\chapter{Binomio di Newton}\label{cap:CC-004}

\citazioneinizio{%
  Ho dedotto da questo metodo le serie infinite per le potenze frazionarie del binomio.%
}{Isaac Newton, lettera a Henry Oldenburg (24 ottobre 1676)}

% ============================================================
\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:cc-004-01-introduzione-motivazionale}
% ============================================================

Sviluppando le prime potenze di un binomio $a + b$, otteniamo formule che probabilmente conosci:
\begin{align*}
  (a + b)^0 &= 1, \\
  (a + b)^1 &= a + b, \\
  (a + b)^2 &= a^2 + 2 a b + b^2, \\
  (a + b)^3 &= a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3, \\
  (a + b)^4 &= a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4, \\
  (a + b)^5 &= a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5.
\end{align*}

\emph{Sorpresa!} I coefficienti $1, 1; \ 1, 2, 1; \ 1, 3, 3, 1; \ 1, 4, 6, 4, 1; \ 1, 5, 10, 10, 5, 1$ sono esattamente le \emph{righe del triangolo di Tartaglia} (\ref{cap:CC-003})! Non è una coincidenza: i coefficienti dello sviluppo del binomio sono i \emph{coefficienti binomiali} (da cui il loro nome). Vale infatti il celebre

\begin{quote}
  \textbf{Binomio di Newton}: per ogni $n \in \N$, $a, b \in \R$,
  \[
    (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k.
  \]
\end{quote}

La formula racchiude un legame profondo tra \emph{algebra} (potenze e prodotti) e \emph{combinatoria} (conteggio dei sottoinsiemi). Conoscerla permette di:
\begin{itemize}
  \item sviluppare rapidamente potenze di binomi anche per $n$ grandi (es.\ $(a+b)^{10}$);
  \item calcolare un termine specifico dello sviluppo senza scrivere l'intero polinomio;
  \item dedurre molte identità combinatorie (per esempio $\sum_k \binom{n}{k} = 2^n$, già nota).
\end{itemize}

\textbf{Storia in pillole}:
\begin{itemize}
  \item Il caso $n = 2$ è noto fin dagli \emph{Elementi} di Euclide (II.4), \textsc{iii} sec.\,a.C.
  \item Omar Khayyām (\textsc{xi}-\textsc{xii} sec., Persia) generalizza a $n$ qualsiasi e conosce la struttura del triangolo.
  \item Blaise Pascal (1654) lo dimostra rigorosamente per induzione, usando la formula di Stifel.
  \item \emph{Isaac Newton} (1665, comunicato a Oldenburg nel 1676) estende la formula a \emph{esponenti reali} (e poi complessi), introducendo la \emph{serie binomiale} — strumento centrale dell'analisi.
\end{itemize}
Il nome ``\emph{binomio di Newton}'' è universalmente usato in suo onore, anche se la formula per $n$ intero precede Newton di secoli.

% ============================================================
\section{Sviluppo della potenza del binomio}\label{sec:cc-004-01-sviluppo-della-potenza-del-binomio}
% ============================================================

\begin{teorema}[Binomio di Newton]
Per ogni $n \in \N$, $a, b \in \R$:
\[
  (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\, a^{n-k}\, b^k.
\]
Esplicitamente:
\[
  (a + b)^n = \binom{n}{0} a^n + \binom{n}{1} a^{n-1} b + \binom{n}{2} a^{n-2} b^2 + \cdots + \binom{n}{n} b^n.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \boxed{\ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k\ }
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (combinatoria).} Scriviamo $(a + b)^n$ come il prodotto di $n$ fattori uguali:
\[
  (a + b)^n = \underbrace{(a + b)(a + b)\cdots (a + b)}_{n\text{ fattori}}.
\]
Per sviluppare il prodotto, da ognuno degli $n$ fattori dobbiamo scegliere o $a$ o $b$, e poi moltiplicare. Ogni scelta dà un termine della forma $a^{n-k}\cdot b^k$, dove $k$ è il numero di fattori da cui abbiamo scelto $b$ (e $n - k$ il numero da cui abbiamo scelto $a$).

\emph{Quante volte} appare il termine $a^{n-k} b^k$? Esattamente quante sono le scelte degli $k$ fattori (su $n$) da cui prendere $b$: cioè $\binom{n}{k}$ (\ref{cap:CC-003}).

