\chapter{Piano cartesiano: distanza tra punti e punto medio}\label{cap:GA-001}

\citazioneinizio{%
  Tutti i problemi della geometria possono essere ricondotti a una forma tale che è sufficiente conoscere la lunghezza di certi segmenti per costruirli.%
}{René Descartes, \emph{La Géométrie} (1637)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ga-001-01-introduzione-motivazionale}
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Nel 1637 René Descartes pubblicò \emph{La Géométrie} come appendice al \emph{Discours de la méthode}. In poche decine di pagine cambiò per sempre la matematica: introdusse l'idea — per noi oggi così naturale da sembrare banale — che ogni \emph{punto del piano} si possa identificare con una \emph{coppia di numeri reali}. Lo stesso anno, indipendentemente, Pierre de Fermat sviluppò un'idea simile, ma fu il sistema di Cartesio a imporsi.

Da quel momento, la geometria, che per due millenni aveva parlato la lingua di Euclide (postulati, costruzioni con riga e compasso, dimostrazioni puramente sintetiche), poté essere ``tradotta'' nel linguaggio dell'algebra: ogni punto $\leftrightarrow$ una coppia di numeri, ogni retta $\leftrightarrow$ un'equazione, ogni curva $\leftrightarrow$ una relazione tra coordinate. Problemi geometrici complessi (intersezioni, distanze, tangenze) diventarono manipolazioni algebriche calcolabili in modo meccanico.

Questo \textbf{ponte tra algebra e geometria} è la \emph{geometria analitica}, ed è quello che studiamo in questa parte del corso. Il prezzo da pagare è il bagaglio algebrico (equazioni, sistemi, disequazioni); il guadagno è la possibilità di trattare in modo unitario rette, parabole, circonferenze, ellissi, iperboli, e — più avanti — curve di qualsiasi forma.

In questo primo capitolo gettiamo le fondamenta: stabiliamo il sistema di coordinate, definiamo la \emph{distanza} tra due punti (che è semplicemente il teorema di Pitagora ``analitico'', \ref{cap:GE-014}), il \emph{punto medio} di un segmento, il \emph{baricentro} di un triangolo, e una formula generale per l'\emph{area di un poligono} note solo le coordinate dei suoi vertici. Tutto da qui in poi (\ref{cap:GA-002} retta, \ref{cap:GA-006} parabola, \ref{cap:GA-007} circonferenza, \ldots) si appoggia su queste poche formule.

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\section{Sistema di coordinate cartesiane}\label{sec:ga-001-01-sistema-di-coordinate-cartesiane}
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\begin{definizione}[Sistema di riferimento cartesiano]
Un \textbf{sistema di riferimento cartesiano ortogonale} nel piano è una coppia di rette orientate, \emph{perpendicolari} tra loro, dotate ciascuna della stessa unità di misura. Le due rette si chiamano \emph{assi} e si denotano abitualmente:
\begin{itemize}
  \item asse delle \emph{ascisse} o asse $x$ (orizzontale, orientato verso destra);
  \item asse delle \emph{ordinate} o asse $y$ (verticale, orientato verso l'alto).
\end{itemize}
Il punto di incontro dei due assi si chiama \textbf{origine} e si indica con $O$.
\end{definizione}

