\chapter{Equazioni differenziali del primo ordine: a variabili separabili e lineari}\label{cap:AN-028}

\citazioneinizio{%
  Data una equazione contenente le quantità fluenti e le loro flussioni, è richiesto di trovare le relazioni fra le sole fluenti. Tale è il problema inverso del calcolo delle flussioni: il più importante e fecondo della matematica naturale, poiché tutte le leggi fisiche si presentano sotto forma di equazioni di questo tipo.%
}{Isaac Newton, \emph{Methodus fluxionum et serierum infinitarum} (1671, pubbl.~1736), traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-028-01-introduzione-motivazionale}
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Le \emph{equazioni differenziali} (in breve, ED) sono equazioni in cui l'incognita non è un numero, ma una \emph{funzione}, e in cui compaiono — oltre alla funzione stessa — anche le sue derivate. Una soluzione di una ED è dunque una funzione che, sostituita nell'equazione, la verifica identicamente.

L'importanza concettuale e applicativa di questo concetto è enorme: praticamente ogni legge della fisica, della chimica, della biologia, dell'economia ha la forma di una ED.
\begin{itemize}
  \item \emph{Seconda legge di Newton}: $m \ddot s = F$ — la posizione come funzione del tempo soddisfa un'ED del secondo ordine.
  \item \emph{Decadimento radioattivo}: $\dot N = -\lambda N$ — il numero di atomi decresce in modo proporzionale alla sua quantità istantanea.
  \item \emph{Crescita logistica di una popolazione}: $\dot P = k P (1 - P/K)$ — crescita inizialmente esponenziale, poi saturante.
  \item \emph{Circuito RC}: $R \dot q + q/C = V(t)$ — carica del condensatore in funzione del tempo.
\end{itemize}
In questo capitolo introduciamo le ED del primo ordine (cioè in cui compare solo $y'$, non derivate di ordine superiore) e impariamo a risolvere due famiglie fondamentali:
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazioni a variabili separabili}: $y' = f(x) g(y)$.
  \item \emph{Equazioni lineari}: $y' + a(x) y = b(x)$.
\end{itemize}
Vedremo che, in entrambi i casi, la chiave operativa è l'\emph{integrazione} (di una o più funzioni note). Le ED sono dunque la grande applicazione naturale del calcolo integrale.

\medskip

\emph{Nota storica}. Le prime ED appaiono nei lavori di Newton e Leibniz (1670--1690), nel contesto della meccanica e della geometria delle curve. Il termine \emph{equazione differenziale} è di Leibniz (1684). Eulero (\emph{Institutiones calculi integralis}, 1768--1770) ha sistematizzato la teoria classificando i casi risolvibili in forma chiusa. La teoria moderna dell'esistenza e unicità delle soluzioni si deve a Cauchy (1820--1830) e Lipschitz (1876).

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\section{Cos'è un'equazione differenziale}\label{sec:an-028-02-cos-e-un-equazione-differenziale}
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\begin{definizione}[Equazione differenziale ordinaria del primo ordine]
Un'\emph{equazione differenziale ordinaria del primo ordine} è una relazione della forma
\[
  F(x, y, y') = 0,
\]
dove $y = y(x)$ è la funzione incognita e $y'(x)$ la sua derivata. Una \emph{soluzione} (o \emph{integrale}) è una funzione $y : I \to \R$ derivabile su un intervallo $I$ tale che $F(x, y(x), y'(x)) = 0$ per ogni $x \in I$.
\end{definizione}

\emph{Esempi (con soluzione)}:
\begin{itemize}
  \item $y' = 0$. Soluzioni: $y(x) = c$ (qualunque costante).
  \item $y' = 1$. Soluzioni: $y(x) = x + c$.
  \item $y' = y$. Soluzioni: $y(x) = c e^x$. (Verifica: $(c e^x)' = c e^x$, $\checkmark$.)
\end{itemize}

\emph{Tipicamente, una ED del primo ordine ha infinite soluzioni}, formando una \emph{famiglia a un parametro} (la costante di integrazione). Per individuare \emph{una} soluzione specifica si impone una condizione aggiuntiva, tipicamente del tipo $y(x_0) = y_0$: è il \emph{problema di Cauchy}.

