\chapter{Equazione differenziale dell'oscillatore armonico}\label{cap:AN-029}

\citazioneinizio{%
  Trovo che tutte le oscillazioni libere di un corpo elastico, sufficientemente piccole, si riducono al medesimo tipo: la posizione del corpo al tempo $t$ è una funzione sinusoidale del tempo, di periodo determinato dalle costanti del problema. Questa proprietà universale delle vibrazioni isocrone era stata intuita da Galileo per il pendolo; l'analisi differenziale la rivela come conseguenza necessaria di una sola equazione: $\ddot y + \omega^2 y = 0$.%
}{Leonhard Euler, \emph{De novo genere oscillationum} (1739), \emph{Commentarii Academiae Petropolitanae}, traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:an-029-01-introduzione-motivazionale}
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L'equazione $\ddot y + \omega^2 y = 0$ è probabilmente la singola ED più importante della fisica matematica. Descrive tutte le \emph{oscillazioni lineari libere}: il moto di una massa attaccata a una molla, il pendolo per piccole ampiezze, le oscillazioni di un circuito LC, le vibrazioni di una corda, le onde elettromagnetiche, le funzioni d'onda della meccanica quantistica.

La forma è la più semplice possibile per un'ED del \emph{secondo ordine} (in cui compare $y''$): l'incognita è proporzionale, con segno negativo, alla sua derivata seconda. Il segno negativo è ciò che produce l'oscillazione (\emph{forza di richiamo}): ogni volta che $y$ si allontana da zero, $y''$ ha segno opposto, tendendo a riportarla indietro.

In questo capitolo:
\begin{itemize}
  \item troveremo la soluzione generale $y(t) = A \cos(\omega t) + B \sen(\omega t)$;
  \item la riscriveremo nella forma equivalente $y(t) = R \cos(\omega t + \varphi)$ (\emph{ampiezza-fase});
  \item collegheremo l'equazione ai modelli fisici classici (molla, pendolo, circuito LC) e introdurremo le grandezze \emph{periodo}, \emph{frequenza}, \emph{pulsazione}.
\end{itemize}
Concluderemo con un cenno alle oscillazioni \emph{smorzate} e \emph{forzate}, che si trattano sistematicamente nei corsi universitari.

\medskip

\emph{Nota storica e curiosità}. L'\emph{isocronismo} delle piccole oscillazioni fu osservato sperimentalmente da Galileo (1583) studiando il pendolo della cattedrale di Pisa: il periodo non dipende dall'ampiezza per oscillazioni piccole. Newton (\emph{Principia}, 1687) generalizzò il fenomeno alla molla. Eulero (1739) e D'Alembert (1747) fornirono la teoria matematica completa, riconoscendo che $\sen$ e $\cos$ sono le \emph{uniche} soluzioni dell'equazione $\ddot y + \omega^2 y = 0$.

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\section{Equazione $\ddot y + \omega^2 y = 0$}\label{sec:an-029-02-equazione-y-omega-2-y-0}
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\begin{definizione}[Equazione dell'oscillatore armonico]
Sia $\omega > 0$ una costante (\emph{pulsazione}). L'equazione differenziale del secondo ordine
\[
  y''(t) + \omega^2 y(t) = 0
\]
si dice \emph{equazione dell'oscillatore armonico libero}. La funzione incognita è $y(t)$ (tipicamente la posizione di una massa al tempo $t$).
\end{definizione}

\subsection*{Soluzioni elementari}

Cerchiamo soluzioni del tipo $y(t) = \cos(\alpha t)$ con $\alpha$ da determinare. Allora $y'' = -\alpha^2 \cos(\alpha t)$, e sostituendo:
\[
  -\alpha^2 \cos(\alpha t) + \omega^2 \cos(\alpha t) = 0 \quad \iff \quad \alpha^2 = \omega^2 \quad \iff \quad \alpha = \pm \omega.
\]
Quindi $y = \cos(\omega t)$ è soluzione. Analogamente $y = \sen(\omega t)$ è soluzione (verifica diretta).

\begin{esempio}[Verifica diretta]
Sia $y(t) = \cos(2 t)$. $y'(t) = -2 \sen(2 t)$, $y''(t) = -4 \cos(2 t) = -2^2 y(t)$. Sostituendo in $y'' + \omega^2 y = 0$ con $\omega = 2$: $-4 \cos(2 t) + 4 \cos(2 t) = 0$ $\checkmark$.
\end{esempio}

