\chapter{Logaritmo: definizione e proprietà}\label{cap:EL-003}

\citazioneinizio{%
  Questo metodo meraviglioso riduce calcoli lunghissimi a pochi semplici passaggi: nessun altro genere di calcolo è così ostacolato dalle difficoltà di moltiplicazioni e divisioni.%
}{John Napier (Nepero), \emph{Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio} (1614)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:el-003-01-introduzione-motivazionale}
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Nel 1614 lo scozzese \emph{John Napier} (italianizzato in \emph{Nepero}) pubblicò un'opera che avrebbe rivoluzionato il calcolo numerico per i successivi tre secoli: la \emph{Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio} — ``Descrizione del meraviglioso canone dei logaritmi''. L'idea, geniale, era di trasformare il calcolo \emph{più difficile} (moltiplicazioni e divisioni di numeri lunghi, indispensabili per gli astronomi) nel calcolo \emph{più facile} (addizioni e sottrazioni). La chiave era una nuova funzione, il \textbf{logaritmo}:
\[
  \log(ab) = \log a + \log b.
\]
Bastava saper sommare logaritmi (cosa che si fa a mano) per moltiplicare numeri arbitrariamente grandi (cosa che a mano è molto lunga).

L'idea fu ripresa e perfezionata da \emph{Henry Briggs} (1617), che introdusse i \emph{logaritmi in base $10$}, e da \emph{Bürgi}, \emph{Eulero}, e tanti altri. Per oltre $350$ anni — fino all'avvento delle calcolatrici elettroniche negli anni '70 del '900 — la \emph{tavola dei logaritmi} e il \emph{regolo calcolatore} (basato sui logaritmi) furono gli strumenti universali di calcolo di ingegneri, scienziati, navigatori.

Oggi il calcolo è demandato ai computer, ma il logaritmo rimane fondamentale per due ragioni:
\begin{itemize}
  \item \emph{Matematicamente}: è l'\emph{inversa} della funzione esponenziale (\ref{cap:EL-002}) — strumento indispensabile per risolvere equazioni esponenziali e modellizzare crescite/decrescite.
  \item \emph{Praticamente}: appare in moltissime ``scale logaritmiche'' del mondo scientifico — scala Richter (terremoti), decibel (suoni), pH (chimica), magnitudine stellare (astronomia), entropia (termodinamica e informazione), complessità computazionale.
\end{itemize}

In questo capitolo:
\begin{itemize}
  \item definiamo il logaritmo come ``esponente che risolve l'equazione $a^y = x$'';
  \item presentiamo i logaritmi notevoli (decimale, naturale, binario);
  \item enunciamo e dimostriamo le \emph{proprietà fondamentali} dei logaritmi;
  \item ricaviamo la formula di \emph{cambiamento di base};
  \item impariamo a calcolare logaritmi a mente e con la calcolatrice.
\end{itemize}

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\section{Definizione di logaritmo}\label{sec:el-003-01-definizione-di-logaritmo}
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\begin{definizione}[Logaritmo]
Siano $a > 0$, $a \neq 1$ (\emph{base}) e $x > 0$ (\emph{argomento}). Si chiama \textbf{logaritmo in base $a$ di $x$}, e si scrive $\log_a x$, l'\emph{unico} numero reale $y$ tale che
\[
  a^y = x.
\]
In sintesi:
\[
  \log_a x = y \iff a^y = x.
\]
\end{definizione}

\begin{formulabox}
\[
  \boxed{\ \log_a x = y \iff a^y = x\ }\qquad (a > 0,\ a \neq 1,\ x > 0).
\]
\end{formulabox}

\begin{nota}[Significato in parole]
``$\log_a x$ è \emph{l'esponente} che bisogna dare ad $a$ per ottenere $x$.''

