\chapter{Disequazioni esponenziali e logaritmiche}\label{cap:EL-007}

\citazioneinizio{%
  Una funzione strettamente crescente conserva il verso delle disuguaglianze: se $u < v$ allora $f(u) < f(v)$. Una funzione strettamente decrescente lo rovescia: se $u < v$ allora $f(u) > f(v)$. Questa duplice possibilità è il fondamento per risolvere le disequazioni che coinvolgono funzioni monotone come l'esponenziale e il logaritmo.%
}{Augustin-Louis Cauchy, \emph{Cours d'analyse de l'École Polytechnique} (1821), traduzione adattata}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:el-007-01-introduzione-motivazionale}
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Una \emph{disequazione esponenziale o logaritmica} è una disequazione in cui l'incognita compare all'esponente di una potenza o all'argomento di un logaritmo. Esempi:
\[
  2^x > 8, \qquad \left(\frac{1}{3}\right)^x \le 9, \qquad \log_2(x - 1) > 1.
\]
La risoluzione segue le stesse strategie delle equazioni viste in \ref{cap:EL-005} e \ref{cap:EL-006} (riduzione alla stessa base, sostituzione, dominio per i logaritmi), \textbf{con una sola differenza cruciale}: nella disequazione, il \emph{verso} si conserva o si rovescia a seconda del segno della base.

\begin{formulabox}
\textbf{Regola d'oro}. Per ogni $a > 0$ con $a \ne 1$:
\begin{itemize}
  \item Se $a > 1$: $a^x$ è \emph{strettamente crescente}, $\log_a x$ è \emph{strettamente crescente}. Il verso si \textbf{conserva}.
  \item Se $0 < a < 1$: $a^x$ è \emph{strettamente decrescente}, $\log_a x$ è \emph{strettamente decrescente}. Il verso si \textbf{rovescia}.
\end{itemize}
\end{formulabox}

In tutto il resto del capitolo, questa regola tornerà ad ogni passaggio: \emph{sapere il verso della monotonia} è la mossa-chiave.

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\section{Disequazioni esponenziali}\label{sec:el-007-02-disequazioni-esponenziali}
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\begin{formulabox}
\textbf{Disequazione esponenziale fondamentale}. Per $a > 0, a \ne 1$:
\[
  a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) < g(x) & \text{se } a > 1 \\ f(x) > g(x) & \text{se } 0 < a < 1 \end{cases}
\]
\end{formulabox}

\textit{Idea}: la disuguaglianza fra esponenti si conserva se la base è $> 1$ (funzione crescente), si rovescia se la base è $< 1$ (funzione decrescente).

\subsection*{Esempi base}

\begin{esempio}[Base maggiore di 1, verso conservato]
$2^x > 8$. Riscrivo $8 = 2^3$: $2^x > 2^3$. Base $2 > 1$, verso conservato: $x > 3$.

\textbf{Soluzione}: $x > 3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Base minore di 1, verso rovesciato]
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > 8$. Riscrivo $8 = 2^3 = (1/2)^{-3}$: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$. Base $1/2 < 1$, verso \textbf{rovesciato}: $x < -3$.

\textbf{Soluzione}: $x < -3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione con uguaglianza]
$3^{2x-1} \ge 27$. Riscrivo $27 = 3^3$: $2x - 1 \ge 3$ (base $> 1$). Quindi $x \ge 2$.
\end{esempio}

\subsection*{Disequazione con uso del logaritmo}

\begin{esempio}[$2^x > 5$ con logaritmo]
$2^x > 5$. Applicando $\log_2$ (crescente): $x > \log_2 5 \approx \num{2.322}$.

