\chapter{Equazioni esponenziali}\label{cap:EL-005}

\citazioneinizio{%
  Le quantità esponenziali --- in cui la variabile compare all'esponente di una costante --- governano i fenomeni di crescita e decadimento in proporzione costante alla quantità presente. Risolvere un'equazione esponenziale significa determinare quel particolare valore della variabile per cui la quantità esponenziale assume un valore prescritto.%
}{Leonhard Euler, \emph{Introductio in analysin infinitorum} (1748), libro~I, capitolo~VI --- prima trattazione sistematica delle funzioni esponenziali e logaritmiche come funzioni di una variabile reale}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:el-005-01-introduzione-motivazionale}
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Un'\emph{equazione esponenziale} è un'equazione in cui l'incognita compare \emph{all'esponente} di una potenza con base costante. Esempi:
\[
  2^x = 8, \qquad 3^{x+1} = 27^x, \qquad 5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0.
\]
Sono uno strumento fondamentale per risolvere problemi di crescita esponenziale: calcolare il tempo di raddoppio di un capitale, l'età di un reperto dalla quantità di carbonio-14, il momento in cui una popolazione raggiunge una certa soglia.

In questo capitolo classifichiamo le equazioni esponenziali in tre tipologie di difficoltà crescente:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Riducibili alla stessa base}: si trasformano i due membri in potenze della stessa base e si uguagliano gli esponenti.
  \item \textbf{Risolvibili tramite logaritmo}: quando la riduzione alla stessa base non è possibile, si applica il logaritmo a entrambi i membri.
  \item \textbf{Risolvibili per sostituzione}: equazioni in cui compare $a^x$ e $a^{2x}$ (o potenze affini), riducibili a equazioni algebriche tramite la sostituzione $t = a^x$.
\end{itemize}
Nel capitolo successivo (\ref{cap:EL-006}) tratteremo l'analogo per le equazioni \emph{logaritmiche}, e in \ref{cap:EL-007} le disequazioni esponenziali e logaritmiche.

\medskip

\emph{Prerequisiti}. Funzioni esponenziali e logaritmiche (capitoli precedenti della sezione EL), proprietà delle potenze, definizione di logaritmo come funzione inversa dell'esponenziale.

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\section{Equazioni risolvibili con la stessa base}\label{sec:el-005-02-equazioni-risolvibili-con-la-stessa-base}
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\begin{formulabox}
\textbf{Principio fondamentale}. Per ogni $a > 0$ con $a \ne 1$, la funzione esponenziale $a^x$ è \emph{strettamente monotona} (crescente se $a > 1$, decrescente se $0 < a < 1$). In particolare è \emph{iniettiva}, dunque
\[
  a^{f(x)} = a^{g(x)} \quad \iff \quad f(x) = g(x).
\]
\end{formulabox}

\subsection*{Strategia}

\begin{procedura}[Riduzione alla stessa base]
\begin{enumerate}
  \item Scegliere una base \emph{comune} a tutti i termini (tipicamente il numero primo più piccolo: $2$ se ci sono $4, 8, 16, \ldots$; $3$ se ci sono $9, 27, 81, \ldots$).
  \item Trasformare ogni potenza in quella base, usando le proprietà $a^{mn} = (a^m)^n$ e $a^{m+n} = a^m a^n$.
  \item Uguagliare gli esponenti e risolvere l'equazione risultante (di solito polinomiale).
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[$2^x = 8$]
$8 = 2^3$. Quindi $2^x = 2^3 \iff x = 3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$3^{x+1} = 27^x$]
$27 = 3^3$, quindi $27^x = 3^{3x}$. Equazione: $3^{x+1} = 3^{3x} \iff x + 1 = 3x \iff x = 1/2$.