Per esempio: $\log_2 8 = 3$ perché $2^3 = 8$. $\log_{10} \num{1000} = 3$ perché $10^3 = \num{1000}$. $\log_5 1 = 0$ perché $5^0 = 1$.
\end{nota}

\begin{nota}[Esistenza e unicità]
Per $a > 0, a \neq 1$ fissati, la funzione esponenziale $y \mapsto a^y$ è strettamente monotona e ha immagine $\R^+ = (0, +\infty)$ (\ref{cap:EL-002}). Quindi:
\begin{itemize}
  \item per ogni $x > 0$ esiste \emph{uno e un solo} $y \in \R$ tale che $a^y = x$: il logaritmo è \emph{ben definito};
  \item per $x \leq 0$, l'equazione $a^y = x$ \emph{non ha soluzioni}: il logaritmo non è definito.
\end{itemize}
Quindi: \textbf{esistono solo logaritmi di numeri positivi}.
\end{nota}

\begin{nota}[Logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale]
Per definizione:
\[
  \log_a(a^x) = x\quad\text{per ogni $x \in \R$},\qquad a^{\log_a x} = x\quad\text{per ogni $x > 0$}.
\]
Cioè $\log_a$ e $a^{(\cdot)}$ sono funzioni \emph{inverse} l'una dell'altra (\ref{cap:RF-002}). Applicate in sequenza, si ``annullano''.
\end{nota}

\begin{esempio}[Calcolo a mente]
\begin{itemize}
  \item $\log_2 16 = 4$ (perché $2^4 = 16$).
  \item $\log_3 81 = 4$ (perché $3^4 = 81$).
  \item $\log_{10} \num{100000} = 5$ (perché $10^5 = \num{100000}$).
  \item $\log_5 \tfrac{1}{25} = -2$ (perché $5^{-2} = 1/25$).
  \item $\log_4 2 = \tfrac{1}{2}$ (perché $4^{1/2} = \sqrt 4 = 2$).
  \item $\log_a 1 = 0$ per qualunque $a$ (perché $a^0 = 1$).
  \item $\log_a a = 1$ per qualunque $a$ (perché $a^1 = a$).
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Logaritmi notevoli decimale e naturale}\label{sec:el-003-02-logaritmi-notevoli-decimale-naturale}
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Esistono tre logaritmi ``privilegiati'' in matematica e nelle scienze applicate, ciascuno con la sua \emph{notazione abbreviata}:

\begin{definizione}[Logaritmi notevoli]
\begin{itemize}
  \item \textbf{Logaritmo decimale} (o di Briggs): base $a = 10$.
        \[
          \log_{10} x = \log x \quad\text{(in alcune convenzioni, ``Log''; in altre, ``lg'').}
        \]
        È il più usato nelle \emph{scienze sperimentali} (chimica, ingegneria, fisica delle scale logaritmiche).
  \item \textbf{Logaritmo naturale} (o neperiano): base $a = e \approx \num{2.71828}$.
        \[
          \log_e x = \ln x.
        \]
        È il più usato nella \emph{matematica avanzata e in analisi}, perché legato in modo naturale alla derivata e all'integrale (\ref{cap:AN-009}, \ref{cap:AN-020}).
  \item \textbf{Logaritmo binario}: base $a = 2$.
        \[
          \log_2 x = \mathrm{lg}\, x.
        \]
        È usato in \emph{informatica} (complessità degli algoritmi, teoria dell'informazione).
\end{itemize}
\end{definizione}

\begin{attenzione}[Notazione ambigua]
La notazione $\log x$ \emph{senza pedice} è ambigua e cambia da contesto a contesto:
\begin{itemize}
  \item In Italia, \emph{nella scuola superiore}, $\log x$ di solito significa $\log_{10} x$.
  \item In \emph{matematica universitaria}, $\log x$ spesso significa $\ln x$ (cioè base $e$).
  \item In \emph{informatica}, $\log x$ può significare $\log_2 x$.
\end{itemize}
Quando in dubbio, \textbf{specifica sempre la base}: $\log_{10} x$, $\ln x$, $\log_2 x$.
\end{attenzione}

\begin{nota}[Valori notevoli]
\[
  \begin{array}{c|c|c}
    x & \log_{10} x & \ln x \\
    \hline
    1 & 0 & 0 \\
    10 & 1 & \approx \num{2.303} \\
    100 & 2 & \approx \num{4.605} \\
    \num{1000} & 3 & \approx \num{6.908} \\
    e & \approx \num{0.434} & 1 \\
    2 & \approx \num{0.301} & \approx \num{0.693} \\
  \end{array}
\]
\end{nota}

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\section{Proprietà dei logaritmi}\label{sec:el-003-03-proprieta-dei-logaritmi}
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Tutte le proprietà dei logaritmi discendono direttamente, per inversione, dalle proprietà della funzione esponenziale (\ref{cap:EL-001}). Queste sono lo strumento di base per manipolare espressioni logaritmiche, risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche, semplificare calcoli.

