\chapter{Integrazione di funzioni razionali fratte}\label{cap:AN-022}

\citazioneinizio{%
  Ogni frazione razionale, comunque complicata, può scomporsi nella somma di frazioni più semplici, ciascuna delle quali ha per denominatore una potenza di fattore lineare o quadratico irriducibile. L'integrazione si riduce così a quella di pochi tipi elementari, e in tal modo il problema dell'integrazione delle funzioni razionali risulta sempre risolubile.%
}{Johann Bernoulli, \emph{Acta Eruditorum} (1702), traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-022-01-introduzione-motivazionale}
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Una \emph{funzione razionale} è il quoziente di due polinomi: $f(x) = P(x)/Q(x)$ con $P, Q$ polinomi a coefficienti reali e $Q \not\equiv 0$. Le funzioni razionali sono fra le più comuni nella matematica applicata, e abbiamo già visto vari esempi di studi di funzione razionale (\ref{cap:AN-016}). In questo capitolo affrontiamo il loro \emph{integrale}.

La buona notizia, scoperta sistematicamente da Johann Bernoulli nel 1702, è che \emph{ogni funzione razionale ammette primitiva elementare}, esprimibile come somma di logaritmi e arcotangenti. Il metodo --- la \emph{decomposizione in fratti semplici} --- riduce l'integrale di una qualsiasi funzione razionale a una somma finita di integrali tabellari. È una procedura completamente \emph{algoritmica}: dato $P/Q$, si arriva alla primitiva in un numero finito di passi meccanici, senza colpi di genio.

Lo schema è il seguente:
\begin{enumerate}
  \item Se $\deg P \ge \deg Q$, si esegue la divisione polinomiale: $P/Q = S(x) + R(x)/Q(x)$ con $\deg R < \deg Q$. Si integra $S$ direttamente (polinomio) e si rinvia al passo successivo per il resto.
  \item Si fattorizza $Q(x)$ in fattori lineari e quadratici irriducibili.
  \item Si decompone $R(x)/Q(x)$ in \emph{fratti semplici}.
  \item Si integra ciascun fratto separatamente, usando le tabelle di \ref{cap:AN-019}--\ref{cap:AN-020}.
\end{enumerate}
Cominciamo dai casi più semplici e saliamo gradualmente.

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\section{Casi semplici: denominatore di primo grado}\label{sec:an-022-02-casi-semplici-denominatore-di-primo-grado}
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\begin{formulabox}
\textbf{Caso primo grado.}
\[
  \int \frac{1}{a x + b}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + c, \qquad a \ne 0.
\]
\end{formulabox}

(Caso speciale dell'argomento lineare visto in \ref{cap:AN-020}.)

\begin{esempio}[Denominatore lineare con coefficiente]
\[
  \int \frac{1}{2 x - 5}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \ln |2 x - 5| + c.
\]
\end{esempio}

Se al numeratore c'è un polinomio di grado $\ge 1$, si effettua prima la \emph{divisione polinomiale}:

\begin{esempio}[Divisione preliminare]
$\displaystyle\int \frac{x^2 + 3 x - 1}{x - 2}\,\mathrm{d}x$. Eseguo la divisione: $(x^2 + 3 x - 1) : (x - 2) = x + 5$ con resto $9$. Dunque $\dfrac{x^2 + 3 x - 1}{x - 2} = x + 5 + \dfrac{9}{x - 2}$, e
\[
  \int \frac{x^2 + 3 x - 1}{x - 2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} + 5 x + 9 \ln |x - 2| + c.
\]
\end{esempio}

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\section{Casi con denominatore di secondo grado}\label{sec:an-022-03-casi-con-denominatore-di-secondo-grado-delta-0-0-0}
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Sia $Q(x) = a x^2 + b x + c$, $a \ne 0$. Si distinguono tre casi in base al discriminante $\Delta = b^2 - 4 a c$.