\begin{definizione}[Coordinate di un punto]
Dato un punto $P$ del piano, si dicono sue \emph{coordinate cartesiane} la coppia ordinata di numeri reali $(x_P, y_P)$ ottenuta come segue:
\begin{itemize}
  \item $x_P$ è l'\emph{ascissa}: numero reale che corrisponde alla proiezione perpendicolare di $P$ sull'asse $x$;
  \item $y_P$ è l'\emph{ordinata}: numero reale che corrisponde alla proiezione perpendicolare di $P$ sull'asse $y$.
\end{itemize}
Scriviamo $P(x_P, y_P)$ o $P = (x_P, y_P)$.
\end{definizione}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  % Assi
  \draw[->, thick] (-3.2, 0) -- (3.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, thick] (0, -2.5) -- (0, 3.0) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0, 0) {$O$};
  % Tacche
  \foreach \x in {-3, -2, -1, 1, 2, 3} \draw (\x, 0.05) -- (\x, -0.05) node[below, font=\scriptsize] {$\x$};
  \foreach \y in {-2, -1, 1, 2} \draw (0.05, \y) -- (-0.05, \y) node[left, font=\scriptsize] {$\y$};
  % Punto P(2.5, 1.5)
  \filldraw[BLU] (2.5, 1.5) circle (2pt) node[above right, BLU] {$P(2.5,\,1.5)$};
  \draw[dashed, BLU!60] (2.5, 0) -- (2.5, 1.5) -- (0, 1.5);
  % Punto Q(-2, -1.5)
  \filldraw[ROSSO] (-2, -1.5) circle (2pt) node[below left, ROSSO] {$Q(-2,\,-1.5)$};
  \draw[dashed, ROSSO!60] (-2, 0) -- (-2, -1.5) -- (0, -1.5);
  % Quadranti
  \node[GRIGIO] at (2.7, 2.5) {\textsc{I}};
  \node[GRIGIO] at (-2.7, 2.5) {\textsc{II}};
  \node[GRIGIO] at (-2.7, -2.2) {\textsc{III}};
  \node[GRIGIO] at (2.7, -2.2) {\textsc{IV}};
\end{tikzpicture}
\caption{Sistema di assi cartesiani ortogonali. Il punto $P(2.5, 1.5)$ è nel I quadrante (entrambe le coordinate positive); $Q(-2, -1.5)$ nel III (entrambe negative). Le linee tratteggiate mostrano le proiezioni di un punto sui due assi.}
\label{fig:ga-001-assi}
\end{figure}

\begin{nota}[Quadranti]
Gli assi dividono il piano in $4$ regioni dette \emph{quadranti}, numerati in senso antiorario partendo dal quadrante in alto a destra:
\begin{itemize}
  \item I quadrante: $x > 0$, $y > 0$;
  \item II quadrante: $x < 0$, $y > 0$;
  \item III quadrante: $x < 0$, $y < 0$;
  \item IV quadrante: $x > 0$, $y < 0$.
\end{itemize}
\emph{Casi particolari}: i punti dell'asse $x$ hanno ordinata nulla — $P(x, 0)$; i punti dell'asse $y$ hanno ascissa nulla — $P(0, y)$; l'origine è $O(0, 0)$.
\end{nota}

\begin{nota}[Corrispondenza biunivoca punti--coppie]
La corrispondenza ``punto del piano $\leftrightarrow$ coppia ordinata $(x, y)\in\R^2$'' è \emph{biunivoca}: a ogni punto corrisponde una sola coppia e viceversa. Questa è la traduzione algebrica della geometria, e identifica il piano euclideo con $\R^2$.

Tutto quello che segue — distanze, rette, curve, intersezioni — è ottenuto sfruttando questa identificazione: passare da ``problema geometrico nel piano'' a ``problema algebrico in $\R^2$'' e viceversa.
\end{nota}

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\section{Distanza tra due punti}\label{sec:ga-001-02-distanza-tra-due-punti}
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\begin{teorema}[Distanza tra due punti]
Siano $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ due punti del piano cartesiano. La loro distanza è
\[
  d(A, B) = \overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Consideriamo il punto $C(x_B, y_A)$: ha la stessa ascissa di $B$ e la stessa ordinata di $A$. Il triangolo $ABC$ è \emph{rettangolo} in $C$ (perché $AC$ è parallelo all'asse $x$ e $BC$ all'asse $y$). I due cateti hanno lunghezze
\[
  \overline{AC} = |x_B - x_A|,\qquad \overline{BC} = |y_B - y_A|.
\]
Applicando il teorema di Pitagora (\ref{cap:GE-014}):
\[
  \overline{AB}^{\,2} = \overline{AC}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} = (x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2,
\]
da cui la formula. (Nei quadrati le barre del valore assoluto sono superflue: $|x|^2 = x^2$.)