\subsection*{Soluzione generale e principio di sovrapposizione}

L'equazione $y'' + \omega^2 y = 0$ è \emph{lineare omogenea}: se $y_1, y_2$ sono soluzioni, anche ogni loro combinazione lineare $\alpha y_1 + \beta y_2$ lo è. Questo si chiama \emph{principio di sovrapposizione}.

\begin{teorema}[Soluzione generale dell'oscillatore armonico]
Tutte le soluzioni dell'equazione $y'' + \omega^2 y = 0$ sono della forma
\[
  y(t) = A \cos(\omega t) + B \sen(\omega t), \qquad A, B \in \R.
\]
\end{teorema}

\textit{Idea della dimostrazione.} L'equazione è del secondo ordine: per il teorema di esistenza e unicità (estensione di \ref{cap:AN-028} al secondo ordine), una soluzione è univocamente determinata da \emph{due} condizioni iniziali (es.~$y(0)$ e $y'(0)$). Lo spazio delle soluzioni è dunque a 2 dimensioni. Poiché $\cos(\omega t)$ e $\sen(\omega t)$ sono soluzioni \emph{linearmente indipendenti} (una non è multiplo dell'altra: si verifica calcolando il \emph{wronskiano} $W = y_1 y_2' - y_2 y_1' = \omega \ne 0$), esse formano una base dello spazio delle soluzioni, e ogni soluzione è una loro combinazione lineare.

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\section{Soluzione generale}\label{sec:an-029-03-soluzione-generale}
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\subsection*{Determinazione delle costanti dalle condizioni iniziali}

Date $y(0) = y_0$ e $y'(0) = v_0$, si determinano $A$ e $B$:
\begin{itemize}
  \item $y(0) = A \cos 0 + B \sen 0 = A$, dunque $A = y_0$.
  \item $y'(t) = -A \omega \sen(\omega t) + B \omega \cos(\omega t)$, $y'(0) = B \omega$, dunque $B = v_0/\omega$.
\end{itemize}
Quindi la soluzione del problema di Cauchy $\{y'' + \omega^2 y = 0,\, y(0) = y_0,\, y'(0) = v_0\}$ è
\[
  y(t) = y_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sen(\omega t).
\]

\subsection*{Forma ampiezza-fase}

La somma $A \cos(\omega t) + B \sen(\omega t)$ può essere riscritta come una singola sinusoide \emph{sfasata}. Posti $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ e $\varphi$ tale che $\cos \varphi = A/R$, $\sen \varphi = -B/R$:
\[
  A \cos(\omega t) + B \sen(\omega t) = R \cos(\omega t + \varphi).
\]
\textit{Verifica}: $R \cos(\omega t + \varphi) = R \cos(\omega t)\cos\varphi - R \sen(\omega t) \sen \varphi = A \cos(\omega t) + B \sen(\omega t)$. $\checkmark$

\begin{formulabox}
\textbf{Soluzione generale dell'oscillatore armonico (forma ampiezza-fase)}:
\[
  y(t) = R \cos(\omega t + \varphi),
\]
dove:
\begin{itemize}
  \item $R \ge 0$ è l'\emph{ampiezza};
  \item $\varphi \in \R$ è la \emph{fase iniziale};
  \item $\omega > 0$ è la \emph{pulsazione (frequenza angolare)};
  \item il \emph{periodo} è $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$, la \emph{frequenza} è $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}$.
\end{itemize}
\end{formulabox}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.95]
  \draw[->, GRIGIO!60] (-0.3, 0) -- (7.5, 0) node[right] {$t$};
  \draw[->, GRIGIO!60] (0, -2) -- (0, 2) node[above] {$y$};
  \draw[BLU, thick, domain=0:7, samples=120] plot (\x, {1.5*cos(deg(\x - 0.5))});
  % evidenziazione ampiezza
  \draw[ROSSO, dashed] (-0.3, 1.5) -- (7.3, 1.5);
  \draw[ROSSO, dashed] (-0.3, -1.5) -- (7.3, -1.5);
  \draw[<->, ROSSO] (7.0, 0) -- (7.0, 1.5) node[midway, right] {\small $R$};
  % periodo
  \draw[<->, VERDE!50!black, thick] (0.5, -1.8) -- (0.5 + 6.283, -1.8) node[midway, below] {\small $T = 2\pi/\omega$};
  \filldraw[ROSSO] (0.5, 1.5) circle (2pt);
  \node[above, ROSSO] at (0.5, 1.5) {\small max};
\end{tikzpicture}
\caption{Soluzione dell'oscillatore armonico nella forma ampiezza-fase: $y(t) = R\cos(\omega t + \varphi)$. Il grafico oscilla fra $-R$ e $+R$ con periodo $T = 2\pi/\omega$.}
\label{fig:an-029-oscillazione}
\end{figure}