Sommando su tutti i possibili $k = 0, 1, \ldots, n$:
\[
  (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k. \qquad\square
\]

\begin{nota}[Dimostrazione alternativa per induzione]
Si può anche dimostrare per \emph{induzione} su $n$ (\ref{cap:RF-008}):
\begin{itemize}
  \item \emph{Base} ($n = 0$): $(a+b)^0 = 1 = \binom{0}{0} a^0 b^0$. \checkmark
  \item \emph{Passo}: assumendo vera per $n$, si dimostra per $n + 1$ moltiplicando per $(a + b)$ e usando la formula di Stifel $\binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \binom{n+1}{k}$.
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{nota}[Confronto con il triangolo di Tartaglia]
Lo sviluppo di $(a+b)^n$ ha:
\begin{itemize}
  \item $n + 1$ termini;
  \item i \emph{coefficienti} sono la $n$-esima riga del triangolo di Tartaglia: $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$;
  \item l'esponente di $a$ \emph{decresce} da $n$ a $0$;
  \item l'esponente di $b$ \emph{cresce} da $0$ a $n$;
  \item in ogni termine, la \emph{somma degli esponenti} di $a$ e $b$ vale sempre $n$.
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{esempio}[$(a+b)^5$]
\[
  (a + b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5.
\]
I coefficienti $1, 5, 10, 10, 5, 1$ si leggono dalla quinta riga del triangolo di Tartaglia.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sviluppo di $(a - b)^n$]
Sostituendo $b \to -b$ nel binomio di Newton:
\[
  (a - b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,(-b)^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k.
\]
I segni \emph{si alternano}: $+, -, +, -, \ldots$

Per esempio:
\[
  (a - b)^4 = a^4 - 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 - 4 a b^3 + b^4.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sviluppo di $(2x + 3y)^3$]
Identifico $a = 2x$ e $b = 3y$, $n = 3$:
\[
  (2x + 3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3.
\]
Calcolando: $8x^3 + 36 x^2 y + 54 x y^2 + 27 y^3$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Termine generale dello sviluppo}\label{sec:cc-004-02-termine-generale-dello-sviluppo}
% ============================================================

Spesso non serve sviluppare \emph{tutto} il binomio: basta trovare \emph{un termine specifico}. La formula generale ci dà:

\begin{teorema}[Termine generale dello sviluppo del binomio]
Nello sviluppo di $(a + b)^n$, il \emph{termine di posto $k + 1$} (cioè il $(k+1)$-esimo a partire da sinistra, $k = 0, 1, \ldots, n$) è
\[
  T_{k+1} = \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  T_{k+1} = \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k.
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Indicizzazione]
Attenzione: il \emph{primo} termine (a sinistra) corrisponde a $k = 0$; il \emph{secondo} a $k = 1$; e così via, fino all'\emph{ultimo} a $k = n$. Quindi il termine ``di posto $j$'' nello sviluppo (con $j = 1, 2, \ldots, n+1$) è $T_j$ con $k = j - 1$.
\end{nota}

\begin{esempio}[Trovare un termine specifico]
Trovare il \emph{quarto termine} dello sviluppo di $(x + 2)^7$.

\textit{Soluzione.} Quarto termine $\Rightarrow k = 3$. Identifico $a = x, b = 2, n = 7$:
\[
  T_4 = \binom{7}{3}\,x^{7-3}\,2^3 = 35\cdot x^4\cdot 8 = 280\, x^4.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Termine medio]
Trovare il \emph{termine centrale} dello sviluppo di $(x + 1/x)^{10}$.

\textit{Soluzione.} $10 + 1 = 11$ termini totali $\Rightarrow$ il centrale è il sesto, $k = 5$. Identifico $a = x, b = 1/x, n = 10$:
\[
  T_6 = \binom{10}{5}\,x^5\,(1/x)^5 = 252\cdot x^5 \cdot \frac{1}{x^5} = 252.
\]
Il termine centrale è una \emph{costante} (non dipende da $x$). Interessante!
\end{esempio}

\begin{esempio}[Termine senza $x$]
Determinare il termine non dipendente da $x$ (cioè il termine ``costante'') nello sviluppo di $(x^2 - 1/x)^9$.