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, thin] (-0.5, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, thin] (0, -0.5) -- (0, 4) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0, 0) {$O$};
  % Punti A, B, C
  \filldraw[BLU] (1, 1) circle (2pt) node[below left, BLU] {$A$};
  \filldraw[BLU] (4.5, 3) circle (2pt) node[above right, BLU] {$B$};
  \filldraw[ROSSO] (4.5, 1) circle (2pt) node[below right, ROSSO] {$C(x_B, y_A)$};
  % Lati
  \draw[thick, BLU] (1, 1) -- (4.5, 3);
  \draw[ROSSO] (1, 1) -- (4.5, 1);
  \draw[ROSSO] (4.5, 1) -- (4.5, 3);
  % angolo retto
  \draw[ROSSO] (4.3, 1) -- (4.3, 1.2) -- (4.5, 1.2);
  % Etichette dei cateti
  \node[below, ROSSO!80!black] at (2.75, 1) {$x_B - x_A$};
  \node[right, ROSSO!80!black] at (4.5, 2) {$y_B - y_A$};
  \node[above left, BLU] at (2.75, 2) {$\overline{AB}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Distanza tra due punti: $\overline{AB}$ è l'ipotenusa del triangolo rettangolo con cateti orizzontale e verticale di lunghezze $|x_B-x_A|$ e $|y_B-y_A|$. Pitagora dà la formula.}
\label{fig:ga-001-distanza}
\end{figure}

\begin{nota}[Casi particolari]
\begin{itemize}
  \item Se $A$ e $B$ hanno la \emph{stessa ordinata} ($y_A = y_B$): il segmento è \emph{orizzontale} e $\overline{AB} = |x_B - x_A|$.
  \item Se $A$ e $B$ hanno la \emph{stessa ascissa} ($x_A = x_B$): il segmento è \emph{verticale} e $\overline{AB} = |y_B - y_A|$.
  \item \emph{Distanza dall'origine}: per $P(x, y)$,
        \[
          \overline{OP} = \sqrt{x^2 + y^2}.
        \]
\end{itemize}
\end{nota}

\begin{esempio}[Distanza tra due punti]
$A(2, 3)$, $B(5, 7)$:
\[
  \overline{AB} = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Coordinate negative]
$A(-3, 2)$, $B(4, -1)$:
\[
  \overline{AB} = \sqrt{(4-(-3))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}.
\]
\end{esempio}

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\section{Punto medio di un segmento}\label{sec:ga-001-03-punto-medio-di-un-segmento}
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\begin{teorema}[Punto medio]
Il punto medio $M$ del segmento di estremi $A(x_A, y_A)$ e $B(x_B, y_B)$ ha coordinate
\[
  M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right).
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  x_M = \frac{x_A + x_B}{2},\qquad y_M = \frac{y_A + y_B}{2}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Proiettiamo $A, B, M$ sull'asse $x$. Le proiezioni sono $A'(x_A, 0)$, $B'(x_B, 0)$, $M'(x_M, 0)$. Per il teorema di Talete (\ref{cap:GE-016}), la proiezione del punto medio è il punto medio delle proiezioni: quindi $x_M = (x_A + x_B)/2$. Analogo ragionamento sulla proiezione sull'asse $y$.