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\section{Applicazioni alla fisica: moto armonico}\label{sec:an-029-04-applicazioni-alla-fisica-moto-armonico}
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\subsection*{Massa attaccata a una molla}

Una massa $m$ è attaccata a una molla di costante elastica $k > 0$. Per la legge di Hooke, la forza esercitata sulla massa quando si sposta di $x$ dalla posizione di equilibrio è $F = -k x$ (forza di richiamo, opposta allo spostamento). Per la seconda legge di Newton:
\[
  m \ddot x = -k x \quad \Rightarrow \quad \ddot x + \frac{k}{m} x = 0.
\]
È l'equazione dell'oscillatore armonico con $\omega^2 = k/m$, ovvero
\[
  \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
\]
\emph{Conseguenza notevole}: il periodo \emph{non dipende dall'ampiezza}. Una massa che oscilla con grande o piccola ampiezza ha lo stesso periodo. È l'\emph{isocronismo} delle oscillazioni armoniche.

\subsection*{Pendolo per piccole oscillazioni}

Un pendolo di lunghezza $L$ e massa puntiforme, con angolo $\theta(t)$ dalla verticale, soddisfa:
\[
  L \ddot \theta = -g \sen \theta.
\]
Per \emph{piccole} oscillazioni ($\theta$ in radianti, $|\theta| \ll 1$), $\sen \theta \approx \theta$ (approssimazione lineare, \ref{cap:AN-017}), dunque:
\[
  \ddot \theta + \frac{g}{L} \theta = 0,
\]
con $\omega = \sqrt{g/L}$ e periodo
\[
  T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.
\]
Galileo (1583) lo dedusse sperimentalmente quattro secoli prima del nostro calcolo. La sua osservazione che ``il periodo non dipende dall'ampiezza'' è esattamente l'isocronismo che leggiamo qui nella matematica. (Per oscillazioni grandi, la non-linearità di $\sen \theta$ fa dipendere il periodo dall'ampiezza, ma con correzioni piccole.)

\subsection*{Circuito LC}

Un circuito chiuso contenente un induttore $L$ e un condensatore $C$ (senza resistenza) soddisfa, per la conservazione dell'energia:
\[
  L \ddot q + \frac{q}{C} = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot q + \frac{1}{L C} q = 0.
\]
Pulsazione $\omega = 1/\sqrt{L C}$, periodo $T = 2\pi \sqrt{L C}$. È la base di tutti i circuiti oscillanti, dalle radio alle antenne.

\subsection*{Conservazione dell'energia}

Per l'oscillatore meccanico (molla, $\omega^2 = k/m$), definiamo:
\begin{itemize}
  \item \emph{energia cinetica}: $K = \tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m \dot x^2$;
  \item \emph{energia potenziale elastica}: $U = \tfrac{1}{2} k x^2$;
  \item \emph{energia totale}: $E = K + U$.
\end{itemize}
Calcoliamo $\dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$:
\[
  \dot E = m \dot x \ddot x + k x \dot x = \dot x (m \ddot x + k x) = \dot x \cdot 0 = 0.
\]
Quindi $E$ è costante nel tempo: \emph{l'energia totale di un oscillatore armonico libero si conserva}, scambiandosi continuamente fra forma cinetica e forma potenziale.

\subsection*{Oscillazioni smorzate (cenno)}

In presenza di una resistenza $-\beta \dot x$ proporzionale alla velocità, l'equazione diventa
\[
  m \ddot x + \beta \dot x + k x = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot x + 2 \gamma \dot x + \omega_0^2 x = 0,
\]
con $\gamma = \beta/(2m)$ e $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. Esistono tre regimi:
\begin{itemize}
  \item \emph{Sottosmorzato} ($\gamma < \omega_0$): oscillazioni con ampiezza che decresce esponenzialmente.
  \item \emph{Critico} ($\gamma = \omega_0$): ritorno all'equilibrio nel tempo più breve possibile senza oscillare.
  \item \emph{Sovrasmorzato} ($\gamma > \omega_0$): ritorno all'equilibrio senza oscillazioni, ma più lentamente.
\end{itemize}
La trattazione completa è materia universitaria (vedi anche le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti).