\begin{teorema}[Proprietà fondamentali dei logaritmi]
Per ogni $a > 0$, $a \neq 1$, $x, y > 0$, $k \in \R$ valgono:
\begin{enumerate}
  \item $\log_a 1 = 0$.
  \item $\log_a a = 1$.
  \item \emph{Logaritmo di un prodotto}: $\log_a(x\cdot y) = \log_a x + \log_a y$.
  \item \emph{Logaritmo di un quoziente}: $\log_a\!\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$.
  \item \emph{Logaritmo di una potenza}: $\log_a(x^k) = k\cdot \log_a x$.
  \item \emph{Logaritmo del reciproco}: $\log_a\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\log_a x$.
  \item \emph{Logaritmo di una radice}: $\log_a \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n}\log_a x$ (caso particolare della 5 con $k = 1/n$).
\end{enumerate}
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\begin{align*}
  \log_a(xy) &= \log_a x + \log_a y, \\
  \log_a(x/y) &= \log_a x - \log_a y, \\
  \log_a(x^k) &= k\cdot \log_a x.
\end{align*}
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} (3) Siano $u = \log_a x$ e $v = \log_a y$. Per definizione di logaritmo: $x = a^u$ e $y = a^v$. Allora
\[
  xy = a^u\cdot a^v = a^{u + v}\ \text{(proprietà delle potenze, \ref{cap:EL-001}).}
\]
Per definizione di logaritmo, $\log_a(xy) = u + v = \log_a x + \log_a y$.

(5) Sia $u = \log_a x$, dunque $x = a^u$. Allora $x^k = (a^u)^k = a^{uk}$. Quindi $\log_a(x^k) = uk = k\log_a x$.

(4) Combinazione di (3) e (6): $\log_a(x/y) = \log_a(x\cdot y^{-1}) = \log_a x + \log_a(y^{-1}) = \log_a x - \log_a y$.

(6) Caso particolare di (5) con $k = -1$.

(1), (2): direttamente dalla definizione ($a^0 = 1$ e $a^1 = a$).

\begin{attenzione}[Errori classici sui logaritmi]
\textbf{Non valgono} le seguenti ``proprietà sbagliate'' (errori comuni!):
\begin{itemize}
  \item $\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y$ — la \emph{somma dentro} il logaritmo non si distribuisce!
  \item $\log_a(x - y) \neq \log_a x - \log_a y$.
  \item $\log_a(x\cdot y) \neq \log_a x \cdot \log_a y$ — il prodotto va in \emph{somma}, non in \emph{prodotto}.
  \item $\dfrac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a(x/y)$.
  \item $(\log_a x)^k \neq \log_a(x^k)$ — sono cose diverse: la prima è la potenza $k$-esima del logaritmo, la seconda è il logaritmo di $x^k$.
\end{itemize}
La regola sicura: \emph{le proprietà valide trasformano prodotti/quozienti/potenze \textbf{nell'argomento} in somme/differenze/multipli \textbf{nel risultato}, e non viceversa}.
\end{attenzione}

\begin{esempio}[Applicazione delle proprietà]
\begin{itemize}
  \item $\log_2(8\cdot 16) = \log_2 8 + \log_2 16 = 3 + 4 = 7$. (Verifica: $8\cdot 16 = 128 = 2^7$ \checkmark.)
  \item $\log_3 \dfrac{81}{27} = \log_3 81 - \log_3 27 = 4 - 3 = 1$. (Verifica: $81/27 = 3 = 3^1$ \checkmark.)
  \item $\log_5 25^3 = 3\log_5 25 = 3\cdot 2 = 6$. (Verifica: $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$ \checkmark.)
  \item $\log_{10}\!\sqrt{1000} = \tfrac{1}{2}\log_{10} 1000 = \tfrac{3}{2}$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Scomposizione di un logaritmo composto]
Scomporre $\log_2\dfrac{8 x^3}{y^{1/2}}$.

\textit{Soluzione.}
\[
  \log_2\dfrac{8 x^3}{y^{1/2}} = \log_2 8 + 3\log_2 x - \tfrac{1}{2}\log_2 y = 3 + 3\log_2 x - \tfrac{1}{2}\log_2 y.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Ricomposizione di una somma di logaritmi]
Esprimere $2\log_a x + \log_a y - 3\log_a z$ come un solo logaritmo.

