\chapter{Calcolo di aree di regioni piane}\label{cap:AN-025}

\citazioneinizio{%
\flashcap{AN-025-calcolo-aree}
\geesexercises{mt29}
\sorgentecap{AN-025}
\matematika{AN-025}
  Mostriamo che il segmento di parabola, tagliato da una corda qualunque, è quattro terzi del triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza. Questa proposizione, ardua a stabilirsi per via puramente geometrica, si dimostra mediante il metodo delle suddivisioni e dei limiti di somme.%
}{Archimede di Siracusa, \emph{Quadratura della parabola} (III sec.~a.C.), proposizione~24, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-025-01-introduzione-motivazionale}
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Il calcolo di aree di regioni delimitate da curve è il problema applicativo più antico e classico del calcolo integrale. Archimede di Siracusa (III sec.~a.C.) ne fece il proprio capolavoro, dimostrando con il \emph{metodo di esaustione} che l'area di un segmento parabolico è $\frac{4}{3}$ dell'area del triangolo inscritto. Il calcolo gli costò pagine di geometria; oggi, con il teorema fondamentale del calcolo (\ref{cap:AN-024}), ci basterà una linea di integrazione.

Lo schema generale è semplice:
\begin{itemize}
  \item se la regione è il \emph{sottografico} di una funzione $f \ge 0$ su $[a, b]$, l'area è $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$;
  \item se è racchiusa fra due curve $y = f(x)$ e $y = g(x)$ con $f \le g$ su $[a, b]$, l'area è $\int_a^b (g(x) - f(x))\,\mathrm{d}x$;
  \item se la funzione cambia segno, l'integrale fornisce un'\emph{area con segno}; per l'area geometrica (positiva) si spezza il dominio nei sottointervalli di segno costante e si sommano i moduli.
\end{itemize}
Vedremo poi alcune varianti (regione scritta come funzione di $y$, area di un'ellisse, regione delimitata da tre curve).

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\section{Area sottesa da una curva}\label{sec:an-025-02-area-sottesa-da-una-curva}
\flashsec{AN-025-calcolo-aree}{02}
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\begin{formulabox}
\textbf{Area sottesa al grafico di $f$}. Se $f$ è continua e $f(x) \ge 0$ su $[a, b]$, l'area del trapezoide
\[
  T = \{(x, y) : a \le x \le b, \; 0 \le y \le f(x)\}
\]
vale
\[
  \mathrm{Area}(T) = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.
\]
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Area sotto una parabola]
Determinare l'area del trapezoide compreso fra $y = 4 - x^2$ e l'asse $x$ (la parabola interseca l'asse $x$ in $\pm 2$):
\[
  A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,\mathrm{d}x = \bigl[ 4 x - x^3/3 \bigr]_{-2}^{2} = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 16 - 16/3 = \frac{32}{3}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area sotto $\sen x$ su mezzo periodo]
\[
  A = \int_0^{\pi} \sen x\,\mathrm{d}x = \bigl[-\cos x\bigr]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2.
\]
Curioso: l'area sotto un arco di sinusoide vale esattamente $2$, indipendentemente dal fatto che $\pi$ sia irrazionale.
\end{esempio}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[->, black] (-0.3, 0) -- (4, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 1.5) node[above] {$y$};
  \fill[CELESTE!60] plot[domain=0:3.14159, samples=60] (\x, {sin(deg(\x))}) -- (3.14159, 0) -- (0, 0) -- cycle;
  \draw[BLU, thick, domain=0:3.14159, samples=60] plot (\x, {sin(deg(\x))});
  \node[below] at (3.14159, -0.05) {\small $\pi$};
  \node[CELESTE!50!black] at (1.57, 0.4) {\small $A = 2$};
  \node[BLU, right] at (3.14159, 0.3) {\small $\sen x$};
\end{tikzpicture}
\caption{Area sotto un arco di sinusoide: $\int_0^\pi \sen x\,\mathrm{d}x = 2$.}
\label{fig:an-025-arco-seno}
\end{figure}