\textbf{Verifica}: $3^{3/2} = \sqrt{27} \approx \num{5.196}$; $27^{1/2} = \sqrt{27} \approx \num{5.196}$. $\checkmark$
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riduzione a base $2$]
$4^{x-1} \cdot 8^{x+2} = 16^{2x-3}$. Tutto in base $2$: $4 = 2^2, 8 = 2^3, 16 = 2^4$.
\[
  2^{2(x-1)} \cdot 2^{3(x+2)} = 2^{4(2x-3)} \iff 2^{2x - 2 + 3x + 6} = 2^{8x - 12} \iff 5x + 4 = 8x - 12.
\]
Risolvendo: $3x = 16 \Rightarrow x = 16/3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Frazione con potenza]
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1} = 8$. Riscrivo $1/2 = 2^{-1}$ e $8 = 2^3$: $2^{-(x+1)} = 2^3 \iff -(x+1) = 3 \iff x = -4$.
\end{esempio}

\begin{attenzione}
La riduzione alla stessa base \emph{funziona solo} se entrambi i membri sono potenze di una stessa base ``naturale''. Se ad esempio $2^x = 5$, non posso scrivere $5$ come potenza di $2$ con esponente razionale (il risultato sarebbe $\log_2 5 \approx 2.32$, un irrazionale). In tal caso si applica il logaritmo (sezione successiva).
\end{attenzione}

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\section{Equazioni con uso del logaritmo}\label{sec:el-005-03-equazioni-con-uso-del-logaritmo}
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Quando la riduzione alla stessa base non è possibile, si applica il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione. Per le proprietà fondamentali del logaritmo (definizione inversa dell'esponenziale e $\log(a^x) = x \log a$):

\begin{formulabox}
\textbf{Risoluzione via logaritmo}: per $a > 0, a \ne 1, b > 0$:
\[
  a^{f(x)} = b \quad \iff \quad f(x) = \log_a b = \frac{\log b}{\log a}.
\]
(La base del logaritmo è arbitraria: in pratica si usano i logaritmi decimali $\log_{10}$ o naturali $\ln$.)
\end{formulabox}

\begin{esempio}[Equazione esponenziale con risultato irrazionale]
$2^x = 5$. Applicando il logaritmo (base $10$ o $e$):
\[
  x = \log_2 5 = \frac{\log 5}{\log 2} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \approx \frac{\num{1.609}}{\num{0.693}} \approx \num{2.322}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Esponenziale a entrambi i membri con basi diverse]
$3^x = 7^{x-1}$. Applicando $\ln$ a entrambi:
\[
  x \ln 3 = (x - 1) \ln 7 \iff x (\ln 7 - \ln 3) = \ln 7 \iff x = \frac{\ln 7}{\ln(7/3)} = \frac{\num{1.946}}{\num{0.847}} \approx \num{2.298}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tempo di raddoppio del capitale]
Un capitale al tasso annuo $\num{5}\%$ raddoppia in quanti anni? $C(t) = C_0 (\num{1.05})^t = 2 C_0 \Rightarrow t \ln(\num{1.05}) = \ln 2 \Rightarrow t = \ln 2 / \ln(\num{1.05}) \approx \num{0.693}/\num{0.0488} \approx \num{14.2}$ anni.

\emph{Regola del 72 (mnemonica)}: $72/i\% \approx t_{\text{raddoppio}}$. Per $i = 5\%$: $72/5 = \num{14.4}$, conforme.
\end{esempio}

\subsection*{Crescita/decadimento esponenziale modellato con $e$}

In fisica e ingegneria, le quantità in crescita/decadimento esponenziale si scrivono spesso in forma $N(t) = N_0 e^{k t}$. La risoluzione di equazioni con $e$ è particolarmente semplice grazie a $\ln(e^x) = x$:

\begin{esempio}[Decadimento radioattivo]
Una sostanza ha tempo di dimezzamento $T_{1/2} = \num{5730}$ anni ($^{14}\mathrm{C}$). Un reperto contiene il $\num{30}\%$ del carbonio-14 iniziale. Età del reperto?

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ con $\lambda = \ln 2 / T_{1/2}$. Imponendo $N/N_0 = \num{0.30}$:
\[
  e^{-\lambda t} = \num{0.30} \iff -\lambda t = \ln(\num{0.30}) \iff t = -\frac{\ln(\num{0.30})}{\lambda} = -\frac{\num{-1.204}}{\ln 2/5730} \approx \frac{\num{1.204} \cdot 5730}{\num{0.693}} \approx \num{9953}~\text{anni}.
\]
\end{esempio}

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\section{Equazioni risolubili per sostituzione}\label{sec:el-005-04-equazioni-risolubili-per-sostituzione}
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Quando in un'equazione compaiono \emph{più potenze} della stessa base, con esponenti legati da relazioni lineari (tipicamente $a^x$ e $a^{2x} = (a^x)^2$), la \emph{sostituzione} $t = a^x$ riduce l'equazione a una equazione algebrica nella nuova variabile.