\textit{Soluzione.}
\[
  2\log_a x + \log_a y - 3\log_a z = \log_a x^2 + \log_a y - \log_a z^3 = \log_a \dfrac{x^2 y}{z^3}.
\]
\end{esempio}

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\section{Cambiamento di base}\label{sec:el-003-04-cambiamento-di-base}
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Tutte le calcolatrici scientifiche calcolano direttamente solo due logaritmi: $\log_{10}$ (tasto ``log'') e $\ln$ (tasto ``ln''). Per calcolare un logaritmo in base diversa, si usa la formula del \emph{cambiamento di base}:

\begin{teorema}[Cambiamento di base]
Per ogni $a, b > 0$ con $a, b \neq 1$, e ogni $x > 0$:
\[
  \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b},\qquad \text{in particolare}\quad \log_b x = \frac{\ln x}{\ln b} = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Sia $y = \log_b x$, cioè $b^y = x$. Applichiamo $\log_a$ a entrambi i membri (è una funzione monotona, quindi conserva l'uguaglianza):
\[
  \log_a(b^y) = \log_a x \implies y\cdot \log_a b = \log_a x \implies y = \frac{\log_a x}{\log_a b}.
\]

\begin{nota}[Corollario: relazione inversa]
Ponendo $x = a$ nella formula del cambio di base:
\[
  \log_b a = \frac{\log_a a}{\log_a b} = \frac{1}{\log_a b}.
\]
Cioè:
\[
  \boxed{\ \log_a b\cdot \log_b a = 1\ }\qquad \text{(per $a, b > 0$, $a, b \neq 1$).}
\]
Per esempio: $\log_2 10\cdot \log_{10} 2 = 1$.
\end{nota}

\begin{esempio}[Cambiamento di base con calcolatrice]
Calcolare $\log_2 5$ usando la calcolatrice (che fornisce solo $\ln$ e $\log_{10}$).

\textit{Soluzione.} Con base $e$:
\[
  \log_2 5 = \frac{\ln 5}{\ln 2} = \frac{\num{1.6094}}{\num{0.6931}} \approx \num{2.3219}.
\]
Con base $10$:
\[
  \log_2 5 = \frac{\log_{10} 5}{\log_{10} 2} = \frac{\num{0.6990}}{\num{0.3010}} \approx \num{2.3219}.
\]
Stesso risultato (a meno di errori di arrotondamento).
\end{esempio}

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\section{Calcolo di logaritmi}\label{sec:el-003-05-calcolo-di-logaritmi}
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\subsection*{A mente}

I logaritmi ``a mente'' si calcolano riconoscendo che l'argomento è una potenza intera della base:
\[
  \log_a(a^k) = k.
\]
Esempi: $\log_2 32 = 5$ (perché $32 = 2^5$); $\log_{10} \num{0.001} = -3$ (perché $\num{0.001} = 10^{-3}$); $\log_5 \sqrt 5 = 1/2$.

Spesso aiuta scomporre l'argomento in fattori primi.

\subsection*{Con la calcolatrice}

Per $\log_{10}$ e $\ln$ esistono i tasti dedicati. Per altre basi: cambio di base.

\subsection*{Stime numeriche}

Conoscendo a memoria pochi valori chiave si possono stimare molti altri logaritmi:
\[
  \log_{10} 2 \approx \num{0.30103},\quad \log_{10} 3 \approx \num{0.47712},\quad \log_{10} 7 \approx \num{0.84510}.
\]
Da questi si calcolano i logaritmi decimali di tutti i numeri scomponibili in $2, 3, 5, 7$ ($5 = 10/2$, $6 = 2\cdot 3$, ecc.):
\[
  \log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 \approx \num{0.778},\quad
  \log_{10} 5 = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 \approx \num{0.699}.
\]

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\section{Esempi svolti}\label{sec:el-003-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Calcolo immediato]
Calcolare:\quad (a) $\log_3 81$;\quad (b) $\log_{1/2} 8$;\quad (c) $\log_7 1$;\quad (d) $\log_{10} \num{0.01}$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item (a) $81 = 3^4 \Rightarrow \log_3 81 = 4$.
  \item (b) $8 = 2^3 = (1/2)^{-3} \Rightarrow \log_{1/2} 8 = -3$.
  \item (c) $1 = 7^0 \Rightarrow \log_7 1 = 0$.
  \item (d) $\num{0.01} = 10^{-2} \Rightarrow \log_{10} \num{0.01} = -2$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Scomposizione di un logaritmo]
Scomporre $\ln\!\left(\dfrac{e^2\sqrt x}{y^3}\right)$.