\subsection*{Caso $\Delta > 0$: due radici reali distinte}

$Q(x) = a (x - x_1)(x - x_2)$. La decomposizione è
\[
  \frac{1}{a(x - x_1)(x - x_2)} = \frac{A}{x - x_1} + \frac{B}{x - x_2},
\]
con $A, B$ da determinare. Una volta trovati, l'integrale è somma di due logaritmi.

\begin{esempio}[$\Delta > 0$ classico]
$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 - 5 x + 6}\,\mathrm{d}x$. Fattorizzo: $x^2 - 5 x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Decompongo:
\[
  \frac{1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}.
\]
Moltiplicando per $(x-2)(x-3)$: $1 = A(x - 3) + B(x - 2)$. Per $x = 2$: $1 = -A \Rightarrow A = -1$. Per $x = 3$: $1 = B$. Allora
\[
  \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 - 5 x + 6} = -\int \frac{\mathrm{d}x}{x - 2} + \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 3} = -\ln |x - 2| + \ln |x - 3| + c = \ln \left| \frac{x - 3}{x - 2} \right| + c.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Caso $\Delta = 0$: radice reale doppia}

$Q(x) = a (x - x_0)^2$. L'integrale di $1/(x - x_0)^2$ è elementare:
\[
  \int \frac{1}{(x - x_0)^2}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{x - x_0} + c.
\]
Per numeratore di primo grado, ci si riconduce con sostituzione lineare o con decomposizione $\dfrac{A x + B}{(x - x_0)^2} = \dfrac{A}{x - x_0} + \dfrac{A x_0 + B}{(x - x_0)^2}$.

\begin{esempio}[$\Delta = 0$]
$\displaystyle\int \frac{x}{(x - 1)^2}\,\mathrm{d}x$. Scrivo $x = (x - 1) + 1$:
\[
  \int \frac{(x - 1) + 1}{(x - 1)^2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x - 1}\,\mathrm{d}x + \int \frac{1}{(x - 1)^2}\,\mathrm{d}x = \ln |x - 1| - \frac{1}{x - 1} + c.
\]
\end{esempio}

\subsection*{Caso $\Delta < 0$: nessuna radice reale (denominatore irriducibile)}

$Q(x)$ non si fattorizza in $\R$. Si usa il \emph{completamento del quadrato} per ricondurre all'arcotangente.

\begin{procedura}[Caso $\Delta < 0$]
\begin{enumerate}
  \item Riscrivere $a x^2 + b x + c = a \left[ (x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a^2) \right]$, dove $4ac - b^2 > 0$.
  \item Per il numeratore: se è di primo grado $A x + B$, separare la parte ``derivata del denominatore'' (riconduce a logaritmo) dalla costante residua (riconduce ad arcotangente).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[$\Delta < 0$, numeratore costante]
$\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x$. Completo: $x^2 + 2 x + 5 = (x + 1)^2 + 4$. Pongo $t = x + 1$, $\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$, e ottengo $\int \mathrm{d}t/(t^2 + 4) = (1/2) \arctg(t/2) + c$:
\[
  \int \frac{\mathrm{d}x}{x^2 + 2 x + 5} = \frac{1}{2} \arctg \frac{x + 1}{2} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\Delta < 0$, numeratore lineare]
$\displaystyle\int \frac{2 x + 3}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x$. La derivata del denominatore è $2 x + 2$. Scrivo $2 x + 3 = (2 x + 2) + 1$:
\[
  \int \frac{2 x + 2}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x + \int \frac{1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x = \ln(x^2 + 2 x + 5) + \frac{1}{2} \arctg \frac{x + 1}{2} + c.
\]
(Il primo addendo è pattern $f'/f$ logaritmico; il secondo è l'arcotangente generalizzato del passo precedente.)
\end{esempio}

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\section{Decomposizione in fratti semplici}\label{sec:an-022-04-decomposizione-in-fratti-semplici}
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Il metodo generale per integrare $P(x)/Q(x)$ (con $\deg P < \deg Q$) si basa sul seguente teorema di algebra:

\begin{teorema}[Decomposizione in fratti semplici (sui reali)]
Sia $Q(x)$ un polinomio a coefficienti reali, fattorizzato come
\[
  Q(x) = a \cdot \prod_i (x - \alpha_i)^{m_i} \cdot \prod_j (x^2 + p_j x + q_j)^{n_j},
\]
con $\alpha_i$ radici reali (di molteplicità $m_i$) e $x^2 + p_j x + q_j$ fattori quadratici irriducibili (di molteplicità $n_j$). Sia $P(x)$ un polinomio con $\deg P < \deg Q$. Allora $P/Q$ si decompone in modo unico come somma di \emph{fratti semplici}:
\[
  \frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_i \sum_{k=1}^{m_i} \frac{A_{i,k}}{(x - \alpha_i)^k} + \sum_j \sum_{k=1}^{n_j} \frac{B_{j,k} x + C_{j,k}}{(x^2 + p_j x + q_j)^k},
\]
con $A_{i,k}, B_{j,k}, C_{j,k} \in \R$ costanti univocamente determinate.
\end{teorema}