\begin{procedura}[Sostituzione $t = a^x$]
\begin{enumerate}
  \item Identificare la potenza ``base'' $a^x$ e le sue potenze ($a^{2x}, a^{3x}, \ldots$).
  \item Sostituire $t = a^x$. Allora $a^{2x} = t^2$, $a^{3x} = t^3$, ecc.
  \item Risolvere l'equazione algebrica in $t$.
  \item Per ogni soluzione $t_i$ accettabile (\textbf{$t_i > 0$!}), risolvere $a^x = t_i$ per trovare $x$.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{attenzione}
Nella sostituzione $t = a^x$, ricordare che $t > 0$ \emph{sempre} ($a^x > 0$ per ogni $x$ reale). Le soluzioni $t_i \le 0$ vanno scartate prima di tornare alla variabile $x$.
\end{attenzione}

\begin{esempio}[Equazione quadratica nascosta]
$5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$. Pongo $t = 5^x$, $t > 0$. Equazione: $t^2 - 6t + 5 = 0 \iff (t-1)(t-5) = 0 \iff t = 1$ o $t = 5$.
\begin{itemize}
  \item $t = 1 \Rightarrow 5^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
  \item $t = 5 \Rightarrow 5^x = 5 \Rightarrow x = 1$.
\end{itemize}
Soluzioni: $x = 0, 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Soluzione da scartare]
$4^x + 2^x - 2 = 0$. Pongo $t = 2^x$, $t > 0$. Allora $4^x = (2^x)^2 = t^2$, ed equazione: $t^2 + t - 2 = 0 \iff (t + 2)(t - 1) = 0 \iff t = -2$ o $t = 1$.

$t = -2$ \textbf{scartata} (non può essere $2^x < 0$). $t = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

Unica soluzione: $x = 0$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione con tre termini]
$2 \cdot 9^x - 5 \cdot 3^x + 3 = 0$. Riscrivo $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Pongo $t = 3^x$, $t > 0$:
\[
  2 t^2 - 5 t + 3 = 0 \iff t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4} = \frac{5 \pm 1}{4}.
\]
$t = 3/2$ o $t = 1$. Entrambe positive.
\begin{itemize}
  \item $t = 1 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0$.
  \item $t = 3/2 \Rightarrow 3^x = 3/2 \Rightarrow x = \log_3(3/2) = 1 - \log_3 2 \approx \num{0.369}$.
\end{itemize}
Soluzioni: $x = 0, x = \log_3(3/2)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione bicubica esponenziale]
$8^x - 2^{x+3} + 16 = 0$. Riscrivo $8^x = 2^{3x} = (2^x)^3$ e $2^{x+3} = 8 \cdot 2^x$. Pongo $t = 2^x$:
\[
  t^3 - 8 t + 16 = 0.
\]
Provando le radici razionali: $t = 2$? $8 - 16 + 16 = 8 \ne 0$. $t = -2$? $-8 + 16 + 16 = 24 \ne 0$. $t = 4$? $64 - 32 + 16 = 48 \ne 0$. Nessuna radice razionale evidente. (L'equazione non si risolve elementarmente; serve un metodo numerico o sostituzioni alternative. \emph{Lezione}: non tutte le equazioni esponenziali sono risolvibili in forma chiusa elementare.)
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:el-005-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Stessa base con frazione]
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2x-1} = \dfrac{9}{4}$. Riscrivo $9/4 = (2/3)^{-2}$:
\[
  (2/3)^{2x-1} = (2/3)^{-2} \iff 2x - 1 = -2 \iff x = -\frac{1}{2}.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Tempo per dimezzare la popolazione di un fertilizzante]
Un agricoltore usa una sostanza che si decompone con tempo di dimezzamento $\num{14}$ giorni. Dopo quanti giorni resta solo il $\num{10}\%$ della quantità iniziale?

$N(t)/N_0 = (1/2)^{t/14} = \num{0.10}$. Applico $\ln$: $(t/14) \ln(1/2) = \ln(\num{0.10})$, $t = 14 \cdot \ln(\num{0.10})/\ln(\num{0.5}) = 14 \cdot (\num{-2.303})/(\num{-0.693}) \approx 14 \cdot \num{3.322} \approx \num{46.5}$ giorni.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con esponenti su entrambi i membri]
$4^{x^2-1} = 8^x$. Tutto in base $2$: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$. $2^{2(x^2-1)} = 2^{3x} \iff 2x^2 - 2 = 3x \iff 2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Quadratica: $x = (3 \pm \sqrt{9 + 16})/4 = (3 \pm 5)/4$. Soluzioni: $x = 2$ o $x = -1/2$.

