\chapter{Equazioni logaritmiche}\label{cap:EL-006}

\citazioneinizio{%
  Vedendo nulla esservi di più fastidioso nella pratica matematica del moltiplicare, dividere, estrarre le radici quadrate e cubiche di numeri grandi, e che ciò comporta inoltre lunghezza di calcolo e rischio non lieve di errori, cominciai a riflettere se per caso esistesse qualche artifizio sicuro e spedito per evitare tali difficoltà. Trovai dunque una regola tanto mirabile e proficua --- la quale traduce moltiplicazioni in semplici addizioni di altre quantità, che chiamo \emph{logaritmi}.%
}{John Napier (Nepero), \emph{Mirifici logarithmorum canonis descriptio} (Edinburgo 1614), prefazione --- nascita dei logaritmi come strumento di calcolo}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:el-006-01-introduzione-motivazionale}
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Un'\emph{equazione logaritmica} è un'equazione in cui l'incognita compare \emph{all'argomento} di un logaritmo. Esempi:
\[
  \log_2 x = 3, \qquad \log(x - 1) + \log(x + 1) = 1, \qquad \log^2 x - 3 \log x + 2 = 0.
\]
Sono lo strumento per risolvere il problema inverso a quello esponenziale del capitolo precedente (\ref{cap:EL-005}): in un fenomeno di crescita o decadimento esponenziale, ``dato il valore raggiunto, trovare il tempo''.

La sfida tecnica delle equazioni logaritmiche, a differenza delle esponenziali, è la \emph{condizione di esistenza}: $\log_a x$ è definito solo per $x > 0$. Ogni equazione logaritmica ha un \emph{dominio} (insieme di valori ammissibili di $x$) che va determinato \emph{prima} di applicare le proprietà dei logaritmi --- e ogni soluzione formale va poi \emph{verificata} contro tale dominio per escludere ``soluzioni estranee'' introdotte dalle manipolazioni algebriche.

In questo capitolo:
\begin{itemize}
  \item \textbf{Equazioni elementari}: $\log_a f(x) = b$, risolte applicando l'esponenziale a entrambi i membri;
  \item \textbf{Condizioni di esistenza}: aspetto cruciale, le manipolazioni dei logaritmi possono introdurre soluzioni estranee al dominio;
  \item \textbf{Sostituzione $t = \log_a x$}: per equazioni in cui compaiono $\log x$ e $\log^2 x$ (o potenze affini).
\end{itemize}

\medskip

\emph{Cenno storico}. I logaritmi furono inventati da John Napier (italianizzato in Nepero, 1550--1617) nel 1614 come strumento per ridurre moltiplicazioni a somme. La sua opera \emph{Mirifici logarithmorum canonis descriptio} fu il punto di svolta del calcolo numerico: in pochi anni le tavole logaritmiche divennero indispensabili in astronomia, navigazione, ingegneria. Henry Briggs (1624) introdusse i logaritmi decimali (in base $10$), e per quasi $400$ anni le tavole logaritmiche e i regoli calcolatori (basati sui logaritmi) furono gli strumenti di calcolo standard fino all'avvento delle calcolatrici elettroniche negli anni $1970$.

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\section{Equazioni elementari}\label{sec:el-006-02-equazioni-elementari}
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\begin{formulabox}
\textbf{Equazione logaritmica elementare}. Per $a > 0$, $a \ne 1$, $b \in \R$:
\[
  \log_a f(x) = b \quad \iff \quad f(x) = a^b \quad (\text{con } f(x) > 0).
\]
\end{formulabox}

\textit{Idea}: il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale. Applicare $a^{\cdot}$ a entrambi i membri ``annulla'' il logaritmo.

\begin{esempio}[$\log_2 x = 3$]
$x = 2^3 = 8$. Verifica del dominio: $x = 8 > 0$, OK. Soluzione: $x = 8$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[$\log_5 (x - 1) = 2$]
$x - 1 = 5^2 = 25 \Rightarrow x = 26$. Verifica: $x - 1 = 25 > 0$ $\checkmark$. Soluzione: $x = 26$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Logaritmo a entrambi i membri]
$\log_3(x + 1) = \log_3(2 x - 5)$. Per l'iniettività del logaritmo, $x + 1 = 2 x - 5 \Rightarrow x = 6$.