\subsection*{Area di un'ellisse: una conferma classica}

\begin{esempio}[Area dell'ellisse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$]
La parte superiore dell'ellisse è $y = b \sqrt{1 - x^2/a^2}$. Area della metà superiore:
\[
  \frac{A}{2} = \int_{-a}^{a} b \sqrt{1 - x^2/a^2}\,\mathrm{d}x.
\]
Sostituzione $x = a \sen t$, $\mathrm{d}x = a \cos t\,\mathrm{d}t$; estremi $-a \to -\pi/2$, $a \to \pi/2$:
\[
  \frac{A}{2} = a b \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 t\,\mathrm{d}t = a b \cdot \frac{\pi}{2}.
\]
Quindi $A = \pi a b$. Per $a = b = r$ si ritrova $A = \pi r^2$ (area del cerchio). $\checkmark$
\end{esempio}

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\section{Area tra due curve}\label{sec:an-025-03-area-tra-due-curve}
\flashsec{AN-025-calcolo-aree}{03}
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\begin{formulabox}
\textbf{Area fra due grafici}. Se $f, g$ sono continue su $[a, b]$ e $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$, l'area della regione
\[
  R = \{(x, y) : a \le x \le b, \; f(x) \le y \le g(x)\}
\]
vale
\[
  \mathrm{Area}(R) = \int_a^b \bigl[ g(x) - f(x) \bigr]\,\mathrm{d}x.
\]
\end{formulabox}

\emph{Interpretazione}: si pensa la regione come il sottografico della funzione ``superiore meno inferiore''. Non importa che $f$ e $g$ siano positive: l'\emph{differenza} $g - f$ è non-negativa per ipotesi, dunque rappresenta correttamente la larghezza verticale della striscia infinitesima.

\begin{procedura}[Calcolo dell'area fra due curve]
\begin{enumerate}
  \item Determinare i punti d'intersezione $f(x) = g(x)$ per individuare gli estremi $a, b$ di integrazione.
  \item Stabilire \emph{quale delle due funzioni è sopra} nell'intervallo (valutarle in un punto interno, oppure tramite studio del segno di $g - f$).
  \item Calcolare $\int_a^b (g - f)\,\mathrm{d}x$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Area racchiusa fra parabola e retta]
Calcolare l'area racchiusa fra $y = x^2$ e $y = 2 x$.

\textbf{Intersezioni}: $x^2 = 2 x \iff x(x - 2) = 0$, $x = 0$ o $x = 2$. \textbf{Sopra}: in $x = 1$, $f = 1 < g = 2$, dunque la retta è sopra. \textbf{Area}:
\[
  A = \int_0^2 (2 x - x^2)\,\mathrm{d}x = \bigl[ x^2 - x^3/3 \bigr]_0^2 = 4 - 8/3 = \frac{4}{3}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Segmento parabolico di Archimede]
Calcolare l'area racchiusa fra $y = x^2$ e $y = h$ (retta orizzontale), con $h > 0$.

