\chapter{Coefficiente angolare, parallelismo, perpendicolarità tra rette}\label{cap:GA-003}

\citazioneinizio{%
  La geometria di Cartesio ha ridotto al calcolo ciò che prima era pura costruzione.%
}{Joseph-Louis Lagrange, \emph{Leçons élémentaires sur les mathématiques} (1795)}

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\section{Introduzione motivazionale}\label{sec:ga-003-01-introduzione-motivazionale}
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In geometria euclidea (\ref{cap:GE-007}) il \emph{parallelismo} e la \emph{perpendicolarità} di due rette si stabiliscono per via puramente sintetica: due rette sono parallele se non si incontrano (o coincidono); due rette sono perpendicolari se formano quattro angoli retti. Verificarlo concretamente, però, richiede costruzioni con riga e compasso, o ragionamenti su angoli alterni interni, criteri di congruenza, e così via.

La geometria analitica trasforma queste relazioni geometriche in \emph{test algebrici} estremamente semplici. Tutto si riduce a due numeri: i \emph{coefficienti angolari} delle due rette. Anticipando i risultati di questo capitolo:
\begin{itemize}
  \item due rette sono \emph{parallele} se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare: $m_1 = m_2$;
  \item due rette sono \emph{perpendicolari} se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$: $m_1 \cdot m_2 = -1$.
\end{itemize}
Due test, due formule. Tutta la teoria sintetica delle rette parallele e perpendicolari del piano è racchiusa qui.

Per giustificare queste formule scopriamo prima il \emph{significato geometrico} del coefficiente angolare: $m$ è la \emph{tangente dell'angolo} che la retta forma con l'asse $x$. Da questa interpretazione, le condizioni di parallelismo e perpendicolarità diventano immediate corollari delle formule trigonometriche fondamentali.

Chiudiamo il capitolo con la formula generale dell'\emph{angolo tra due rette}, che racchiude come casi particolari sia il parallelismo (angolo $0$) sia la perpendicolarità (angolo retto).

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\section{Significato geometrico del coefficiente angolare}\label{sec:ga-003-01-significato-geometrico-del-coefficiente-angolare}
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\begin{definizione}[Angolo di inclinazione]
L'\textbf{angolo di inclinazione} $\alpha$ di una retta è l'angolo che la retta forma con il \emph{semiasse positivo delle $x$}, misurato in senso \emph{antiorario}, con $0 \leq \alpha < \pi$ (cioè $0° \leq \alpha < 180°$).
\end{definizione}

\begin{teorema}[Coefficiente angolare e tangente trigonometrica]
Per una retta non verticale, il coefficiente angolare $m$ è uguale alla \emph{tangente trigonometrica} dell'angolo di inclinazione:
\[
  m = \tan\alpha.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  m = \tan\alpha.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Siano $A, B$ due punti della retta, con $B$ a destra di $A$ ($x_B > x_A$). Il triangolo rettangolo costruito con cateto orizzontale $\overline{AC} = x_B - x_A$ e cateto verticale $\overline{CB} = y_B - y_A$ ha per angolo opposto al cateto verticale (in $A$) proprio l'angolo $\alpha$ di inclinazione. Dalla definizione di tangente in un triangolo rettangolo (\ref{cap:GO-001}):
\[
  \tan\alpha = \frac{\text{cateto opposto}}{\text{cateto adiacente}} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = m.
\]