\textbf{Verifica $x = 2$}: $4^{4-1} = 4^3 = 64$; $8^2 = 64$. $\checkmark$
\textbf{Verifica $x = -1/2$}: $4^{1/4-1} = 4^{-3/4}$; $8^{-1/2}$. $4^{-3/4} = 2^{-3/2}$; $8^{-1/2} = 2^{-3/2}$. $\checkmark$
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sistema di equazioni esponenziali]
Risolvere il sistema:
\[
  \begin{cases} 2^x \cdot 3^y = 12 \\ 2^x + 3^y = 7 \end{cases}
\]
Pongo $a = 2^x, b = 3^y$ (entrambi $> 0$). Sistema: $ab = 12$ e $a + b = 7$. $a, b$ sono radici di $z^2 - 7z + 12 = 0 \Rightarrow z = 3, 4$. Due casi:
\begin{itemize}
  \item $a = 3, b = 4$: $2^x = 3 \Rightarrow x = \log_2 3 \approx \num{1.585}$; $3^y = 4 \Rightarrow y = \log_3 4 \approx \num{1.262}$.
  \item $a = 4, b = 3$: $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$; $3^y = 3 \Rightarrow y = 1$.
\end{itemize}
Due soluzioni.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con esponenziali diverse: tecnica del fattore comune]
$3 \cdot 2^x + 2 \cdot 2^{x+1} = 28$. Raccolgo $2^x$: $3 \cdot 2^x + 4 \cdot 2^x = 28 \iff 7 \cdot 2^x = 28 \iff 2^x = 4 \iff x = 2$.

\emph{Trucco}: a volte non serve sostituire; basta riconoscere fattori comuni.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Crescita batterica]
Una colonia di batteri raddoppia ogni $\num{30}$ minuti. Inizialmente vi sono $\num{100}$ batteri. Dopo quanto tempo saranno $\num{1000000}$?

$N(t) = 100 \cdot 2^{t/30}$ con $t$ in minuti. Imponendo $N = 10^6$: $2^{t/30} = 10^4 \iff (t/30) \log 2 = 4 \iff t = 120/\log_2 10 = 120/\num{3.322} \approx \num{36.1}$.