Intersezioni: $x = \pm \sqrt h$. Sopra: la retta. Area:
\[
  A = \int_{-\sqrt h}^{\sqrt h} (h - x^2)\,\mathrm{d}x = \bigl[ h x - x^3/3 \bigr]_{-\sqrt h}^{\sqrt h} = 2(h \sqrt h - h \sqrt h/3) = \frac{4}{3} h \sqrt h.
\]
\textbf{Confronto con Archimede}. La corda di estremi $(\pm \sqrt h, h)$ ha lunghezza $2 \sqrt h$ e dista $h$ dal vertice della parabola; il triangolo con base $2\sqrt h$ e altezza $h$ ha area $\sqrt h \cdot h = h \sqrt h$. Allora $A / A_{\triangle} = \frac{4/3 \, h \sqrt h}{h \sqrt h} = \frac{4}{3}$: \emph{il segmento parabolico è $\frac{4}{3}$ del triangolo inscritto.} La proposizione~24 della \emph{Quadratura della parabola} di Archimede, dimostrata con il metodo di esaustione, è qui ottenuta in tre righe grazie al TFC.
\end{esempio}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  \draw[->, black] (-2.3, 0) -- (2.3, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, black] (0, -0.3) -- (0, 2.5) node[above] {$y$};
  % parabola y = x^2
  \draw[BLU, thick, domain=-1.5:1.5, samples=80] plot (\x, {\x*\x});
  % retta y = 2 (h)
  \draw[ARANCIO, thick] (-2, 2) -- (2, 2);
  % regione
  \fill[CELESTE!60] plot[domain=-1.41:1.41, samples=60] (\x, {\x*\x}) -- (1.41, 2) -- (-1.41, 2) -- cycle;
  \node[BLU, right] at (1.5, 2.3) {\small $y = x^2$};
  \node[ARANCIO, right] at (2, 2) {\small $y = h$};
  \filldraw[ROSSO] (1.41, 2) circle (1.5pt);
  \filldraw[ROSSO] (-1.41, 2) circle (1.5pt);
  \node[CELESTE!50!black] at (0, 1.1) {\small segm.~parab.};
\end{tikzpicture}
\caption{Segmento parabolico di Archimede: area = $\frac{4}{3}$ del triangolo (rosso) inscritto.}
\label{fig:an-025-segmento-parabolico}
\end{figure}

\begin{esempio}[Area fra due parabole]
Calcolare l'area racchiusa fra $y = x^2$ e $y = 2 x - x^2$.

Intersezioni: $x^2 = 2 x - x^2 \iff 2 x^2 - 2 x = 0 \iff x = 0, 1$. In $x = 0.5$: $f = 0.25$, $g = 0.75$. La seconda parabola è sopra:
\[
  A = \int_0^1 (2 x - x^2 - x^2)\,\mathrm{d}x = \int_0^1 (2 x - 2 x^2)\,\mathrm{d}x = \bigl[ x^2 - 2 x^3/3 \bigr]_0^1 = 1 - 2/3 = \frac{1}{3}.
\]
\end{esempio}

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\section{Calcolo di aree con cambi di segno}\label{sec:an-025-04-calcolo-di-aree-con-cambi-di-segno}
\flashsec{AN-025-calcolo-aree}{04}
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\begin{attenzione}
\emph{Integrale e area geometrica non coincidono se la funzione cambia segno!} L'integrale $\int_a^b f$ è una somma \emph{con segno}: porzioni sotto l'asse $x$ contribuiscono negativamente. Per calcolare l'\emph{area geometrica} (= area effettiva, positiva) della regione delimitata dal grafico e dall'asse $x$ tra $a$ e $b$, occorre:
\[
  \mathrm{Area} = \int_a^b |f(x)|\,\mathrm{d}x,
\]
che si calcola spezzando $[a, b]$ negli zeri di $f$ e sommando i moduli dei singoli integrali parziali.
\end{attenzione}

\begin{procedura}[Area geometrica con cambi di segno]
\begin{enumerate}
  \item Risolvere $f(x) = 0$ su $[a, b]$ per individuare gli zeri $x_1, x_2, \dots$.
  \item Determinare il segno di $f$ in ciascun sottointervallo.
  \item Calcolare gli integrali parziali $\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x)\,\mathrm{d}x$.
  \item Sommare i loro \emph{moduli}.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Cambio di segno in mezzo all'intervallo]
Calcolare $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sen x\,\mathrm{d}x$ e l'area geometrica della regione delimitata da $y = \sen x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 2 \pi$.

\textbf{Integrale}: $\int_0^{2\pi} \sen x = [-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$. (La porzione positiva $[0, \pi]$ si cancella con la negativa $[\pi, 2\pi]$.)