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.0]
  \draw[->, thin] (-0.5, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, thin] (0, -0.5) -- (0, 4) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0, 0) {$O$};
  % Retta con angolo alpha
  \draw[thick, BLU, domain=-0.3:4.5] plot (\x, {0.7*\x + 0.4});
  \node[BLU, right] at (4.5, 3.55) {\small retta $r$};
  % Punti A e B sulla retta
  \filldraw[BLU] (0.8, 0.96) circle (2pt) node[above left, BLU] {$A$};
  \filldraw[BLU] (4, 3.2) circle (2pt) node[above left, BLU] {$B$};
  % Triangolo del rapporto incrementale
  \draw[dashed, ROSSO!70!black] (0.8, 0.96) -- (4, 0.96) -- (4, 3.2);
  \node[ROSSO!70!black, below] at (2.4, 0.96) {$\Delta x$};
  \node[ROSSO!70!black, right] at (4, 2.08) {$\Delta y$};
  % Angolo alpha al vertice A
  \draw[ARANCIO, ->] (1.4, 0.96) arc (0:35:0.6);
  \node[ARANCIO!80!black] at (1.7, 1.2) {\small $\alpha$};
  % Formula
  \node[BLU] at (2.5, 3.5) {\small $m = \tan\alpha = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$};
\end{tikzpicture}
\caption{Significato geometrico di $m$: il coefficiente angolare è la tangente dell'angolo $\alpha$ che la retta forma con l'asse delle ascisse.}
\label{fig:ga-003-angolo-inclinazione}
\end{figure}

\begin{nota}[Segno e valore di $m$]
\begin{itemize}
  \item $m = 0 \iff \alpha = 0°$: retta \emph{orizzontale}.
  \item $0 < m < +\infty \iff 0° < \alpha < 90°$: retta \emph{crescente}.
  \item $m \to +\infty$ (cioè $m$ ``indefinito''): retta \emph{verticale}, $\alpha = 90°$. In questo caso $\tan\alpha$ non è definita.
  \item $-\infty < m < 0 \iff 90° < \alpha < 180°$: retta \emph{decrescente}.
\end{itemize}
Casi numerici tipici:
\[
  m = 1 \Rightarrow \alpha = 45°;\quad
  m = \sqrt{3} \Rightarrow \alpha = 60°;\quad
  m = -1 \Rightarrow \alpha = 135°.
\]
\end{nota}

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\section{Condizione di parallelismo}\label{sec:ga-003-02-condizione-di-parallelismo}
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\begin{teorema}[Parallelismo tra rette]
Due rette $r$ e $s$ del piano sono \emph{parallele} se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare:
\[
  r \parallel s \iff m_r = m_s.
\]
(Si intendono parallele anche due rette coincidenti.)

In forma implicita: $r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ sono parallele se e solo se
\[
  a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0,\qquad \text{cioè}\qquad \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  r \parallel s \iff m_r = m_s.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Se entrambe non verticali, hanno coefficienti angolari $m_r = \tan\alpha_r$ e $m_s = \tan\alpha_s$. Sono parallele $\iff$ hanno lo stesso angolo di inclinazione ($\alpha_r = \alpha_s$, modulo $180°$) $\iff$ $\tan\alpha_r = \tan\alpha_s$ (essendo la tangente periodica di periodo $\pi$) $\iff$ $m_r = m_s$.

Per le rette verticali: due rette verticali sono sempre parallele tra loro; sono $x = h_1$ e $x = h_2$, e si dice ``hanno entrambe $m$ indefinito''.

\begin{nota}[Parallele propriamente dette vs coincidenti]
Due rette parallele si dicono \emph{coincidenti} se sono la stessa retta — cioè se oltre ad avere $m_r = m_s$, hanno anche $q_r = q_s$ (in forma esplicita). Se $m_r = m_s$ ma $q_r \neq q_s$, le rette sono \emph{parallele propriamente dette} (distinte).
\end{nota}

\begin{esempio}[Verificare il parallelismo]
Le rette $r: y = 2x + 3$ e $s: y = 2x - 1$ hanno entrambe $m = 2$: sono parallele. Hanno $q$ diversi: sono \emph{propriamente parallele} (distinte).

Le rette $r: y = 2x + 3$ e $s: 4x - 2y + 6 = 0$: la seconda diventa $y = 2x + 3$, identica alla prima: \emph{coincidenti}.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Retta parallela a una data, per un punto]
Trovare la retta parallela a $r: y = -3x + 2$ passante per $P(1, 4)$.