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\section{Esempi svolti}\label{sec:an-029-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Problema di Cauchy per la molla]
Una massa $m = \SI{0.5}{\kilogram}$ è attaccata a una molla di costante $k = \SI{8}{\newton\per\meter}$. All'istante $t = 0$ viene rilasciata da ferma a $x_0 = \SI{0.1}{\meter}$ dall'equilibrio. Determinare $x(t)$.

$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{16} = 4\,\si{\radian\per\second}$. Cauchy: $x(0) = 0.1$, $\dot x(0) = 0$. Soluzione generale: $x(t) = A \cos(4 t) + B \sen(4 t)$. Imponendo: $A = 0.1$, $B \cdot 4 = 0 \Rightarrow B = 0$. Quindi $x(t) = \num{0.1} \cos(4 t)$ (metri).

Periodo: $T = 2\pi/4 = \pi/2 \approx \SI{1.57}{\second}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Oscillatore con velocità iniziale]
$y'' + 9 y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 6$. $\omega = 3$. Soluzione: $y(t) = A \cos(3 t) + B \sen(3 t)$. $y(0) = A = 0$. $y'(0) = 3 B = 6 \Rightarrow B = 2$. Quindi $y(t) = 2 \sen(3 t)$. Ampiezza $R = 2$, fase $\varphi = -\pi/2$ (perché $2 \sen(3t) = 2 \cos(3 t - \pi/2)$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Forma ampiezza-fase da $A, B$]
$y(t) = 3 \cos(2 t) + 4 \sen(2 t)$. $R = \sqrt{9 + 16} = 5$. $\cos\varphi = 3/5$, $\sen \varphi = -4/5$, dunque $\varphi = -\arctg(4/3) \approx -0.927$ rad ($\approx -53°$). Quindi $y(t) = 5 \cos(2 t - 0.927)$. Verifica numerica in $t = 0$: $5 \cos(-0.927) = 5 \cdot 3/5 = 3$ $\checkmark$ (= $A$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Pendolo del Foucault]
Il pendolo di Foucault del Panthéon di Parigi (1851) ha lunghezza $L = \SI{67}{\meter}$. Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni (assumendo $g = \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}$).

$T = 2\pi \sqrt{L/g} = 2\pi \sqrt{67/\num{9.81}} \approx 2\pi \cdot \num{2.61} \approx \SI{16.4}{\second}$.

Un'oscillazione ogni 16 secondi: si vede a occhio nudo!
\end{esempio}

\begin{esempio}[Circuito radio]
Una radio AM è sintonizzata a \SI{1}{\mega\hertz} = $f = 10^6$ Hz. Sapendo che ha un condensatore di $C = \SI{10}{\pico\farad} = \SI{1e-11}{\farad}$, calcolare l'induttanza $L$ necessaria.

$T = 1/f$, $\omega = 2\pi f$, $\omega^2 = 1/(LC) \Rightarrow L = 1/(\omega^2 C) = 1/((2\pi \cdot 10^6)^2 \cdot \num{1e-11})$.

Calcolando: $(2\pi)^2 \cdot 10^{12} \cdot \num{1e-11} \approx 39.5 \cdot 10$ = $395$. $L \approx 1/395\,\si{\henry} \approx \SI{2.5}{\milli\henry}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Conservazione dell'energia, verifica numerica]
Massa $m = 1\,\si{\kilogram}$, molla $k = 4\,\si{\newton\per\meter}$, $\omega = 2$. Soluzione $x(t) = 0.5 \cos(2 t)$ (ampiezza $\SI{0.5}{\meter}$, velocità iniziale nulla).

\textbf{Velocità}: $\dot x = -1 \cdot \sen(2 t)$. \textbf{Energia cinetica}: $K = \tfrac{1}{2} m \dot x^2 = \tfrac{1}{2} \sen^2(2 t)$. \textbf{Energia potenziale}: $U = \tfrac{1}{2} k x^2 = 2 \cdot \tfrac{1}{4} \cos^2(2 t) = \tfrac{1}{2} \cos^2(2 t)$.

\textbf{Energia totale}: $E = \tfrac{1}{2}(\sen^2(2t) + \cos^2(2t)) = \tfrac{1}{2}\,\si{\joule}$. Costante, $\checkmark$.