\textbf{Verifica dominio}: $x + 1 = 7 > 0$ e $2x - 5 = 7 > 0$. OK. Soluzione: $x = 6$.
\end{esempio}

\subsection*{Caso elementare: $\ln x = c$, $\log x = c$}

\begin{esempio}[Logaritmo naturale]
$\ln x = 2 \Rightarrow x = e^2 \approx \num{7.389}$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Logaritmo decimale]
$\log x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1$.
\end{esempio}

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\section{Condizioni di esistenza}\label{sec:el-006-03-condizioni-di-esistenza}
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Quando applichiamo le \emph{proprietà del logaritmo} (somma, differenza, potenza), il dominio dell'equazione può cambiare: alcune trasformazioni introducono ``falsi'' valori che non appartengono al dominio originale.

\begin{formulabox}
\textbf{Strategia rigorosa}:
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Determinare il dominio} dell'equazione: imporre che \emph{ogni} argomento di logaritmo presente nell'equazione originale sia $> 0$, e risolvere il sistema risultante.
  \item \textbf{Risolvere l'equazione} applicando le proprietà dei logaritmi.
  \item \textbf{Verificare} che le soluzioni trovate appartengano al dominio. Scartare quelle che non lo soddisfano (\emph{soluzioni estranee}).
\end{enumerate}
\end{formulabox}

\subsection*{Proprietà del logaritmo (richiamo)}

\begin{itemize}
  \item $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ (con $x, y > 0$);
  \item $\log_a(x/y) = \log_a x - \log_a y$;
  \item $\log_a(x^n) = n \log_a x$;
  \item $\log_a x = \log_b x / \log_b a$ (cambio di base).
\end{itemize}

\begin{esempio}[Equazione con somma di logaritmi]
$\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3$.

\textbf{Dominio}: $\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \iff x > 1$.

\textbf{Risoluzione}: per la proprietà del prodotto, $\log_2[(x-1)(x+1)] = 3 \Rightarrow (x-1)(x+1) = 8 \Rightarrow x^2 - 1 = 8 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.

\textbf{Verifica}: $x = 3 > 1$ $\checkmark$; $x = -3 < 1$ \textbf{scartata}. Soluzione: $x = 3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con differenza di logaritmi]
$\log(x + 5) - \log(x - 1) = 1$.

\textbf{Dominio}: $x + 5 > 0$ e $x - 1 > 0 \iff x > 1$.

\textbf{Risoluzione}: $\log\dfrac{x+5}{x-1} = 1 \Rightarrow \dfrac{x+5}{x-1} = 10 \Rightarrow x + 5 = 10 x - 10 \Rightarrow 9 x = 15 \Rightarrow x = 5/3$.

\textbf{Verifica}: $x = 5/3 > 1$ $\checkmark$. Soluzione: $x = 5/3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Trappola delle soluzioni estranee]
$\log x^2 = \log(2 x - 1)$. Apparentemente $x^2 = 2x - 1 \iff x^2 - 2x + 1 = 0 \iff x = 1$.

\textbf{Verifica}: $x = 1$, $x^2 = 1 > 0$ $\checkmark$, $2x - 1 = 1 > 0$ $\checkmark$. Soluzione: $x = 1$.

\emph{Ma attenzione}: $\log x^2$ è definito per $x \ne 0$ (perché $x^2 > 0$ sempre, tranne $x = 0$). Tuttavia, alcuni testi scrivono $\log x^2 = 2 \log x$ \emph{solo per $x > 0$}. Se si applica $\log x^2 = 2 \log x$ ingenuamente, si perde la soluzione $x < 0$ qualora ce ne fossero. \emph{Lezione}: meglio non semplificare $\log x^n$ in $n \log x$ se $x$ può essere negativo. (Per il caso $\log x^2$, la forma corretta è $2 \log|x|$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con cambio di base]
$\log_2 x + \log_4 x = 3$. Per il cambio di base, $\log_4 x = \log_2 x / \log_2 4 = (\log_2 x)/2$. Pongo $y = \log_2 x$: $y + y/2 = 3 \iff 3 y/2 = 3 \iff y = 2 \iff x = 2^2 = 4$.