\begin{definizione}[Integrale generale, integrale particolare]
L'insieme di \emph{tutte} le soluzioni di un'ED, dipendente da una costante arbitraria, è detto \emph{integrale generale}. Una soluzione specifica (ottenuta fissando la costante mediante una condizione) è un \emph{integrale particolare}.
\end{definizione}

\begin{teorema}[Esistenza e unicità (Cauchy--Lipschitz, cenno)]
Se $f(x, y)$ è continua su un rettangolo aperto contenente $(x_0, y_0)$ e ammette derivata parziale $\partial f/\partial y$ anch'essa continua (o, più in generale, è ``lipschitziana in $y$''), allora il problema di Cauchy
\[
  y' = f(x, y), \qquad y(x_0) = y_0,
\]
ammette una e una sola soluzione, definita almeno in un intorno di $x_0$.
\end{teorema}

(Il teorema verrà rigorosamente dimostrato in analisi universitaria; qui lo accettiamo come fatto, garantendoci che le soluzioni che troveremo sono \emph{le} soluzioni.)

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\section{Equazioni a variabili separabili}\label{sec:an-028-03-equazioni-a-variabili-separabili}
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\begin{definizione}[ED a variabili separabili]
Un'ED del primo ordine si dice \emph{a variabili separabili} se può scriversi nella forma
\[
  y' = f(x) \cdot g(y),
\]
con $f, g$ continue su opportuni intervalli.
\end{definizione}

\subsection*{Metodo risolutivo}

L'idea è ``separare'' algebricamente la variabile $x$ dalla variabile $y$:
\[
  \frac{\mathrm{d}y}{g(y)} = f(x)\,\mathrm{d}x,
\]
e poi integrare \emph{entrambi i membri}.

\begin{procedura}[Soluzione di un'ED a variabili separabili]
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Cercare soluzioni costanti}: gli zeri di $g$ ($g(y_0) = 0$) forniscono soluzioni costanti $y(x) \equiv y_0$.
  \item \textbf{Separare}: scrivere $\dfrac{\mathrm{d}y}{g(y)} = f(x)\,\mathrm{d}x$ (assumendo $g(y) \ne 0$).
  \item \textbf{Integrare}: $\int \dfrac{\mathrm{d}y}{g(y)} = \int f(x)\,\mathrm{d}x + c$ (una sola costante di integrazione: le due si fondono).
  \item \textbf{Esplicitare} $y$ in funzione di $x$ (se possibile).
  \item Se è imposto $y(x_0) = y_0$ (problema di Cauchy), determinare $c$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[$y' = y$]
$g(y) = y$. Soluzione costante: $y \equiv 0$. Altrimenti separo: $\dfrac{\mathrm{d}y}{y} = \mathrm{d}x \Rightarrow \int \dfrac{\mathrm{d}y}{y} = \int \mathrm{d}x \Rightarrow \ln|y| = x + c \Rightarrow |y| = e^{x + c} = e^c e^x$. Posto $C = \pm e^c$ (costante non nulla):
\[
  y(x) = C e^x.
\]
Includendo la soluzione costante $y \equiv 0$ (corrispondente a $C = 0$), l'integrale generale è $y = C e^x$ con $C \in \R$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$y' = -k y$, decadimento]
$y = C e^{-k t}$, $C \in \R$. \emph{Modello}: numero di atomi radioattivi al tempo $t$, con $k = \lambda$ \emph{costante di decadimento}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$y' = x y$]
$y \equiv 0$ è soluzione. Separo: $\dfrac{\mathrm{d}y}{y} = x\,\mathrm{d}x \Rightarrow \ln|y| = x^2/2 + c \Rightarrow y = C e^{x^2/2}$ con $C \in \R$.

Problema di Cauchy con $y(0) = 3$: $3 = C e^0 = C \Rightarrow C = 3$. Soluzione: $y = 3 e^{x^2/2}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$y' = y^2$ (esplosione in tempo finito)]
$y \equiv 0$ è soluzione. Altrimenti: $\dfrac{\mathrm{d}y}{y^2} = \mathrm{d}x \Rightarrow -1/y = x + c \Rightarrow y = -1/(x + c) = \dfrac{1}{C - x}$ (con $C = -c$).