\begin{esempio}[Punto medio]
$A(-1, 4)$, $B(5, -2)$:
\[
  M = \left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{4+(-2)}{2}\right) = (2, 1).
\]
\end{esempio}

\begin{nota}[Problema inverso: trovare un estremo]
Data una coppia (estremo, punto medio), è facile ricavare l'altro estremo: dalla formula $x_M = (x_A+x_B)/2$ segue $x_B = 2x_M - x_A$, e analogamente $y_B = 2y_M - y_A$. Esempio: $A(2,3)$, $M(5,1)$, allora $B = (2\cdot 5 - 2,\ 2\cdot 1 - 3) = (8, -1)$.
\end{nota}

\begin{esempio}[Verifica con la distanza]
Se $M$ è il punto medio di $\overline{AB}$, allora $\overline{AM} = \overline{MB} = \overline{AB}/2$. Per $A(0,0)$, $B(6,8)$: $M = (3, 4)$. Distanze: $\overline{AM} = \sqrt{9+16}=5$, $\overline{MB} = \sqrt{9+16}=5$, $\overline{AB} = \sqrt{36+64} = 10$. \checkmark
\end{esempio}

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\section{Baricentro di un triangolo}\label{sec:ga-001-04-baricentro-di-un-triangolo}
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\begin{definizione}[Baricentro]
Il \textbf{baricentro} $G$ di un triangolo $ABC$ è il punto di intersezione delle tre \emph{mediane} (segmenti che congiungono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto).
\end{definizione}

\begin{teorema}[Coordinate del baricentro]
Il baricentro $G$ del triangolo di vertici $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$ ha coordinate
\[
  G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\ \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right).
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  x_G = \frac{x_A+x_B+x_C}{3},\qquad y_G = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (idea).} Si dimostra in geometria euclidea che il baricentro divide ogni mediana in rapporto $2:1$ a partire dal vertice (proprietà $2:1$ del baricentro). Sia $M_A$ il punto medio del lato $BC$: $M_A = ((x_B+x_C)/2,\ (y_B+y_C)/2)$. Il baricentro $G$ è sul segmento $AM_A$, a distanza $2/3$ da $A$:
\[
  G = A + \tfrac{2}{3}(M_A - A) = \tfrac{1}{3}A + \tfrac{2}{3}M_A.
\]
Sostituendo:
\[
  x_G = \tfrac{1}{3}x_A + \tfrac{2}{3}\cdot \tfrac{x_B+x_C}{2} = \tfrac{x_A + x_B + x_C}{3},
\]
e analogamente per $y_G$.

\begin{nota}[Media aritmetica delle coordinate]
La formula del baricentro è semplicemente la \emph{media aritmetica} delle coordinate dei vertici. Si generalizza al baricentro di un poligono di $n$ vertici (purché si tratti del baricentro \emph{geometrico delle masse puntiformi uguali ai vertici}, non del baricentro dell'area piena):
\[
  G = \left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\ \frac{y_1+y_2+\cdots+y_n}{n}\right).
\]
\end{nota}

\begin{esempio}[Baricentro di un triangolo]
$A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(3, 6)$:
\[
  G = \left(\frac{0+6+3}{3},\ \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2).
\]
(Il triangolo è isoscele; il baricentro è sull'asse di simmetria.)
\end{esempio}

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\section{Area di un poligono nel piano cartesiano}\label{sec:ga-001-05-area-di-un-poligono-nel-piano-cartesiano}
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Per calcolare l'area di un triangolo o di un poligono note solo le coordinate dei vertici, possiamo applicare la \emph{formula della scarpa} (in inglese \emph{shoelace}, dal modo in cui si calcola intrecciando le coordinate, come i lacci di una scarpa). È dovuta nella forma generale a Gauss (1795) ed è uno degli strumenti più potenti della geometria analitica elementare.