\textit{Soluzione.} Termine generale:
\[
  T_{k+1} = \binom{9}{k}(x^2)^{9-k}(-1/x)^k = \binom{9}{k}(-1)^k\, x^{18 - 2k}\cdot x^{-k} = \binom{9}{k}(-1)^k\, x^{18 - 3k}.
\]
``Senza $x$'' significa esponente $= 0$: $18 - 3k = 0 \Rightarrow k = 6$.

$T_7 = \binom{9}{6}(-1)^6 = 84$.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Applicazioni}\label{sec:cc-004-03-applicazioni}
% ============================================================

\subsection*{Calcoli numerici approssimati}

Il binomio di Newton serve a calcolare approssimazioni di numeri della forma $(1 + x)^n$ con $|x|$ piccolo, conservando solo i primi termini dello sviluppo.

\begin{esempio}[Interesse composto al 5\% su 10 anni]
Calcolare $(1.05)^{10}$ con l'approssimazione che tiene i primi $3$ termini.

\textit{Soluzione.} $(1 + 0.05)^{10} \approx \binom{10}{0} + \binom{10}{1}\cdot 0.05 + \binom{10}{2}\cdot 0.05^2 = 1 + 0.5 + 0.1125 = \num{1.6125}$.

(Valore esatto con calcolatrice: $\num{1.62889}$. L'approssimazione a 3 termini è già al $1\%$.)
\end{esempio}

\subsection*{Sviluppo di $(1 + x)^n$}

Caso particolare con $a = 1$ e $b = x$:
\[
  (1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, x^k = 1 + n\,x + \binom{n}{2}\,x^2 + \cdots + x^n.
\]
È la versione più compatta del binomio, comoda per calcoli simbolici e per derivare la serie binomiale.

\begin{nota}[Serie binomiale di Newton -- cenni]
Newton (1665) generalizzò la formula a \emph{esponenti reali qualsiasi} $\alpha \in \R$:
\[
  (1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k}\, x^k\qquad \text{per $|x| < 1$,}
\]
dove $\binom{\alpha}{k} = \dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$ è il \emph{coefficiente binomiale generalizzato}. Per $\alpha \in \N$ la serie è finita (i termini con $k > \alpha$ si annullano) e si riduce alla formula classica. Per $\alpha$ non intero la serie è infinita ma converge per $|x| < 1$.

Esempio: $\sqrt{1 + x} = (1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac{x}{2} - \tfrac{x^2}{8} + \tfrac{x^3}{16} - \cdots$ per $|x| < 1$. Sviluppo approfondito in \ref{cap:AN-008}.
\end{nota}

% ============================================================
\section{Identità combinatorie}\label{sec:cc-004-04-identita-combinatorie}
% ============================================================

Il binomio di Newton è una vera \emph{miniera} di identità combinatorie. Sostituendo valori particolari di $a$ e $b$, otteniamo molte uguaglianze utili.

\begin{teorema}[Identità dedotte dal binomio]
\begin{enumerate}
  \item Ponendo $a = b = 1$ in $(a+b)^n$:
        \[
          \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n.
        \]
        \emph{Somma dei coefficienti di una riga del triangolo di Tartaglia} (\ref{cap:CC-003}).
  \item Ponendo $a = 1, b = -1$:
        \[
          \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} = 0\qquad (n \geq 1).
        \]
        \emph{Somma alternata}: i coefficienti di posto pari e di posto dispari si compensano esattamente.
  \item Sommando e sottraendo le due:
        \[
          \sum_{k\text{ pari}} \binom{n}{k} = \sum_{k\text{ dispari}} \binom{n}{k} = 2^{n-1}\qquad (n \geq 1).
        \]
  \item Ponendo $a = 1, b = x$:
        \[
          (1 + x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\, x^k.
        \]
  \item Calcolando la derivata (\ref{cap:AN-009}) di $(1 + x)^n = \sum \binom{n}{k} x^k$ e ponendo $x = 1$:
        \[
          \sum_{k=0}^n k\,\binom{n}{k} = n\cdot 2^{n-1}.
        \]
\end{enumerate}
\end{teorema}

\begin{esempio}[Numero di sottoinsiemi di un insieme]
Il numero di tutti i possibili sottoinsiemi (incluso il vuoto e l'insieme intero) di un insieme di $n$ elementi è $2^n$. Dimostrazione: contiamo per cardinalità — $\binom{n}{0}$ sottoinsiemi vuoti + $\binom{n}{1}$ con un solo elemento + \ldots + $\binom{n}{n}$ con $n$ elementi. Totale: $\sum_k \binom{n}{k} = 2^n$. \checkmark