Notabile: per condizione $y(0) = 1$, $C = 1$, $y = 1/(1 - x)$, che \emph{esplode in tempo finito} ($x = 1$). Esempio di soluzione \emph{non globale}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$y' = \cos x / y$]
Separo: $y\,\mathrm{d}y = \cos x\,\mathrm{d}x \Rightarrow y^2/2 = \sen x + c \Rightarrow y^2 = 2 \sen x + C \Rightarrow y = \pm \sqrt{2 \sen x + C}$ (sui dominii dove l'argomento è $\ge 0$).
\end{esempio}

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\section{Equazioni lineari del primo ordine}\label{sec:an-028-04-equazioni-lineari-del-primo-ordine}
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\begin{definizione}[ED lineare del primo ordine]
Un'ED del primo ordine si dice \emph{lineare} se può scriversi nella forma
\[
  y' + a(x) y = b(x),
\]
con $a, b$ funzioni continue su un intervallo $I$. La funzione $b(x)$ si dice \emph{termine noto}; se $b \equiv 0$, l'equazione si dice \emph{omogenea}, altrimenti \emph{completa}.
\end{definizione}

\subsection*{Caso omogeneo: $y' + a(x) y = 0$}

È a variabili separabili: $\dfrac{\mathrm{d}y}{y} = -a(x)\,\mathrm{d}x \Rightarrow \ln|y| = -A(x) + c \Rightarrow y = C e^{-A(x)}$, dove $A(x)$ è una primitiva di $a(x)$.

\subsection*{Caso completo: il metodo del fattore integrante}

L'idea: moltiplicare entrambi i membri per una funzione $\mu(x)$ (\emph{fattore integrante}) tale che il primo membro diventi la derivata di $\mu y$:
\[
  \mu(x) y' + \mu(x) a(x) y = \mu(x) b(x).
\]
Vogliamo $[\mu y]' = \mu y' + \mu' y = \mu y' + \mu a y$, ovvero $\mu' = \mu a$, ovvero $\mu(x) = e^{A(x)}$ con $A' = a$. Allora l'equazione diventa
\[
  [\mu y]' = \mu b \Rightarrow \mu y = \int \mu b\,\mathrm{d}x + c.
\]

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzione dell'ED lineare $y' + a(x) y = b(x)$}. Sia $A(x)$ una primitiva di $a(x)$. Allora
\[
  y(x) = e^{-A(x)} \left[ \int e^{A(x)} b(x)\,\mathrm{d}x + c \right], \qquad c \in \R.
\]
\end{formulabox}

\begin{procedura}[Risoluzione di un'ED lineare del primo ordine]
\begin{enumerate}
  \item Scrivere l'equazione in forma standard $y' + a(x) y = b(x)$.
  \item Calcolare $A(x) = \int a(x)\,\mathrm{d}x$ (senza costante).
  \item Calcolare il fattore integrante $\mu(x) = e^{A(x)}$.
  \item Calcolare $\int \mu(x) b(x)\,\mathrm{d}x$.
  \item Scrivere $y = e^{-A(x)} \bigl[ \int \mu b\,\mathrm{d}x + c \bigr]$.
  \item Determinare $c$ se è dato un problema di Cauchy.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[$y' + y = x$]
$a = 1$, $b = x$, $A = x$, $\mu = e^x$:
\[
  e^x y = \int x e^x\,\mathrm{d}x + c = e^x (x - 1) + c \Rightarrow y = (x - 1) + c e^{-x}.
\]
Integrale generale: $y(x) = x - 1 + c e^{-x}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$y' + 2 y = 4$]
$a = 2$, $b = 4$, $A = 2 x$, $\mu = e^{2x}$:
\[
  e^{2 x} y = \int 4 e^{2 x}\,\mathrm{d}x + c = 2 e^{2 x} + c \Rightarrow y = 2 + c e^{-2 x}.
\]
\emph{Significato}: la soluzione tende all'equilibrio $y = 2$ per $x \to +\infty$ (la parte transitoria $c e^{-2x}$ decade esponenzialmente).
\end{esempio}

\subsection*{Struttura della soluzione: omogenea + particolare}

Per una ED lineare, l'integrale generale ha la forma
\[
  y(x) = y_\mathrm{p}(x) + c \cdot y_\mathrm{o}(x),
\]
dove $y_\mathrm{p}$ è \emph{una particolare soluzione} dell'equazione completa, e $y_\mathrm{o}$ è la \emph{soluzione generale dell'omogenea} associata. Questa struttura è un'eco della linearità (vedremo lo stesso fenomeno nel \ref{cap:AN-029} per le ED lineari del secondo ordine).