\textbf{Verifica}: $x = 4 > 0$ $\checkmark$. $\log_2 4 + \log_4 4 = 2 + 1 = 3$ $\checkmark$.
\end{esempio}

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\section{Equazioni risolubili per sostituzione}\label{sec:el-006-04-equazioni-risolubili-per-sostituzione}
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Quando in un'equazione compaiono \emph{più potenze} del logaritmo (es.~$\log x$ e $\log^2 x$), si applica la sostituzione $t = \log x$ riducendo a un'equazione algebrica nella nuova variabile $t$.

\begin{procedura}[Sostituzione $t = \log_a x$]
\begin{enumerate}
  \item Determinare il dominio dell'equazione ($x > 0$, e altre condizioni se ci sono altri argomenti).
  \item Sostituire $t = \log_a x$; in questo caso $t$ può essere qualunque numero reale (a differenza di $a^x > 0$ del capitolo precedente).
  \item Risolvere l'equazione algebrica in $t$.
  \item Per ogni soluzione $t_i$, ricavare $x_i = a^{t_i}$.
  \item Verificare che ogni $x_i$ appartenga al dominio.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\emph{Nota}: a differenza della sostituzione $t = a^x$ (con vincolo $t > 0$), per la sostituzione $t = \log x$ \textbf{non} c'è vincolo: $t \in \R$.

\begin{esempio}[Equazione quadratica nascosta]
$\log^2 x - 3 \log x + 2 = 0$. (Convenzione: $\log^2 x = (\log x)^2$, non $\log(\log x)$.)

\textbf{Dominio}: $x > 0$. Pongo $t = \log x$, $t \in \R$. Equazione: $t^2 - 3 t + 2 = 0 \iff (t-1)(t-2) = 0 \iff t = 1$ o $t = 2$.

\begin{itemize}
  \item $t = 1 \Rightarrow x = 10^1 = 10$.
  \item $t = 2 \Rightarrow x = 10^2 = 100$.
\end{itemize}
Entrambe positive, accettabili. Soluzioni: $x = 10, 100$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Riconoscere il pattern]
$\log_3^2 x = 4 + 3 \log_3 x$. Riscrivo: $\log_3^2 x - 3 \log_3 x - 4 = 0$. Pongo $t = \log_3 x$:
\[
  t^2 - 3 t - 4 = 0 \iff (t - 4)(t + 1) = 0 \iff t = 4 \text{ o } t = -1.
\]
\begin{itemize}
  \item $t = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$.
  \item $t = -1 \Rightarrow x = 3^{-1} = 1/3$.
\end{itemize}
Entrambe $> 0$, accettabili. Soluzioni: $x = 81, 1/3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Sostituzione con cambio di base]
$2 \log_2 x = \log_8 x + 5$.

Cambio base: $\log_8 x = \log_2 x / \log_2 8 = \log_2 x / 3$. Pongo $t = \log_2 x$:
\[
  2 t = t/3 + 5 \iff 6 t = t + 15 \iff t = 3 \iff x = 2^3 = 8.
\]
Soluzione unica: $x = 8$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:el-006-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Equazione con prodotto]
$\log_3 x + \log_3 (x - 8) = 2$.

\textbf{Dominio}: $x > 0$ e $x - 8 > 0 \Rightarrow x > 8$.

\textbf{Risoluzione}: $\log_3[x(x-8)] = 2 \Rightarrow x(x-8) = 9 \Rightarrow x^2 - 8 x - 9 = 0$. Quadratica: $x = (8 \pm \sqrt{64 + 36})/2 = (8 \pm 10)/2$, ovvero $x = 9$ o $x = -1$.

\textbf{Verifica}: $x = 9 > 8$ $\checkmark$; $x = -1$ \textbf{scartata}. Soluzione: $x = 9$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con esponente]
$\log_2(x^3) - 3 \log_2 x = 0$. Apparentemente: $\log_2 x^3 = 3 \log_2 x$, quindi l'equazione è $3 \log_2 x - 3 \log_2 x = 0$, cioè $0 = 0$. \emph{Identità}: vera per ogni $x > 0$ (cioè tutto il dominio).