\textbf{Area geometrica}: spezzo in $[0, \pi]$ (dove $\sen x \ge 0$) e $[\pi, 2\pi]$ (dove $\sen x \le 0$):
\[
  A = \int_0^\pi \sen x\,\mathrm{d}x + \left| \int_\pi^{2\pi} \sen x\,\mathrm{d}x \right| = 2 + |{-2}| = 4.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Funzione che cambia segno: $\int_{-1}^{2} (x^2 - 1)$]
\textbf{Integrale}: $\int_{-1}^{2} (x^2 - 1) = [x^3/3 - x]_{-1}^{2} = (8/3 - 2) - (-1/3 + 1) = 2/3 - 2/3 = 0$. L'integrale è nullo: la regione sotto l'asse fra $-1$ e $1$ è esattamente compensata dalla regione sopra fra $1$ e $2$.

\textbf{Area geometrica}: spezzo nello zero $x = 1$:
\[
  A = \left| \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)\,\mathrm{d}x \right| + \int_1^2 (x^2 - 1)\,\mathrm{d}x = |{-4/3}| + 4/3 = \frac{8}{3}.
\]
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-025-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Regione delimitata da cubica e retta]
Calcolare l'area racchiusa fra $y = x^3 - x$ e $y = 0$ (l'asse $x$).

Zeri di $x^3 - x = x(x-1)(x+1)$: $x = -1, 0, 1$. Segno: positivo su $(-1, 0)$, negativo su $(0, 1)$, ecc. La regione delimitata dal grafico e dall'asse $x$ è compresa fra $x = -1$ e $x = 1$, e si compone di due ``lobi'' di segno opposto.

Per simmetria dispari $x^3 - x$: l'integrale netto su $[-1, 1]$ è $0$. L'area geometrica è il doppio dell'area di un solo lobo:
\[
  A = 2 \int_0^1 |x^3 - x|\,\mathrm{d}x = 2 \int_0^1 (x - x^3)\,\mathrm{d}x = 2 \bigl[ x^2/2 - x^4/4 \bigr]_0^1 = 2 (1/2 - 1/4) = \frac{1}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area in funzione di $y$: regione orizzontale]
Calcolare l'area racchiusa fra le curve $x = y^2$ e $x = y + 2$.

Conviene integrare rispetto a $y$. Intersezioni: $y^2 = y + 2 \iff y^2 - y - 2 = 0 \iff y = -1, 2$. ``Destra-sinistra'' per $y = 0$: $y^2 = 0$, $y + 2 = 2$, quindi $x = y + 2$ è a destra. Area:
\[
  A = \int_{-1}^{2} [(y + 2) - y^2]\,\mathrm{d}y = \bigl[ y^2/2 + 2 y - y^3/3 \bigr]_{-1}^{2} = (2 + 4 - 8/3) - (1/2 - 2 + 1/3) = 10/3 - (-7/6) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di una ``goccia'' tra esponenziale e retta]
Calcolare l'area racchiusa fra $y = e^x$ e $y = e \cdot x$ nel primo quadrante.

Intersezione: $e^x = e x$. È evidente $x = 1$ (si verifica: $e = e$). Per $x = 0$: $e^0 = 1$, $e \cdot 0 = 0$; per $x = 2$: $e^2 \approx 7.39$, $2e \approx 5.44$. Quindi per $x < 1$ l'esponenziale è sopra; per $x > 1$ è ancora sopra. \emph{Aspetto}: la retta è tangente all'esponenziale in $x = 1$ (per la convessità $e^x \ge 1 + e(x - 1) + \dots$, anzi $e^x \ge e x$ con uguaglianza solo in $x = 1$, vedi disuguaglianza convessa).

Dunque le due curve si toccano in $x = 1$ ma \emph{non} racchiudono una regione finita su $(0, 1)$ e $(1, +\infty)$ — la ``goccia'' è degenere. Riformulo: la regione fra $y = e^x$, $y = e x$, e l'asse $y$ (cioè $x \ge 0$) è di area finita se prendiamo $x \in [0, 1]$:
\[
  A = \int_0^1 (e^x - e x)\,\mathrm{d}x = \bigl[ e^x - e x^2/2 \bigr]_0^1 = (e - e/2) - (1 - 0) = \frac{e}{2} - 1 \approx 0.359.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tre curve, regione triangolata]
Calcolare l'area della regione limitata da $y = x$, $y = 2 - x$ e $y = x^2/2$, nel primo quadrante.