\textit{Soluzione.}
\[
  \ln e^2 + \ln\sqrt x - \ln y^3 = 2 + \tfrac{1}{2}\ln x - 3\ln y.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Cambio di base]
Esprimere $\log_8 32$ come logaritmo in base $2$, poi calcolare il valore.

\textit{Soluzione.} Sia $y = \log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8} = \frac{5}{3}$.

(Verifica: $8^{5/3} = (2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$. \checkmark)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione semplice con logaritmi]
Risolvere $\log_3(x + 1) = 2$.

\textit{Soluzione.} Per definizione: $x + 1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 8$.

(Verifica delle condizioni di esistenza: $x + 1 > 0 \iff x > -1$. La soluzione $x = 8$ è ammissibile.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Applicazione delle proprietà]
Semplificare $\log_2 12 + \log_2\tfrac{1}{6}$.

\textit{Soluzione.}
\[
  \log_2 12 + \log_2\tfrac{1}{6} = \log_2\!\left(12\cdot \tfrac{1}{6}\right) = \log_2 2 = 1.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con scomposizione]
Risolvere $\log_5(x^2 - 1) - \log_5(x - 1) = 1$.

\textit{Soluzione.}
\[
  \log_5\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 1 \implies \dfrac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = 5^1 = 5 \implies x + 1 = 5 \implies x = 4.
\]
(Verifica: $x = 4 \Rightarrow x^2 - 1 = 15 > 0$, $x - 1 = 3 > 0$ \checkmark.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[pH e logaritmi in chimica]
Il pH di una soluzione è definito come $\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]$, dove $[\mathrm{H}^+]$ è la concentrazione molare degli ioni $\mathrm{H}^+$. Calcolare il pH di una soluzione con $[\mathrm{H}^+] = 10^{-7}\,\mathrm{mol/L}$ (acqua pura).

\textit{Soluzione.} $\mathrm{pH} = -\log_{10}(10^{-7}) = -(-7) = 7$. (L'acqua pura ha pH $= 7$, ``neutro''.)