\textit{Soluzione.} Deve avere $m = -3$ (stesso di $r$). Usando la forma fondamentale (\ref{cap:GA-002}):
\[
  y - 4 = -3(x - 1) \Rightarrow y = -3x + 7.
\]
\end{esempio}

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\section{Condizione di perpendicolarità}\label{sec:ga-003-03-condizione-di-perpendicolarita}
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\begin{teorema}[Perpendicolarità tra rette]
Due rette $r$ e $s$ \emph{non verticali e non orizzontali} sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari vale $-1$:
\[
  r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1 \iff m_s = -\frac{1}{m_r}.
\]
(Caso speciale: una retta orizzontale e una verticale sono sempre perpendicolari tra loro.)

In forma implicita: $r: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ e $s: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ sono perpendicolari se e solo se
\[
  a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  r \perp s \iff m_r \cdot m_s = -1.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione.} Siano $\alpha_r$ e $\alpha_s$ gli angoli di inclinazione di $r$ e $s$. Le rette sono perpendicolari $\iff$ i loro angoli differiscono di $90°$:
\[
  \alpha_s = \alpha_r + 90°\ \text{(modulo $180°$)}.
\]
Usando le formule trigonometriche di addizione (\ref{cap:GO-001}):
\[
  \tan(\alpha_r + 90°) = -\cot\alpha_r = -\frac{1}{\tan\alpha_r}.
\]
Quindi $m_s = -1/m_r$, da cui $m_r\cdot m_s = -1$.

\begin{nota}[Coefficiente angolare ``antireciproco'']
La perpendicolarità si esprime in modo memorabile dicendo che il coefficiente angolare della retta perpendicolare è \emph{l'antireciproco} (reciproco col segno cambiato) del coefficiente angolare della retta data. Tabella di valori notevoli:
\[
  \begin{array}{c|c}
    m_r & m_s = -1/m_r \\
    \hline
    1 & -1 \\
    2 & -1/2 \\
    -3 & 1/3 \\
    \sqrt{3} & -1/\sqrt{3} = -\sqrt{3}/3 \\
    1/4 & -4
  \end{array}
\]
\end{nota}

\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
  \draw[->, thin] (-0.5, 0) -- (5.5, 0) node[right] {$x$};
  \draw[->, thin] (0, -0.5) -- (0, 4) node[above] {$y$};
  \node[below left] at (0, 0) {$O$};
  % Due rette parallele
  \begin{scope}
    \draw[thick, BLU, domain=0:5] plot (\x, {0.5*\x + 0.5}) node[right, BLU] {\small $r: m_r = \tfrac{1}{2}$};
    \draw[thick, BLU!50, dashed, domain=0:5] plot (\x, {0.5*\x + 2}) node[right, BLU!50] {\small $s: m_s = \tfrac{1}{2}$};
    \node[BLU!70!black] at (2.5, -1) {\small Parallele: $m_r = m_s$};
  \end{scope}
  % Due rette perpendicolari (spostate a destra)
  \begin{scope}[shift={(9, 0)}]
    \draw[->, thin] (-0.5, 0) -- (4.5, 0);
    \draw[->, thin] (0, -0.5) -- (0, 4);
    \draw[thick, ROSSO, domain=0:3] plot (\x, {0.5*\x + 1}) node[above, ROSSO] {\small $r: m = \tfrac{1}{2}$};
    \draw[thick, VERDE!70!black, domain=0:1.5] plot (\x, {-2*\x + 3.5}) node[right, VERDE!70!black] {\small $s: m = -2$};
    % piccolo quadratino dell'angolo retto
    \draw (1, 1.5) -- (1.1, 1.7) -- (1.3, 1.6);
    \node at (2.5, -1) {\small Perpendicolari: $m_r m_s = -1$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{A sinistra due rette parallele (stesso $m$). A destra due rette perpendicolari: $\tfrac{1}{2}\cdot (-2) = -1$.}
\label{fig:ga-003-paralle-perpend}
\end{figure}

\begin{esempio}[Retta perpendicolare a una data, per un punto]
Trovare la retta perpendicolare a $r: y = 2x - 1$ passante per $P(4, 3)$.