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\section{Problemi di Cauchy}\label{sec:an-028-05-problemi-di-cauchy}
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\begin{definizione}[Problema di Cauchy del primo ordine]
Un \emph{problema di Cauchy} per un'ED del primo ordine è il sistema
\[
  \begin{cases} y' = f(x, y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
\]
che chiede di trovare la (unica) soluzione che, all'istante $x_0$, assume il valore $y_0$.
\end{definizione}

\begin{procedura}[Risoluzione di un problema di Cauchy]
\begin{enumerate}
  \item Trovare l'integrale generale dell'ED (con costante $c$).
  \item Imporre la condizione $y(x_0) = y_0$.
  \item Risolvere l'equazione algebrica risultante per determinare $c$.
  \item Sostituire $c$ nell'integrale generale per ottenere la soluzione particolare.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Problema di Cauchy semplice]
$y' = 2 x y$, $y(0) = 5$. \textbf{ED} a variabili separabili: $\mathrm{d}y/y = 2 x\,\mathrm{d}x \Rightarrow \ln|y| = x^2 + c \Rightarrow y = C e^{x^2}$. \textbf{Condizione}: $y(0) = 5 \Rightarrow C = 5$. \textbf{Soluzione}: $y(x) = 5 e^{x^2}$.
\end{esempio}

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\section{Modelli: decadimento e crescita esponenziale}\label{sec:an-028-06-modelli-decadimento-crescita-esponenziale}
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L'ED $y' = k y$ è probabilmente la più importante ED del calcolo: descrive qualunque grandezza la cui \emph{rapidità di variazione} è proporzionale alla \emph{quantità presente}. Per il segno di $k$:
\begin{itemize}
  \item $k > 0$: \emph{crescita esponenziale}, $y(t) = y_0 e^{k t}$.
  \item $k < 0$: \emph{decadimento esponenziale}, $y(t) = y_0 e^{k t} \to 0$.
\end{itemize}

\begin{esempio}[Decadimento radioattivo]
Una sostanza radioattiva contiene $N(t)$ atomi al tempo $t$. Ogni atomo ha probabilità di decadere proporzionale a un parametro fisso $\lambda$ (\emph{costante di decadimento}), dunque
\[
  N'(t) = -\lambda N(t) \quad \Rightarrow \quad N(t) = N_0 e^{-\lambda t}.
\]
\emph{Tempo di dimezzamento}: $T_{1/2}$ è il tempo dopo cui $N$ si riduce a $N_0/2$:
\[
  N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}} \Rightarrow T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}.
\]
\emph{Esempi}: ${}^{14}\mathrm{C}$ ha $T_{1/2} = \num{5730}~anni$ ($\lambda \approx \num{1.21e-4}~anni\textsuperscript{-1}$, base della \emph{datazione al carbonio}); ${}^{238}\mathrm{U}$ ha $T_{1/2} = \num{4.5e9}~anni$ (datazione delle rocce e dell'età della Terra).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Crescita di una popolazione (modello di Malthus)]
Una popolazione $P(t)$ con tasso di crescita pro capite costante $r$ soddisfa
\[
  P' = r P \Rightarrow P(t) = P_0 e^{r t}.
\]
\emph{Modello di Malthus} (1798), realistico solo a breve termine: a lungo termine, i limiti delle risorse impongono saturazione (modello logistico).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Raffreddamento di Newton]
Un corpo a temperatura $T(t)$ in un ambiente a temperatura $T_\mathrm{a}$ raffredda (o riscalda) con rapidità proporzionale alla differenza di temperatura:
\[
  T'(t) = -k (T(t) - T_\mathrm{a}), \qquad k > 0.
\]
Ponendo $\theta = T - T_\mathrm{a}$: $\theta' = -k \theta$, dunque $\theta(t) = \theta_0 e^{-k t}$, ovvero
\[
  T(t) = T_\mathrm{a} + (T_0 - T_\mathrm{a}) e^{-k t}.
\]
La temperatura tende esponenzialmente a quella dell'ambiente.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Caduta in mezzo viscoso (linear)]
Un corpo di massa $m$ in caduta libera nell'aria, con resistenza proporzionale alla velocità ($-\beta v$):
\[
  m \dot v = m g - \beta v, \quad \text{ovvero} \quad \dot v + \frac{\beta}{m} v = g.
\]
ED lineare del primo ordine. Soluzione (Cauchy $v(0) = 0$):
\[
  v(t) = \frac{m g}{\beta} \bigl( 1 - e^{-\beta t/m} \bigr).
\]
\emph{Velocità limite}: $v_\infty = m g/\beta$ (asintoto orizzontale). Per $t \to +\infty$, la velocità tende al valore in cui peso e attrito si bilanciano.
\end{esempio}

