v'\,\mathrm{d}x = u v - \int u' v\,\mathrm{d}x$. Scelta tipica $u$ secondo \emph{LIATE} (Logaritmiche, Inverse goniometriche, Algebriche, Trigonometriche, Esponenziali). Si usano: per integrali \emph{prodotto} di tipi diversi; per logaritmiche o arcfunzioni isolate (con il trucco $v' = 1$); in versioni \emph{iterate} (per polinomio per trascendente) o \emph{ricorsive} (es.~$\int e^x \cos x$).
  \item \emph{Strategia generale di scelta}: prima provare sostituzione (se c'è la struttura della chain rule rovesciata, o se ci sono radici riducibili), altrimenti per parti (se c'è un prodotto di tipi diversi). Per funzioni razionali, andare in \ref{cap:AN-022}.
  \item \emph{Limiti del metodo}. Esistono integrali di funzioni elementari che \emph{non} hanno primitiva elementare ($e^{-x^2}$, $\sen x/x$, $1/\ln x$, ellittici); è importante riconoscerli per non perdere tempo.
\end{itemize}
\end{riepilogo}