\textit{Soluzione.} Il nuovo coefficiente angolare è $m = -1/2$. Forma fondamentale:
\[
  y - 3 = -\tfrac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y = -\tfrac{1}{2}x + 5.
\]
\end{esempio}

\begin{esempio}[Asse di un segmento]
L'\emph{asse} di un segmento $\overline{AB}$ è la retta perpendicolare ad $\overline{AB}$ passante per il suo punto medio. Trovare l'asse del segmento di estremi $A(1, 2)$ e $B(7, 8)$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Punto medio: $M = (4, 5)$ (\ref{cap:GA-001}).
  \item Coefficiente angolare di $AB$: $m_{AB} = (8-2)/(7-1) = 1$.
  \item Coefficiente angolare dell'asse (perpendicolare): $m = -1/1 = -1$.
  \item Asse: $y - 5 = -1(x - 4) \Rightarrow y = -x + 9$.
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Angolo tra due rette}\label{sec:ga-003-04-angolo-tra-due-rette}
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Più in generale, due rette incidenti formano due coppie di angoli opposti al vertice (uno acuto, uno ottuso, supplementari tra loro). L'\emph{angolo} tra le due rette è, per convenzione, quello \emph{acuto} (o retto, se sono perpendicolari).

\begin{teorema}[Angolo tra due rette]
Siano $r$ e $s$ due rette non verticali, di coefficienti angolari $m_r$ e $m_s$. L'angolo acuto $\varphi$ tra di esse soddisfa
\[
  \tan\varphi = \left|\frac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|.
\]
\end{teorema}

\begin{formulabox}
\[
  \tan\varphi = \left|\dfrac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|.
\]
\end{formulabox}

\textit{Dimostrazione (cenni).} Se $\alpha_r, \alpha_s$ sono gli angoli di inclinazione, l'angolo formato tra le rette è $\alpha_r - \alpha_s$ (o il suo supplementare). Per la formula trigonometrica della tangente della differenza (\ref{cap:GO-001}):
\[
  \tan(\alpha_r - \alpha_s) = \frac{\tan\alpha_r - \tan\alpha_s}{1 + \tan\alpha_r \tan\alpha_s} = \frac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}.
\]
Il valore assoluto seleziona l'angolo acuto positivo.

\begin{nota}[Casi limite della formula]
\begin{itemize}
  \item Se $m_r = m_s$: $\tan\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 0°$ — rette \emph{parallele}.
  \item Se $1 + m_r m_s = 0$ (cioè $m_r m_s = -1$): $\tan\varphi$ ``tende a infinito'' $\Rightarrow \varphi = 90°$ — rette \emph{perpendicolari}.
\end{itemize}
Quindi la formula generale racchiude come casi particolari sia il parallelismo che la perpendicolarità.
\end{nota}

\begin{esempio}[Angolo tra due rette]
Calcolare l'angolo tra $r: y = x$ e $s: y = -2x + 3$.

\textit{Soluzione.} $m_r = 1$, $m_s = -2$:
\[
  \tan\varphi = \left|\frac{1 - (-2)}{1 + 1\cdot(-2)}\right| = \left|\frac{3}{-1}\right| = 3 \implies \varphi = \arctan(3) \approx 71{,}57°.
\]
\end{esempio}

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\section{Esempi svolti}\label{sec:ga-003-06-esempi-svolti}
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\begin{esempio}[Test rapido di // o $\perp$]
Stabilire se le seguenti coppie di rette sono parallele, perpendicolari o né l'uno né l'altro:
\begin{itemize}
  \item (a) $r: y = 3x - 1$, $s: y = 3x + 5$.

  $m_r = m_s = 3$: \emph{parallele} (non coincidenti, $q$ diversi).

  \item (b) $r: y = 2x - 4$, $s: y = -\tfrac{1}{2}x + 1$.

  $m_r m_s = 2\cdot(-\tfrac{1}{2}) = -1$: \emph{perpendicolari}.

  \item (c) $r: y = x$, $s: y = 2x$.