\emph{Attenzione al verso del logaritmo}: $\log_a$ è crescente per $a > 1$ (conserva il verso), decrescente per $a < 1$ (lo rovescia). Per $\log_2$ ($\log$ naturale, $\log_{10}$, ecc., tutti con base $> 1$) il verso si conserva.
\end{esempio}

\subsection*{Sostituzione con disequazione}

\begin{esempio}[Disequazione quadratica esponenziale]
$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \le 0$. Pongo $t = 2^x > 0$: $t^2 - 5 t + 4 \le 0 \iff (t-1)(t-4) \le 0 \iff 1 \le t \le 4$.

Quindi $1 \le 2^x \le 4 \iff 0 \le x \le 2$.

\textbf{Soluzione}: $x \in [0, 2]$.
\end{esempio}

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\section{Disequazioni logaritmiche}\label{sec:el-007-03-disequazioni-logaritmiche}
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\begin{formulabox}
\textbf{Disequazione logaritmica fondamentale}. Per $a > 0, a \ne 1$ e $f, g > 0$:
\[
  \log_a f(x) < \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) & \text{se } a > 1 \\ f(x) > g(x) & \text{se } 0 < a < 1 \end{cases}
\]
\textbf{Sempre} con la condizione preliminare $f(x) > 0$ \emph{e} $g(x) > 0$ (dominio).
\end{formulabox}

\subsection*{Procedura}

\begin{procedura}[Disequazione logaritmica]
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Determinare il dominio}: ogni argomento di $\log$ presente \emph{deve} essere $> 0$. Sistema di disequazioni preliminari.
  \item \textbf{Riscrivere} l'equivalente disequazione algebrica, conservando o rovesciando il verso a seconda della base.
  \item \textbf{Intersecare} con il dominio.
\end{enumerate}
\end{procedura}

\begin{esempio}[Disequazione logaritmica con base $> 1$]
$\log_2(x - 1) > 3$.

\textbf{Dominio}: $x - 1 > 0 \iff x > 1$.

\textbf{Risoluzione}: $\log_2(x-1) > 3 \iff \log_2(x-1) > \log_2 8 \iff x - 1 > 8$ (base $> 1$, verso conservato) $\iff x > 9$.

\textbf{Intersezione con dominio}: $x > 9$. (Già contenuta in $x > 1$.)

\textbf{Soluzione}: $x > 9$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione logaritmica con base $< 1$]
$\log_{1/2}(x - 1) > 3$.

\textbf{Dominio}: $x > 1$.

\textbf{Risoluzione}: $\log_{1/2}(x-1) > \log_{1/2}(1/8)$. Base $< 1$, verso \textbf{rovesciato}: $x - 1 < 1/8 \iff x < 9/8$.

\textbf{Intersezione con dominio}: $1 < x < 9/8$.

\textbf{Soluzione}: $x \in (1, 9/8)$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione con somma di logaritmi]
$\log(x) + \log(x - 3) > 1$.

\textbf{Dominio}: $x > 0$ e $x - 3 > 0 \iff x > 3$.

\textbf{Risoluzione}: $\log[x(x-3)] > \log 10 \iff x(x-3) > 10$ (base $10 > 1$) $\iff x^2 - 3 x - 10 > 0$.

Quadratica: $x^2 - 3x - 10 = 0 \iff x = (3 \pm \sqrt{49})/2 = (3 \pm 7)/2 \iff x = 5$ o $x = -2$. La parabola è positiva all'esterno delle radici: $x < -2$ o $x > 5$.

\textbf{Intersezione con dominio $x > 3$}: $x > 5$.

\textbf{Soluzione}: $x > 5$.
\end{esempio}

\subsection*{Disequazioni con logaritmi ``muti''}

\begin{esempio}[Disequazione con logaritmo $\le 0$]
$\log(x^2 + 1) \le 0$. \textbf{Dominio}: $x^2 + 1 > 0$ \emph{sempre}, dunque $x \in \R$.

\textbf{Risoluzione}: $\log(x^2 + 1) \le 0 \iff x^2 + 1 \le 1 \iff x^2 \le 0 \iff x = 0$.