\emph{Verifica diretta}: ogni elemento o ``c'è'' o ``non c'è'' nel sottoinsieme — $2$ scelte indipendenti per ognuno degli $n$ elementi $\Rightarrow$ $2^n$ scelte totali.
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esempi svolti}\label{sec:cc-004-06-esempi-svolti}
% ============================================================

\begin{esempio}[Sviluppo completo di un binomio]
Sviluppare $(x + 2)^4$.

\textit{Soluzione.} Coefficienti $1, 4, 6, 4, 1$ (riga $n = 4$ del triangolo). Esponenti di $x$: $4, 3, 2, 1, 0$. Esponenti di $2$: $0, 1, 2, 3, 4$.
\[
  (x + 2)^4 = x^4 + 4\cdot x^3\cdot 2 + 6\cdot x^2\cdot 4 + 4\cdot x\cdot 8 + 16 = x^4 + 8 x^3 + 24 x^2 + 32 x + 16.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Termine specifico]
Calcolare il \emph{coefficiente} di $x^3$ nello sviluppo di $(3x - 2)^6$.

\textit{Soluzione.} $a = 3x, b = -2, n = 6$. Termine generale: $T_{k+1} = \binom{6}{k}(3x)^{6-k}(-2)^k$.

Esponente di $x$: $6 - k = 3 \Rightarrow k = 3$.
\[
  T_4 = \binom{6}{3}(3x)^3 (-2)^3 = 20\cdot 27 x^3\cdot (-8) = -\num{4320}\,x^3.
\]
Coefficiente cercato: $-\num{4320}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Coefficiente di $x^k$ in $(1+x)^n$]
Trovare il coefficiente di $x^4$ in $(1 + x)^{10}$.

\textit{Soluzione.} Dallo sviluppo $(1+x)^{10} = \sum \binom{10}{k} x^k$, il coefficiente di $x^4$ è $\binom{10}{4} = 210$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Approssimazione]
Calcolare $\num{1.01}^5$ con il binomio di Newton.

\textit{Soluzione.} $(1 + 0.01)^5 = 1 + 5\cdot 0.01 + 10\cdot 0.0001 + 10\cdot 0.000001 + \ldots$

$\approx 1 + 0.05 + 0.001 = \num{1.051}$ (a $3$ termini).

(Valore esatto: $\num{1.0510100501}$. Già l'approssimazione a 3 termini è ottima.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Identità verificata]
Verificare numericamente che $\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} = 2^4$.

\textit{Soluzione.} $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Termine indipendente da $x$]
Trovare il termine indipendente da $x$ nello sviluppo di $\left(\sqrt x + \dfrac{1}{x}\right)^9$.

\textit{Soluzione.} Termine generale: $T_{k+1} = \binom{9}{k}(\sqrt x)^{9-k}(1/x)^k = \binom{9}{k}\, x^{(9-k)/2 - k} = \binom{9}{k}\, x^{(9 - 3k)/2}$.

Esponente nullo: $(9 - 3k)/2 = 0 \Rightarrow k = 3$.

$T_4 = \binom{9}{3} = 84$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Somma alternata]
Verificare numericamente che $\sum_{k=0}^5 (-1)^k \binom{5}{k} = 0$.

\textit{Soluzione.} $\binom{5}{0} - \binom{5}{1} + \binom{5}{2} - \binom{5}{3} + \binom{5}{4} - \binom{5}{5} = 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0$. \checkmark
\end{esempio}

% ============================================================
\section{Esercizi proposti}\label{sec:cc-004-07-esercizi-proposti}
% ============================================================