\subsection*{Modello logistico (cenno)}

Una popolazione con risorse limitate non cresce esponenzialmente all'infinito: arriva un \emph{tetto} $K$ (\emph{capacità portante}). Il modello logistico è:
\[
  P' = r P \left( 1 - \frac{P}{K} \right).
\]
ED a variabili separabili, di soluzione (esercizio):
\[
  P(t) = \frac{K}{1 + ((K - P_0)/P_0) e^{-r t}}.
\]
Crescita inizialmente esponenziale, poi saturazione a $K$. Modello base in ecologia e epidemiologia.

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-028-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[ED a variabili separabili con coefficiente complesso]
$y' = (1 - y^2)$. Soluzioni costanti: $y \equiv \pm 1$. Altrimenti: $\dfrac{\mathrm{d}y}{1 - y^2} = \mathrm{d}x$. Tabella: $\int \dfrac{\mathrm{d}y}{1 - y^2} = \dfrac{1}{2} \ln \left|\dfrac{1 + y}{1 - y}\right|$. Quindi
\[
  \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = x + c \Rightarrow \frac{1+y}{1-y} = C e^{2 x} \Rightarrow y = \frac{C e^{2 x} - 1}{C e^{2 x} + 1} = \tanh(x + c').
\]
(Ricomponendo: $y(x) = \tanh(x + c')$, da cui si vede che $y \to \pm 1$ per $x \to \pm\infty$, in accordo con le soluzioni costanti.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Lineare con coefficiente non costante]
$x y' + y = x \cos x$, $x > 0$. Forma standard: $y' + (1/x) y = \cos x$. $a = 1/x$, $A = \ln x$, $\mu = x$:
\[
  x y = \int x \cos x\,\mathrm{d}x + c = x \sen x + \cos x + c
\]
(per parti). Quindi $y = \sen x + \cos x/x + c/x$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Circuito RC: scarica del condensatore]
Un condensatore di capacità $C$ inizialmente carico ($Q(0) = Q_0$) si scarica attraverso una resistenza $R$. Per la seconda legge di Kirchhoff, $R \dot Q + Q/C = 0$, ovvero $\dot Q + Q/(RC) = 0$. Soluzione:
\[
  Q(t) = Q_0 e^{-t/(RC)}.
\]
La \emph{costante di tempo} $\tau = RC$ è il tempo in cui la carica si riduce a $Q_0/e \approx 37\%$ del valore iniziale.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Mescolamento di salamoia]
Un serbatoio contiene $V = \SI{100}{\litre}$ d'acqua con $S_0 = \SI{5}{\kilogram}$ di sale disciolto. Si aggiunge soluzione salina con concentrazione $\SI{0.1}{\kilogram\per\litre}$ a velocità $\SI{4}{\litre\per\minute}$; il liquido (ben mescolato) defluisce dal serbatoio a velocità $\SI{4}{\litre\per\minute}$ (volume costante).

Sia $S(t)$ la massa di sale al tempo $t$. Entra: $0.1 \cdot 4 = 0.4 \,\si{\kilogram\per\minute}$. Esce: $\dfrac{S}{100} \cdot 4 = \dfrac{S}{25}\,\si{\kilogram\per\minute}$. Equazione: $\dot S = 0.4 - S/25$. ED lineare. Equilibrio: $\dot S = 0 \Rightarrow S = 10\,\si{\kilogram}$.