\textbf{Soluzione}: ogni $x > 0$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione apparentemente complessa]
$\log(x) + \log(x + 3) - \log(x + 1) = 1$.

\textbf{Dominio}: $x > 0$, $x + 3 > 0$, $x + 1 > 0 \Rightarrow x > 0$.

\textbf{Risoluzione}: $\log\dfrac{x(x+3)}{x+1} = 1 \Rightarrow \dfrac{x(x+3)}{x+1} = 10 \Rightarrow x^2 + 3 x = 10 x + 10 \Rightarrow x^2 - 7 x - 10 = 0$.

Quadratica: $x = (7 \pm \sqrt{49 + 40})/2 = (7 \pm \sqrt{89})/2$. Numericamente: $\sqrt{89} \approx 9.43$, $x_1 \approx 8.22$, $x_2 \approx -1.22$.

\textbf{Verifica dominio}: $x_1 > 0$ $\checkmark$; $x_2 < 0$ \textbf{scartata}. Soluzione: $x = (7 + \sqrt{89})/2 \approx 8.22$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Decadimento del segnale: trovare il tempo]
Un segnale radio si attenua secondo $P(t) = P_0 e^{-t/100}$ con $t$ in ms. Dopo quanto tempo l'intensità si riduce al $\num{1}\%$?

Imponendo $P/P_0 = 0.01$: $e^{-t/100} = 0.01 \Rightarrow -t/100 = \ln(0.01) = -\ln(100) \Rightarrow t = 100 \ln 100 = 200 \ln 10 \approx \num{460.5}$ ms.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con argomenti misti]
$\log(x + 3) = 1 + \log(x - 1)$. \textbf{Dominio}: $x > 1$.

Riscrivo $1 = \log 10$: $\log(x + 3) = \log 10 + \log(x - 1) = \log[10(x-1)]$. Iniettività: $x + 3 = 10 x - 10 \Rightarrow 9 x = 13 \Rightarrow x = 13/9 \approx 1.44$.

\textbf{Verifica}: $13/9 > 1$ $\checkmark$. Soluzione: $x = 13/9$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Equazione con doppio logaritmo]
$\log_2(\log_3 x) = 1$. \textbf{Dominio}: per $\log_2$ esterno servono argomento $> 0$, cioè $\log_3 x > 0 \Rightarrow x > 1$. Per $\log_3$ interno serve $x > 0$. Combinando: $x > 1$.

\textbf{Risoluzione}: $\log_3 x = 2^1 = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$.