Una soluzione con $[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}$: $\mathrm{pH} = 3$ (acida). Una con $[\mathrm{H}^+] = 10^{-10}$: $\mathrm{pH} = 10$ (basica).
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:el-003-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Calcola a mente:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_2 64$;
          \item (b) $\log_3 \tfrac{1}{27}$;
          \item (c) $\log_5 125$;
          \item (d) $\log_{10} \num{10000}$;
          \item (e) $\log_2 \sqrt 2$;
          \item (f) $\log_{1/3} 9$;
          \item (g) $\ln e^3$;
          \item (h) $\log_a a^7$ ($a > 0, a \neq 1$).
        \end{itemize}
  \item Determina il valore di $x$:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_x 16 = 4$;
          \item (b) $\log_2 x = 5$;
          \item (c) $\log_3 x = -2$;
          \item (d) $\log_x 8 = 3$.
        \end{itemize}
  \item Applica le proprietà dei logaritmi per scomporre (in somma/differenza/multiplo di logaritmi elementari):
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_2(8 x y)$;
          \item (b) $\log_3 \dfrac{x^2}{3 y}$;
          \item (c) $\ln \sqrt[3]{x^2 y}$;
          \item (d) $\log_{10}\!\left(\dfrac{100 x^3}{\sqrt y}\right)$;
          \item (e) $\log_a\!\left(\dfrac{x^{1/2}\cdot y^3}{z^4}\right)$.
        \end{itemize}
  \item Ricomponi in un solo logaritmo:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_2 x + \log_2 y - \log_2 z$;
          \item (b) $2 \ln x - \ln 3$;
          \item (c) $\tfrac{1}{2}\log_5 x - 2\log_5 y$;
          \item (d) $\log_a 3 + 2\log_a x - 3\log_a y$.
        \end{itemize}
  \item Usando il cambio di base e la calcolatrice, calcola:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_3 7$;
          \item (b) $\log_2 100$;
          \item (c) $\log_5 \num{0.2}$;
          \item (d) $\log_7 49$ (a mente! deve venire $2$).
        \end{itemize}
  \item Verifica le relazioni:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_5 7\cdot \log_7 5 = 1$;
          \item (b) $\log_2 27 = 3\log_2 3$.
        \end{itemize}
  \item Sapendo che $\log_{10} 2 \approx \num{0.301}$ e $\log_{10} 3 \approx \num{0.477}$, calcola senza calcolatrice:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_{10} 6$;
          \item (b) $\log_{10} 5$;
          \item (c) $\log_{10} 12$;
          \item (d) $\log_{10} \num{0.06}$;
          \item (e) $\log_{10}\!\sqrt[3]{18}$.
        \end{itemize}
  \item Risolvi le equazioni elementari:
        \begin{itemize}
          \item (a) $\log_2(x + 3) = 4$;
          \item (b) $\log_3(x^2) = 2$;
          \item (c) $\log_5(x - 1) + \log_5(x + 1) = 1$;
          \item (d) $\ln x = 0$.
        \end{itemize}
  \item Una soluzione ha pH $= 5$. Calcola la concentrazione di ioni $\mathrm{H}^+$.
  \item L'intensità di un terremoto è espressa secondo la \emph{scala Richter}: $M = \log_{10}(A/A_0)$, dove $A$ è l'ampiezza misurata e $A_0$ un'ampiezza di riferimento. Confronta due terremoti con magnitudo $M_1 = 5$ e $M_2 = 7$: di quanto è più grande l'ampiezza del secondo rispetto al primo?
  \item (Discussione.) Spiega perché \emph{non} esistono $\log_2(-3)$ e $\log_{-2} 8$.
  \item (Sfida.) Mostra che, per ogni $a, b, c > 0$ (con $a, b \neq 1$):
        \[
          \log_a b\cdot \log_b c = \log_a c.
        \]
        (Suggerimento: applicare due volte il cambio di base.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:el-003-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Definizione}: $\log_a x = y \iff a^y = x$, con $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$.
  \item \emph{Significato}: il logaritmo è \emph{l'esponente} che bisogna dare alla base per ottenere l'argomento.
  \item \emph{Esistenza}: $\log_a x$ è ben definito solo per $x > 0$. Non esistono logaritmi di numeri negativi o zero.
  \item \emph{Inversa dell'esponenziale}: $\log_a(a^x) = x$ per ogni $x$, $a^{\log_a x} = x$ per ogni $x > 0$.
  \item \emph{Logaritmi notevoli}:
        \begin{itemize}
          \item $\log_{10} x = \log x$ (decimale, di Briggs);
          \item $\log_e x = \ln x$ (naturale);
          \item $\log_2 x = \mathrm{lg}\, x$ (binario, in informatica).
        \end{itemize}
  \item \emph{Proprietà fondamentali} (per $x, y > 0$, $k \in \R$):
        \[
          \log_a(xy) = \log_a x + \log_a y,\quad
          \log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y,\quad
          \log_a(x^k) = k\log_a x.
        \]
        Inoltre: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $\log_a(1/x) = -\log_a x$.
  \item \emph{Errori da evitare}: $\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y$; $\log_a(xy) \neq \log_a x\cdot \log_a y$; $(\log_a x)^k \neq \log_a(x^k)$.
  \item \emph{Cambio di base}: $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$. Conseguenza: $\log_a b\cdot \log_b a = 1$.
  \item \emph{Calcolo}: a mente per argomenti che sono potenze della base; con calcolatrice (e cambio di base) per gli altri.
  \item \emph{Applicazioni}: equazioni esponenziali ($a^x = b \Rightarrow x = \log_a b$); pH chimico; scala Richter; decibel; magnitudine stellare; complessità computazionale.
  \item \emph{Prossimi passi}: \emph{funzione logaritmica} $y = \log_a x$ e suo grafico (\ref{cap:EL-004}); \emph{equazioni e disequazioni esponenziali/logaritmiche} (\ref{cap:EL-005}, \ref{cap:EL-006}, \ref{cap:EL-007}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}