Soluzione (con $S(0) = 5$): $S(t) = 10 - 5 e^{-t/25}$. Per $t \to +\infty$, $S \to 10\,\si{\kilogram}$ (concentrazione asintotica = quella in ingresso).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Datazione al carbonio]
Un fossile contiene il $30\%$ del ${}^{14}\mathrm{C}$ rispetto a un campione moderno. Determinarne l'età, sapendo $T_{1/2} = \num{5730}~anni$.

$N(t)/N_0 = e^{-\lambda t} = 0.30$. $\lambda = (\ln 2)/T_{1/2} \approx \num{1.21e-4}\,anni\textsuperscript{-1}$. $t = -\ln(0.30)/\lambda \approx 1.204/\num{1.21e-4} \approx \num{9950}\,anni$. Il fossile ha circa \num{9950}~anni.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Modello logistico, $P_0 = K/2$]
$P' = r P (1 - P/K)$ con $P(0) = K/2$ (popolazione iniziale = metà capacità portante). Per simmetria del modello e calcolo diretto:
\[
  P(t) = \frac{K}{1 + e^{-r t}}.
\]
Verifica: $P(0) = K/2$ $\checkmark$; $P(+\infty) = K$. Il punto di flesso del grafico è proprio $t = 0$ (cresceva a velocità massima quando ha attraversato $K/2$).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-028-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvere le seguenti ED a variabili separabili (integrale generale):
  \begin{enumerate}
    \item $y' = 3 y$;
    \item $y' = x y$;
    \item $y' = (1 + y^2) x$;
    \item $y y' = x$;
    \item $y' = e^{x - y}$ (suggerimento: $e^{x - y} = e^x \cdot e^{-y}$).
  \end{enumerate}
  \item Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (variabili separabili):
  \begin{enumerate}
    \item $y' = -2 y$, $y(0) = 7$;
    \item $y' = y^2$, $y(0) = 1$ (e determinare l'intervallo massimale di esistenza);
    \item $y' = (\cos x)/y$, $y(0) = 1$;
    \item $y' = y \ln y$, $y(0) = e$ (suggerimento: $y \ln y$ in denominatore).
  \end{enumerate}
  \item Risolvere le seguenti ED lineari del primo ordine:
  \begin{enumerate}
    \item $y' + 3 y = 6$;
    \item $y' - y = x$;
    \item $y' + 2 y = e^{-2 x}$;
    \item $y' + y/x = \ln x$ (per $x > 0$);
    \item $y' + y \tg x = \sen x$ (suggerimento: $A(x) = -\ln|\cos x|$).
  \end{enumerate}
  \item Risolvere i seguenti problemi di Cauchy (ED lineari):
  \begin{enumerate}
    \item $y' + y = 2$, $y(0) = 0$;
    \item $y' + 2 y = e^{-2 x}$, $y(0) = 5$;
    \item $x y' + y = x^2$, $y(1) = 3$.
  \end{enumerate}
  \item Una sostanza radioattiva ha tempo di dimezzamento di \num{20}~anni. Quanto tempo occorre perché si riduca al $10\%$ della quantità iniziale?
  \item Una tazza di caffè è a $\SI{90}{\celsius}$ in una stanza a $\SI{20}{\celsius}$. Dopo \SI{10}{\minute} è a $\SI{60}{\celsius}$. Quale sarà la sua temperatura dopo \SI{30}{\minute}? (Modello di raffreddamento di Newton.)
  \item Un paracadutista di massa \SI{80}{\kilogram} cade in aria con resistenza $-\beta v$, $\beta = \SI{40}{\newton\second\per\meter}$. Trovare la velocità $v(t)$ con $v(0) = 0$. Quanto vale la velocità limite?
  \item Un serbatoio contiene \SI{200}{\litre} di acqua pura. Si versa salamoia a $\SI{0.2}{\kilogram\per\litre}$ con portata $\SI{5}{\litre\per\minute}$, e si svuota alla stessa portata. Determinare la quantità di sale dopo \SI{30}{\minute}.
  \item Un circuito RC ha $R = \SI{1000}{\ohm}$, $C = \SI{10}{\micro\farad}$, e una tensione $V(t) = V_0 = \num{5}$~V costante. Il condensatore parte scarico. Determinare $Q(t)$ e calcolare quando $Q$ raggiunge il $90\%$ del valore asintotico.