A $t = 0$: tutta potenziale ($U = 1/2$, $K = 0$). A $t = \pi/4$: tutta cinetica ($x = 0$, $\dot x = -1$, $K = 1/2$, $U = 0$). \emph{Scambio continuo}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[ED con soluzione esponenziale (non oscillatore)]
$y'' - 4 y = 0$ (\emph{con segno positivo}). Non è un oscillatore: cerco $y = e^{\alpha t}$, $\alpha^2 = 4 \Rightarrow \alpha = \pm 2$. Soluzione generale: $y(t) = A e^{2 t} + B e^{-2 t}$ (combinazione di esponenziali, niente oscillazione).

\emph{Morale}: il segno del coefficiente è decisivo: $+\omega^2$ produce oscillazione, $-\omega^2$ produce crescita/decadimento. Solo $y'' + \omega^2 y = 0$ (con $+$) è l'oscillatore armonico.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:an-029-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Per ciascuna equazione, scrivere la soluzione generale:
  \begin{enumerate}
    \item $y'' + 4 y = 0$;
    \item $y'' + 16 y = 0$;
    \item $y'' + y = 0$;
    \item $y'' + \pi^2 y = 0$.
  \end{enumerate}
  \item Risolvere i problemi di Cauchy:
  \begin{enumerate}
    \item $y'' + 9 y = 0$, $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$;
    \item $y'' + 4 y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 6$;
    \item $y'' + y = 0$, $y(0) = 2$, $y'(0) = -1$;
    \item $y'' + 25 y = 0$, $y(0) = 3$, $y'(0) = 4$ (scrivere nella forma ampiezza-fase).
  \end{enumerate}
  \item Scrivere nella forma ampiezza-fase $y = R \cos(\omega t + \varphi)$:
  \begin{enumerate}
    \item $y = \sqrt 3 \cos(2 t) + \sen(2 t)$;
    \item $y = \cos(t) - \sen(t)$;
    \item $y = 5 \cos(\pi t) + 12 \sen(\pi t)$.
  \end{enumerate}
  \item Una massa $m = \SI{0.2}{\kilogram}$ è attaccata a una molla con $k = \SI{20}{\newton\per\meter}$. Determinare $\omega$, $T$, $f$. La massa viene allontanata di $\SI{5}{\centi\meter}$ e lasciata libera con velocità iniziale nulla. Scrivere $x(t)$ e determinare la massima velocità raggiunta.
  \item Un pendolo di lunghezza $L = \SI{1}{\meter}$ oscilla con piccole ampiezze. Determinare il suo periodo (con $g = \SI{9.81}{\meter\per\second\squared}$).
  \item Un pendolo di lunghezza $L$ ha periodo $T = \SI{2}{\second}$ esatto (\emph{pendolo dei secondi}, storicamente usato come unità di tempo). Determinare $L$.
  \item Un circuito LC ha $L = \SI{1}{\milli\henry}$ e $C = \SI{1}{\micro\farad}$. Determinare la frequenza di oscillazione.
  \item Mostrare che, per la massa-molla, la velocità massima è $v_{\max} = \omega R$ (con $R$ = ampiezza), e l'accelerazione massima è $a_{\max} = \omega^2 R$.
  \item Si consideri il problema di Cauchy $y'' + \omega^2 y = 0$, $y(0) = y_0$, $y'(0) = v_0$. Mostrare che l'energia $E = \tfrac{1}{2}(y')^2 + \tfrac{1}{2}\omega^2 y^2$ è costante e calcolarla in termini di $y_0, v_0$.
  \item Mostrare che il \emph{wronskiano} delle due soluzioni $\cos(\omega t)$ e $\sen(\omega t)$ vale $W = y_1 y_2' - y_2 y_1' = \omega$, costante. (Per un teorema di Liouville, il wronskiano di due soluzioni di un'ED lineare omogenea è costante se la derivata prima è assente nell'equazione.)
  \item Risolvere $y'' - 9 y = 0$ (\emph{segno positivo}). Mostrare che le soluzioni sono combinazioni di esponenziali, non oscillanti. Risolvere il problema di Cauchy $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$.
  \item Un'equazione del tipo $y'' + 2 \gamma y' + \omega_0^2 y = 0$ (oscillatore smorzato) si tratta cercando soluzioni $y = e^{\alpha t}$, ottenendo un'equazione caratteristica $\alpha^2 + 2 \gamma \alpha + \omega_0^2 = 0$. Analizzare le 3 possibilità ($\Delta > 0, = 0, < 0$) e descrivere il comportamento qualitativo della soluzione.