  Né $m_r = m_s$ né $m_r m_s = -1$: \emph{incidenti generiche} (formano un angolo non retto).
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Retta parallela in forma implicita]
Trovare l'equazione della retta passante per $P(-1, 2)$ e parallela a $r: 3x - 2y + 7 = 0$.

\textit{Soluzione.} La retta richiesta ha la stessa parte ``$3x - 2y$'' del primo membro (in modo da avere stessi coefficienti $a, b$, quindi stesso $m$); cambia solo il termine noto:
\[
  3x - 2y + k = 0.
\]
Imponendo il passaggio per $P(-1, 2)$: $3(-1) - 2(2) + k = 0 \Rightarrow k = 7$.

(Curioso: $k = 7$ uguale a quello di $r$; ma sostituendo nelle coordinate si verifica che $P\notin r$: $3(-1) - 2(2) + 7 = 0$, falso? Calcolo: $-3 - 4 + 7 = 0$. Vero! Quindi $P$ \emph{appartiene} alla retta $r$ data. Sì, la retta parallela passante per $P$ è $r$ stessa.)

Esempio modificato: per $P(0, 0)$, $3(0) - 2(0) + k = 0 \Rightarrow k = 0$. Retta: $3x - 2y = 0$, ovvero $y = \tfrac{3}{2}x$.
\end{esempio}

\begin{esempio}[Triangolo rettangolo: verifica con i coefficienti angolari]
Verificare che il triangolo di vertici $A(0, 0), B(4, 2), C(1, 5)$ è rettangolo.

\textit{Soluzione.}
\[
  m_{AB} = \frac{2-0}{4-0} = \frac{1}{2},\qquad
  m_{AC} = \frac{5-0}{1-0} = 5,\qquad
  m_{BC} = \frac{5-2}{1-4} = -1.
\]
Cerchiamo coppie con prodotto $-1$:
\[
  m_{AB} \cdot m_{BC} = \tfrac{1}{2}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{2}: \text{no}.
\]
\[
  m_{AB} \cdot m_{AC} = \tfrac{1}{2}\cdot 5 = \tfrac{5}{2}: \text{no}.
\]
\[
  m_{AC} \cdot m_{BC} = 5\cdot(-1) = -5: \text{no}.
\]
Nessuna coppia perpendicolare: il triangolo \emph{non è} rettangolo. (Confronto con il test di Pitagora: $\overline{AB}^2 = 20$, $\overline{AC}^2 = 26$, $\overline{BC}^2 = 18$. Nessuna relazione $a^2 + b^2 = c^2$.)
\end{esempio}

\begin{esempio}[Costruzione di una perpendicolare per un punto a una retta data]
Sia $r: 2x - y + 3 = 0$ e $P(5, 1)$ punto esterno. Trovare il \emph{piede della perpendicolare} da $P$ a $r$ (cioè il punto $H$ di intersezione tra $r$ e la perpendicolare a $r$ per $P$).

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Coeff.\ angolare di $r$: da $y = 2x + 3$ si legge $m_r = 2$.
  \item Coeff.\ angolare della perpendicolare: $m = -1/2$.
  \item Perpendicolare per $P$: $y - 1 = -\tfrac{1}{2}(x - 5) \Rightarrow y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}$.
  \item Intersezione con $r$ (sistema): $2x - (-\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}) + 3 = 0 \Rightarrow \tfrac{5}{2}x - \tfrac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \tfrac{1}{5}$.
  \item Quindi $y = -\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{5} + \tfrac{7}{2} = -\tfrac{1}{10} + \tfrac{35}{10} = \tfrac{34}{10} = \tfrac{17}{5}$.
  \item $H = (\tfrac{1}{5}, \tfrac{17}{5})$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Asse di un segmento (riassuntivo)]
Trovare l'asse del segmento $A(-1, 2)$, $B(5, -4)$.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Punto medio: $M = (2, -1)$.
  \item $m_{AB} = (-4-2)/(5-(-1)) = -1$.
  \item Coeff.\ angolare dell'asse: $-1/(-1) = 1$.
  \item Asse: $y - (-1) = 1\cdot(x - 2) \Rightarrow y = x - 3$.
\end{itemize}
\end{esempio}

\begin{esempio}[Quadrato dati due vertici opposti]
Trovare i due vertici mancanti del quadrato sapendo che $A(1, 1)$ e $C(5, 5)$ sono due vertici opposti.