\textbf{Soluzione}: $x = 0$ (singolo punto, in cui vale l'uguaglianza).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione con $\log$ di base $> 1$ e logaritmo negativo a destra]
$\ln(x + 3) > -1$.

\textbf{Dominio}: $x + 3 > 0 \iff x > -3$.

\textbf{Risoluzione}: $\ln(x + 3) > -1 \iff x + 3 > e^{-1} = 1/e \iff x > 1/e - 3 \approx \num{-2.632}$.

\textbf{Intersezione con dominio}: $1/e - 3 < x$. Poiché $1/e - 3 \approx -2.632 > -3$, l'intersezione è $x > 1/e - 3$.

\textbf{Soluzione}: $x > 1/e - 3$.
\end{esempio}

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\section{Sistemi misti}\label{sec:el-007-04-sistemi-misti}
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Un \emph{sistema misto} contiene più disequazioni esponenziali e/o logaritmiche. Si risolvono separatamente e si interseca.

\begin{esempio}[Sistema con due disequazioni]
$\begin{cases} 2^x > 8 \\ \log_3 x \le 2 \end{cases}$.

\textbf{Prima disequazione}: $2^x > 2^3 \iff x > 3$.

\textbf{Seconda disequazione}: dominio $x > 0$. $\log_3 x \le \log_3 9 \iff x \le 9$ (base $> 1$). Intersezione: $0 < x \le 9$.

\textbf{Intersezione del sistema}: $3 < x \le 9$.

\textbf{Soluzione}: $x \in (3, 9]$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione con valore assoluto e log]
$|\log_2 x - 1| < 2$. \textbf{Dominio}: $x > 0$.

$|\log_2 x - 1| < 2 \iff -2 < \log_2 x - 1 < 2 \iff -1 < \log_2 x < 3 \iff 2^{-1} < x < 2^3 \iff 1/2 < x < 8$.

\textbf{Soluzione}: $x \in (1/2, 8)$.
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:el-007-05-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Disequazione fratta esponenziale]
$\dfrac{3^x - 9}{2^x - 8} \ge 0$.

\textbf{Segno del numeratore}: $3^x - 9 \ge 0 \iff 3^x \ge 9 \iff x \ge 2$.

\textbf{Segno del denominatore}: $2^x - 8 > 0 \iff x > 3$ (strettamente, perché $\ne 0$).

Tabella dei segni:
\[
\begin{array}{c|ccccc}
 & & 2 & & 3 & \\ \hline
3^x - 9 & - & 0 & + & + & + \\
2^x - 8 & - & - & - & 0 & + \\ \hline
\text{quoziente} & + & 0 & - & \nexists & +
\end{array}
\]
\textbf{Soluzione}: $x \le 2$ o $x > 3$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione con sostituzione: caso negativo]
$9^x - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$. Pongo $t = 3^x > 0$: $t^2 - 4 t + 3 \le 0 \iff (t-1)(t-3) \le 0 \iff 1 \le t \le 3$.

$1 \le 3^x \le 3 \iff 3^0 \le 3^x \le 3^1 \iff 0 \le x \le 1$.

\textbf{Soluzione}: $x \in [0, 1]$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Disequazione logaritmica fratta]
$\dfrac{\log(x - 1)}{\log(x + 1)} < 1$.

\textbf{Dominio}: $x - 1 > 0$, $x + 1 > 0$, e $\log(x+1) \ne 0 \iff x + 1 \ne 1$, cioè $x \ne 0$. Combinato: $x > 1$.

\textbf{Risoluzione}: per $x > 1$, $\log(x + 1) > \log 2 > 0$. Quindi posso moltiplicare per $\log(x+1)$ senza cambiare verso: $\log(x-1) < \log(x+1) \iff x - 1 < x + 1$, vero per ogni $x$. \emph{Soluzione di questa parte}: $x > 1$ (tutto il dominio).

\textbf{Soluzione}: $x > 1$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Confronto fra esponenziali]
Determinare quando $2^x > 3^{x-1}$.