L'integrale di ciascun fratto è elementare:
\begin{itemize}
  \item $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x - \alpha} = \ln |x - \alpha| + c$;
  \item $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x - \alpha)^k} = \dfrac{-1}{(k - 1)(x - \alpha)^{k-1}} + c$ per $k \ge 2$;
  \item $\int \dfrac{A x + B}{x^2 + p x + q}\,\mathrm{d}x$ con $\Delta < 0$ si tratta come nel passo precedente (separazione in $f'/f$ + arcotangente);
  \item $\int \dfrac{A x + B}{(x^2 + p x + q)^k}\,\mathrm{d}x$ per $k \ge 2$ si tratta con una formula di riduzione (caso più raro a livello liceale).
\end{itemize}

\subsection*{Determinazione dei coefficienti: due metodi}

\begin{procedura}[Principio di identità dei polinomi]
\begin{enumerate}
  \item Scrivere la decomposizione con i coefficienti $A, B, \dots$ come incognite.
  \item Moltiplicare per $Q(x)$, ottenendo un'identità polinomiale.
  \item Imporre l'uguaglianza dei coefficienti termine a termine (oppure: sostituire valori specifici di $x$, in particolare i valori delle radici di $Q$, che annullano molti termini).
  \item Risolvere il sistema lineare nelle incognite.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{procedura}[Metodo della copertura (per radici semplici)]
Per le radici semplici $\alpha$ di $Q$, il coefficiente $A$ del termine $A/(x - \alpha)$ si calcola direttamente:
\[
  A = \lim_{x \to \alpha} (x - \alpha) \cdot \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(\alpha)}{Q'(\alpha)}.
\]
\emph{Mnemonica}: ``copri'' il fattore $(x - \alpha)$ in $Q$ e valuta il resto in $x = \alpha$.
\end{procedura}

\begin{esempio}[Decomposizione con tre radici semplici]
$\displaystyle\int \frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)}\,\mathrm{d}x$. Decomposizione:
\[
  \frac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{x - 3}.
\]
Metodo della copertura:
\begin{itemize}
  \item $A = \dfrac{x^2 + 1}{(x - 2)(x - 3)}\bigg|_{x = 1} = \dfrac{2}{(-1)(-2)} = 1$.
  \item $B = \dfrac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 3)}\bigg|_{x = 2} = \dfrac{5}{(1)(-1)} = -5$.
  \item $C = \dfrac{x^2 + 1}{(x - 1)(x - 2)}\bigg|_{x = 3} = \dfrac{10}{(2)(1)} = 5$.
\end{itemize}
Verifica con $x = 0$: $\dfrac{1}{(-1)(-2)(-3)} = -\dfrac{1}{6}$; $\dfrac{A}{-1} + \dfrac{B}{-2} + \dfrac{C}{-3} = -1 + 5/2 - 5/3 = -6/6 + 15/6 - 10/6 = -1/6$. $\checkmark$

Integrale:
\[
  \int = \ln |x - 1| - 5 \ln |x - 2| + 5 \ln |x - 3| + c = \ln \left| \frac{(x - 1)(x - 3)^5}{(x - 2)^5} \right| + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Decomposizione con radice doppia]
$\displaystyle\int \frac{2 x + 1}{x(x - 1)^2}\,\mathrm{d}x$. Decomposizione:
\[
  \frac{2 x + 1}{x(x - 1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}.
\]
Moltiplicando per $x(x - 1)^2$: $2 x + 1 = A(x - 1)^2 + B x (x - 1) + C x$. Per $x = 0$: $1 = A \Rightarrow A = 1$. Per $x = 1$: $3 = C$. Per $x = 2$ (o eguagliando i coefficienti di $x^2$): coeff. $x^2$ a sinistra $= 0$, a destra $= A + B = 1 + B \Rightarrow B = -1$.