\textit{Soluzione.}
\begin{itemize}
  \item Diagonale $AC$ ha $m_{AC} = 1$, lunghezza $\sqrt{32}$, punto medio $M(3, 3)$.
  \item L'altra diagonale $BD$ passa per $M$, è perpendicolare ad $AC$ (le diagonali del quadrato sono perpendicolari) e ha la stessa lunghezza.
  \item $m_{BD} = -1$, equazione: $y - 3 = -(x - 3) \Rightarrow y = -x + 6$.
  \item $B$ e $D$ distano da $M$ esattamente la metà della diagonale: $\sqrt{32}/2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ciascuno.
  \item Sulla retta $y = -x + 6$, un punto generico è $(t, -t+6)$. Distanza da $M(3,3)$: $\sqrt{(t-3)^2 + (-t+6-3)^2} = \sqrt{2(t-3)^2} = \sqrt{2}|t-3|$.
  \item Imposizione: $\sqrt{2}|t-3| = 2\sqrt{2} \Rightarrow |t-3| = 2 \Rightarrow t = 5\text{ o }t = 1$.
  \item Quindi $B = (5, 1)$ e $D = (1, 5)$.
\end{itemize}
\end{esempio}

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\section{Esercizi proposti}\label{sec:ga-003-07-esercizi-proposti}
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\begin{eserciziobox}
\begin{enumerate}
  \item Stabilisci se le coppie di rette sono parallele, perpendicolari o né l'uno né l'altro:
        \begin{itemize}
          \item (a) $y = 2x + 1$ e $y = 2x - 5$;
          \item (b) $y = 3x$ e $y = -\tfrac{1}{3}x + 4$;
          \item (c) $y = -x + 7$ e $y = x - 2$;
          \item (d) $2x + 3y - 6 = 0$ e $4x + 6y + 1 = 0$;
          \item (e) $x = 5$ e $y = 3$;
          \item (f) $y = 3$ e $y = -7$.
        \end{itemize}
  \item Trova la retta passante per il punto dato e parallela alla retta data:
        \begin{itemize}
          \item (a) $P(2, 3)$, $r: y = 4x - 1$;
          \item (b) $P(0, -1)$, $r: 3x - 2y + 5 = 0$;
          \item (c) $P(-1, 4)$, $r: y = -2$;
          \item (d) $P(3, 7)$, $r: x = 2$.
        \end{itemize}
  \item Trova la retta passante per il punto dato e perpendicolare alla retta data:
        \begin{itemize}
          \item (a) $P(1, 2)$, $r: y = -3x + 1$;
          \item (b) $P(4, 0)$, $r: y = \tfrac{1}{2}x$;
          \item (c) $P(-2, 5)$, $r: 2x + 3y - 6 = 0$;
          \item (d) $P(0, 0)$, $r: y = x$.
        \end{itemize}
  \item Trova il piede della perpendicolare condotta dal punto $P(0, 4)$ alla retta $r: y = 2x - 1$.
  \item Trova l'\emph{asse} del segmento di estremi:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(0, 0)$ e $B(4, 6)$;
          \item (b) $A(-2, 3)$ e $B(4, -1)$;
          \item (c) $A(1, 5)$ e $B(7, 5)$ (orizzontale!).
        \end{itemize}
  \item Verifica con i coefficienti angolari se i seguenti triangoli sono rettangoli e in caso indica l'ipotenusa:
        \begin{itemize}
          \item (a) $A(0, 0), B(6, 0), C(0, 8)$;
          \item (b) $A(1, 1), B(5, 1), C(1, 4)$;
          \item (c) $A(-1, 0), B(2, 3), C(5, 0)$;
          \item (d) $A(0, 0), B(3, 1), C(1, 3)$.
        \end{itemize}
  \item Trova $k$ in modo che le rette siano parallele:
        $r: y = (k-1)x + 3$ e $s: y = (2k + 4)x - 1$.
  \item Trova $h$ in modo che le rette siano perpendicolari:
        $r: y = hx - 2$ e $s: y = (h+3)x + 1$.
  \item Calcola l'angolo (acuto) tra le rette:
        \begin{itemize}
          \item (a) $y = x$ e $y = -x$;
          \item (b) $y = x$ e $y = 0$;
          \item (c) $y = x$ e $y = \tfrac{x}{3}$.
        \end{itemize}
  \item Determina l'altezza relativa al lato $BC$ nel triangolo di vertici $A(2, 5)$, $B(0, 0)$, $C(6, 2)$. (Suggerimento: equazione della retta $BC$, equazione della perpendicolare per $A$, intersezione = piede dell'altezza, e poi calcola la distanza.)
  \item Trova le coordinate dell'\emph{ortocentro} del triangolo $A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4)$. (L'ortocentro è il punto di intersezione delle tre altezze.)
  \item (Discussione.) Se due rette hanno coefficiente angolare reciproco (cioè $m_s = 1/m_r$, \emph{senza} cambiare segno), che relazione geometrica esiste tra le due rette? (Suggerimento: scambia $x$ e $y$.)
  \item (Sfida.) Trova le coordinate dei due vertici mancanti del quadrato di cui $A(0, 0)$ e $B(4, 0)$ sono due vertici \emph{adiacenti} (cioè estremi di un lato).
\end{enumerate}
\end{eserciziobox}