\begin{teorema}[Area di un triangolo dalle coordinate dei vertici]
Sia $T$ il triangolo di vertici $A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C)$. La sua area vale
\[
  \mathrm{Area}(T) = \frac{1}{2}\,\bigl|\,x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\,\bigr|.
\]
Equivalentemente, in forma di determinante:
\[
  \mathrm{Area}(T) = \frac{1}{2}\,\left|\det\!\begin{pmatrix} x_B - x_A & y_B - y_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A \end{pmatrix}\right|.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \mathrm{Area}(T) = \tfrac{1}{2}\bigl|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)\bigr|.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (idea).} Si traslano i tre vertici portando $A$ nell'origine: i nuovi vertici sono $A'(0,0)$, $B'(x_B-x_A, y_B-y_A)$, $C'(x_C-x_A, y_C-y_A)$. L'area di un triangolo di vertici $O, B', C'$ è
\[
  \tfrac{1}{2}|x_{B'} \cdot y_{C'} - x_{C'}\cdot y_{B'}|,
\]
formula che si ricava da $\mathrm{Area} = b\cdot h/2$ con un calcolo diretto (oppure dalla formula del prodotto vettoriale di due vettori, anticipata qui). Sviluppando l'espressione si ottiene la forma simmetrica nei tre vertici dell'enunciato.

\begin{nota}[Caso generale: poligono di $n$ vertici]
Per un poligono $P_1 P_2 \cdots P_n$ con vertici elencati nell'\emph{ordine ciclico} (ad es.\ antiorario), la formula della scarpa generale dà:
\[
  \mathrm{Area} = \frac{1}{2}\,\biggl|\sum_{i=1}^{n}(x_i \cdot y_{i+1} - x_{i+1}\cdot y_i)\biggr|,
\]
dove gli indici si intendono ciclici (cioè $P_{n+1} = P_1$). Il valore assoluto rende il risultato indipendente dal verso di percorrenza.
\end{nota}

\begin{esempio}[Area di un triangolo]
Vertici $A(1, 1), B(5, 2), C(3, 6)$:
\[
  \mathrm{Area} = \tfrac{1}{2}|1\cdot (2-6) + 5\cdot (6-1) + 3\cdot (1-2)| = \tfrac{1}{2}|-4 + 25 - 3| = \tfrac{18}{2} = 9.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di un quadrilatero]
Vertici (in ordine antiorario): $P_1(0,0), P_2(4,0), P_3(5,3), P_4(1,4)$.

Calcolo i termini $x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i$:
\begin{align*}
  & x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\cdot 0 - 4\cdot 0 = 0, \\
  & x_2 y_3 - x_3 y_2 = 4\cdot 3 - 5\cdot 0 = 12, \\
  & x_3 y_4 - x_4 y_3 = 5\cdot 4 - 1\cdot 3 = 17, \\
  & x_4 y_1 - x_1 y_4 = 1\cdot 0 - 0\cdot 4 = 0.
\end{align*}
Somma: $0+12+17+0 = 29$. Area = $29/2 = 14.5$.
\end{esempio}

\begin{attenzione}[Allineamento dei vertici]
Se i tre punti $A, B, C$ sono \emph{allineati} (cioè giacciono sulla stessa retta), il triangolo $ABC$ degenera in un segmento e ha area zero. La formula della scarpa lo cattura naturalmente: $\mathrm{Area}(ABC) = 0 \iff A, B, C$ allineati. Questo è anche il \emph{test di allineamento} di tre punti in geometria analitica.
\end{attenzione}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ga-001-07-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Triangolo isoscele -- verifica]
Verificare che il triangolo di vertici $A(0, 0), B(4, 0), C(2, 3)$ è isoscele.

\textit{Soluzione.}
\[
  \overline{AC} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13},\quad
  \overline{BC} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13},\quad
  \overline{AB} = 4.
\]
$\overline{AC} = \overline{BC}$: isoscele sulla base $AB$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo equilatero?]
Verificare se il triangolo $A(0, 0), B(2, 0), C(1, \sqrt{3})$ è equilatero.

\textit{Soluzione.}
\[
  \overline{AB} = 2,\quad \overline{AC} = \sqrt{1+3} = 2,\quad \overline{BC} = \sqrt{1+3} = 2.
\]
Tutti uguali: equilatero.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo rettangolo: verifica]
Verificare che il triangolo $A(1, 1), B(5, 1), C(1, 4)$ è rettangolo.