Quindi
\[
  \int = \ln |x| - \ln |x - 1| - \frac{3}{x - 1} + c = \ln \left| \frac{x}{x - 1} \right| - \frac{3}{x - 1} + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Decomposizione con quadratico irriducibile]
$\displaystyle\int \frac{x^2 + x + 1}{x(x^2 + 1)}\,\mathrm{d}x$. Decomposizione:
\[
  \frac{x^2 + x + 1}{x(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^2 + 1}.
\]
Moltiplicando: $x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (B x + C) x = (A + B) x^2 + C x + A$. Eguaglianza dei coefficienti:
\begin{itemize}
  \item $A = 1$ (termine noto);
  \item $C = 1$ (coeff.~$x$);
  \item $A + B = 1 \Rightarrow B = 0$ (coeff.~$x^2$).
\end{itemize}
Quindi $\int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x + \int \dfrac{1}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \ln |x| + \arctg x + c$.
\end{esempio}

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\section{Casi con grado del numeratore $\ge$ del denominatore}\label{sec:an-022-05-casi-con-grado-del-numeratore-geq-del-denominatore}
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Se $\deg P \ge \deg Q$, prima di applicare la decomposizione in fratti semplici si esegue la \emph{divisione polinomiale}: $P(x) = S(x) Q(x) + R(x)$ con $\deg R < \deg Q$. Allora
\[
  \frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)},
\]
e si integra $S(x)$ (polinomio) e $R/Q$ (frazione propria) separatamente.

\begin{esempio}[Divisione preliminare con $\deg P > \deg Q$]
$\displaystyle\int \frac{x^3 - 2 x + 1}{x^2 - 1}\,\mathrm{d}x$. Divisione: $x^3 - 2 x + 1 = (x)(x^2 - 1) + (-x + 1)$. Quindi
\[
  \frac{x^3 - 2 x + 1}{x^2 - 1} = x + \frac{-x + 1}{x^2 - 1} = x + \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = x - \frac{1}{x + 1}.
\]
Integrando: $\dfrac{x^2}{2} - \ln |x + 1| + c$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Stesso grado: $\deg P = \deg Q$]
$\displaystyle\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \int \frac{(x^2 + 1) - 1}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x = \int \left( 1 - \frac{1}{x^2 + 1} \right)\,\mathrm{d}x = x - \arctg x + c$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-022-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Sintesi: caso completo]
$\displaystyle\int \frac{x^3 + 2 x^2 - x + 3}{x^2 - x - 2}\,\mathrm{d}x$.

\textbf{Passo 1: divisione.} $x^3 + 2 x^2 - x + 3 = (x + 3)(x^2 - x - 2) + (4 x + 9)$. Verifica: $(x + 3)(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2 x + 3 x^2 - 3 x - 6 = x^3 + 2 x^2 - 5 x - 6$, e $x^3 + 2 x^2 - x + 3 - (x^3 + 2 x^2 - 5 x - 6) = 4 x + 9$. $\checkmark$

\textbf{Passo 2: fattorizzo $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.}

\textbf{Passo 3: decompongo $\dfrac{4 x + 9}{(x - 2)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1}$.}

Per $x = 2$: $17 = 3 A \Rightarrow A = 17/3$. Per $x = -1$: $5 = -3 B \Rightarrow B = -5/3$.

\textbf{Passo 4: integro.}
\[
  \int (x + 3)\,\mathrm{d}x + \frac{17}{3} \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 2} - \frac{5}{3} \int \frac{\mathrm{d}x}{x + 1} = \frac{x^2}{2} + 3 x + \frac{17}{3} \ln |x - 2| - \frac{5}{3} \ln |x + 1| + c.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caso con $\Delta < 0$ in mezzo]
$\displaystyle\int \frac{3 x + 5}{(x - 1)(x^2 + 4)}\,\mathrm{d}x$. Decomposizione:
\[
  \frac{3 x + 5}{(x - 1)(x^2 + 4)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^2 + 4}.
\]
$3 x + 5 = A(x^2 + 4) + (B x + C)(x - 1) = (A + B) x^2 + (C - B) x + (4 A - C)$. Sistema: $A + B = 0$, $C - B = 3$, $4 A - C = 5$. Dalla prima $B = -A$; sostituendo nella seconda $C + A = 3$; sostituendo $C = 3 - A$ nella terza $4 A - (3 - A) = 5 \Rightarrow 5 A = 8 \Rightarrow A = 8/5$. Quindi $B = -8/5$, $C = 3 - 8/5 = 7/5$.