\textbf{Verifica}: $x = 9 > 1$ $\checkmark$. Soluzione: $x = 9$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:el-006-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Equazioni elementari:
  \begin{enumerate}
    \item $\log_2 x = 4$;
    \item $\log_3 x = -2$;
    \item $\log(x - 5) = 1$;
    \item $\ln x = 0$;
    \item $\log_{1/2}(x + 1) = -3$.
  \end{enumerate}
  \item Equazioni con somma/differenza di logaritmi (\textbf{determinare prima il dominio}):
  \begin{enumerate}
    \item $\log_2 x + \log_2(x - 2) = 3$;
    \item $\log_3(x + 1) + \log_3(x - 1) = 1$;
    \item $\log(x + 2) - \log(x - 1) = 1$;
    \item $\log_2(x^2 - 4) - \log_2(x + 2) = 3$;
    \item $\log(x) + \log(x - 3) = 1$.
  \end{enumerate}
  \item Equazioni con cambio di base:
  \begin{enumerate}
    \item $\log_2 x + \log_4 x = 6$;
    \item $\log_3 x - \log_9 x = 2$;
    \item $\log_2 x \cdot \log_x 4 = 2$ (suggerimento: $\log_2 x \cdot \log_x 4 = \log_2 4 = 2$ \emph{sempre} per ogni $x > 0, x \ne 1$, quindi identità).
  \end{enumerate}
  \item Equazioni con sostituzione:
  \begin{enumerate}
    \item $\log^2 x - 4 \log x + 3 = 0$;
    \item $\log_3^2 x - 5 \log_3 x + 6 = 0$;
    \item $\log_2^2 x + \log_2 x - 2 = 0$;
    \item $2 \log^2 x - 3 \log x + 1 = 0$.
  \end{enumerate}
  \item Equazioni miste (esponenziali e logaritmiche):
  \begin{enumerate}
    \item $2^{\log_2 x} = 5$;
    \item $\log(2^x) = 3$;
    \item $e^{\ln(x + 1)} = 4$.
  \end{enumerate}
  \item Equazione con doppio logaritmo: $\log_3(\log_2 x) = 2$.
  \item Equazione apparentemente quadratica: $\log_2(x^2 - 4 x + 4) = \log_2(x - 2)$ (suggerimento: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, attenzione al dominio).
  \item Una sostanza radioattiva ha tempo di dimezzamento $T = 30$ giorni. Dopo quanto tempo si riduce al $1\%$?
  \item Un capitale al $\num{4}\%$ annuo deve raddoppiare. Dopo quanti anni? (Usare $\ln 2/\ln(\num{1.04})$.)
  \item Determinare per quali $x$ vale $\log_2 x + \log_x 2 = 2$.
  \item Risolvere $\log_3(x - 1) + \log_3(x + 1) - \log_3(x^2 - 1) = 0$ (suggerimento: prima determinare dominio, poi semplificare).
  \item Mostrare che $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ per ogni $a, b > 0, a \ne 1, b \ne 1$. (Identità del cambio di base.)
  \item Risolvere $\log_x 16 = 2$.
  \item Risolvere il sistema:
  \[
    \begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 3 \\ x - y = 2 \end{cases}
  \]
  \item Mostrare che l'equazione $\log x = x - 2$ ha esattamente due soluzioni, e localizzarle approssimativamente. (Suggerimento: $\log x$ cresce lentamente, $x - 2$ è una retta. Due intersezioni.)
  \item \emph{Sfida (numero di soluzioni)}. Per quali $a > 0$ l'equazione $\log_a x = x$ ha:
  \begin{enumerate}
    \item due soluzioni;
    \item una soluzione (tangenza);
    \item nessuna soluzione?
  \end{enumerate}
  (Risposta: il caso critico è quando $a = e^{1/e}$. Per $a > e^{1/e}$ nessuna soluzione, per $a = e^{1/e}$ tangenza, per $a < e^{1/e}$ due soluzioni.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:el-006-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Equazione logaritmica}: incognita all'argomento di un logaritmo.
  \item \emph{Equazione elementare}: $\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$ (con $f(x) > 0$).
  \item \emph{Iniettività del logaritmo}: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ (entrambi $> 0$).
  \item \emph{Condizioni di esistenza}: ogni argomento di $\log$ deve essere $> 0$. Sempre determinare il dominio \emph{prima} di risolvere, e verificare le soluzioni \emph{dopo}: alcune sono \emph{estranee} (formalmente algebricamente valide ma fuori dominio).
  \item \emph{Proprietà chiave}:
  \begin{itemize}
    \item $\log(xy) = \log x + \log y$,
    \item $\log(x/y) = \log x - \log y$,
    \item $\log(x^n) = n \log x$ (attenzione: per $\log(x^2) = 2 \log|x|$ se $x$ può essere $< 0$),
    \item Cambio di base: $\log_a x = \log_b x / \log_b a$.
  \end{itemize}
  \item \emph{Sostituzione $t = \log_a x$}: per equazioni con $\log^2 x$ e $\log x$. \textbf{Nessun vincolo} su $t$ (a differenza del caso esponenziale dove $t = a^x > 0$).
  \item \emph{Applicazioni}: tempo di decadimento, scala Richter dei terremoti ($M = \log_{10}(\text{intensità}/\text{riferimento})$), pH chimico ($-\log_{10}[\mathrm{H}^+]$), scala dei decibel in acustica.
  \item Nel prossimo capitolo (\ref{cap:EL-007}) le \emph{disequazioni esponenziali e logaritmiche}: stesse tecniche ma con attenzione al \emph{segno} (perché esponenziali/logaritmi sono monotoni crescenti per base $> 1$, decrescenti per base $< 1$).
\end{itemize}
\end{riepilogo}