\textit{Soluzione.}
\[
  \overline{AB}^2 = 16,\quad \overline{AC}^2 = 9,\quad \overline{BC}^2 = 16 + 9 = 25.
\]
$\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline{BC}^2$: rettangolo (inverso di Pitagora, \ref{cap:GE-014}), con ipotenusa $BC$ e angolo retto in $A$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Mediana e baricentro]
Triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(0, 6)$. Trovare il punto medio $M$ di $BC$, la mediana $AM$ e il baricentro $G$.

\textit{Soluzione.}
\[
  M = \left(\tfrac{6+0}{2}, \tfrac{0+6}{2}\right) = (3, 3),\qquad
  G = \left(\tfrac{0+6+0}{3}, \tfrac{0+0+6}{3}\right) = (2, 2).
\]
Verifica del rapporto $2:1$: $G$ deve dividere $AM$ in rapporto $2:1$ a partire da $A$. Componenti: $\overline{AG} = \sqrt{8}$, $\overline{AM} = \sqrt{18}$. Rapporto $\overline{AG}/\overline{AM} = \sqrt{8/18} = 2/3$. \checkmark
\end{esempio}

\begin{esempio}[Area di un triangolo]
Vertici $A(-2, 1), B(3, 4), C(2, -3)$. Calcolare l'area.

\textit{Soluzione.}
\[
  \mathrm{Area} = \tfrac{1}{2}|(-2)(4-(-3)) + 3(-3-1) + 2(1-4)| = \tfrac{1}{2}|-14 - 12 - 6| = \tfrac{32}{2} = 16.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quattro punti allineati?]
Stabilire se i punti $P(1,2), Q(3,6), R(5,10)$ sono allineati.

\textit{Soluzione.} Usiamo il test di allineamento: il triangolo $PQR$ deve avere area zero.
\[
  \mathrm{Area} = \tfrac{1}{2}|1(6-10) + 3(10-2) + 5(2-6)| = \tfrac{1}{2}|-4 + 24 - 20| = 0.
\]
Sì, allineati.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Punto sul piano cartesiano dato un vincolo]
Trovare i punti dell'asse $x$ che distano $5$ unità dal punto $A(2, 4)$.