Integrale:
\[
  \frac{8}{5} \int \frac{\mathrm{d}x}{x - 1} + \int \frac{-8 x/5 + 7/5}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x = \frac{8}{5} \ln |x - 1| - \frac{4}{5} \ln(x^2 + 4) + \frac{7}{10} \arctg \frac{x}{2} + c.
\]
(Nel secondo integrale: $\int (-8 x/5)/(x^2 + 4) = -(4/5) \ln(x^2 + 4)$ pattern $f'/f$, e $\int (7/5)/(x^2 + 4) = (7/5)(1/2) \arctg(x/2) = (7/10) \arctg(x/2)$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tutte le radici doppie]
$\displaystyle\int \frac{1}{(x^2 - 1)^2}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{(x - 1)^2 (x + 1)^2}\,\mathrm{d}x$.

Decomposizione: $\dfrac{1}{(x-1)^2 (x+1)^2} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{(x-1)^2} + \dfrac{C}{x+1} + \dfrac{D}{(x+1)^2}$.

Moltiplicando per $(x^2-1)^2$: $1 = A(x-1)(x+1)^2 + B(x+1)^2 + C(x+1)(x-1)^2 + D(x-1)^2$.

$x = 1$: $1 = 4 B \Rightarrow B = 1/4$. $x = -1$: $1 = 4 D \Rightarrow D = 1/4$. Coeff.~$x^3$ a destra: $A + C = 0$. Coeff.~termine noto: $-A + B + C + D = 1 \Rightarrow C - A = 1/2$. Combinando con $A + C = 0$: $A = -1/4$, $C = 1/4$.