Aspetta, ricalcolo: $t/30 = \log_2(10^4) = 4 \log_2 10 \approx 4 \cdot \num{3.322} = \num{13.29}$, dunque $t \approx \num{398.6}$ minuti $\approx \num{6.6}$ ore.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:el-005-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Risolvere riducendo alla stessa base:
  \begin{enumerate}
    \item $3^x = 81$;
    \item $5^{x-1} = 125$;
    \item $2^{2x+1} = 32$;
    \item $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x = 27$;
    \item $9^x = 3^{x+1}$.
  \end{enumerate}
  \item Risolvere riducendo alla stessa base (più complesse):
  \begin{enumerate}
    \item $4^{x+1} \cdot 8^x = 32^{2x-1}$;
    \item $\left(\dfrac{2}{5}\right)^x = \dfrac{25}{4}$;
    \item $25^x = 5^{x^2 - 6}$;
    \item $4^{x^2 - 1} = 16^{x+1}$.
  \end{enumerate}
  \item Risolvere con il logaritmo:
  \begin{enumerate}
    \item $2^x = 7$;
    \item $3^x = 10$;
    \item $5^{x+1} = 2$;
    \item $7^x = 3^{x+2}$;
    \item $e^x = 5$ (in base $e$).
  \end{enumerate}
  \item Risolvere con sostituzione:
  \begin{enumerate}
    \item $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$;
    \item $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$;
    \item $25^x - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$;
    \item $4^x + 2^{x+2} - 32 = 0$;
    \item $3 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x - 2 = 0$ (suggerimento: equazione $3t^2 - 5t - 2 = 0$).
  \end{enumerate}
  \item Risolvere:
  \begin{enumerate}
    \item $2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} = 28$ (fattore comune);
    \item $3^{x+1} - 3^{x-1} = 24$;
    \item $5^{2x} - 6 \cdot 5^x + 5 = 0$.
  \end{enumerate}
  \item Un capitale al tasso $\num{4}\%$ annuo. In quanti anni:
  \begin{enumerate}
    \item raddoppia? (Suggerimento: $(\num{1.04})^t = 2$.)
    \item triplica?
    \item quadruplica? (Confronto con il raddoppio.)
  \end{enumerate}
  \item Una sostanza radioattiva si dimezza ogni $\num{12}$ anni. Dopo quanti anni:
  \begin{enumerate}
    \item resta il $\num{25}\%$?
    \item resta il $\num{10}\%$?
    \item resta l'$\num{1}\%$?
  \end{enumerate}
  \item Risolvere il sistema: $\begin{cases} 2^x + 3^y = 13 \\ 2^x \cdot 3^y = 36 \end{cases}$.
  \item Trovare per quali $x \in \R$ vale $2^x = x + 1$. (Suggerimento: si vede che $x = 0$ è soluzione; mostrare graficamente o per analisi che è anche l'unica. Esempio di equazione \emph{trascendente} senza soluzione algebrica chiusa.)
  \item Un investimento di $\num{1000}$ euro al $\num{6}\%$ annuo. Quanto vale dopo $\num{15}$ anni? (Soluzione: $\num{1000} \cdot (\num{1.06})^{15}$.) Confrontarlo con un investimento al tasso semplice di $\num{6}\%$.
  \item Risolvere $9^x - 2^{2x+1} = 5^x$ con metodo grafico (suggerimento: tracciare i grafici di $9^x - 2 \cdot 4^x$ e $5^x$).
  \item Mostrare che, per $a > 1$, l'equazione $a^x = x^a$ ha la radice $x = a$ ma anche un'altra radice $x \in (1, a)$. Per $a = 2$, le soluzioni sono $x = 2$ e $x = 4$.
  \item Un test antidroga rileva una sostanza fintanto che la sua concentrazione è almeno $\num{5}\%$ del valore al consumo. Sapendo che la sostanza si dimezza ogni $\num{18}$ ore, dopo quanti giorni il test risulterà negativo?
  \item Risolvere $e^{2x} - 3 e^x + 2 = 0$ (sostituzione $t = e^x$).
  \item In una colonia di batteri, dopo $1$ ora la popolazione è $200$, dopo $3$ ore è $\num{1800}$. Determinare il tasso di crescita ($\lambda$) e la popolazione iniziale. (Suggerimento: $N(t) = N_0 e^{\lambda t}$.)
  \item \emph{Sfida (equazioni esponenziali e funzioni speciali)}. L'equazione $x e^x = a$ (per $a > 0$) ha una soluzione $x$ che si chiama \emph{funzione $W$ di Lambert}, $x = W(a)$. Non è esprimibile in termini di funzioni elementari. Verificare che per $a = 1$, $W(1) \approx \num{0.567}$ (\emph{costante omega}). Per $a = e$, $W(e) = 1$. La funzione di Lambert è un esempio importante di funzione speciale (compare in fisica statistica, biologia matematica, teoria della complessità).
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:el-005-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazione esponenziale}: incognita all'esponente. Tre tipologie principali.
  \item \emph{Stessa base}: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ (per $a > 0, a \ne 1$). Si riducono i due membri a potenze della stessa base.
  \item \emph{Via logaritmo}: $a^{f(x)} = b \iff f(x) = \log_a b$. Si usa quando la riduzione alla stessa base non è possibile.
  \item \emph{Sostituzione $t = a^x$}: trasforma equazioni del tipo $a^{2x}, a^x$ in equazioni algebriche in $t$. \textbf{Attenzione}: $t > 0$, scartare soluzioni $\le 0$.
  \item \emph{Applicazioni}: tempo di raddoppio (interesse composto), datazione al carbonio, decadimenti, crescita di popolazioni, modelli RC.
  \item \emph{Casi non risolubili elementarmente}: equazioni trascendenti come $2^x = x + 1$ richiedono metodi numerici o funzioni speciali (es.~$W$ di Lambert per $x e^x = a$).
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:EL-006}) le \emph{equazioni logaritmiche}, dove l'incognita è argomento di un logaritmo. La tecnica chiave sarà la \emph{condizione di esistenza} (argomento positivo).
\end{itemize}
\end{riepilogo}