Intersezioni: $y = x$ con $y = 2 - x$ in $x = 1$ ($y = 1$); $y = x$ con $y = x^2/2$ in $x = 0$ e $x = 2$; $y = 2 - x$ con $y = x^2/2$ in $x^2/2 = 2 - x \iff x^2 + 2 x - 4 = 0 \iff x = -1 + \sqrt 5 \approx 1.236$.

Per $0 \le x \le 1$: il limite superiore è $y = x$ (sotto $y = 2 - x$, sopra $y = x^2/2$). Spezzo: per $1 \le x \le -1 + \sqrt 5$: il limite superiore diventa $y = 2 - x$.

\[
  A = \int_0^1 (x - x^2/2)\,\mathrm{d}x + \int_1^{-1+\sqrt 5} (2 - x - x^2/2)\,\mathrm{d}x.
\]
Il primo: $[x^2/2 - x^3/6]_0^1 = 1/2 - 1/6 = 1/3$. Il secondo (algebra omessa): si trova $\approx 0.158$. Totale $\approx 0.491$. (\emph{Lezione}: per regioni delimitate da più di due curve, è di solito necessario \emph{spezzare} il dominio nei sottointervalli dove la curva ``superiore'' è la stessa.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area legata a funzioni inverse]
Calcolare $\int_0^{1} \arcsen x\,\mathrm{d}x$ e interpretarlo come area.

Per parti, $u = \arcsen x$, $v' = 1$: $\int = [x \arcsen x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\mathrm{d}x = \pi/2 - 1 + 0 = \pi/2 - 1 \approx 0.571$.