Applico $\ln$: $x \ln 2 > (x - 1) \ln 3 \iff x \ln 2 - x \ln 3 > -\ln 3 \iff x(\ln 2 - \ln 3) > -\ln 3$.

$\ln 2 - \ln 3 < 0$ (perché $2 < 3$), quindi dividendo per $(\ln 2 - \ln 3)$ \textbf{cambio il verso}:
\[
  x < \frac{-\ln 3}{\ln 2 - \ln 3} = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} = \frac{\ln 3}{\ln(3/2)} \approx \frac{\num{1.0986}}{\num{0.4055}} \approx \num{2.71}.
\]
\textbf{Soluzione}: $x < \log_{3/2} 3 \approx 2.71$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quando dimezzare il decadimento è meglio del logaritmo decimale]
Per un radioisotopo con $T_{1/2} = 100$ anni, in quanti anni la massa si riduce sotto l'$1\%$?

$N(t)/N_0 = (1/2)^{t/100} < 0.01 \iff t/100 \log_2(1/2) < \log_2(0.01) \iff -t/100 < \log_2(0.01) = -\log_2(100) \iff t > 100 \log_2 100 \approx 100 \cdot \num{6.64} = 664$ anni.

\emph{Lezione}: per ridurre al $1\%$ servono circa $6.6$ tempi di dimezzamento (perché $\log_2 100 \approx 6.64$). \emph{Regola pratica}: dopo $7$ tempi di dimezzamento, la sostanza è praticamente sparita ($1/128 \approx 0.78\%$).
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quando il capitale a interesse composto supera una soglia]
Capitale iniziale $\num{1000}$~euro al tasso $\num{3}\%$ annuo. Quando supera $\num{5000}$~euro?