\textit{Soluzione.} Un punto sull'asse $x$ ha la forma $P(x, 0)$. La condizione è $\overline{AP} = 5$:
\[
  \sqrt{(x-2)^2 + (0-4)^2} = 5 \implies (x-2)^2 + 16 = 25 \implies (x-2)^2 = 9.
\]
Quindi $x - 2 = \pm 3$, ovvero $x = 5$ o $x = -1$. I punti sono $P_1(5, 0)$ e $P_2(-1, 0)$.
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ga-001-08-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Rappresenta nel piano cartesiano i punti:\quad $A(3, 2),\ B(-1, 4),\ C(0, -2),\ D(-3, -1),\ E(2, 0)$. Indica per ciascuno il quadrante o l'asse di appartenenza.
  \item Calcola la distanza tra le seguenti coppie di punti:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(1, 2)$ e $B(4, 6)$;
          \item (b) $A(-3, 5)$ e $B(2, -7)$;
          \item (c) $A(0, 0)$ e $B(-1, \sqrt{3})$;
          \item (d) $A(\tfrac{1}{2}, 1)$ e $B(\tfrac{5}{2}, 4)$.
        \end{itemize}
  \item Trova il punto medio dei segmenti di estremi:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(2, 4)$ e $B(8, -2)$;
          \item (b) $A(-3, 0)$ e $B(5, 6)$;
          \item (c) $A(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{3}{2})$ e $B(\tfrac{5}{2}, \tfrac{7}{2})$.
        \end{itemize}
  \item Trova le coordinate del secondo estremo del segmento di cui si conosce un estremo $A$ e il punto medio $M$:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(1, 3)$, $M(4, -1)$;
          \item (b) $A(-2, 5)$, $M(0, 0)$.
        \end{itemize}
  \item Verifica se i triangoli sono equilateri, isosceli, scaleni o rettangoli (specifica tutti i tipi che si applicano):
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(2,2\sqrt{3})$;
          \item (b) $A(-1,1)$, $B(3,1)$, $C(1,5)$;
          \item (c) $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,8)$;
          \item (d) $A(1,2)$, $B(4,6)$, $C(7,2)$.
        \end{itemize}
  \item Calcola il perimetro e l'area del triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(4, 3)$.
  \item Trova il baricentro dei triangoli:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(0,6)$;
          \item (b) $A(-2,1)$, $B(3,4)$, $C(2,-3)$;
          \item (c) $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(3,7)$.
        \end{itemize}
  \item Stabilisci se i tre punti sono allineati:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(0,0)$, $B(2,3)$, $C(4,6)$;
          \item (b) $A(1,2)$, $B(3,5)$, $C(5,8)$;
          \item (c) $A(-1,4)$, $B(2,-2)$, $C(5,-8)$;
          \item (d) $A(0,1)$, $B(2,2)$, $C(4,4)$.
        \end{itemize}
  \item Calcola l'area del quadrilatero di vertici $P_1(0,0), P_2(5,0), P_3(6,4), P_4(2,5)$ (in ordine antiorario), usando la formula della scarpa.
  \item Trova tutti i punti dell'asse $y$ che distano $\sqrt{29}$ dal punto $A(2, 3)$.
  \item Trova i due punti sull'asse $x$ che, con $A(0, 3)$, formano un triangolo equilatero.
  \item Dato il segmento di estremi $A(1, 2)$ e $B(7, 8)$, trova i due punti che lo dividono in tre parti uguali.
  \item (Discussione.) Un triangolo $ABC$ ha vertici a coordinate \emph{intere}. La formula della scarpa può dare un'area irrazionale? Argomenta.
  \item (Sfida.) Trova un punto $P$ del piano cartesiano equidistante dai tre punti $A(0,0), B(6,0), C(0,8)$. (Suggerimento: $P$ è il \emph{circocentro} del triangolo $ABC$.)
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ga-001-09-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item Il \emph{sistema di riferimento cartesiano ortogonale} associa a ogni punto del piano una coppia ordinata di numeri reali $(x, y)$: ascissa e ordinata.
  \item Gli assi dividono il piano in $4$ quadranti; \emph{origine} $O(0, 0)$, asse $x$ ($y=0$), asse $y$ ($x=0$).
  \item \emph{Distanza tra due punti}:
        \[
          \overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}.
        \]
        È il teorema di Pitagora ``analitico'' (\ref{cap:GE-014}).
  \item \emph{Punto medio} di $\overline{AB}$:
        \[
          M = \left(\tfrac{x_A+x_B}{2},\ \tfrac{y_A+y_B}{2}\right).
        \]
  \item \emph{Baricentro} di un triangolo (media aritmetica delle coordinate dei vertici):
        \[
          G = \left(\tfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\ \tfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right).
        \]
  \item \emph{Area di un triangolo} dai vertici (formula della scarpa):
        \[
          \mathrm{Area} = \tfrac{1}{2}\bigl|x_A(y_B-y_C) + x_B(y_C-y_A) + x_C(y_A-y_B)\bigr|.
        \]
  \item \emph{Test di allineamento} di tre punti: $A, B, C$ allineati $\iff$ $\mathrm{Area}(ABC) = 0$.
  \item \emph{Formula della scarpa generale} per un poligono $P_1 P_2 \cdots P_n$:
        \[
          \mathrm{Area} = \tfrac{1}{2}\bigl|\sum_{i=1}^{n}(x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\bigr|.
        \]
  \item \emph{Prossimi passi}: equazione della \emph{retta} (\ref{cap:GA-002}), \emph{parabola} (\ref{cap:GA-006}), \emph{circonferenza} (\ref{cap:GA-007}). Tutte useranno costantemente distanza e punto medio.
\end{itemize}
\end{riepilogo}