\emph{Interpretazione geometrica}: $\arcsen$ è la funzione inversa di $\sen$ sul ramo $[-\pi/2, \pi/2]$; l'integrale su $[0, 1]$ rappresenta l'area sotto il grafico di $\arcsen$. Per simmetria della funzione inversa, $\int_0^1 \arcsen x\,\mathrm{d}x + \int_0^{\pi/2} \sen x\,\mathrm{d}x = 1 \cdot \pi/2$ (rettangolo $1 \times \pi/2$): verifica $\pi/2 - 1 + 1 = \pi/2$. $\checkmark$
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-025-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcolare l'area del trapezoide compreso fra l'asse $x$ e le seguenti curve, sui domini indicati:
  \begin{enumerate}
    \item $y = 3 x^2 + 1$ su $[0, 2]$;
    \item $y = \cos x$ su $[0, \pi/2]$;
    \item $y = e^{-x}$ su $[0, 2]$;
    \item $y = 1/x$ su $[1, e^2]$;
    \item $y = \sqrt{4 - x^2}$ su $[-2, 2]$ (riconoscere il semicerchio).
  \end{enumerate}
  \item Calcolare l'area delle regioni racchiuse fra le coppie di curve:
  \begin{enumerate}
    \item $y = x^2$ e $y = x$;
    \item $y = x^2$ e $y = 4 x - x^2$;
    \item $y = x^3$ e $y = x$;
    \item $y = \cos x$ e $y = \sen x$ su $[0, \pi/4]$;
    \item $y = e^x$ e $y = 1$ su $[0, 1]$.
  \end{enumerate}
  \item Calcolare l'area geometrica delimitata dall'asse $x$ e dalla curva $y = x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6$ su $[1, 3]$ (suggerimento: fattorizzare $= (x-1)(x-2)(x-3)$).
  \item Per la curva $y = \sen(2 x)$ su $[0, 2 \pi]$, calcolare:
  \begin{enumerate}
    \item l'integrale algebrico $\int_0^{2\pi} \sen(2 x)\,\mathrm{d}x$;
    \item l'area geometrica delimitata dal grafico e dall'asse $x$.
  \end{enumerate}
  \item Determinare l'area racchiusa fra $y = x^2 - 4 x$ e $y = x$.
  \item Determinare l'area racchiusa fra $y = \ln x$ e l'asse $x$ su $[1, e]$, e confrontarla con quella su $[1/e, 1]$ (suggerimento: usare la simmetria $\ln(1/x) = -\ln x$).
  \item Calcolare l'area dell'ellisse $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
  \item Calcolare l'area racchiusa fra la curva $y = 1/(1 + x^2)$ e l'asse $x$ su $[-1, 1]$.
  \item Determinare l'area limitata da $y = x^3$, $y = 8$ e l'asse $y$, integrando \emph{rispetto a $y$} (suggerimento: la curva inversa è $x = y^{1/3}$).
  \item Determinare l'area racchiusa fra $x = y^2 - 2$ e $x = y$, integrando rispetto a $y$.
  \item Sia $a > 0$. Determinare il valore di $a$ tale che l'area racchiusa fra $y = a x$ e $y = x^2$ valga esattamente $\num{0.5}$.
  \item Calcolare l'area della regione delimitata da $y = 4 - x^2$ e $y = x^2 - 4$, e confrontarla con l'area del rettangolo circoscritto.
  \item Determinare l'area racchiusa fra $y = \sen x$ e $y = \cos x$ in $[0, 2\pi]$, spezzando appropriatamente l'intervallo.
  \item Sia $f$ continua su $[0, 1]$ con $\int_0^1 f = 5$ e $\int_0^1 f^2 = 30$. Calcolare $\int_0^1 (f - 3)^2$.
  \item Calcolare l'area della regione delimitata dalla cardioide $r = 1 + \cos \theta$ in coordinate polari. (\emph{Cenno avanzato}: l'area di una regione descritta in polari è $A = \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta$; per la cardioide, $A = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} (1 + \cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta = \frac{3\pi}{2}$.)
  \item \emph{Sfida (riproduzione del risultato di Archimede)}. Una corda di una parabola $y = a x^2 + b x + c$ taglia un segmento parabolico. Mostrare che l'area del segmento è esattamente $\frac{4}{3}$ dell'area del triangolo che ha la stessa corda come base e il vertice nel punto della parabola alla massima distanza dalla corda. (Suggerimento: il problema generale si riduce, tramite una traslazione+riscalamento, al caso $y = x^2$, $y = h$ già trattato.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-025-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Area sottesa a $y = f(x)$} su $[a, b]$, con $f \ge 0$: $\mathrm{Area} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
  \item \emph{Area fra due curve} $y = f(x)$ e $y = g(x)$ con $f \le g$ su $[a, b]$: $\mathrm{Area} = \int_a^b (g - f)\,\mathrm{d}x$. Procedura: 1) intersezioni per gli estremi; 2) chi è sopra; 3) integrale della differenza.
  \item \emph{Cambio di segno}. L'integrale $\int_a^b f$ è una somma con segno; l'\emph{area geometrica} è $\int_a^b |f|$, che si calcola spezzando agli zeri e sommando i moduli.
  \item \emph{Area di un'ellisse}: $\pi a b$. Caso $a = b = r$: cerchio, $\pi r^2$.
  \item \emph{Segmento parabolico di Archimede}: area $= \frac{4}{3}$ del triangolo inscritto (con la stessa corda come base).
  \item \emph{Area in funzione di $y$}. Se la regione è meglio descritta come $x = h(y)$, $y \in [c, d]$ (``strisce orizzontali''), si integra rispetto a $y$: $\mathrm{Area} = \int_c^d [h_{\mathrm{destra}}(y) - h_{\mathrm{sinistra}}(y)]\,\mathrm{d}y$.
  \item \emph{Regioni delimitate da tre o più curve}: si spezza il dominio nei sottointervalli dove la curva ``superiore'' è la stessa, e si somma.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-026}) si estende il metodo integrale dal calcolo di aree (regioni piane) al calcolo di \emph{volumi} di solidi di rotazione.
\end{itemize}
\end{riepilogo}