  \item Risolvere $y' + y = \sen x$. (Suggerimento: l'integrale generale ha parte particolare $y_p = (\sen x - \cos x)/2$.)
  \item \emph{Modello logistico applicato.} Una colonia batterica segue il modello logistico con $r = \SI{0.5}{\per\hour}$ e capacità portante $K = 10000$. Se $P(0) = 100$, determinare il numero di batteri dopo \SI{20}{\hour}. A quale istante la popolazione raggiunge $5000$ (= $K/2$)?
  \item Mostrare che, per l'ED $y' = y^2$, qualunque soluzione non costante con $y(0) > 0$ ``esplode in tempo finito'' (cioè diverge a $+\infty$ in un istante finito). Determinare l'istante di esplosione in funzione di $y(0)$.
  \item Sia $y(x)$ soluzione di $y' = y$ con $y(0) = 1$ ($y = e^x$). Sapendo che $y(\ln 2) = 2$, $y(\ln 3) = 3$, mostrare che $y(\ln a + \ln b) = a b$ per ogni $a, b > 0$. (Cioè: $y(\ln(ab)) = a \cdot b$. \emph{Significato}: $e^x$ è l'unica funzione, a meno di costanti moltiplicative, che trasforma somme in prodotti.)
  \item Mostrare che, per il modello logistico $P' = r P (1 - P/K)$, il punto di flesso del grafico di $P(t)$ è esattamente $P = K/2$. (Suggerimento: derivare nuovamente e impostare $P'' = 0$.)
  \item \emph{Sfida (orto-curve)}. Determinare la famiglia di curve $y = y(x)$ ortogonali a tutte le rette passanti per l'origine. (Suggerimento: una retta per l'origine ha equazione $y = m x$, dunque ha coefficiente angolare $y/x$ in ogni suo punto. Le curve ortogonali hanno coefficiente angolare $-x/y$: si risolve l'ED $y' = -x/y$.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-028-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazione differenziale ordinaria}. Equazione in cui l'incognita è una \emph{funzione} $y(x)$ e compaiono $y$ e $y'$ (per primo ordine). Soluzione = funzione che verifica identicamente l'equazione. Integrale generale (con parametro), integrale particolare (con condizione).
  \item \emph{Problema di Cauchy}: $\{y' = f(x, y),\, y(x_0) = y_0\}$. Per ipotesi standard (Cauchy--Lipschitz), unica soluzione locale.
  \item \emph{Variabili separabili}: $y' = f(x) g(y)$. Procedura: cercare soluzioni costanti $g(y_0) = 0$; separare $\mathrm{d}y/g(y) = f(x)\,\mathrm{d}x$; integrare entrambi i membri; esplicitare $y$.
  \item \emph{Lineari del primo ordine}: $y' + a(x) y = b(x)$. Fattore integrante $\mu = e^{A}$, con $A = \int a$. Soluzione: $y = e^{-A} [\int e^A b\,\mathrm{d}x + c]$. Struttura: $y = y_\mathrm{p} + c \cdot y_\mathrm{o}$.
  \item \emph{Crescita/decadimento esponenziale}: $y' = k y \Rightarrow y = y_0 e^{k t}$. Tempo di dimezzamento $T_{1/2} = (\ln 2)/|k|$ per $k < 0$.
  \item \emph{Modelli notevoli}:
  \begin{itemize}
    \item Decadimento radioattivo, datazione al carbonio ($T_{1/2} = \num{5730}~anni$ per ${}^{14}\mathrm{C}$).
    \item Raffreddamento di Newton: $T \to T_\mathrm{a}$ esponenzialmente.
    \item Caduta in fluido viscoso: $v \to v_\infty = m g/\beta$.
    \item Circuito RC: costante di tempo $\tau = RC$.
    \item Crescita logistica (cenno): soluzione sigmoide con saturazione a $K$.
  \end{itemize}
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:AN-029}) si introduce un esempio fondamentale di ED del secondo ordine, $y'' = -\omega^2 y$, l'\emph{oscillatore armonico}, con soluzioni $\sen, \cos$.
\end{itemize}
\end{riepilogo}