Integrale:
\[
  -\frac{1}{4} \ln |x - 1| - \frac{1}{4(x - 1)} + \frac{1}{4} \ln |x + 1| - \frac{1}{4(x + 1)} + c = \frac{1}{4} \ln \left| \frac{x+1}{x-1} \right| - \frac{x}{2(x^2 - 1)} + c.
\]
(L'ultimo passaggio: $-\frac{1}{4(x-1)} - \frac{1}{4(x+1)} = -\frac{(x+1) + (x-1)}{4(x-1)(x+1)} = -\frac{2x}{4(x^2 - 1)} = -\frac{x}{2(x^2-1)}$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione razionale che si trasforma in razionale dopo sostituzione]
$\displaystyle\int \frac{e^x}{e^{2 x} - 1}\,\mathrm{d}x$. Pongo $t = e^x$, $\mathrm{d}t = e^x \mathrm{d}x$:
\[
  \int \frac{\mathrm{d}t}{t^2 - 1} = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{t - 1}{t + 1} \right| + c = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right| + c.
\]
(Formula di tabella $\int 1/(x^2 - a^2) = (1/(2 a)) \ln |(x-a)/(x+a)|$ con $a = 1$.)
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-022-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Denominatore di primo grado:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{3}{2 x + 1}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x - 1}{x + 2}\,\mathrm{d}x$ (divisione preliminare);
    \item $\int \dfrac{x^2}{x - 1}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Denominatore di secondo grado, $\Delta > 0$:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{1}{x^2 - 4}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{x^2 - 3 x + 2}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x}{x^2 - 5 x + 6}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: la derivata del denominatore è $2x - 5$).
  \end{enumerate}
  \item Denominatore di secondo grado, $\Delta = 0$:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{1}{(x - 3)^2}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x}{(x + 1)^2}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x + 4}{x^2 + 4 x + 4}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Denominatore di secondo grado, $\Delta < 0$:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{1}{x^2 + 6 x + 13}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x}{x^2 + 4}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{2 x + 1}{x^2 + 2 x + 5}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{3 x - 1}{x^2 + 9}\,\mathrm{d}x$.
  \end{enumerate}
  \item Decomposizione in fratti semplici:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 6}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{x(x - 1)(x - 2)}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x^2}{(x - 1)(x + 1)(x + 2)}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{1}{x^3 + x}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $x^3 + x = x(x^2 + 1)$);
    \item $\int \dfrac{x^2 - 1}{x^3 + 2 x^2 + x}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: fattorizzare $x(x+1)^2$).
  \end{enumerate}
  \item Grado del numeratore alto:
  \begin{enumerate}
    \item $\int \dfrac{x^3}{x^2 + 1}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x^4 + 1}{x^2}\,\mathrm{d}x$;
    \item $\int \dfrac{x^5 + 1}{x + 1}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$).
  \end{enumerate}
  \item Calcolare $\int \dfrac{1}{x^4 - 1}\,\mathrm{d}x$ (suggerimento: $x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x-1)(x+1)(x^2 + 1)$).
  \item Calcolare $\int \dfrac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\,\mathrm{d}x$. (Suggerimento: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.)
  \item Mostrare che la primitiva di $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ vale $\arctg x + c$; quella di $g(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ vale $\dfrac{1}{2}\ln|(x-1)/(x+1)| + c$. Confronto: spiegare cosa ``rappresenta'' geometricamente la differenza fra i due casi (primitivamente uno legato all'iperbole, l'altro al cerchio).
  \item Determinare $f(x)$ tale che $f'(x) = \dfrac{2 x + 5}{x^2 + 4 x + 5}$ e $f(0) = 0$.
  \item Calcolare $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{x(x^2 + 4)^2}$ (più fattori, includendo un quadratico al quadrato).
  \item Calcolare $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{\sen^2 x + 2 \sen x \cos x + 5 \cos^2 x}$ (suggerimento: dividere per $\cos^2 x$ ottenendo $\int \mathrm{d}(\tg x)/(\tg^2 x + 2 \tg x + 5)$, e quindi razionale in $t = \tg x$).
  \item Mostrare per induzione che $\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x^2 + 1)^n} = J_n$ soddisfa la \emph{formula di riduzione}
  \[
    J_n = \frac{x}{2(n-1)(x^2+1)^{n-1}} + \frac{2 n - 3}{2(n-1)} J_{n-1}, \qquad n \ge 2,
  \]
  con $J_1 = \arctg x + c$.
  \item \emph{Sfida.} Mostrare che, qualunque sia la funzione razionale $P(x)/Q(x)$ a coefficienti reali, la sua primitiva è esprimibile come somma di funzioni razionali, logaritmi (di polinomi a coefficienti reali) e arcotangenti (di funzioni lineari di $x$). Spiegare perché \emph{nessun'altra funzione trascendente} è necessaria (suggerimento: questa proprietà è una conseguenza diretta del teorema di decomposizione in fratti semplici sui reali).
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-022-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Schema generale}. Per integrare $P(x)/Q(x)$:
  \begin{enumerate}
    \item se $\deg P \ge \deg Q$, dividere per ridurre a $S(x) + R(x)/Q(x)$ con $\deg R < \deg Q$;
    \item fattorizzare $Q$ in fattori lineari e quadratici irriducibili in $\R$;
    \item decomporre $R/Q$ in fratti semplici;
    \item integrare ciascun fratto separatamente.
  \end{enumerate}
  \item \emph{Casi tipo}. $\int 1/(x - a) = \ln |x - a|$; $\int 1/(x - a)^k = -1/[(k-1)(x-a)^{k-1}]$; $\int (Ax+B)/(x^2 + px + q)$ con $\Delta < 0$: separare in $f'/f$ (logaritmico) e arcotangente generalizzato; $\int 1/(x^2 - a^2) = (1/(2a))\ln |(x-a)/(x+a)|$.
  \item \emph{Determinazione dei coefficienti}. Due metodi equivalenti:
  \begin{enumerate}
    \item principio di identità dei polinomi (sistema lineare);
    \item metodo della copertura (per radici semplici, sostituire $x = \alpha$ dopo aver ``coperto'' $(x - \alpha)$).
  \end{enumerate}
  \item \emph{Risultato fondamentale}. Ogni funzione razionale ha primitiva elementare, somma finita di funzioni razionali, logaritmi e arcotangenti (teorema di Bernoulli, 1702).
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-023}) si passa dall'\emph{integrale indefinito} (famiglia di primitive) all'\emph{integrale definito} (numero, area sotto il grafico). Il \emph{teorema fondamentale del calcolo} (\ref{cap:AN-024}) collegherà i due concetti.
\end{itemize}
\end{riepilogo}