  \item In un circuito RLC ($R, L, C$ in serie), l'equazione è $L \ddot q + R \dot q + q/C = 0$. Riconoscere la forma dell'oscillatore smorzato, e indicare quale condizione su $R$ rende il circuito sottosmorzato.
  \item Mostrare che, per piccole oscillazioni del pendolo, la \emph{correzione al periodo} per ampiezza $\theta_0$ vale al primo ordine $T \approx 2\pi\sqrt{L/g} (1 + \theta_0^2/16)$. (Suggerimento: serie di Taylor di $\sen \theta$ e calcolo perturbativo: argomento di analisi avanzata.)
  \item Determinare l'integrale generale di $y'' + 4 y = 3 \cos(t)$ (oscillatore \emph{forzato}; soluzione: integrale generale dell'omogenea + integrale particolare di tentativo $y_p = A \cos t + B \sen t$).
  \item \emph{Sfida (battimenti)}. Mostrare che, se $y_1(t) = \cos(\omega_1 t)$ e $y_2(t) = \cos(\omega_2 t)$ con $\omega_1 \approx \omega_2$, la somma $y_1 + y_2 = 2 \cos\bigl(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\bigr) \cos\bigl(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\bigr)$ rappresenta un'oscillazione a frequenza media $(\omega_1 + \omega_2)/2$ \emph{modulata} da un'oscillazione di frequenza molto bassa $(\omega_1 - \omega_2)/2$. Questo fenomeno acustico, ben noto, si chiama \emph{battimenti}: ne sono responsabili i suoni pulsanti quando si accordano due strumenti musicali a frequenze leggermente diverse.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:an-029-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazione dell'oscillatore armonico}: $y'' + \omega^2 y = 0$, con $\omega > 0$ \emph{pulsazione}. ED del secondo ordine, lineare omogenea.
  \item \emph{Soluzioni elementari}: $\cos(\omega t)$ e $\sen(\omega t)$ (verifica per sostituzione).
  \item \emph{Soluzione generale}: $y(t) = A \cos(\omega t) + B \sen(\omega t)$ (combinazione lineare delle due soluzioni indipendenti).
  \item \emph{Problema di Cauchy del secondo ordine}: servono \emph{due} condizioni, tipicamente $y(0) = y_0$ e $y'(0) = v_0$. Soluzione: $A = y_0$, $B = v_0/\omega$.
  \item \emph{Forma ampiezza-fase}: $y(t) = R \cos(\omega t + \varphi)$ con $R = \sqrt{A^2 + B^2}$, $\varphi$ determinato da $\cos\varphi = A/R$, $\sen\varphi = -B/R$.
  \item \emph{Periodo, frequenza, pulsazione}: $T = 2\pi/\omega$, $f = 1/T = \omega/(2\pi)$.
  \item \emph{Applicazioni fisiche}:
  \begin{itemize}
    \item Molla: $\omega = \sqrt{k/m}$, $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ (isocronismo: non dipende dall'ampiezza).
    \item Pendolo piccole oscillazioni: $\omega = \sqrt{g/L}$, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$.
    \item Circuito LC: $\omega = 1/\sqrt{LC}$.
  \end{itemize}
  \item \emph{Conservazione dell'energia}: $E = K + U = \tfrac{1}{2} m \dot x^2 + \tfrac{1}{2} k x^2$ costante. Verifica derivando.
  \item \emph{Oscillazioni smorzate} (cenno): $\ddot y + 2\gamma \dot y + \omega_0^2 y = 0$; tre regimi: sotto/critico/sovrasmorzato.
  \item \emph{Significato profondo}. L'equazione $y'' + \omega^2 y = 0$ è il modello universale di tutte le oscillazioni lineari, dal mondo macroscopico (molle, pendoli) a quello microscopico (atomi nei reticoli cristallini, fotoni come ``oscillatori del campo''). La sua semplicità nasconde l'unità profonda della fisica: ogni fenomeno periodico, in prima approssimazione lineare, soddisfa quest'ED.
  \item Con questo capitolo si chiude il programma di analisi matematica del liceo. Per gli sviluppi successivi --- sistemi di ED, ED a coefficienti variabili, teoria spettrale, equazioni alle derivate parziali --- il riferimento naturale sono i corsi universitari di analisi II e III.
\end{itemize}
\end{riepilogo}