$1000 (\num{1.03})^t > 5000 \iff (\num{1.03})^t > 5 \iff t \ln(\num{1.03}) > \ln 5 \iff t > \ln 5 / \ln(\num{1.03}) \approx \num{1.609}/\num{0.0296} \approx \num{54.4}$ anni.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:el-007-06-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Disequazioni esponenziali, base $> 1$ (verso conservato):
  \begin{enumerate}
    \item $2^x > 16$;
    \item $3^{x-1} \le 81$;
    \item $5^{2x} > 5^{x+3}$;
    \item $e^x > 1$;
    \item $2^{x^2 - 4} \le 1$.
  \end{enumerate}
  \item Disequazioni esponenziali, base $< 1$ (verso rovesciato):
  \begin{enumerate}
    \item $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > 4$;
    \item $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1} \le \dfrac{1}{27}$;
    \item $0.5^x < 0.0625$.
  \end{enumerate}
  \item Disequazioni esponenziali con sostituzione:
  \begin{enumerate}
    \item $4^x - 3 \cdot 2^x + 2 \le 0$;
    \item $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \ge 0$;
    \item $4^x - 5 \cdot 2^{x+1} + 16 \ge 0$.
  \end{enumerate}
  \item Disequazioni logaritmiche, base $> 1$:
  \begin{enumerate}
    \item $\log_2(x - 1) < 3$;
    \item $\log(x + 1) \ge 0$;
    \item $\ln(2 x - 3) > 0$;
    \item $\log_2 x + \log_2(x + 6) > 4$.
  \end{enumerate}
  \item Disequazioni logaritmiche, base $< 1$:
  \begin{enumerate}
    \item $\log_{1/2}(x - 3) \le 2$;
    \item $\log_{1/3}(x + 1) > -1$;
    \item $\log_{0.1} x \le 2$.
  \end{enumerate}
  \item Disequazioni con sostituzione logaritmica:
  \begin{enumerate}
    \item $\log^2 x - 3 \log x + 2 \le 0$;
    \item $\log_3^2 x - 4 \log_3 x + 3 > 0$.
  \end{enumerate}
  \item Sistemi:
  \begin{enumerate}
    \item $\begin{cases} 3^x > 1/9 \\ \log_2 x \le 3 \end{cases}$;
    \item $\begin{cases} 2^x < 16 \\ \log(x - 1) > 0 \end{cases}$.
  \end{enumerate}
  \item Disequazioni con valore assoluto:
  \begin{enumerate}
    \item $|2^x - 4| \le 4$;
    \item $|\log x| > 1$.
  \end{enumerate}
  \item Una sostanza si decompone con tempo di dimezzamento $\num{50}$ giorni. Quando è ridotta sotto:
  \begin{enumerate}
    \item il $\num{10}\%$?
    \item l'$\num{1}\%$?
    \item lo $\num{0.1}\%$?
  \end{enumerate}
  \item Un investimento al $\num{5}\%$ annuo capitalizzato. Quando supera il triplo del capitale iniziale?
  \item Per quale $x$ vale $3^x > 2^{x+2}$? (Logaritmo a entrambi i membri.)
  \item Mostrare che la disequazione $2^x + 3^x > 5^x$ vale per ogni $x \in \R$ (suggerimento: dividere per $5^x$ e analizzare).
  \item Per quale $x$ vale $\ln(x^2 - 1) < \ln(x + 1)$? (Attenzione al dominio.)
  \item Per quale $x$ vale $\log(x^2) > 2 \log(x - 1)$? (Attenzione: $\log x^2 = 2 \log|x|$, dominio $x > 0$.)
  \item Determinare il dominio della funzione $f(x) = \log(x^2 - 3 x + 2) - \log(x - 1)$.
  \item \emph{Sfida (paradosso del decadimento)}. Una sostanza si dimezza ogni $T$ giorni. Calcolare il tempo necessario perché si dimezzi $10$ volte (cioè si riduca a $1/2^{10} \approx 0.001$). Confrontare con il tempo per ridursi all'$1\%$ ($\approx 6.6 T$): perché ridurla di un altro fattore $10$ richiede ``solo'' $\approx 3 T$ in più? \emph{Interpretazione}: il decadimento esponenziale non rallenta, ma noi misuriamo in scale di tempo (ordini di grandezza). Il logaritmo trasforma scale moltiplicative in scale additive.
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:el-007-07-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Regola d'oro}: se la base è $> 1$, l'esponenziale e il logaritmo sono \emph{crescenti}, il verso si \textbf{conserva}; se la base è $< 1$, sono \emph{decrescenti}, il verso si \textbf{rovescia}.
  \item \emph{Disequazione esponenziale fondamentale}:
  \[
    a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) < g(x) & a > 1 \\ f(x) > g(x) & 0 < a < 1 \end{cases}
  \]
  \item \emph{Disequazione logaritmica fondamentale}:
  \[
    \log_a f(x) < \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) & a > 1 \\ f(x) > g(x) & 0 < a < 1 \end{cases}
  \]
  \textbf{Sempre} con dominio $f > 0$ e $g > 0$ verificato \emph{prima}.
  \item \emph{Disequazioni con sostituzione}: $t = a^x$ (con $t > 0$!) o $t = \log_a x$ ($t \in \R$) riducono a disequazioni algebriche.
  \item \emph{Applicazione di logaritmo a una disequazione esponenziale}: applicare $\log_a$ con $a > 1$ conserva il verso; $\log_a$ con $a < 1$ lo rovescia.
  \item \emph{Sistemi misti}: si risolve ciascuna disequazione, si interseca alla fine con tutti i dominî.
  \item \emph{Applicazioni pratiche}: tempo di decadimento, capitalizzazione composta, scala dB acustica, scala pH chimica, scala Richter sismica.
  \item Con questo capitolo si chiude la sezione \emph{Esponenziali e Logaritmi} (EL-001..007). Nei prossimi capitoli iniziamo la sezione di \emph{Goniometria} (\ref{cap:GO-001}--\ref{cap:GO-015}), centrale per la classe 4ª.
\end{itemize}
\end{riepilogo}