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\section{Riepilogo del capitolo}\label{sec:ga-003-08-riepilogo-del-capitolo}
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\begin{riepilogo}
\begin{itemize}
  \item \emph{Significato geometrico di $m$}: $m = \tan\alpha$, dove $\alpha$ è l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse $x$ (\ref{cap:GO-001}).
        \begin{itemize}
          \item $m = 0$: retta orizzontale; $m$ indef.: verticale.
          \item $m > 0$: crescente; $m < 0$: decrescente.
          \item Valori notevoli: $m=1 \Rightarrow 45°$, $m=\sqrt{3}\Rightarrow 60°$, $m=-1 \Rightarrow 135°$.
        \end{itemize}
  \item \emph{Parallelismo}:
        \[
          r\parallel s \iff m_r = m_s.
        \]
        Coincidenti se anche $q_r = q_s$. In forma implicita: $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$.
  \item \emph{Perpendicolarità}:
        \[
          r\perp s \iff m_r\cdot m_s = -1 \iff m_s = -\tfrac{1}{m_r}.
        \]
        (Il coefficiente perpendicolare è l'\emph{antireciproco}.) Caso speciale: orizzontale $\perp$ verticale.
  \item \emph{Angolo tra due rette}:
        \[
          \tan\varphi = \left|\dfrac{m_r - m_s}{1 + m_r m_s}\right|.
        \]
        Casi limite: $m_r = m_s \Rightarrow \varphi = 0$ (parallele); $m_r m_s = -1 \Rightarrow \varphi = 90°$ (perpendicolari).
  \item \emph{Costruzioni tipiche}:
        \begin{itemize}
          \item retta per un punto parallela/perpendicolare a una data (forma fondamentale, \ref{cap:GA-002});
          \item \emph{asse} di un segmento (perpendicolare per il punto medio);
          \item \emph{altezza} di un triangolo (perpendicolare al lato per il vertice opposto);
          \item \emph{ortocentro} (intersezione delle tre altezze).
        \end{itemize}
  \item \emph{Prossimi passi}: \emph{distanza punto-retta} (\ref{cap:GA-004}), \emph{trasformazioni geometriche} (\ref{cap:GA-005}), e poi le \emph{coniche} (\ref{cap:GA-006}).
\end{itemize}
\end{riepilogo}