\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Sviluppa completamente:
        \begin{itemize}
          \item (a) $(x + 1)^4$;
          \item (b) $(x - 1)^5$;
          \item (c) $(2 + y)^3$;
          \item (d) $(x + 2y)^4$.
        \end{itemize}
  \item Trova il termine di posto specificato:
        \begin{itemize}
          \item (a) terzo termine di $(x + 3)^7$;
          \item (b) sesto termine di $(2 - x)^8$;
          \item (c) centrale di $(x + 1)^{10}$;
          \item (d) ultimo termine di $(a + b)^{12}$.
        \end{itemize}
  \item Trova il coefficiente di:
        \begin{itemize}
          \item (a) $x^3$ in $(x + 4)^6$;
          \item (b) $x^4$ in $(2x - 1)^7$;
          \item (c) $a^2 b^3$ in $(a + b)^5$;
          \item (d) $x^5$ in $(x^2 + 1)^6$.
        \end{itemize}
  \item Trova il termine indipendente da $x$ nello sviluppo di:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^6$;
          \item (b) $\left(x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^9$;
          \item (c) $\left(x^3 + \dfrac{2}{x}\right)^{12}$.
        \end{itemize}
  \item Calcola con il binomio di Newton (e arrotonda):
        \begin{itemize}
          \item (a) $\num{1.02}^5$;
          \item (b) $\num{0.99}^4 = (1 - 0.01)^4$;
          \item (c) $\num{2.1}^4 = (2 + 0.1)^4$.
        \end{itemize}
  \item Calcola $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}$ per $n = 1, 2, 3, 4, 5$ e verifica che sia $2^n$.
  \item Calcola $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}$ per $n = 2, 3, 4$ e verifica che sia $0$.
  \item Quanti termini ha lo sviluppo di $(a + b)^{20}$? E qual è il coefficiente del termine centrale?
  \item (Discussione.) Spiega \emph{perché} i coefficienti dello sviluppo di $(a+b)^n$ sono i coefficienti binomiali $\binom{n}{k}$. (Suggerimento: la dimostrazione combinatoria del teorema.)
  \item (Sfida.) Mostra che il coefficiente di $x^n$ in $\left(1 + x + x^2 + \cdots\right)^n$ vale $\binom{2n-1}{n}$. (Suggerimento: stelle e barre, \ref{cap:CC-003}.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

% ============================================================
\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:cc-004-08-riepilogo-del-capitolo}
% ============================================================

\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Binomio di Newton}: per ogni $n \in \N$ e $a, b \in \R$:
        \[
          (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k.
        \]
  \item I \emph{coefficienti} dello sviluppo sono i coefficienti binomiali $\binom{n}{k}$ (riga $n$-esima del triangolo di Tartaglia, \ref{cap:CC-003}).
  \item Lo sviluppo ha esattamente $n + 1$ termini, con esponente di $a$ decrescente da $n$ a $0$ ed esponente di $b$ crescente da $0$ a $n$, somma sempre $n$.
  \item \emph{Termine generale}: $T_{k+1} = \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k$ ($k = 0, 1, \ldots, n$).
  \item \emph{Per $(a - b)^n$}: $\sum_k (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ (segni alterni).
  \item \emph{Per $(1 + x)^n$}: $\sum_k \binom{n}{k} x^k$ — forma compatta utile.
  \item \emph{Identità deducibili}:
        \begin{itemize}
          \item $\sum_k \binom{n}{k} = 2^n$ (numero totale di sottoinsiemi);
          \item $\sum_k (-1)^k \binom{n}{k} = 0$ (per $n \geq 1$);
          \item $\sum_{k\text{ pari}} = \sum_{k\text{ dispari}} = 2^{n-1}$;
          \item $\sum_k k\binom{n}{k} = n\cdot 2^{n-1}$.
        \end{itemize}
  \item \emph{Storia}: Euclide ($n=2$, \textsc{iii} sec.\,a.C.) → Khayyām ($n$ qualsiasi, \textsc{xi}-\textsc{xii} sec.) → Pascal (1654, dim. per induzione) → \emph{Newton} (1665, serie binomiale per esponenti reali).
  \item \emph{Generalizzazione di Newton} (cenni): per $\alpha \in \R$ e $|x| < 1$,
        \[
          (1 + x)^\alpha = \sum_{k=0}^\infty \binom{\alpha}{k}\,x^k,
        \]
        con $\binom{\alpha}{k} = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)/k!$ (coefficiente binomiale generalizzato). Sviluppo in \ref{cap:AN-008}.
  \item \emph{Prossimi passi}: applicazioni in \emph{calcolo della probabilità} — formula di Bernoulli per le prove ripetute (\ref{cap:PS-009}) e \emph{distribuzione binomiale} (\ref{cap:PS-013}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}